上海市宝山区高考数学一模试卷含解析

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上海市宝山区高考数学一模试卷含解析

‎2019年上海市宝山区高考数学一模试卷 一、填空题(本题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分。‎ ‎1.(4分)函数f(x)=sin(﹣2x)的最小正周期为   .‎ ‎2.(4分)集合U=R,集合A={x|x﹣3>0},B={x|x+1>0},则B∩∁UA=   .‎ ‎3.(4分)若复数z满足(1+i)z=2i(i是虚数单位),则=   .‎ ‎4.(4分)方程ln(9x+3x﹣1)=0的根为   .‎ ‎5.(4分)从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务,若每个班级至少有一名代表,则各班级的代表数有   种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎6.(4分)关于x,y的二元一次方程的增广矩阵为,则x+y=   .‎ ‎7.(5分)如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍,则公比q=   .‎ ‎8.(5分)函数y=f(x)与y=lnx的图象关于直线y=﹣x对称,则f(x)=   .‎ ‎9.(5分)已知A(2,3),B(1,4),且=(sinx,cosy),x,y∈(﹣,),则x+y=   .‎ ‎10.(5分)将函数y=﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是   .‎ ‎11.(5分)张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知b=2,∠A=45°,求边c,显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c只有一解,a的可能取值是   (只需填写一个适合的答案)‎ ‎12.(5分)如果等差数列{an},{bn}的公差都为d(d≠0),若满足对于任意n∈N*,都有bn﹣an=kd,其中k为常数,k∈N*,则称它们互为同宗”数列.已知等差数列{an}中,首项a1=1,公差d=2,数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列,若()=,则k=   .‎ 二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.(5分)若等式1+x+x2+x3=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+a3(1﹣x)3对一切x∈R都成立,其中a0,a1,a2,a3为实常数,则a0+a1+a2+a3=(  )‎ A.2 B.﹣1 C.4 D.1‎ ‎14.(5分)“x∈[﹣,]是“sin(arcsin)=x”的(  )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 ‎ C.充要 D.既非充分又非必要 ‎15.(5分)关于函数f(x)=的下列判断,其中正确的是(  )‎ A.函数的图象是轴对称图形 ‎ B.函数的图象是中心对称图形 ‎ C.函数有最大值 ‎ D.当x>0时,y=f(x)是减函数 ‎16.(5分)设点M、N均在双曲线C:=1上运动,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,||的最小值为(  )‎ A.2 B.4 C.2 D.以上都不对 三、解答题(本题满分76分)本大题共有5题,解答下列名题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤。‎ ‎17.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.‎ ‎(1)求正四棱锥E﹣ABCD的体积V;‎ ‎(2)求直线BE与平面PCD所成角θ的大小.‎ ‎18.(14分)已知函数f(x)=,将f(x)的图象向左移α(α>0)个单位的函数y=g(x)的图象.‎ ‎(1)若α=,求y=g(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α∈(0,),y=g(x)的一条对称轴x=,求y=g(x),x∈[0,]的值域.‎ ‎19.(14分)某温室大棚规定:一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度y(单位:度)与时间t(单位:小时,t∈[0,20])近似地满足函数y=|t﹣13|+关系,其中,b为大棚内一天中保温时段的通风量.‎ ‎(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1℃);‎ ‎(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值.‎ ‎20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点为F1、F2.‎ ‎(1)求以F1为焦点,原点为顶点的抛物线方程;‎ ‎(2)若椭圆Γ上点M满足∠F1MF2=,求M的纵坐标yM;‎ ‎(3)设N(0,1),若椭圆Γ上存在两不同点P,Q满足∠PNQ=90°,证明直线PQ过定点并求该定点的坐标.‎ ‎21.(18分)如果数列{an}对于任意n∈N*,都有an+2﹣an=d,其中d为常数,则称数列{an}是“间等差数列”,d为“间公差”,若数列{an}满足an+an+1=2n﹣35,n∈N*,a1=a(a∈R).‎ ‎(1)求证:数列{an}是“间等差数列”,并求间公差d;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn的最小值为﹣153,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)类似地:非常数列{bn}对于任意n∈N*,都有=q,其中q为常数,则称数列{bn}是“间等比数列”,q为“间公比”.已如数列{cn}中,满足c1=k(k≠0,k∈Z),cncn+1‎ ‎=2018•()n﹣1,n∈N*,试问数列{cn}是否为“间等比数列”,若是,求最大整数k使得对于任意n∈N*,都有cn>cn+1;若不是,说明理由.‎ ‎2019年上海市宝山区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分。‎ ‎1.(4分)函数f(x)=sin(﹣2x)的最小正周期为 π .‎ ‎【解答】解:函数f(x)=sin(﹣2x)的最小正周期为==π,‎ 故答案为:π.‎ ‎2.(4分)集合U=R,集合A={x|x﹣3>0},B={x|x+1>0},则B∩∁UA= (﹣1,3] .‎ ‎【解答】解:∵集合U=R,集合A={x|x﹣3>0}={x|x>3},‎ B={x|x+1>0}={x|x>﹣1},‎ ‎∴∁UA={x|x≤3},‎ ‎∴B∩∁UA={x|﹣1<x≤3}=(﹣1,3].‎ 故答案为:(﹣1,3].‎ ‎3.(4分)若复数z满足(1+i)z=2i(i是虚数单位),则= 1﹣i .‎ ‎【解答】解:∵(1+i)z=2i,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故答案为:1﹣i.‎ ‎4.(4分)方程ln(9x+3x﹣1)=0的根为 0 .‎ ‎【解答】解:根据题意,ln(9x+3x﹣1)=0,即9x+3x﹣1=1,‎ 令t=3x,(t>0),则有t2+t﹣2=0,‎ 解可得t=1或﹣2;‎ 又由t>0,则有t=1,即3x=1,解可得x=0,‎ 故答案为:0.‎ ‎5.(4分)从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务,若每个班级至少有一名代表,则各班级的代表数有 20 种不同的选法.(用数字作答)‎ ‎【解答】解:由题意,4个班级的学生中选出7名学生代表,‎ 每一个班级中至少有一名代表,‎ 相当于7个球排成一排,然后插3块木板把它们分成4份,即中间6个空位,选3个插板,分成四份,总的分法有C63=20‎ 故答案为:20.‎ ‎6.(4分)关于x,y的二元一次方程的增广矩阵为,则x+y= ﹣8 .‎ ‎【解答】解:由二元一次方程组的增广矩阵为,‎ 则二元一次方程组为:,两式相减可得:x+y=﹣8‎ 故答案为:﹣8.‎ ‎7.(5分)如果无穷等比数列{an}所有奇数项的和等于所有项和的3倍,则公比q=  .‎ ‎【解答】解:由题意可知,所有项和S=,‎ 奇数项的和S奇=,‎ ‎∴,‎ 解可得,q=﹣‎ 故答案为:﹣‎ ‎8.(5分)函数y=f(x)与y=lnx的图象关于直线y=﹣x对称,则f(x)= ﹣e﹣x .‎ ‎【解答】解:设点(x,y)在y=f(x)的图象上,则(x,y)关于直线y=﹣x对称的点(﹣y,﹣x)在y=lnx的图象上,‎ 得到﹣x=ln(﹣y),‎ ‎∴﹣y=e﹣x,‎ ‎∴y=﹣e﹣x,‎ f(x)=﹣e﹣x ‎,故答案为:﹣e﹣x.‎ ‎9.(5分)已知A(2,3),B(1,4),且=(sinx,cosy),x,y∈(﹣,),则 x+y= 或﹣ .‎ ‎【解答】解:=(﹣1,1),∵=(sinx,cosy),‎ ‎∴sinx=﹣,cosy=,‎ ‎∵x,y∈(﹣,),‎ ‎∴x=﹣,y=或﹣.‎ ‎∴x+y=或﹣.‎ 故答案为或﹣.‎ ‎10.(5分)将函数y=﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是  .‎ ‎【解答】解:∵函数y=﹣的图象是圆x2+y2=1,y≤0,是半径为1的下半圆,‎ ‎∴将函数y=﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以R=1为半径的半球体,‎ ‎∴将函数y=﹣的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是:‎ V==.‎ 故答案为:.‎ ‎11.(5分)张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清,只能看到:在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知b=2,∠A=45°,求边c,显然缺少条件,若他打算补充a的大小,并使得c只有一解,a的可能取值是 2 (只需填写一个适合的答案)‎ ‎【解答】解:由已知及正弦定理,可得=,‎ 可得sinB=∈{1}∪(0,],可得:a={2}∪[2,+∞).‎ 可得a的可能取值是2.‎ 故答案为:2.‎ ‎12.(5分)如果等差数列{an},{bn}的公差都为d(d≠0),若满足对于任意n∈N*,都有bn ‎﹣an=kd,其中k为常数,k∈N*,则称它们互为同宗”数列.已知等差数列{an}中,首项a1=1,公差d=2,数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列,若()=,则k= 2 .‎ ‎【解答】解:由等差数列{an}中,首项a1=1,公差d=2,‎ 可得an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,‎ 数列{bn}为数列{an}的“同宗”数列,‎ 可得bn=an+2k=2n﹣1+2k,‎ 由==(﹣),‎ 则=(1﹣+﹣+…+﹣),‎ 当k=1时,若()=(1﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=(1﹣)=,不成立;‎ 当k=2时,()=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=(1+﹣﹣)=×=,成立;‎ 当k=3时,()=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)‎ ‎=(1++﹣﹣﹣)=×=,不成立;‎ 同理可得k=m时,()=(1++…+),‎ 由(1++…+)=,‎ 即1++…+=,可设cm=1++…+﹣,‎ cm+1﹣cm=﹣<0,可得cm递减,c2=0,‎ 可得仅有k=2时,()=,‎ 故答案为:2.‎ 二、选择题(本题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.(5分)若等式1+x+x2+x3=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+a3(1﹣x)3对一切x∈R都成立,其中a0,a1,a2,a3为实常数,则a0+a1+a2+a3=(  )‎ A.2 B.﹣1 C.4 D.1‎ ‎【解答】解:等式1+x+x2+x3=a0+a1(1﹣x)+a2(1﹣x)2+a3(1﹣x)3对一切x∈R都成立,其中a0,a1,a2,a3为实常数,‎ 则令x=0,可得a0+a1+a2+a3=1,‎ 故选:D.‎ ‎14.(5分)“x∈[﹣,]是“sin(arcsin)=x”的(  )条件 A.充分非必要 B.必要非充分 ‎ C.充要 D.既非充分又非必要 ‎【解答】解:∵y=arcsinx的定义域为[﹣1,1],‎ ‎∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[﹣1,1],‎ ‎∵x∈[﹣,]推不出x∈[﹣1,1],‎ x∈[﹣1,1]⇒x∈[﹣,],‎ ‎∴“x∈[﹣,]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎15.(5分)关于函数f(x)=的下列判断,其中正确的是(  )‎ A.函数的图象是轴对称图形 ‎ B.函数的图象是中心对称图形 ‎ C.函数有最大值 ‎ D.当x>0时,y=f(x)是减函数 ‎【解答】解:函数f(x)=,可得f(﹣x)==f(x),函数是偶函数,所以A正确;‎ B错误;‎ 函数没有最大值,x>2时,y=f(x)是减函数,所以C,D错误;‎ 故选:A.‎ ‎16.(5分)设点M、N均在双曲线C:=1上运动,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,||的最小值为(  )‎ A.2 B.4 C.2 D.以上都不对 ‎【解答】解:设O为F1F2的中点,则||=|2|=2||≥2a=4.‎ ‎∴||的最小值为4.‎ 故选:B.‎ 三、解答题(本题满分76分)本大题共有5题,解答下列名题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤。‎ ‎17.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,正方形ABCD的边长为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.‎ ‎(1)求正四棱锥E﹣ABCD的体积V;‎ ‎(2)求直线BE与平面PCD所成角θ的大小.‎ ‎【解答】解:(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,‎ 正方形ABCD的边长为2,PA=4,设E为侧棱PC的中点.‎ ‎∴点E到平面ABCD的距离h===2,‎ S正方形ABCD=2×2=4,‎ ‎∴正四棱锥E﹣ABCD的体积:‎ V===.‎ ‎(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 则B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,4),E(1,1,2),D(0,2,0),‎ ‎=(﹣1,1,2),=(0,﹣2,4),=(2,0,0),‎ 设平面PCD的法向量=(x,y,z),‎ 则,取y=2,得=(0,2,1),‎ ‎∵直线BE与平面PCD所成角θ,‎ ‎∴sinθ===,‎ ‎∴θ=arcsin.‎ ‎∴直线BE与平面PCD所成角θ为arcsin.‎ ‎18.(14分)已知函数f(x)=,将f(x)的图象向左移α(α>0)个单位的函数y=g(x)的图象.‎ ‎(1)若α=,求y=g(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若α∈(0,),y=g(x)的一条对称轴x=,求y=g(x),x∈[0,]的值域.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,可得f(x)=cos2x﹣sin2x=2cos(2x+),‎ 由f(x)的图象向左移α(α>0)个单位,可得g(x)=f(x+α)=2cos(2x+2α+),‎ ‎∵α=,可得g(x)=2cos(2x+),‎ 令2kπ﹣π≤2x+≤2kπ,k∈Z.‎ 得:≤x≤,‎ 故得g(x)的单调递增区间为[,],k∈Z.‎ ‎(2)由(1)可得g(x)=2cos(2x+2α+),‎ 函数g(x)的一条对称轴x=,‎ 即2×+2α+=kπ,k∈Z.‎ ‎∴α=kπ,‎ ‎∵α∈(0,),‎ ‎∴α=,‎ 则g(x)=2cos(2x+),‎ ‎∵x∈[0,],‎ ‎∴2x+∈[,],‎ ‎∴当2x+=π时,g(x)取得最小值为﹣2;‎ ‎∴当2x+=时,g(x)取得最大值为;‎ 故得g(x)在x∈[0,]的值域为[﹣2,].‎ ‎19.(14分)某温室大棚规定:一天中,从中午12点到第二天上午8点为保温时段,其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时,得出此温室大棚的温度y(单位:度)与时间t(单位:小时,t∈[0,20])近似地满足函数y=|t﹣13|+关系,其中,b为大棚内一天中保温时段的通风量.‎ ‎(1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变,求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1℃);‎ ‎(2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17℃,求大棚一天中保温时段通风量的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)y=|t﹣13|+,‎ ‎①当t∈[0,13]时,y=13﹣t+,此时函数单调递减,当t=13时,ymin=,‎ ‎②当t∈(13,20]时,y=t﹣13+=(t+2)+﹣15,‎ 令u=t+2,∪(15,22],则y=u+﹣15,此时函数单调递增,当t=13时,ymin=,‎ 综上所述最低温度为≈6.7℃,‎ ‎(2)|t﹣13|+≥17,在x∈[0,20]恒成立,‎ ‎①当t∈[0,13]时,13﹣t+≥17,可得b≥(t+4)(t+2)=(t+3)2﹣1,‎ 由于y=(t+3)2﹣1,在t∈[0,13]单调递增,ymax=255,‎ ‎②当t∈(13,20]时,t﹣13+≥17,可得b≥(30﹣t)(t+2)=﹣(t﹣14)2+256‎ 由于y=﹣(t﹣14)2+256≤255,当t=14时取等号,‎ 综上所述,b≥256,‎ ‎∴大棚一天中保温时段通风量的最小值为256.‎ ‎20.(16分)已知椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点为F1、F2.‎ ‎(1)求以F1为焦点,原点为顶点的抛物线方程;‎ ‎(2)若椭圆Γ上点M满足∠F1MF2=,求M的纵坐标yM;‎ ‎(3)设N(0,1),若椭圆Γ上存在两不同点P,Q满足∠PNQ=90°,证明直线PQ过定点并求该定点的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点为F1、F2.‎ ‎∴F1(﹣,0),‎ ‎∴以F1为焦点,原点为顶点的抛物线方程为.‎ ‎(2)∵椭圆Γ上点M满足∠F1MF2=,‎ ‎∴=b2tan=,‎ 即1×tan=×2×|yM|,‎ 解得M的纵坐标yM=.‎ 证明:(3)设直线lPQ:y=kx+m,(m≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ ‎∴,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,‎ ‎△>0,,x1x2=,‎ ‎∵∠PNQ=90°,∴=x1x2+y1y2﹣y1﹣y2+1=0,‎ ‎∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)﹣(kx1+m)﹣(kx2+m)﹣(kx1+m)﹣(kx2+m)+1=0,‎ ‎∴(1+k2)x1x2+k(m﹣1)(x1+x2)+(m﹣1)2=0,‎ ‎∴(5m+3)(m﹣1)=0,‎ ‎∵m≠1,∴m=﹣,‎ ‎∴直线PQ:y=kx﹣过定点(0,﹣).‎ ‎21.(18分)如果数列{an}对于任意n∈N*,都有an+2﹣an=d,其中d为常数,则称数列{an}是“间等差数列”,d为“间公差”,若数列{an}满足an+an+1=2n﹣35,n∈N*,a1=a(a∈R).‎ ‎(1)求证:数列{an}是“间等差数列”,并求间公差d;‎ ‎(2)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn的最小值为﹣153,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)类似地:非常数列{bn}对于任意n∈N*,都有=q,其中q为常数,则称数列{bn}是“间等比数列”,q为“间公比”.已如数列{cn}中,满足c1=k(k≠0,k∈Z),cncn+1=2018•()n﹣1,n∈N*,试问数列{cn}是否为“间等比数列”,若是,求最大整数k使得对于任意n∈N*,都有cn>cn+1;若不是,说明理由.‎ ‎【解答】(1)证明:若数列{an}满足an+an+1=2n﹣35,n∈N*,‎ 则:an+1+an+2=2(n+1)﹣35,‎ 两式相减得:an+2﹣an=2.‎ 故:数列{an}是“间等差数列”,公差d=2.‎ ‎(2)(i)当n=2k时,‎ ‎(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an﹣1+an),‎ ‎=﹣33﹣29+…+(2n﹣37),‎ ‎=‎ 易知:当n=18时,最小值S18=﹣153.‎ ‎(ii)当n=2k+1时,‎ Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an﹣1+an),‎ ‎=a1+(﹣33)+(﹣29)+…+(2n﹣37),‎ ‎=,‎ 当n=17时最小,其最小值为S17=a﹣136,‎ 要使其最小值为﹣153,‎ 则:a﹣136≥﹣153,‎ 解得:a≥﹣17.‎ ‎(3)易知:cncn+1=2018•()n﹣1,‎ 则:cn+1cn+2=2018•()n,‎ 两式相除得:,‎ 故数列{cn}为“间等比数列”,‎ 其间等比为.,‎ 易求出数列的通项公式为:,‎ 由于:cn>cn+1,‎ 则:数列单调递减.‎ 那么,奇数项和偶数项都为单调递减,‎ 所以:k>0.‎ 要使数列为单调递减数列.只需c2m﹣1>c2m>c2m+1,‎ 即:,‎ 解得:,‎ 所以k的最大值为63.‎ 函数的单调性的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于中档题型.‎ 日期:2019/3/13 9:41:40;‎
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