高考数学一轮复习不等关系与不等式

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高考数学一轮复习不等关系与不等式

‎2019年高考数学一轮复习:不等关系与不等式 不等关系与不等式 ‎1.两个实数大小的比较 ‎(1)a>b⇔a-b________;‎ ‎(2)a=b⇔a-b________;‎ ‎(3)a<b⇔a-b________.‎ ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性:a>b⇔__________;‎ ‎(2)传递性:a>b,b>c⇒__________;‎ ‎(3)不等式加等量:a>b⇔a+c______b+c;‎ ‎(4)不等式乘正量:a>b,c>0⇒__________,‎ 不等式乘负量:a>b,c<0⇒__________;‎ ‎(5)同向不等式相加:a>b,c>d⇒__________;‎ ‎※(6)异向不等式相减:a>b,cb>0,c>d>0⇒__________;‎ ‎※(8)异向不等式相除:a>b>0,0b,ab>0⇒<;‎ ‎(10)不等式的乘方:a>b>0⇒______________;‎ ‎(11)不等式的开方:a>b>0⇒______________.‎ ‎※注:(5)(6)说明,同向不等式可相加,但不可相减,而异向不等式可相减;(7)(8)说明,都是正数的同向不等式可相乘,但不可相除,而都是正数的异向不等式可相除.‎ 自查自纠 ‎1.>0 =0 <0‎ ‎2.(1)bc (3)> (4)ac>bc acb+d (7)ac>bd ‎(10)an>bn(n∈N且n≥2)‎ ‎(11)>(n∈N且n≥2)‎ ‎                      ‎ ‎ (教材题改编)若-1<a<b<1,则(  )‎ A.-2<a-b<0 B.-2<a-b<-1‎ C.-1<a-b<0 D.-1<a-b<1‎ 解:-1<a<1,-1<-b<1⇒-2<a-b<2.又a<b,则-2<a-b<0.故选A.‎ ‎ (2016·四川成都模拟)若a<b<0,则下列不等式中一定成立的是(  )‎ A.< B.< C.a+<b+ D.< 解:因为a<b<0,所以b-a>0,ab>0,-=>0,因此A错误;由函数f(x)=是减函数知>,B错误;由-=(a-b)<0知C正确.或用特值法,取a=-2,b=-1,排除A,B,D.故选C.‎ ‎ (2016·贵州模拟)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 解:由->0得a>b≥0,由a2-b2>0得a2>b2,即|a|>|b|,所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎ 已知a=2,b=+2,则a,b的大小关系是a_______b.‎ 解:由于a=2,b=+2,平方作差得a2-b2=28-14-8=14-8=8>0,从而a>b.故填>.‎ ‎ (2017·北京)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.‎ 解:a,b,c是实数,若a>b>c>0,不等式a+b>c成立;a,b,c是实数,若a>0>b>c,不等式a+b>c成立;a,b,c是实数,若0>a>b>c,a+b=c,不等式a+b>c不成立,一组整数a,b,c的值为负数,依次为-1,-2,-3.故填-1,-2,-3.‎ 类型一 建立不等关系 ‎ (2016·湖南模拟)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于108 m2,靠墙的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.‎ 解:设矩形靠墙的一边长为x m,‎ 则另一边长为 m,即 m,‎ 根据题意知 ‎ 故填 ‎【点拨】解决有关不等关系的实际问题,应抓住关键字词,例如“要”“必须”“不少于”“大于”等,从而建立相应的方程或不等式模型.‎ ‎ (2015·湖北改编)设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,若[t2]=4,则实数t的取值范围是________.‎ 解:由已知有4≤t2<5,所以2≤t<或-<t≤-2.‎ 故填(-,-2]∪[2,).‎ 类型二 不等式的性质 ‎ 下列说法正确的是(  )‎ A.a,b∈R,且a>b,则a2>b2‎ B.若a>b,c>d,则 > C.a,b∈R,且ab≠0,则+≥2‎ D.a,b∈R,且a>|b|,则an>bn(n∈N*)‎ 解:当a=0,b<0时A选项不正确;‎ 当a>0>b,0>c>d时,<0,>0,所以B选项不正确;‎ 当ab<0时,<0,<0,所以C选项不正确.‎ D正确.故选D.‎ ‎【点拨】运用不等式性质解题时,先从各个代数式的正负性考虑问题,直接判断各式大小;当各个代数式的正负性一致时,可考虑用不等式的性质进行证明,得出正确选项.‎ ‎ 若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.< 解:由c<d<0⇒->->0,又a>b>0,故由不等式性质,得->->0,所以<.故选D.‎ 类型三 不等式性质的应用 ‎ (1)若1<α<3,-4<β<2,则-β的取值范围是________.‎ 解:由1<α<3得<<,由-4<β<2得-2<-β<4,所以-β的取值范围是.故填.‎ ‎【点拨】①需要注意的是,两同向不等式可以相加但不可以相减,所以不能直接由<<和-4<β<2两式相减来得到-β的范围.②此类题目用线性规划也可解.‎ ‎(2)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是________.‎ 解:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),‎ 所以解得 所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.‎ 所以-<(a+b)-(a-b)<,‎ 即-<2a+3b<.故填.‎ ‎【点拨】由于a+b,a-b的范围已知,所以要求2a+3b的取值范围,只需将2a+3b用已知量a+b,a-b表示出来,可设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),‎ 用待定系数法求出x,y,再利用同向不等式的可加性求解.‎ ‎ (1)若角α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是________.‎ 解:因为-<α<β<,所以-<α<,-<β<,-<-β<,而α<β,所以-π<α-β<0,所以2α-β=(α-β)+α∈.故填.‎ ‎(2)(2016·云南模拟)若-1≤lg≤2,1≤lg(xy)≤4,则lg的取值范围是________.‎ 解:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2,‎ 得1≤lgx+lgy≤4,-1≤lgx-lgy≤2,‎ 则lg=2lgx-lgy=(lgx+lgy)+(lgx-lgy),‎ 所以-1≤lg≤5.故填[-1,5].‎ 类型四 比较大小 ‎ (2016·武汉模拟)已知a1≤a2,b1≥b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是________.‎ 解:a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2),因为a1≤a2,b1≥b2,所以a1-a2≤0,b1-b2≥0,于是(a1-a2)(b1-b2)≤0,故a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.故填a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1.‎ ‎【点拨】作差(商)比较法的步骤是:①作差(商);②变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等;③判断符号(判断商和“1”的大小关系);④作出结论.‎ ‎ 已知a<0,-1ab>ab2 B.ab2>ab>a C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a 解:由于每个式子中都有a,故先比较1,b,b2的大小.因为-1ab2>a.故选D.‎ ‎1.理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质,是解不等式和证明不等式的依据和基础.‎ ‎2.一般数学结论都有前提,不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前,一定要准确把握前提条件,一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.‎ ‎3.不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种,前者一般是证明不等式的理论基础,后者一般是解不等式的理论基础.‎ ‎4.利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意:“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形,若多次使用,则有可能使取值范围扩大,解决这一问题的方法是:先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再一次性的运用这种变形,即可求得正确的待求整体的范围.‎ ‎5.比较两个实数的大小,有作差法和作商法两种方法.一般多用作差法,注意当这两个数都是正数时,才可以用作商法.作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系;作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系.‎ ‎6.对于实际问题中的不等量关系,还要注意实际问题对各个参变数的限制.‎ ‎                    ‎ ‎1.(2016·宜昌模拟)设a,b,c∈R,且a>b,则(  )‎ A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a3>b3‎ 解:A选项,当c<0时,ac0>b时,显然B不正确;C选项,当a=1,b=-2时,a2b时,有a3>b3,D正确.故选D.‎ ‎2.(2015·浙江)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 ‎ B.必要不充分条件 C.充要条件 ‎ D.既不充分也不必要条件 解:若a+b>0,取a=3,b=-2,则ab>0不成立;反之,若a=-2,b=-3,则a+b>0也不成立,因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件.故选D.‎ ‎3.(北京丰台区2017届高三上学期期末)已知a>b>0,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.|a|<|b| B.> C.> D.lna>lnb 解:取a=2,b=1,则2=|a|>|b|=1,=<=1,a=2=<=1,lna=ln2>0=ln1=lnb.故选D.‎ ‎4.(2016·山东烟台期中检测)下列四个命题中,为真命题的是(  )‎ A.若a>b,则ac2>bc2‎ B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若a>|b|,则a2>b2‎ D.若a>b,则< 解:当c=0时,A不成立;2>1,3>-1,而2-3<1-(-1),故B不成立;a=2,b=-1时,D不成立;由a>|b|知a>0,有a2>b2.故选C.‎ ‎5.(2015·云南模拟)若a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式一定成立的是(  )‎ A.a+c≥b-c B.(a-b)c2≥0‎ C.ac>bc D.>0‎ 解:A项:当c<0时,不等式a+cb⇒a-b>0,c2≥0,故(a-b)c2≥0;C项:当c=0时,ac=bc;D项:当c=0时,=0.故选B.‎ ‎6.(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,01,0ad.以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题?‎ 解:(1)对②变形>⇔>0,由ab>0,bc>ad得②成立,所以①③⇒②.‎ ‎(2)若ab>0,>0,则bc>ad,所以①②⇒③.‎ ‎(3)若bc>ad,>0,则ab>0,所以②③⇒①.‎ 综上所述可组成3个正确命题.‎ ‎11.设实数a,b,c满足 ‎①b+c=6-4a+3a2,‎ ‎②c-b=4-4a+a2.‎ 试确定a,b,c的大小关系.‎ 解:因为c-b=(a-2)2≥0,所以c≥b,‎ 又2b=2+2a2,所以b=1+a2,‎ 所以b-a=a2-a+1=+>0,‎ 所以b>a,从而c≥b>a.‎ ‎ (2015·云南模拟改编)已知a+b+c=0,且a>b>c,求的取值范围.‎ 解:因为a+b+c=0,所以b=-(a+c).又a>b>c,‎ 所以a>-(a+c)>c,且3a>a+b+c=0>3c,‎ 则a>0,c<0,所以1>->,‎ 即1>-1->,所以 解得-2<<-.‎ 故的取值范围是.‎
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