高考数学培优大一轮 新题培优练 刷好题练能力

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‎ [基础题组练]‎ ‎1．数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　)‎ A．－200　　 B．－100‎ C．200 D．100‎ 解析：选D.由题意知S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.‎ ‎2．在数列{an}中，a1＝2，a2＝2，an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则S60的值为(　　)‎ A．990 B．1 000‎ C．1 100 D．99‎ 解析：选A.n为奇数时，an＋2－an＝0，an＝2；n为偶数时，an＋2－an＝2，an＝n.故S60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.‎ ‎3．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝(　　)‎ A．3 B．2‎ C．1 D．0‎ 解析：选A.因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故 S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.‎ ‎4.＋＋＋…＋的值为(　　)‎ A. B.－ C.－ D.－＋ 解析：选C.因为＝＝ ‎＝，‎ 所以＋＋＋…＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ ‎5．(2019·开封调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 018等于(　　)‎ A．22 018－1 B．3×21 009－3‎ C．3×21 009－1 D．3×21 008－2‎ 解析：选B.a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2，‎ 所以＝2.所以a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 017＋a2 018＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 018)＝＋＝3·21 009－3.故选B.‎ ‎6．(2019·郑州质量预测)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 018＝________．‎ 解析：由an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，可得an＋2＋an＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列，公差d＝a2－a1＝2－1＝1，通项公式an＝a1＋(n－1)×d＝1＋n－1＝n，则其前n项和Sn＝＝，所以＝＝2(－)，Tn＝＋＋…＋＝2(－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝，故T2 018＝＝.‎ 答案： ‎7．已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项和S9＝________．‎ 解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S9＝＝210－2＝1 022.‎ 答案：1 022‎ ‎8．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2 018项的和等于________．‎ 解析：因为a1＝，又an＋1＝＋，‎ 所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，‎ 即得an＝ 故数列的前2 018项的和等于S2 018＝1 009×＝.‎ 答案： ‎9．(2019·唐山模拟)已知数列{an}满足：＋＋…＋＝(32n－1)，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log3，求＋＋…＋.‎ 解：(1)＝(32－1)＝3，当n≥2时，因为 ＝(＋＋…＋)－(＋＋…＋)‎ ‎＝(32n－1)－(32n－2－1)‎ ‎＝32n－1，‎ 当n＝1，＝32n－1也成立，‎ 所以an＝.‎ ‎(2)bn＝log3＝－(2n－1)，‎ 因为＝＝(－)，‎ 所以＋＋…＋ ‎＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]‎ ‎＝(1－)‎ ‎＝.‎ ‎10．(2019·唐山市摸底考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)若bn＝(n－1)an，且数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.‎ 解：(1)由已知可得，2Sn＝3an－1，①‎ 所以2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，②‎ ‎①－②得，2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，‎ 化简得an＝3an－1(n≥2)，‎ 在①中，令n＝1可得，a1＝1，‎ 所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，‎ 从而有an＝3n－1.‎ ‎(2)bn＝(n－1)3n－1，‎ Tn＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1，③‎ 则3Tn＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n－1)×3n.④‎ ‎③－④得，－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n ‎＝－(n－1)×3n ‎＝.‎ 所以Tn＝.‎ ‎ [综合题组练]‎ ‎1．在数列{an}中，若an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)‎ A．76　 B．78‎ C．80 D．82‎ 解析：选B.由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1，得an＋2＋(－1)n＋1·an＋1＝2n＋1，得an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，取n＝1，5，9及n＝2，6，10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a11＋a12＝78.故选B.‎ ‎2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2 017的值为(　　)‎ A．2 015 B．2 013‎ C．1 008 D．1 009‎ 解析：选D.因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2 017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2 016＋a2 017)＝1 009，故选D.‎ ‎3．已知数列{an}，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝－2，则数列{bn}的前2 019项和为________．‎ 解析：由“凸数列”的定义及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，所以数列{bn}是周期为6的周期数列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是数列{bn}的前2 019项和等于b1＋b2＋b3＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎4．(一题多解)(2019·合肥模拟)数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn＝________．‎ 解析：通解：an＋1＝，两边同时取倒数得＝＝＋，整理得＝＋3，所以－＝3，所以数列{}是以＝3为首项，3为公差的等差数列，所以＝3n，所以an＝，所以数列{an}是常数列，所以Sn＝.‎ 优解：用归纳法求解，a1＝，根据an＋1＝，可得a2＝，a3＝，a4＝，所以猜想an＝，经验证an＋1＝，从而Sn＝.‎ ‎5．(2019·合肥模拟)已知等差数列{an}中，a5－a3＝4，前n项和为Sn，且S2，S3－1，S4成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解：(1)设{an}的公差为d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2.‎ 所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12，‎ 又S2，S3－1，S4成等比数列，所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)·(4a1＋12)，‎ 解得a1＝1，‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)bn＝(－1)n＝(－1)n(＋)，‎ 当n为偶数时，Tn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)，所以Tn＝－1＋＝－.‎ 当n为奇数时，Tn＝－(1＋)＋(＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)，‎ 所以Tn＝－1－＝－.‎ 所以Tn＝.‎ ‎6．(2019·银川质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an} 的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.‎ 解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，‎ 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.‎ 由于数列{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.‎ 于是a1＝S1＝2，当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.‎ 综上可知，数列{an}的通项公式an＝2n.‎ ‎(2)证明：由于an＝2n，bn＝，‎ 则bn＝＝.‎ Tn＝ ＝ <＝.‎