辽宁高考数学文科试卷带详解

辽宁高考数学文科试卷带详解

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A={x}，B={x}，则AB= ( )‎ A. {x} B. {x} C. {x} D. {x}‎ ‎【测量目标】集合的基本运算（交集）.‎ ‎【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】利用数轴可以得到AB={x}{x}={x}.‎ ‎2．为虚数单位， ( )‎ A. 0 B. ‎2‎ C. D. 4‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】.‎ ‎3．已知向量，，，则 ( )‎ A. B. C. 6 D. 12‎ ‎【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.‎ ‎【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数.‎ ‎【参考答案】D ‎【试题解析】因为，所以．（步骤1）‎ 又，所以，得．（步骤2）‎ ‎4．已知命题P：n∈，2n＞1000，则为 ( )‎ A. n∈，2n≤1000 B. n∈，2n＞1000‎ C. n∈，2n≤1000 D. n∈，2n＜1000‎ ‎【测量目标】全称命题和特称命题的否定. ‎ ‎【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A ‎5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 ( )‎ A. 2 B. ‎4 C. 8 D. 16‎ ‎【测量目标】等比数列的性质.‎ ‎【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设等比数列{an}的公比为，,，（步骤1）‎ ‎∴（步骤2）‎ ‎6．若函数为奇函数，则a= ( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【测量目标】函数奇偶性的综合应用.‎ ‎【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数.‎ ‎【参考答案】A ‎【试题解析】∵ 函数为奇函数,‎ ‎∴，解得.‎ ‎7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )‎ A. B. ‎1 ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】抛物线的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】设 A，B两点的横坐标分别为则由 及抛物线的定义可知, (步骤1) ‎ ‎∴（步骤2）‎ 即线段AB的中点到y轴的距离为（步骤3）‎ ‎8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )‎ A. 4 B. C. 2 D.‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.‎ ‎【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设棱长为，由体积为可列等式，，（步骤1）‎ 所求矩形的底边长为，这个矩形的面积是．（步骤2）‎ ‎9．执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是 ( )‎ A. 8 B. ‎5 C. 3 D. 2‎ ‎【测量目标】选择结构的程序框图.‎ ‎【考查方式】考查循环结构的流程图， 注意循环条件的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的的值．‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】若输入n=4，则执行s=0，t=1，k=1，p=1，判断1<4成立，进行第一次循环；（步骤1）‎ ‎ ‎ p=2，s=1，t=2，k=2，判断2<4成立，进行第二次循环；（步骤2）‎ p=3，s=2，t=2，k=3，判断3<4成立，进行第三次循环；（步骤3）‎ p=4，s=2，t=4，k=4，判断4<4不成立，故输出p=4（步骤4）.‎ ‎10．已知球的直径是该球球面上的两点， ，则棱锥的体积为 ( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】球体和三棱锥的体积.‎ ‎【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.‎ ‎【参考答案】C ‎【试题解析】设球心为，则是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边故，(步骤1)‎ 且有，．‎ ‎∴=．（步骤2）‎ ‎11．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ( )‎ A.（，1） B.（，+） C.（，） D.（，+）‎ ‎【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.‎ ‎【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】设 , . （步骤1）‎ 因为对任意，，所以对任意，，则函数g(x)在R上单调递增. （步骤2）‎ 又因为g(1)=，故,即的解集为（步骤3）‎ ‎12．已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则 ( )‎ A. 2+ B. ‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】=Atan（x+）的图象及性质.‎ ‎【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.‎ ‎【参考答案】B ‎【试题解析】如图可知，即，所以，（步骤1）‎ 再结合图像可得，即，所以，（步骤2）‎ 只有，所以，又图像过点（0，1），代入得Atan=1，所以A=1，函数的解析式为，则. （步骤3）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．‎ ‎【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.‎ ‎【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】直线AB的斜率是，中点坐标是.故直线AB的中垂线方程，（步骤1）‎ 由得圆心坐标，,故圆的方程为.（步骤2）‎ ‎14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．‎ ‎【测量目标】回归直线方程的实际应用.‎ ‎【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解．‎ ‎【参考答案】0.254‎ ‎【试题解析】由于，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．‎ ‎15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________．‎ ‎【测量目标】等差数列的综合应用.‎ ‎【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】设等差数列的公差为，解方程组得， (步骤1) ‎ ‎（步骤2）‎ ‎16．已知函数有零点，则的取值范围是___________．‎ ‎【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系..‎ ‎【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围.‎ ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】函数有零点等价于 即有解. 等价于有解. (步骤1） 令，‎ ‎∴.当时，；当时，.（步骤2）‎ ‎∴当时，取到最大值，∴的取值范围是.（步骤3）‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos‎2A=a．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若c2=b2+a2，求B．‎ ‎【测量目标】正弦定理和余弦定理.‎ ‎【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.‎ ‎【试题解析】（I）由正弦定理得，，即 ‎ (步骤1）‎ 故所以(步骤2）………………6分 ‎ （II）由余弦定理和(步骤1）‎ 由（I）知故(步骤2）‎ 可得又故所以. (步骤3） …………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形, QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：PQ⊥平面DCQ；‎ ‎（II）求棱锥的的体积与棱锥的体积的比值．‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.‎ ‎【考查方式】线线垂直线面垂直, 给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）由条件知四边形PDAQ为直角梯形 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. ‎ 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. (步骤1）‎ 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD (步骤2）‎ 所以PQ⊥平面DCQ. (步骤3） ………………6分 ‎ （II）设AB=a.‎ 由题设知AQ为棱锥的高，所以棱锥的体积 (步骤1）‎ 由（I）知PQ为棱锥的高，而PQ=，△DCQ的面积为，‎ 所以棱锥的体积为(步骤2）‎ 故棱锥的体积与棱锥的体积的比值为1 (步骤3）.……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；‎ ‎（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎【测量目标】简单随机抽样，随机事件的概率，用平均数和方差估计总体的数字特征.‎ ‎【考查方式】列出基本事件数，从而得出概率; 根据两类个体的平均数和方差来相互比较作出优化选择.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，‎ 令事件A=“第一大块地都种品种甲”.‎ 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；‎ ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.（步骤1）‎ 而事件A包含1个基本事件：（1，2）.‎ 所以（步骤2）………………6分 ‎（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ‎ ‎（步骤1） ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎（步骤2） ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （步骤3）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 设函数=x+ax2+blnx，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.‎ ‎（I）求a，b的值；‎ ‎（II）证明：.‎ ‎【测量目标】函数的单调性和导数的关系，极值，不等式的证明.‎ ‎【考查方式】给出点坐标和切点斜率代入解析式中求出各参数，利用函数的单调性和导数来证明不等式.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I） （步骤1） …………2分 由已知条件得即解得 ‎（步骤2） ………………5分 ‎ （II），由（I）知（步骤1）‎ 设则 ‎（步骤2）‎ 所以在单调增加，在单调减少. ‎ 而（步骤3） …………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（I）设，求与的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎【测量目标】椭圆方程，直线斜率，直线与椭圆的位置关系，直线与直线的平行，不等式的应用.‎ ‎【考查方式】给出两椭圆之间的线段关系，进而设出椭圆和直线方程，求出对应线段的比例关系；将平行直线转化为斜率相等的条件，代入式后求出离心率的范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得 ‎ （步骤1）………………4分 当表示A，B的纵坐标，可知 ‎ （步骤2）………………6分 ‎ （II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 解得 (步骤1)‎ 因为 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；‎ 当时，存在直线l使得BO//AN. （步骤2） ………………12分 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．‎ ‎（I）证明：CD//AB；‎ ‎（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．‎ ‎【测量目标】直线与圆的位置关系，直线的平行.‎ ‎ ‎ ‎【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行；结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ （I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.（步骤1）‎ 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.（步骤2）‎ 故∠ECD=∠EBA，‎ 所以CD//AB. （步骤3）…………5分 ‎ （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC. (步骤1)‎ 连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，（步骤2）‎ ‎ ‎ 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.‎ 所以∠AFG+∠GBA=180°.‎ 故A，B，G，F四点共圆 （步骤3）…………10分 ‎23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；‎ ‎（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A‎1A2B2B1的面积．‎ ‎【测量目标】圆和椭圆的参数方程，梯形的面积.‎ ‎【考查方式】根据射线与圆和椭圆的位置关系求出参数方程 中各参数，进而求出交点横坐标由此得出梯形的面积.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ （I）C1是圆，C2是椭圆.（步骤1）‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.（步骤2）‎ ‎ （II）C1，C2的普通方程分别为（步骤1）‎ ‎ 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 ‎ ‎ 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，（步骤2）‎ 因此，四边形A‎1A2B2B1为梯形. ‎ 故四边形A‎1A2B2B1的面积为 （步骤3）…………10分 ‎24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数=|||．‎ ‎（I）证明： ；‎ ‎（II）求不等式≥x2x+15的解集．‎ ‎【测量目标】不等式的证明，分段函数和集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.‎ ‎【试题解析】‎ ‎ （I）(步骤1)‎ ‎ 当 ‎ 所以 （步骤2）………………5分 ‎ （II）由（I）可知，‎ ‎ 当的解集为空集；‎ ‎ 当；‎ ‎ 当.（步骤1）‎ ‎ 综上，不等式 ‎（步骤2）…………10分