北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法练习

北大附中高考数学专题复习数列、极限、数学归纳法练习

学科：数学 教学内容：数列、极限、数学归纳法综合能力训练 【综合能力训练】 一、选择题 1.数列{an}是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. an·an+1 >0 B. an·an+1·an+2>0 C. an·an+2>0 D. an·an+2·an+4>0 2.在等比数列{an}中，a1=secθ (θ为锐角)，且前n项和Sn满足 Sn= ，那么θ的取值范围是（ ） A.（0， ） B.（0， ） C.（0， ） D.（0， ） 3.已知数列{an}中，an= (n∈N)，则数列{an}的最大项是( ) A.第12项 B.第13项 C.第12项或13项 D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘2，最大数加上7，所得三数之积为1000，且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ） A.8 B.8或－15 C.± 8 D.±15 5.已知数列{an}: , + , + + ,…, + +…+ ，…，那么数列{ }的所有项的和为（ ） A.2 B.4 C.3 D.5 6.已知a、b∈R,|a|>|b|，又 > ，则a的取值范围是() A.a>1 B.－11 D.a>1或－10，且|a10|<|a11|，Sn为其前n项之和，则( ) A. S1,S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零 B. S1,S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零 C. S1,S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零 D. S1,S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零 9.将自然数1，2，3，…，n，…按第k组含k个数的规则分组：（1），（2，3），（4 ，5，6），…，那么1996所在的组是（ ） A.第62组 B.第63组 C.第64组 D.第65组 10.在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为 （ ） A.－ B.－ C.－ D. － 11.设数列{an}、{bn}都是公差不为0的等差数列，且 =2，则 等于() A.1 B. C. D. 12.a、b∈R，且|a|<1,|b|<1，则无穷数列：1,(1+b)a,(1+b+b2)a2,…,(1+b+b2+…+bn－1)an－1 …的和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13.设zn=( )n(n∈ N)，记Sn=|z2－z1|+|z3－z2|+…+|zn+1－zn|，则 Sn=。 14.在等比数列{an}中，a1=1,|q|≠1，若am=a1·a2·a3·…·a10，则m=。 15.数列{an}是公差为d≠0的等差数列，若a1,a2是方程x2－a3x+a4=0的二根，则通项公式 an=。 16.f(x－1)=x+x2+x3+…+xn(x≠0,1)，设f(x)中x的系数为Sn,x3的系数为Tn， =。 三、解答题 17.一个含有7项的数列，它的奇数位置的项顺次成等差数列，偶数位置的项顺次成等 比数列，所有奇数位置的项之和减去第2项与第6项之积所得的差是42，又首项、末项、中 间项之和为27，求第4项。 24 11 mn nm )(4 + )(4 nm mn + mn nm )(2 + )(2 nm mn + ∞→n lim n n b a ∞→n lim n n na bbb 3 221 +++  2 1 3 1 4 1 )1)(1( 1 ba −− ab−1 1 )1)(1( 2 aba −− )1)(1( 1 aba −− 2 1 i− ∞→n lim ∞→n lim 4 2 n ST nn − 18.设fn(x)=f{[f…f(x)]…}（n个f）， （1）求f2(x),f3(x); （2）猜想fn(x)，并证明你的结论。 19.已知a>0且a≠1，数列{an}是首项、公比都为a的等比数列，令bn=anlgan(n∈N)。 （1）当a=2时，求数列{bn}的前n项之和； （2）当a= 时，数列{bn}中从第几项开始每一项总小于它后面的项。 20.已知函数f(x)= (n∈N)的最小值为an，最大值为bn，且cn= (1+3anbn)。 （1）求数列{cn}的通项公式； （2）求证： － < <2－ (n≥2)。 21.曲线C：xy=1(x>0)与直线l:y=x相交于A1,作A1B1⊥l交x轴于B1，作B1A2∥l交曲线C于 A2…依此类推。 （1）求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标； （2）猜想An的坐标，并加以证明； （3） 。 21 )( x xxf − = 7 6 12 2 ++ +− xx nxx 4 n 2 3 1 1 +n n k 1= Σ kc 1 n 1 ∞→n lim nn nn BB BB 1 1 || − + 22.设Tn为数列{an}前n项的和，Tn= （an－1）(n∈N)。数列{bn}的通项公式为bn=4n+3（n∈N）。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若c∈{a1,a2,a3,…,an,…}∩{b1,b2,b3,…,bn…},则c称为数列{an},{bn}的公共项，将数 列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{cn}。证明：数列{cn }的通项公式为cn=32n+1(n∈N); （3）设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数 列{cn}前n项的和，且An=Bm－Dn；求： 。 参考答案 【综合能力训练】 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D 13.1+ 14.46 15.an=2n 16.－ 17.解 设这7个数为：a1,a2,a3,…，a7，则a1, a3,a5,a7，成等差数列，a2,a4,a6成等比数列，依题意有： 解①、②得： 或 。 2 3 ∞→n lim 4)( n n a A 2 2 24 5    =++ =−+++ 27 42 741 627531 aaa aaaaaa ② ① 1314 −−=a 1314 +−=a 18.解 （1）f2(x)= ,f3(x)= (2)fn(x)= 19.解 （1）依题有an=an,∴bn=nanlga。 ∴Sn=(1+2a+3a2+…+nan－1)·alga,可求得Sn= [1－(1+n－na)·an] 当a=2时，Sn=2[1+(n－1)·2n]lg2。 （2）令bk+1>bk,（k∈N），则bk+1－bk=(k+1)·（ ）k－1·lg －k·( )k·lg =( )k·( － k)·lg ,∵（ ）k>0,lg <0，而bk+1>bk,∴ － k<0。∴k>6，故从第七项开始每一项总比它后面的项小。 20.解 （1）整理已知得：(y－1)x2+(y+1)x+(y－n)=0。∴x∈R,∴Δ≥0，即Δ=(y+1)2－4(y－1)(y －n)≥0(y≠1)，∴3y2－(4n+6)y+4n－1≤0. 由此知：an,bn就是方程3y2－(4n+6)y+4n－1=0的两个根，由根与系数的关系得：an·bn = （4n－1），∴cn=n2。 当y=1时，x= ,∵ ，其中 只是k的一个子集，即不是所有x∈R都满足y=1，∴舍去。 （2）先证： > － (n≥2) = >1+ =1+ ( － )=1+ － = － (n≥2) 再用同样方法证： <2－ (n≥2)。 21.解 （1）A1（1，1），A2（+1，－1），A3（+，－） B1（2，0），B2（2，0），B3（2，0）。 （2）An(+ ,－ )，证明略。 （3）设An( ,an),Bn(bn,0) 221 x x − 231 x x − 21 nx x − 2)1( lg a aa − 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 1 7 6 7 6 7 6 7 6 7 1 3 1 2 1−n 2 1−= nx }2 1|{ −= nxx n k 1= Σ kC 1 2 3 1 1 +n n k 1= Σ kC 1 n k 1= Σ 2 1 k n k 2= Σ )1( 1 +kk n k 2= Σ k 1 1 1 +k 2 1 1 1 +n 2 3 1 1 +n n k 1= Σ kC 1 n 1 1−n 1−n na 1 由图：A1（1，1），B1（2，0） ∵a1=1,b1=2且 ∴ = = ，分子分母同乘以（ +）(+ )及 = =1 22.解 （1）a1= (a1－1)，∴a1=3。当n≥2时，an=Tn－Tn－1可求得： =3。∴{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴an=3n。 （2）设{an}中的第k项与{bn}中的第r项相同，则：3k=4r+3(k,r∈N)，又3k+1=3·3k=3·( 4r+3)=4(3r+2)+1,∴ak+1不是{bn}中的项，又∵ ∴ 是 中的项，且又∵ ，故知：c1=a3,c2=a5,c3=a7,…,cn=a2n+1∴{cn}的通项公式为：cn=32n+1(n∈N)。 （3）由（2）知：32n+1=4m+3, m= (32n－1)。 而Bm= = ;Dn= = ; ∴An=Bm－Dn= ∴ = =       −=⋅−= += −− )(1 1 11 上在直线 nnn n n n n n bxyAbaa aab  ∞→n lim || || 1 1 nn nn BB BB − + ∞→n lim n n a a 2 2 1+ ∞→n lim 1 1 −− −+ nn nn 1+n 1−n ∞→n lim nn nn ++ −+ 1 1 ∞→n lim 111 111 ++ −+ n n 2 3 1−n n a a 3)69(43.93 2 ++==+ rkκ 2+ka }{ nb rba =3 4 3 2 )( 1 mbb m+ 8 )73)(33( 1212 +− ++ nn 91 )91(27 − − n 8 )13(27 2 −n 8 6353 1224 +⋅− ++ nn ∞→n lim 4)( n n a A ∞→n lim n nn 4 1224 38 6353 ⋅ +⋅− ++ 8 9