上海市宝山区高考数学一模试卷含解析

上海市宝山区高考数学一模试卷含解析

‎2019年上海市宝山区高考数学一模试卷 一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。‎ ‎1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为　 　．‎ ‎2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁UA＝　 　．‎ ‎3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝　 　．‎ ‎4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为　 　．‎ ‎5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有　 　种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝　 　．‎ ‎7．（5分）如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q＝　 　．‎ ‎8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝　 　．‎ ‎9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且＝（sinx，cosy），x，y∈（﹣，），则x+y＝　 　．‎ ‎10．（5分）将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是　 　．‎ ‎11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是　 　（只需填写一个适合的答案）‎ ‎12．（5分）如果等差数列{an}，{bn}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有bn﹣an＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列，若（）＝，则k＝　 　．‎ 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（　　）‎ A．2 B．﹣1 C．4 D．1‎ ‎14．（5分）“x∈[﹣，]是“sin（arcsin）＝x”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．充要 D．既非充分又非必要 ‎15．（5分）关于函数f（x）＝的下列判断，其中正确的是（　　）‎ A．函数的图象是轴对称图形 ‎ B．函数的图象是中心对称图形 ‎ C．函数有最大值 ‎ D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数 ‎16．（5分）设点M、N均在双曲线C：＝1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．以上都不对 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。‎ ‎17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．‎ ‎（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；‎ ‎（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）＝，将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位的函数y＝g（x）的图象．‎ ‎（1）若α＝，求y＝g（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α∈（0，），y＝g（x）的一条对称轴x＝，求y＝g（x），x∈[0，]的值域．‎ ‎19．（14分）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段．从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t（单位：小时，t∈[0，20]）近似地满足函数y＝|t﹣13|+关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量．‎ ‎（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；‎ ‎（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．‎ ‎20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1的左、右焦点为F1、F2．‎ ‎（1）求以F1为焦点，原点为顶点的抛物线方程；‎ ‎（2）若椭圆Γ上点M满足∠F1MF2＝，求M的纵坐标yM；‎ ‎（3）设N（0，1），若椭圆Γ上存在两不同点P，Q满足∠PNQ＝90°，证明直线PQ过定点并求该定点的坐标．‎ ‎21．（18分）如果数列{an}对于任意n∈N*，都有an+2﹣an＝d，其中d为常数，则称数列{an}是“间等差数列”，d为“间公差”，若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，a1＝a（a∈R）．‎ ‎（1）求证：数列{an}是“间等差数列”，并求间公差d；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn的最小值为﹣153，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）类似地：非常数列{bn}对于任意n∈N*，都有＝q，其中q为常数，则称数列{bn}是“间等比数列”，q为“间公比”．已如数列{cn}中，满足c1＝k（k≠0，k∈Z），cncn+1‎ ‎＝2018•（）n﹣1，n∈N*，试问数列{cn}是否为“间等比数列”，若是，求最大整数k使得对于任意n∈N*，都有cn＞cn+1；若不是，说明理由．‎ ‎2019年上海市宝山区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。‎ ‎1．（4分）函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为　π　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝sin（﹣2x）的最小正周期为＝＝π，‎ 故答案为：π．‎ ‎2．（4分）集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}，B＝{x|x+1＞0}，则B∩∁UA＝　（﹣1，3]　．‎ ‎【解答】解：∵集合U＝R，集合A＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，‎ B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，‎ ‎∴∁UA＝{x|x≤3}，‎ ‎∴B∩∁UA＝{x|﹣1＜x≤3}＝（﹣1，3]．‎ 故答案为：（﹣1，3]．‎ ‎3．（4分）若复数z满足（1+i）z＝2i（i是虚数单位），则＝　1﹣i　．‎ ‎【解答】解：∵（1+i）z＝2i，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故答案为：1﹣i．‎ ‎4．（4分）方程ln（9x+3x﹣1）＝0的根为　0　．‎ ‎【解答】解：根据题意，ln（9x+3x﹣1）＝0，即9x+3x﹣1＝1，‎ 令t＝3x，（t＞0），则有t2+t﹣2＝0，‎ 解可得t＝1或﹣2；‎ 又由t＞0，则有t＝1，即3x＝1，解可得x＝0，‎ 故答案为：0．‎ ‎5．（4分）从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有　20　种不同的选法．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：由题意，4个班级的学生中选出7名学生代表，‎ 每一个班级中至少有一名代表，‎ 相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3个插板，分成四份，总的分法有C63＝20‎ 故答案为：20．‎ ‎6．（4分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则x+y＝　﹣8　．‎ ‎【解答】解：由二元一次方程组的增广矩阵为，‎ 则二元一次方程组为：，两式相减可得：x+y＝﹣8‎ 故答案为：﹣8．‎ ‎7．（5分）如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q＝　　．‎ ‎【解答】解：由题意可知，所有项和S＝，‎ 奇数项的和S奇＝，‎ ‎∴，‎ 解可得，q＝﹣‎ 故答案为：﹣‎ ‎8．（5分）函数y＝f（x）与y＝lnx的图象关于直线y＝﹣x对称，则f（x）＝　﹣e﹣x　．‎ ‎【解答】解：设点（x，y）在y＝f（x）的图象上，则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点（﹣y，﹣x）在y＝lnx的图象上，‎ 得到﹣x＝ln（﹣y），‎ ‎∴﹣y＝e﹣x，‎ ‎∴y＝﹣e﹣x，‎ f（x）＝﹣e﹣x ‎，故答案为：﹣e﹣x．‎ ‎9．（5分）已知A（2，3），B（1，4），且＝（sinx，cosy），x，y∈（﹣，），则 x+y＝　或﹣　．‎ ‎【解答】解：＝（﹣1，1），∵＝（sinx，cosy），‎ ‎∴sinx＝﹣，cosy＝，‎ ‎∵x，y∈（﹣，），‎ ‎∴x＝﹣，y＝或﹣．‎ ‎∴x+y＝或﹣．‎ 故答案为或﹣．‎ ‎10．（5分）将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是　　．‎ ‎【解答】解：∵函数y＝﹣的图象是圆x2+y2＝1，y≤0，是半径为1的下半圆，‎ ‎∴将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以R＝1为半径的半球体，‎ ‎∴将函数y＝﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是：‎ V＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎11．（5分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b＝2，∠A＝45°，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是　2　（只需填写一个适合的答案）‎ ‎【解答】解：由已知及正弦定理，可得＝，‎ 可得sinB＝∈{1}∪（0，]，可得：a＝{2}∪[2，+∞）．‎ 可得a的可能取值是2．‎ 故答案为：2．‎ ‎12．（5分）如果等差数列{an}，{bn}的公差都为d（d≠0），若满足对于任意n∈N*，都有bn ‎﹣an＝kd，其中k为常数，k∈N*，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d＝2，数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列，若（）＝，则k＝　2　．‎ ‎【解答】解：由等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d＝2，‎ 可得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，‎ 数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列，‎ 可得bn＝an+2k＝2n﹣1+2k，‎ 由＝＝（﹣），‎ 则＝（1﹣+﹣+…+﹣），‎ 当k＝1时，若（）＝（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（1﹣）＝，不成立；‎ 当k＝2时，（）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（1+﹣﹣）＝×＝，成立；‎ 当k＝3时，（）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（1++﹣﹣﹣）＝×＝，不成立；‎ 同理可得k＝m时，（）＝（1++…+），‎ 由（1++…+）＝，‎ 即1++…+＝，可设cm＝1++…+﹣，‎ cm+1﹣cm＝﹣＜0，可得cm递减，c2＝0，‎ 可得仅有k＝2时，（）＝，‎ 故答案为：2．‎ 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．（5分）若等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，则a0+a1+a2+a3＝（　　）‎ A．2 B．﹣1 C．4 D．1‎ ‎【解答】解：等式1+x+x2+x3＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+a3（1﹣x）3对一切x∈R都成立，其中a0，a1，a2，a3为实常数，‎ 则令x＝0，可得a0+a1+a2+a3＝1，‎ 故选：D．‎ ‎14．（5分）“x∈[﹣，]是“sin（arcsin）＝x”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 ‎ C．充要 D．既非充分又非必要 ‎【解答】解：∵y＝arcsinx的定义域为[﹣1，1]，‎ ‎∴sin（arcsinx）＝x⇔x∈[﹣1，1]，‎ ‎∵x∈[﹣，]推不出x∈[﹣1，1]，‎ x∈[﹣1，1]⇒x∈[﹣，]，‎ ‎∴“x∈[﹣，]是“sin（arcsin）＝x”的必要非充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎15．（5分）关于函数f（x）＝的下列判断，其中正确的是（　　）‎ A．函数的图象是轴对称图形 ‎ B．函数的图象是中心对称图形 ‎ C．函数有最大值 ‎ D．当x＞0时，y＝f（x）是减函数 ‎【解答】解：函数f（x）＝，可得f（﹣x）＝＝f（x），函数是偶函数，所以A正确；‎ B错误；‎ 函数没有最大值，x＞2时，y＝f（x）是减函数，所以C，D错误；‎ 故选：A．‎ ‎16．（5分）设点M、N均在双曲线C：＝1上运动，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，||的最小值为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．以上都不对 ‎【解答】解：设O为F1F2的中点，则||＝|2|＝2||≥2a＝4．‎ ‎∴||的最小值为4．‎ 故选：B．‎ 三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。‎ ‎17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．‎ ‎（1）求正四棱锥E﹣ABCD的体积V；‎ ‎（2）求直线BE与平面PCD所成角θ的大小．‎ ‎【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，‎ 正方形ABCD的边长为2，PA＝4，设E为侧棱PC的中点．‎ ‎∴点E到平面ABCD的距离h＝＝＝2，‎ S正方形ABCD＝2×2＝4，‎ ‎∴正四棱锥E﹣ABCD的体积：‎ V＝＝＝．‎ ‎（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），D（0，2，0），‎ ‎＝（﹣1，1，2），＝（0，﹣2，4），＝（2，0，0），‎ 设平面PCD的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取y＝2，得＝（0，2，1），‎ ‎∵直线BE与平面PCD所成角θ，‎ ‎∴sinθ＝＝＝，‎ ‎∴θ＝arcsin．‎ ‎∴直线BE与平面PCD所成角θ为arcsin．‎ ‎18．（14分）已知函数f（x）＝，将f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位的函数y＝g（x）的图象．‎ ‎（1）若α＝，求y＝g（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若α∈（0，），y＝g（x）的一条对称轴x＝，求y＝g（x），x∈[0，]的值域．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，可得f（x）＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），‎ 由f（x）的图象向左移α（α＞0）个单位，可得g（x）＝f（x+α）＝2cos（2x+2α+），‎ ‎∵α＝，可得g（x）＝2cos（2x+），‎ 令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z．‎ 得：≤x≤，‎ 故得g（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．‎ ‎（2）由（1）可得g（x）＝2cos（2x+2α+），‎ 函数g（x）的一条对称轴x＝，‎ 即2×+2α+＝kπ，k∈Z．‎ ‎∴α＝kπ，‎ ‎∵α∈（0，），‎ ‎∴α＝，‎ 则g（x）＝2cos（2x+），‎ ‎∵x∈[0，]，‎ ‎∴2x+∈[，]，‎ ‎∴当2x+＝π时，g（x）取得最小值为﹣2；‎ ‎∴当2x+＝时，g（x）取得最大值为；‎ 故得g（x）在x∈[0，]的值域为[﹣2，]．‎ ‎19．（14分）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段．从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t（单位：小时，t∈[0，20]）近似地满足函数y＝|t﹣13|+关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量．‎ ‎（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；‎ ‎（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）y＝|t﹣13|+，‎ ‎①当t∈[0，13]时，y＝13﹣t+，此时函数单调递减，当t＝13时，ymin＝，‎ ‎②当t∈（13，20]时，y＝t﹣13+＝（t+2）+﹣15，‎ 令u＝t+2，∪（15，22]，则y＝u+﹣15，此时函数单调递增，当t＝13时，ymin＝，‎ 综上所述最低温度为≈6.7℃，‎ ‎（2）|t﹣13|+≥17，在x∈[0，20]恒成立，‎ ‎①当t∈[0，13]时，13﹣t+≥17，可得b≥（t+4）（t+2）＝（t+3）2﹣1，‎ 由于y＝（t+3）2﹣1，在t∈[0，13]单调递增，ymax＝255，‎ ‎②当t∈（13，20]时，t﹣13+≥17，可得b≥（30﹣t）（t+2）＝﹣（t﹣14）2+256‎ 由于y＝﹣（t﹣14）2+256≤255，当t＝14时取等号，‎ 综上所述，b≥256，‎ ‎∴大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．‎ ‎20．（16分）已知椭圆Γ：+y2＝1的左、右焦点为F1、F2．‎ ‎（1）求以F1为焦点，原点为顶点的抛物线方程；‎ ‎（2）若椭圆Γ上点M满足∠F1MF2＝，求M的纵坐标yM；‎ ‎（3）设N（0，1），若椭圆Γ上存在两不同点P，Q满足∠PNQ＝90°，证明直线PQ过定点并求该定点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆Γ：+y2＝1的左、右焦点为F1、F2．‎ ‎∴F1（﹣，0），‎ ‎∴以F1为焦点，原点为顶点的抛物线方程为．‎ ‎（2）∵椭圆Γ上点M满足∠F1MF2＝，‎ ‎∴＝b2tan＝，‎ 即1×tan＝×2×|yM|，‎ 解得M的纵坐标yM＝．‎ 证明：（3）设直线lPQ：y＝kx+m，（m≠1），P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ ‎∴，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，‎ ‎△＞0，，x1x2＝，‎ ‎∵∠PNQ＝90°，∴＝x1x2+y1y2﹣y1﹣y2+1＝0，‎ ‎∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）﹣（kx1+m）﹣（kx2+m）﹣（kx1+m）﹣（kx2+m）+1＝0，‎ ‎∴（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，‎ ‎∴（5m+3）（m﹣1）＝0，‎ ‎∵m≠1，∴m＝﹣，‎ ‎∴直线PQ：y＝kx﹣过定点（0，﹣）．‎ ‎21．（18分）如果数列{an}对于任意n∈N*，都有an+2﹣an＝d，其中d为常数，则称数列{an}是“间等差数列”，d为“间公差”，若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，a1＝a（a∈R）．‎ ‎（1）求证：数列{an}是“间等差数列”，并求间公差d；‎ ‎（2）设Sn为数列{an}的前n项和，若Sn的最小值为﹣153，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）类似地：非常数列{bn}对于任意n∈N*，都有＝q，其中q为常数，则称数列{bn}是“间等比数列”，q为“间公比”．已如数列{cn}中，满足c1＝k（k≠0，k∈Z），cncn+1＝2018•（）n﹣1，n∈N*，试问数列{cn}是否为“间等比数列”，若是，求最大整数k使得对于任意n∈N*，都有cn＞cn+1；若不是，说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，‎ 则：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35，‎ 两式相减得：an+2﹣an＝2．‎ 故：数列{an}是“间等差数列”，公差d＝2．‎ ‎（2）（i）当n＝2k时，‎ ‎（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an），‎ ‎＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37），‎ ‎＝‎ 易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．‎ ‎（ii）当n＝2k+1时，‎ Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an），‎ ‎＝a1+（﹣33）+（﹣29）+…+（2n﹣37），‎ ‎＝，‎ 当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，‎ 要使其最小值为﹣153，‎ 则：a﹣136≥﹣153，‎ 解得：a≥﹣17．‎ ‎（3）易知：cncn+1＝2018•（）n﹣1，‎ 则：cn+1cn+2＝2018•（）n，‎ 两式相除得：，‎ 故数列{cn}为“间等比数列”，‎ 其间等比为．，‎ 易求出数列的通项公式为：，‎ 由于：cn＞cn+1，‎ 则：数列单调递减．‎ 那么，奇数项和偶数项都为单调递减，‎ 所以：k＞0．‎ 要使数列为单调递减数列．只需c2m﹣1＞c2m＞c2m+1，‎ 即：，‎ 解得：，‎ 所以k的最大值为63．‎ 函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型．‎ 日期：2019/3/13 9:41:40；‎