2019年江苏省高考数学试卷49650

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2019年江苏省高考数学试卷49650

‎2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=   .‎ ‎2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是   .‎ ‎3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是   .‎ ‎4.(5分)函数y=的定义域是   .‎ ‎5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是   .‎ ‎6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是   .‎ ‎7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是   .‎ ‎8.(5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是   .‎ ‎9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是   .‎ ‎10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是   .‎ ‎11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是   .‎ ‎12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若•=6•,则的值是   .‎ ‎13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是   .‎ ‎14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是   .‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;‎ ‎(2)若=,求sin(B+)的值.‎ ‎16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.‎ 求证:(1)A1B1∥平面DEC1;‎ ‎(2)BE⊥C1E.‎ ‎17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求点E的坐标.‎ ‎18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).‎ ‎(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;‎ ‎(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;‎ ‎(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.‎ ‎19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;‎ ‎(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;‎ ‎(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.‎ ‎20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.‎ ‎(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M﹣数列”;‎ ‎(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中Sn为数列{bn}的前n项和.‎ ‎①求数列{bn}的通项公式;‎ ‎②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ ‎21.(10分)已知矩阵A=.‎ ‎(1)求A2;‎ ‎(2)求矩阵A的特征值.‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ ‎22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin(θ+)=3.‎ ‎(1)求A,B两点间的距离;‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)‎ ‎23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.‎ ‎【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.‎ ‎25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1)‎ ‎,(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪∁n.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.‎ ‎(1)当n=1时,求X的概率分布;‎ ‎(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).‎ ‎2019年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= {1,6} .‎ ‎【考点】1E:交集及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】37:集合思想;4A:数学模型法;5J:集合.‎ ‎【分析】直接利用交集运算得答案.‎ ‎【解答】解:∵A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},‎ ‎∴A∩B={﹣1,0,1,6}∩{x|x>0,x∈R}={1,6}.‎ 故答案为:{1,6}.‎ ‎【点评】本题考查交集及其运算,是基础题.‎ ‎2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 2 .‎ ‎【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;4O:定义法;5N:数系的扩充和复数.‎ ‎【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0求的a值.‎ ‎【解答】解:∵(a+2i)(1+i)=(a﹣2)+(a+2)i的实部为0,‎ ‎∴a﹣2=0,即a=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.‎ ‎3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是 5 .‎ ‎【考点】EF:程序框图.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;27:图表型;4B:试验法;5K:算法和程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得 x=1,S=0‎ S=0.5‎ 不满足条件x≥4,执行循环体,x=2,S=1.5‎ 不满足条件x≥4,执行循环体,x=3,S=3‎ 不满足条件x≥4,执行循环体,x=4,S=5‎ 此时,满足条件x≥4,退出循环,输出S的值为5.‎ 故答案为:5.‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.‎ ‎4.(5分)函数y=的定义域是 [﹣1,7] .‎ ‎【考点】33:函数的定义域及其求法.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案.‎ ‎【解答】解:由7+6x﹣x2≥0,得x2﹣6x﹣7≤0,‎ 解得:﹣1≤x≤7.‎ ‎∴函数y=的定义域是[﹣1,7].‎ 故答案为:[﹣1,7].‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查一元二次不等式的解法,是基础题.‎ ‎5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是  .‎ ‎【考点】BC:极差、方差与标准差.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;4O:定义法;5I:概率与统计;65:数学运算.‎ ‎【分析】先求出一组数据6,7,8,8,9,10的平均数,由此能求出该组数据的方差.‎ ‎【解答】解:一组数据6,7,8,8,9,10的平均数为:‎ ‎=(6+7+8+8+9+10)=8,‎ ‎∴该组数据的方差为:‎ S2=[(6﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2+(9﹣8)2+(10﹣8)2]=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查一组数据的方差的求法,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是  .‎ ‎【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;37:集合思想;4O:定义法;5I:概率与统计;65:数学运算.‎ ‎【分析】基本事件总数n==10,选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m=+=7,由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率.‎ ‎【解答】解:从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,‎ 基本事件总数n==10,‎ 选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数:‎ m=+=7,‎ ‎∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】‎ 本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.‎ ‎7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是 y= .‎ ‎【考点】KB:双曲线的标准方程.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;4A:数学模型法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程,求得b,则双曲线的渐近线方程可求.‎ ‎【解答】解:∵双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),‎ ‎∴,解得b2=2,即b=.‎ 又a=1,∴该双曲线的渐近线方程是y=.‎ 故答案为:y=.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的简单性质,是基础题.‎ ‎8.(5分)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是 16 .‎ ‎【考点】85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;49:综合法;54:等差数列与等比数列.‎ ‎【分析】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由已知列关于首项与公差的方程组,求解首项与公差,再由等差数列的前n项和求得S8的值.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 则,解得.‎ ‎∴=6×(﹣5)+15×2=16.‎ 故答案为:16.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的前n项和,是基础题.‎ ‎9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是 10 .‎ ‎【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5F:空间位置关系与距离;64:直观想象.‎ ‎【分析】推导出=AB×BC×DD1=120,三棱锥E﹣BCD的体积:VE﹣BCD===×AB×BC×DD1,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,‎ ‎∴=AB×BC×DD1=120,‎ ‎∴三棱锥E﹣BCD的体积:‎ VE﹣BCD=‎ ‎=‎ ‎=×AB×BC×DD1‎ ‎=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎【点评】本题考查三棱锥的体积的求法,考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.‎ ‎10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 4 .‎ ‎【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4R:转化法;52:导数的概念及应用.‎ ‎【分析】利用导数求平行于x+y=0的直线与曲线y=x+(x>0)的切点,再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y=0的距离的最小值.‎ ‎【解答】解:由y=x+(x>0),得y′=1﹣,‎ 设斜率为﹣1的直线与曲线y=x+(x>0)切于(x0,),‎ 由,解得(x0>0).‎ ‎∴曲线y=x+(x>0)上,点P()到直线x+y=0的距离最小,‎ 最小值为.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查点到直线距离公式的应用,是中档题.‎ ‎11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 (e,1) .‎ ‎【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4A:数学模型法;52:导数的概念及应用.‎ ‎【分析】设A(x0,lnx0),利用导数求得曲线在A处的切线方程,代入已知点的坐标求解x0即可.‎ ‎【解答】解:设A(x0,lnx0),由y=lnx,得y′=,‎ ‎∴,则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0=,‎ ‎∵切线经过点(﹣e,﹣1),∴,‎ 即,则x0=e.‎ ‎∴A点坐标为(e,1).‎ 故答案为:(e,1).‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,区分过点处与在点处的不同,是中档题.‎ ‎12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE 交于点O.若•=6•,则的值是  .‎ ‎【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;4R:转化法;5A:平面向量及应用;62:逻辑推理;65:数学运算.‎ ‎【分析】首先算出=,然后用、表示出、,结合•=6•得=,进一步可得结果.‎ ‎【解答】解:设=λ=(),‎ ‎=+=+μ=+μ()‎ ‎=(1﹣μ)+μ=+μ ‎∴,∴,‎ ‎∴==(),‎ ‎==﹣+,‎ ‎6•=6×()×(﹣+)‎ ‎=(++)‎ ‎=++,‎ ‎∵•=++,‎ ‎∴=,∴=3,‎ ‎∴=.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的表示以及计算,考查计算能力.‎ ‎13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是  .‎ ‎【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;4R:转化法;56:三角函数的求值.‎ ‎【分析】由已知求得tanα,分类利用万能公式求得sin2α,cos2α的值,展开两角和的正弦求sin(2α+)的值.‎ ‎【解答】解:由=﹣,得,‎ ‎∴,解得tanα=2或tan.‎ 当tanα=2时,sin2α=,cos2α=,‎ ‎∴sin(2α+)==;‎ 当tanα=时,sin2α==,cos2α=,‎ ‎∴sin(2α+)==.‎ 综上,sin(2α+)的值是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值,考查两角和的三角函数及万能公式的应用,是基础题.‎ ‎14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)=其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是 [,) .‎ ‎【考点】5B:分段函数的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】33:函数思想;44:数形结合法;51:函数的性质及应用.‎ ‎【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象,数形结合得答案.‎ ‎【解答】解:作出函数f(x)与g(x)的图象如图,‎ 由图可知,函数f(x)与g(x)=﹣(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根;‎ 要使关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,‎ 则f(x)=,x∈(0,2]与g(x)=k(x+2),x∈(0,1]的图象有2个不同交点,‎ 由(1,0)到直线kx﹣y+2k=0的距离为1,得,解得k=(k>0),‎ ‎∵两点(﹣2,0),(1,1)连线的斜率k=,‎ ‎∴≤k<.‎ 即k的取值范围为[,).‎ 故答案为:[,).‎ ‎【点评】本题考查函数零点的判定,考查分段函数的应用,体现了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ ‎(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;‎ ‎(2)若=,求sin(B+)的值.‎ ‎【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值;HR:余弦定理.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;34:方程思想;49:综合法;56:三角函数的求值;62:逻辑推理.‎ ‎【分析】(1)由余弦定理得:cosB===,由此能求出c的值.‎ ‎(2)由=,利用正弦定理得2sinB=cosB,再由sin2B+cos2B=1,能求出sinB=,cosB=,由此利用诱导公式能求出sin(B+)的值.‎ ‎【解答】解:(1)∵在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.‎ a=3c,b=,cosB=,‎ ‎∴由余弦定理得:‎ cosB===,‎ 解得c=.‎ ‎(2)∵=,‎ ‎∴由正弦定理得:,‎ ‎∴2sinB=cosB,‎ ‎∵sin2B+cos2B=1,‎ ‎∴sinB=,cosB=,‎ ‎∴sin(B+)=cosB=.‎ ‎【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法,考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.‎ 求证:(1)A1B1∥平面DEC1;‎ ‎(2)BE⊥C1E.‎ ‎【考点】L2:棱柱的结构特征;LS:直线与平面平行.菁优网版权所有 ‎【专题】14:证明题;31:数形结合;49:综合法;5F:空间位置关系与距离;64:直观想象.‎ ‎【分析】(1)推导出DE∥AB,AB∥A1B1,从而DE∥A1B1,由此能证明A1B1∥平面DEC1.‎ ‎(2)推导出BE⊥AA1,BE⊥AC,从而BE⊥平面ACC1A1,由此能证明BE⊥C1E.‎ ‎【解答】证明:(1)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,‎ ‎∴DE∥AB,AB∥A1B1,∴DE∥A1B1,‎ ‎∵DE⊂平面DEC1,A1B1⊄平面DEC1,‎ ‎∴A1B1∥平面DEC1.‎ 解:(2)∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是AC的中点,AB=BC.‎ ‎∴BE⊥AA1,BE⊥AC,‎ 又AA1∩AC=A,∴BE⊥平面ACC1A1,‎ ‎∵C1E⊂平面ACC1A1,∴BE⊥C1E.‎ ‎【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.‎ ‎17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,1与圆F2:(x﹣1)2+y2‎ ‎=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求点E的坐标.‎ ‎【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;44:数形结合法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ ‎【分析】(1)由题意得到F1D∥BF2,然后求AD,再由AD=DF1=求得a,则椭圆方程可求;‎ ‎(2)求出D的坐标,得到=,写出BF2的方程,与椭圆方程联立即可求得点E的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)如图,∵F2A=F2B,∴∠F2AB=∠F2BA,‎ ‎∵F2A=2a=F2D+DA=F2D+F1D,∴AD=F1D,则∠DAF1=∠DF1A,‎ ‎∴∠DF1A=∠F2BA,则F1D∥BF2,‎ ‎∵c=1,∴b2=a2﹣1,则椭圆方程为,‎ 取x=1,得,则AD=2a﹣=.‎ 又DF1=,∴,解得a=2(a>0).‎ ‎∴椭圆C的标准方程为;‎ ‎(2)由(1)知,D(1,),F1(﹣1,0),‎ ‎∴=,则BF2:y=,‎ 联立,得21x2﹣18x﹣39=0.‎ 解得x1=﹣1或(舍).‎ ‎∴.‎ 即点E的坐标为(﹣1,﹣).‎ ‎【点评】本题考查直线与圆,圆与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,证明DF1∥BF2是解答该题的关键,是中档题.‎ ‎18.(16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).‎ ‎(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;‎ ‎(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;‎ ‎(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P、Q两点间的距离.‎ ‎【考点】JE:直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有 ‎【专题】34:方程思想;48:分析法;5B:直线与圆.‎ ‎【分析】(1)设BD与圆O交于M,连接AM,以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)‎ 设点P(x1,0),PB⊥AB,运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得P的坐标,可得所求值;‎ ‎(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),运用两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得Q的坐标,即可得到结论;‎ ‎(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,结合条件,可得b的最小值,由两点的距离公式,计算可得PQ.‎ ‎【解答】解:设BD与圆O交于M,连接AM,‎ AB为圆O的直径,可得AM⊥BM,‎ 即有DM=AC=6,BM=6,AM=8,‎ 以C为坐标原点,l为x轴,建立直角坐标系,则A(0,﹣6),B(﹣8,﹣12),D(﹣8,0)‎ ‎(1)设点P(x1,0),PB⊥AB,‎ 则kBP•kAB=﹣1,‎ 即•=﹣1,‎ 解得x1=﹣17,所以P(﹣17,0),PB==15;‎ ‎(2)当QA⊥AB时,QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径,设此时Q(x2,0),‎ 则kQA•kAB=﹣1,即•=﹣1,解得x2=﹣,Q(﹣,0),‎ 由﹣17<﹣8<﹣,在此范围内,不能满足PB,QA上所有点到O的距离不小于圆的半径,‎ 所以P,Q中不能有点选在D点;‎ ‎(3)设P(a,0),Q(b,0),则a≤﹣17,b≥﹣,PB2=(a+8)2+144≥225,‎ QA2=b2+36≥225,则b≥3,当d最小时,PQ=17+3.‎ ‎【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查直线的斜率和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,以及两点的距离公式,分析问题和解决问题的能力,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎19.(16分)设函数f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数.‎ ‎(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;‎ ‎(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{﹣3,1,3}中,求f(x)的极小值;‎ ‎(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤.‎ ‎【考点】6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有 ‎【专题】32:分类讨论;34:方程思想;53:导数的综合应用;59:不等式的解法及应用.‎ ‎【分析】(1)由a=b=c,可得f(x)=(x﹣a)3,根据f(4)=8,可得(4﹣a)3=8,解得a.‎ ‎(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.f′(x)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).令f′(x)=0,解得x=b,或x=.根据f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,通过分类讨论可得:只有a=3,b=﹣3,可得==1∈A,可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.利用导数研究其单调性可得x=1时,函数f(x)取得极小值.‎ ‎(3)a=0,0<b≤1,c=1,f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b.△>0.令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.解得:x1=‎ ‎∈,x2=.x1<x2,可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,通过计算化简即可证明结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵a=b=c,∴f(x)=(x﹣a)3,‎ ‎∵f(4)=8,∴(4﹣a)3=8,‎ ‎∴4﹣a=2,解得a=2.‎ ‎(2)a≠b,b=c,设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2.‎ 令f(x)=(x﹣a)(x﹣b)2=0,解得x=a,或x=b.‎ f′(x)=(x﹣b)2+2(x﹣a)(x﹣b)=(x﹣b)(3x﹣b﹣2a).‎ 令f′(x)=0,解得x=b,或x=.‎ ‎∵f(x)和f′(x)的零点均在集合A={﹣3,1,3}中,‎ 若:a=﹣3,b=1,则==﹣∉A,舍去.‎ a=1,b=﹣3,则==﹣∉A,舍去.‎ a=﹣3,b=3,则==﹣1∉A,舍去..‎ a=3,b=1,则==∉A,舍去.‎ a=1,b=3,则=∉A,舍去.‎ a=3,b=﹣3,则==1∈A,.‎ 因此a=3,b=﹣3,=1∈A,‎ 可得:f(x)=(x﹣3)(x+3)2.‎ f′(x)=3[x﹣(﹣3)](x﹣1).‎ 可得x=1时,函数f(x)取得极小值,f(1)=﹣2×42=﹣32.‎ ‎(3)证明:a=0,0<b≤1,c=1,‎ f(x)=x(x﹣b)(x﹣1).‎ f′(x)=(x﹣b)(x﹣1)+x(x﹣1)+x(x﹣b)=3x2﹣(2b+2)x+b.‎ ‎△=4(b+1)2﹣12b=4b2﹣4b+4=4+3≥3.‎ 令f′(x)=3x2﹣(2b+2)x+b=0.‎ 解得:x1=∈,x2=.x1<x2,‎ x1+x2=,x1x2=,‎ 可得x=x1时,f(x)取得极大值为M,‎ ‎∵f′(x1)=﹣(2b+2)x1+b=0,可得:=[(2b+2)x1﹣b],‎ M=f(x1)=x1(x1﹣b)(x1﹣1)‎ ‎=(x1﹣b)(﹣x1)=(x1﹣b)(﹣x1)=[(2b﹣1)﹣2b2x1+b2]‎ ‎==,‎ ‎∵﹣2b2+2b﹣2=﹣2﹣<0,‎ ‎∴M在x1∈(0,]上单调递减,‎ ‎∴M≤=≤.‎ ‎∴M≤.‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎20.(16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.‎ ‎(1)已知等比数列{an}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{an}为“M﹣数列”;‎ ‎(2)已知数列{bn}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中Sn为数列{bn}的前n项和.‎ ‎①求数列{bn}的通项公式;‎ ‎②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.‎ ‎【考点】8K:数列与不等式的综合.菁优网版权所有 ‎【专题】15:综合题;35:转化思想;4F:归纳法;4M:构造法;53:导数的综合应用;54:等差数列与等比数列;55:点列、递归数列与数学归纳法;5T:不等式.‎ ‎【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q,然后根据a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0列方程求解,在根据新定义判断即可;‎ ‎(2)求出b2,b3,b4猜想bn,然后用数学归纳法证明;‎ ‎(3)设{cn}的公比为q,将问题转化为,然后构造函数f(x)=,g(x)=,‎ 分别求解其最大值和最小值,最后解不等式,即可.‎ ‎【解答】解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则 由a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,得 ‎∴,‎ ‎∴数列{an}首项为1且公比为正数 即数列{an}为“M﹣数列”;‎ ‎(2)①∵b1=1,=﹣,‎ ‎∴当n=1时,,∴b2=2,‎ 当n=2时,,∴b3=3,‎ 当n=3时,,∴b4=4,‎ 猜想bn=n,下面用数学归纳法证明;‎ ‎(i)当n=1时,b1=1,满足bn=n,‎ ‎(ii)假设n=k时,结论成立,即bk=k,则n=k+1时,‎ 由,得 ‎==k+1,‎ 故n=k+1时结论成立,‎ 根据(i)(ii)可知,bn=n对任意的n∈N*都成立.‎ 故数列{bn}的通项公式为bn=n;‎ ‎②设{cn}的公比为q,‎ 存在“M﹣数列”{cn}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有ck≤bk≤ck+1成立,‎ 即qk﹣1≤k≤k对k≤m恒成立,‎ 当k=1时,q≥1,当k=2时,,‎ 当k≥3,两边取对数可得,对k≤m有解,‎ 即,‎ 令f(x)=,则,‎ 当x≥3时,f'(x)<0,此时f(x)递增,‎ ‎∴当k≥3时,,‎ 令g(x)=,则,‎ 令,则,‎ 当x≥3时,ϕ'(x)<0,即g'(x)<0,‎ ‎∴g(x)在[3,+∞)上单调递减,‎ 即k≥3时,,则 ‎,‎ 下面求解不等式,‎ 化简,得3lnm﹣(m﹣1)ln3≤0,‎ 令h(m)=3lnm﹣(m﹣1)ln3,则h'(m)=﹣ln3,‎ 由k≥3得m≥3,h'(m)<0,∴h(m)在[3,+∞)上单调递减,‎ 又由于h(5)=3ln5﹣4ln3=ln125﹣ln81>0,h(6)=3ln6﹣5ln3=ln216﹣ln243<0,‎ ‎∴存在m0∈(5,6)使得h(m0)=0,‎ ‎∴m的最大值为5,此时q∈,.‎ ‎【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立,考查了数学归纳法和构造法,是数列、函数和不等式的综合性问题,属难题.‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ ‎21.(10分)已知矩阵A=.‎ ‎(1)求A2;‎ ‎(2)求矩阵A的特征值.‎ ‎【考点】O1:二阶矩阵;OV:特征值与特征向量的计算.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5R:矩阵和变换.‎ ‎【分析】(1)根据矩阵A直接求解A2即可;‎ ‎(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2﹣5λ+4,解方程f(λ)=0即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵A=‎ ‎∴A2=‎ ‎=‎ ‎(2)矩阵A的特征多项式为:‎ f(λ)==λ2﹣5λ+4,‎ 令f(λ)=0,则由方程λ2﹣5λ+4=0,得 λ=1或λ=4,‎ ‎∴矩阵A的特征值为1或4.‎ ‎【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识,考查运算与求解能力,属基础题.‎ B.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)‎ ‎22.(10分)在极坐标系中,已知两点A(3,),B(,),直线1的方程为ρsin(θ+)=3.‎ ‎(1)求A,B两点间的距离;‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ ‎【考点】Q6:极坐标刻画点的位置.菁优网版权所有 ‎【专题】11:计算题;5S:坐标系和参数方程.‎ ‎【分析】(1)设极点为O,则由余弦定理可得,解出AB;‎ ‎(2)根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离.‎ ‎【解答】解:(1)设极点为O,则在△OAB中,由余弦定理,得 AB2=OA2+OB2﹣2OA,‎ ‎∴AB==;‎ ‎(2)由直线1的方程ρsin(θ+)=3,知 直线l过(3,),倾斜角为,‎ 又B(,),‎ ‎∴点B到直线l的距离为.‎ ‎【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离,属基础题.‎ C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分)‎ ‎23.设x∈R,解不等式|x|+|2x﹣1|>2.‎ ‎【考点】R5:绝对值不等式的解法.菁优网版权所有 ‎【专题】59:不等式的解法及应用;5T:不等式.‎ ‎【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值,然后分别解不等式即可.‎ ‎【解答】解:|x|+|2x﹣1|=,‎ ‎∵|x|+|2x﹣1|>2,‎ ‎∴或或,‎ ‎∴x>1或x∈∅或x<﹣,‎ ‎∴不等式的解集为{x|x<﹣或x>1}.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属基础题.‎ ‎【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎24.(10分)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知a32=2a2a4.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)设(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,求a2﹣3b2的值.‎ ‎【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有 ‎【专题】35:转化思想;48:分析法;5P:二项式定理.‎ ‎【分析】(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n的值;‎ ‎(2)方法一、运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值;‎ 方法二、由于a,b∈N*,求得(1﹣)5=a﹣b,再由平方差公式,计算可得所求值.‎ ‎【解答】解:(1)由(1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxn,n≥4,‎ 可得a2=C=,a3=C=,a4=C=,‎ a32=2a2a4,可得()2=2••,‎ 解得n=5;‎ ‎(2)方法一、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,‎ 由于a,b∈N*,可得a=C+3C+9C=1+30+45=76,b=C+3C+9C=44,‎ 可得a2﹣3b2=762﹣3×442=﹣32;‎ 方法二、(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b,‎ ‎(1﹣)5=C+C(﹣)+C(﹣)2+C(﹣)3+C(﹣)4+C(﹣)5‎ ‎=C﹣C+C()2﹣C()3+C()4﹣C()5,‎ 由于a,b∈N*,可得(1﹣)5=a﹣b,‎ 可得a2﹣3b2=(1+)5•(1﹣)5=(1﹣3)5=﹣32.‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,考查运算能力和分析问题能力,属于中档题.‎ ‎25.(10分)在平面直角坐标系xOy中,设点集An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)},Bn={(0,1)‎ ‎,(n,1)},∁n={(0,2),(1,2),(2,2),……,(n,2)},n∈N*.令Mn=An∪Bn∪∁n.从集合Mn中任取两个不同的点,用随机变量X表示它们之间的距离.‎ ‎(1)当n=1时,求X的概率分布;‎ ‎(2)对给定的正整数n(n≥3),求概率P(X≤n)(用n表示).‎ ‎【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有 ‎【专题】38:对应思想;48:分析法;5I:概率与统计;62:逻辑推理.‎ ‎【分析】(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,由古典概率的公式,结合组合数可得所求值;‎ ‎(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点,因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,分别讨论b,d的取值,结合古典概率的计算公式和对立事件的概率,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)当n=1时,X的所有可能取值为1,,2,,‎ X的概率分布为P(X=1)==;P(X=)==;‎ P(X=2)==;P(X=)==;‎ ‎(2)设A(a,b)和B(c,d)是从Mn中取出的两个点,‎ 因为P(X≤n)=1﹣P(X>n),所以只需考虑X>n的情况,‎ ‎①若b=d,则AB≤n,不存在X>n的取法;‎ ‎②若b=0,d=1,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,‎ 此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;‎ ‎③若b=0,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,‎ 此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;‎ ‎④若b=1,d=2,则AB=≤,所以X>n当且仅当AB=,‎ 此时a=0.c=n或a=n,c=0,有两种情况;‎ 综上可得当X>n,X的所有值是或,‎ 且P(X=)=,P(X=)=,‎ 可得P(X≤n)=1﹣P(X=)﹣P(X=)=1﹣.‎ ‎【点评】本题考查随机变量的概率的分布,以及古典概率公式的运用,考查分类讨论思想方法,以及化简运算能力,属于难题.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/6 10:11:47;用户:qgjyuser10203;邮箱:qgjyuser10203.21957750;学号:21985209‎
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