2009-2011广东高考数学文科试题解析

2009-2011广东高考数学文科试题解析

绝密☆启用前 试卷类型：A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学 (文科） 本试卷共 4页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错 涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。高.考.资. 源.网 参考公式：锥体的体积公式 1 3 v Sh ，其中 s是锥体的底面积， h是锥体的高． 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5分，满分 50分.每小题给出得四个选项中，只有 一项十符合题目要求得. 1.已知全集 U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和 N= { x |x 2 +x=0} 关系的韦恩（Venn） 图是 【答案】B 【解析】由 N= { x |x 2 +x=0}{ 1,0} 得 N M ,选 B. 2.下列 n的取值中，使 ni =1(i是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=5 【答案】C 【解析】因为 4 1i  ,故选 C. 3.已知平面向量 a= ,1x（ ），b= 2,x x（－ ）， 则向量 a b A平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【答案】 【解析】 a b 2(0,1 )x  ,由 21 0x  及向量的性质可知,C正确. 4.若函数 ( )y f x 是函数 1xy a a a （ >0，且 ）的反函数，且 (2) 1f  ，则 ( )f x  A． x2log B． x2 1 C． x 2 1log D．2 2x 【答案】A 【解析】函数 1xy a a a （ >0，且 ）的反函数是 ( ) logaf x x ,又 (2) 1f  ,即 log 2 1a  , 所以, 2a  ,故 2( ) logf x x ,选 A. 5.已知等比数列 }{ na 的公比为正数，且 3a · 9a =2 2 5a ， 2a =1，则 1a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得  2 8 4 1 1 12a q a q a q  ,即 2 2q  ,因为等比数列 }{ na 的公比为 正数，所以 2q  ,故 2 1 1 2 22 aa q    ,选 B 6.给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s .5.u.c.o.m ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 7.已知 ABC 中， CBA  ,, 的对边分别为 a,b,c若 a=c= 26  且 75A  o ，则 b= A.2 B．4＋ 2 3 C．4— 2 3 D． 6 2 【答案】A 【解析】 0 0 0 0 0 0 0 2 6sin sin 75 sin(30 45 ) sin 30 cos 45 sin 45 cos30 4 A        由 a=c= 26  可知, 075C  ,所以 030B  , 1sin 2 B  由正弦定理得 2 6 1sin 2 sin 22 6 4 ab B A        ,故选 A 8.函数 xexxf )3()(  的单调递增区间是 A. )2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(  w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 【答案】D 【解析】  ( ) ( 3) ( 3) ( 2)x x xf x x e x e x e       ,令 ( ) 0f x  ,解得 2x  ,故选 D 9．函数 1) 4 (cos2 2  xy 是 A．最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 2  的奇函数 D. 最小正周期为 2  的偶函数 【答案】A 【解析】因为 22cos ( ) 1 cos 2 sin 2 4 2 y x x x           为奇函数, 2 2 T    ,所以选 A. 10．广州 2010年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路 线距离（单位：百公里）见下表.若以 A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次， 那么火炬传递的最短路线距离是 A. 20.6 B.21 C.22 D.23 w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 【答案】B 【解析】由题意知,所有可能路线有 6种: ① A B C D E    ,② A B D C E    ,③ A C B D E    ,④ A C D B E    ,⑤ A D B C E    ,⑥ A D C B E    , 其中, 路线③ A C B D E    的距离最短, 最短路线距离等于 4 9 6 2 21    , 故选 B. 二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题 5分，满分 20分。 （一）必做题（11－13题） 11.某篮球队 6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员 i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 1a 2a 3a 4a 5a 6a 图 1是统计该 6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应 填 ，输出的 s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”) w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 图 1 【答案】 6i  , 1 2 6a a a   【解析】顺为是统计该 6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判 断框应填 6i  ，输出的 s= 1 2 6a a a   . 12．某单位 200名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40名职工作样本，用系统抽 样法，将全体职工随机按 1－200编号，并按编号顺序平均分为 40组（1－5号，6－10号…， 196－200号）.若第 5组抽出的号码为 22，则第 8组抽出的号码应是 。若用分层抽样 方法，则 40岁以下年龄段应抽取 人. 图 2 【答案】37, 20 【解析】由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5组抽出的号码为 22，所以第 6组抽出的号 码为 27，第 7组抽出的号码为 32，第 8组抽出的号码为 37. 40岁以下年龄段的职工数为 200 0.5 100  ,则应抽取的人数为 40 100 20 200   人. 13．以点（2， 1 ）为圆心且与直线 6x y  相切的圆的方程是 . 【答案】 2 2 25( 2) ( 1) 2 x y    【解析】将直线 6x y  化为 6 0x y   ,圆的半径 | 2 1 6 | 5 1 1 2 r      ,所以圆的方程为 2 2 25( 2) ( 1) 2 x y    w.w.w.k.s .5.u.c.o.m (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线 1 2 2 3 x t y t      （t为参数）与直线 4 1x ky  垂直， 则常数 k = . 【答案】 6 【解析】将 1 2 2 3 x t y t      化为普通方程为 3 7 2 2 y x   ,斜率 1 3 2 k   , 当 0k  时,直线 4 1x ky  的斜率 2 4k k   ,由 1 2 3 4 1 2 k k k                 得 6k   ; 当 0k  时,直线 3 7 2 2 y x   与直线 4 1x  不垂直. 综上可知, 6k   . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A、B、C 是圆 O上的点，且 AB=4， 30ACB  o ， 则圆 O的面积等于 . w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 图 3 【答案】16 【解析】连结 AO,OB,因为 30ACB  o ,所以 60AOB  o , AOB 为等边三角形,故圆 O 的半径 4r OA AB   ,圆 O的面积 2 16S r   . 三、解答题，本大题共 6小题，满分 80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12分） 已知向量 )2,(sin  a 与 )cos,1( b 互相垂直，其中 ) 2 ,0(   （1）求 sin 和 cos 的值 （2）若  cos53)cos(5  ，  0 2  ,求 cos 的值 【解析】（１） a b vvQ , sin 2cos 0a b      vvg ,即 sin 2cos  又∵ 2sin cos 1   , ∴ 2 24cos cos 1   ,即 2 1cos 5  ,∴ 2 4sin 5   又 2 5(0, ) sin 2 5     , 5cos 5   (2) ∵5cos( ) 5(cos cos sin sin )        5 cos 2 5 sin   3 5 cos cos sin   , 2 2 2cos sin 1 cos      ,即 2 1cos 2   又  0 2  , ∴ 2cos 2   w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 17.（本小题满分 13分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH, 下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线 BD平面 PEG 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示. （２）该安全标识墩的体积为： P EFGH ABCD EFGHV V V   2 21 40 60 40 20 32000 32000 64000 3          2cm （３）如图,连结 EG,HF及 BD，EG与 HF相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO 平面 EFGH , PO HF  又 EG HF HF 平面 PEG 又 BD HFP BD 平面 PEG；w.w.w.k.s.5 .u.c.o.m 18.（本小题满分 13分） 随机抽取某中学甲乙两班各 10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如 图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm的同学,求身高为 176cm的同学 被抽中的概率. 【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160 179: 之间，而乙班身高集中于170 180: 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) 158 162 163 168 168 170 171 179 179 182 170 10 x            甲班的样本方差为        2 2 2 221 [(158 170) 162 170 163 170 168 170 168 170 10                   2 2 2 2 2170 170 171 170 179 170 179 170 182 170 ]          ＝57 （3）设身高为 176cm的同学被抽中的事件为 A； 从乙班 10名同学中抽中两名身高不低于 173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共 10个基本事件，而事件 A含有 4个基本事件；   4 2 10 5 P A   ； 19.（本小题满分 14分） 已知椭圆 G的中心在坐标原点,长轴在 x轴上,离心率为 2 3 ,两个焦点分别为 1F 和 2F ,椭圆 G 上一点到 1F 和 2F 的距离之和为 12.圆 kC : 0214222  ykxyx )( Rk 的圆心为点 kA . (1)求椭圆 G的方程 (2)求 21FFAk 的面积 (3)问是否存在圆 kC 包围椭圆 G?请说明理由. 【解析】（1）设椭圆 G的方程为： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）半焦距为 c; 则 2 12 3 2 a c a     , 解得 6 3 3 a c    , 2 2 2 36 27 9b a c      所求椭圆 G的方程为： 2 2 1 36 9 x y   . w.w.w.k.s .5.u.c.o.m (2 )点 KA 的坐标为  , 2K 1 2 1 2 1 12 6 3 2 6 3 2 2KA F FS F F      V （3）若 0k  ，由 2 26 0 12 0 21 5 12 0k k      f 可知点（6，0）在圆 kC 外， 若 0k  ，由 2 2( 6) 0 12 0 21 5 12 0k k       f 可知点（-6，0）在圆 kC 外； 不论 K为何值圆 kC 都不能包围椭圆 G. 20.（本小题满分 14分） 已知点（1， 3 1 ）是函数 ,0()(  aaxf x 且 1a ）的图象上一点，等比数列 }{ na 的前 n 项和为 cnf )( ,数列 }{ nb )0( nb 的首项为 c，且前 n项和 nS 满足 nS － 1nS = nS + 1nS （n 2）. （1）求数列 }{ na 和 }{ nb 的通项公式； （2）若数列{ }1 1nnbb 前 n项和为 nT ，问 nT > 2009 1000 的最小正整数 n是多少? 【解析】（1）   11 3 f a Q ,   1 3 x f x        w.w.w.k.s .5.u.c.o.m  1 11 3 a f c c    ,    2 2 1a f c f c          2 9   ,    3 23 2 27 a f c f c            . 又数列 na 成等比数列， 2 2 1 3 4 2 181 2 3 3 27 aa c a        ，所以 1c  ； 又公比 2 1 1 3 aq a   ，所以 12 1 12 3 3 3 n n na                *n N ；   1 1 1 1n n n n n n n nS S S S S S S S        Q  2n  又 0nb  , 0nS  , 1 1n nS S    ； 数列 nS 构成一个首相为 1公差为 1的等差数列，  1 1 1nS n n     ， 2 nS n 当 2n  ，  22 1 1 2 1n n nb S S n n n       ； 2 1nb n   ( *n N )； （2） 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 n n n T bb b b b b b b      L   1 1 1 1 1 3 3 5 5 7 (2 1) 2 1n n            K 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 1n n                                K 1 11 2 2 1 2 1 n n n        ；w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 由 1000 2 1 2009n nT n    得 1000 9 n  ，满足 1000 2009nT  的最小正整数为 112. 21.（本小题满分 14分） 已知二次函数 )(xgy  的导函数的图像与直线 2y x 平行,且 )(xgy  在 x =－1处取得最 小值 m－1(m 0 ).设函数 x xgxf )()(  (1)若曲线 )(xfy  上的点 P到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m的值 (2) )( Rkk  如何取值时,函数 kxxfy  )( 存在零点,并求出零点. 【解析】（1）设   2g x ax bx c   ，则   2g x ax b   ； 又  g x 的图像与直线 2y x 平行 2 2a  1a  又  g x 在 1x   取极小值， 1 2 b    ， 2b   1 1 2 1g a b c c m          ， c m ；     2 g x mf x x x x     ， 设  ,o oP x y 则   2 2 22 2 0 0 0 0 0 2 mPQ x y x x x            2 2 2 0 2 0 2 2 2 2 2mx m x      22 2 2 4m   2 2 m   ；w.w.w.k.s .5.u.c.o.m （2）由    1 2 0my f x kx k x x        ， 得   21 2 0k x x m     * 当 1k  时，方程  * 有一解 2 mx   ，函数  y f x kx  有一零点 2 mx   ； 当 1k  时，方程  * 有二解  4 4 1 0m k      ，若 0m  ， 11k m   ， 函数  y f x kx  有两个零点      2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 m k m k x k k            ；若 0m  ， 11k m   ，函数  y f x kx  有两个零点      2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 m k m k x k k            ； 当 1k  时，方程  * 有一解  4 4 1 0m k      , 11k m   , 函数  y f x kx  有一零点 1 1 x k   w.w.w.k.s .5.u.c.o.m 绝密★启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科) 本试卷共 4页，21小题，满分 150分。考试用时 120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应 位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时。请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S是锥体的底面积，h是锥体的高。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．若集合 A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合 A B= A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝ 2．函数， ( ) lg( 1)f x x  的定义域是 A．(2， ) B．(1, ) C．[1， ) D．[2， ) 3．若函数 ( ) 3 3x xf x   与 ( ) 3 3x xg x   的定义域均为 R，则 A． ( )f x 与 ( )g x 均为偶函数 B． ( )f x 为奇函数， ( )g x 为偶函数 C． ( )f x 与 ( )g x 均为奇函数 D． ( )f x 为偶函数， ( )g x 为奇函数 4．已知数列{ na }为等比数列， nS 是它的前 n 项和，若 2·a a３ １＝2a ，且 4a 与 72a 的等差中 项为 5 4 ，则 S5=w_w w. k#s5_u.c o*m A．35 B．33 C．31 D．29 5．若向量 a =（1,1），b  =（2,5）， c =(3,x)满足条件 (8 a－b  )· c =30，则 x = A．6 B．5 C．4 D．3 6．若圆心在 x轴上、半径为 5的圆O位于 y轴左侧，且与直线 2 0x y  相切，则圆O的 方程是 w_w w. k#s5_u .c o*m A． 2 2( 5) 5x y   B． 2 2( 5) 5x y   w_w*w.k_s_5 u.c*o*m C． 2 2( 5) 5x y   D． 2 2( 5) 5x y   7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 w_w w. k#s5_u.c o*m A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 8．“ x >0”是“ 3 2x >0”成立的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 w_w*w.k_s_5 u.c*o*m C．非充分非必要条件 D．充要条件 9 ． 如 图 1 ， ABC 为 正 三 角 形 ， ' ' '/ / / /AA BB CC ， ' ' ' '3 2 CC BB CC AB   平面ABC且3AA ，则多面体 ' ' 'ABC ABC 的正视图(也称主视图) 是 w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 10．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：w_w w. k#s5_u.c o*m 那么 d ( )a c  A．a B．b C．c D．d 二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题 5分，满分 20分． （一）必做题(11～13题) 11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法， 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4 位居 民的月均用水量分别为 1x ，…， 4x (单位：吨)．根据图 2所示 的程序框图，若 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，分别为 1，1.5，1.5， 2， 则输出的结果 s为 . w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 12．某市居民 2005～2009年家庭年平均收入 x（单位：万元）与年平均支出 Y（单位：万元） 的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u .c o*m 年份 2005 2006 2007 2008 2009 收入 x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出 Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系. 13．已知 a，b，c分别是△ABC的三个内角 A，B，C所对的边，若 a=1，b= 3，A+C=2B， 则 sinA= .w_w w.k#s5_u .c o*m （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图 3，在直角梯形 ABCD中，DC∥AB， CB⊥AB，AB=AD=a，CD= 2 a ，点 E，F分别为线段 AB，AD的中点， 则 EF= . 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ， ）（0 2  ＜ ） 中，曲线  cos sin 1    与  sin cos 1    的交点的极坐 标为 . w_w*w.k_ s_5 u.c*o*m 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分 14分） 设函数   3sin 6 f x x       ， 0＞ ，  ,x   ，且以 2  为最小正周期． （1）求  0f ；w_w（2）求  f x 的解析式；（3）已知 9 4 12 5 f        ，求 sin 的值．w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 17．（本小题满分 12分） 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100名电视 观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m （1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m （2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5名，大于 40岁的观众应该抽取几 名？ （3）在上述抽取的 5 名观众中任取 2名，求恰有 1 名观 众的年龄为 20至 40岁的概率。w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 18.(本小题满分 14分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图 4，弧 AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B和点C为线段 AD的三等分点， 平面 AEC外一点 F 满足 FC 平面 BED， FB = 5a . （1）证明：EB FD ； （2）求点 B到平面FED的距离. w_w*w.k_ s_5 u.c*o*m w19.（本小题满分 12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合 物，6个单位的蛋白质和 6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含 8个单位的碳水化合物， 6个单位的蛋白质和 10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个 单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和 54个单位的维生素C . 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5元和 4元，那么要满足上述的营养要求， 并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_ s_5 u.c*o*m 20.（本小题满分 14分） 已知函数 ( )f x 对任意实数 x均有 ( ) ( 2)f x kf x  ，其中常数 k为负数，且 ( )f x 在区间  0,2 上有表达式 ( ) ( 2)f x x x  .w_w w.k#s5_u .c o*m （1）求 ( 1)f  ， (2.5)f 的值； （2）写出 ( )f x 在 3,3 上的表达式，并讨论函数 ( )f x 在 3,3 上的单调性； （3）求出 ( )f x 在 3,3 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 21.（本小题满分 14分）w_w w.k#s5_u .c o*m 已知曲线 2 nC y nx： ，点 ( , )( 0, 0)n n n n nP x y x y  是曲线 nC 上的点（n=1,2,…）. （1）试写出曲线 nC 在点 nP 处的切线 nl 的方程，并求出 nl 与 y轴的交点 nQ 的坐标； （2）若原点 (0,0)O 到 nl 的距离与线段 n nPQ 的长度之比取得最大值，试求试点 nP 的坐标 ( ,n nx y )；w_w*w.k_s_5 u.c*o*m （3）设m与 k为两个给定的不同的正整数， nx 与 ny 是满足（2）中条件的点 nP 的坐标， 证明： 1 ( 1) ( 1) 2 s n n n m x k y ms ks       ( 1, 2, )s  … w.w.ww.w.^w.k.s.5* w_w w. k#s5_u.c o*m 参考答案（） 一 选择题 参考答案 绝密★启用前 试 卷类型：B 2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东 卷） 数学（文科） 本试题共 4页，21小题，满分 150分，考试用时 120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应 位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用 2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。 漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体体积公式 1 3 V Sh ，其中 S为锥体的底面积， h为锥体的高． 线性回归方程  y bx a  中系数计算公式 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x          ， a y bx   ， 样本数据 1 2, , , nx x x 的标准差， 2 2 2 1 2 1 [( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x x n        ， 其中 x， y表示样本均值． n是正整数，则 1 2 2 1( )( )n n n n n na b a b a a b ab b          ． 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．设复数 z满足 1iz  ，其中 i为虚数单位，则 z  A． i B． i C． 1 D．1 1．（A）． 1 ( ) iz i i i i        2．已知集合 {( , ) | ,A x y x y 为实数，且 2 2 1}x y  ， {( , ) | ,B x y x y 为实数，且 1}x y  ，则 A B 的元素个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（C）． A B 的元素个数等价于圆 2 2 1x y  与直线 1x y  的交点个数，显然有 2个 交点 3．已知向量 (1, 2), (1,0), (3, 4)  a b c ．若为实数， ( )a b ∥ c ，则  A． 1 4 B． 1 2 C．1 D．2 3．（B）． (1 , 2)   a b ，由 ( )a b ∥ c，得 6 4(1 ) 0   ，解得  1 2 4．函数 1( ) lg(1 ) 1 f x x x     的定义域是 A． ( , 1)  B． (1, ) C． ( 1,1) (1, )   D． ( , )  4．（C）． 1 0 1 1 0 x x x        且 1x  ，则 ( )f x 的定义域是 ( 1,1) (1, )   5．不等式 22 1 0x x   的解集是 2 3 正视图 图 1 侧视图 图 2 2 俯视图 2 图 3 A． 1( ,1) 2  B． (1, ) C． ( ,1) (2, )   D． 1( , ) (1, ) 2     5．（D）． 2 12 1 0 ( 1)(2 1) 0 2 x x x x x          或 1x  ，则不等式的解集为 1( , ) (1, ) 2     6．已知平面直角坐标系 xOy上的区域D由不等式组 0 2 2 2 x y x y      ≤ ≤ ≤ ≤ 给定．若 ( , )M x y 为D 上的动点，点 A 的坐标为 ( 2,1)，则 z OM OA     的最大值为 A．3 B．4 C．3 2 D． 4 2 6．（B）． 2z x y  ，即 2y x z   ，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线 2y x z   经过点 ( 2, 2)时， z取得最大值， max 2 2 2 4z     7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么 一个正五棱柱对角线的条数共有 A．20 B．15 C．12 D．10 7．（D）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所 以一个正五棱柱对角线的条数共有5 2 10  条 8．设圆C与圆 2 2( 3) 1x y   外切，与直线 0y  相切，则C的圆心轨迹为 A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 8．（A）．依题意得，C的圆心到点 (0,3)的距离与它到直线 1y   的距离相等，则C的圆 心轨迹为抛物线 9．如图 1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）， 侧 视图（左视图）和俯视图分别是等边三角 形，等腰三角形和菱形，则该几何体的 体 积为 A． 4 3 B．4 C． 2 3 D．2 9．（C）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积 1 2 2 3 2 3 2 S     ，四棱 锥的高为3， 则该几何体的体积 1 1 2 3 3 2 3 3 3 V Sh     10．设 ( ), ( ), ( )f x g x h x 是R上的任意实值函数，如下定义两个函数 ( )f g ( )x 和 ( )f g ( )x ：对任意 xR， ( )f g ( )x  ( ( ))f g x ； ( )f g ( )x  ( ) ( )f x g x ，则下 列等式恒成立的是 A． ( ( )f g 　　h ) ( )x  ( ( )f h 　( )g h ) ( )x B． ( ( )f g 　h ) ( )x  ( ( )f h 　　( )g h ) ( )x C． ( ( )f g  h ) ( )x  ( ( )f g　 　( )g h　 ) ( )x D． ( ( )f g 　h ) ( )x  ( ( )f g 　　( )g h ) ( )x 10．（B）．对 A选项 ( ( )f g 　　h ) ( )x  ( )f g ( ) ( )x h x ( ( )) ( )f g x h x ( ( )f h 　( )g h ) ( )x  ( )f h ( ( ) ( )g h x 　 )  ( )f h ( ( ( ) ( )g x h x ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))f g x h x h g x h x   ，故排除 A 对 B选项 ( ( )f g 　h ) ( )x  ( )( ( ))f g h x  ( ( )) ( ( ))f h x g h x ( ( )f h 　　( )g h ) ( )x  ( )( )( )( )f h x g h x  ( ( )) ( ( ))f h x g h x ，故 选 B 对 C选项 ( ( )f g  h ) ( )x  ( )( ( ))f g h x ( ( ( )))f g h x ( ( )f g　 　( )g h　 ) ( )x  ( )(( )( )) ( )( ( ( )))f g g h x f g g h x  　 ( ( ( ( ))))f g g h x ，故排除 C 对 D选项 ( ( )f g 　h ) ( )x  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x h x f x g x h x ( ( )f g 　　( )g h ) ( )x  ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x g h x f x g x g x h x  ，故 排除 D 二、填空题：本大题共 5小题，考生作答 4小题，每小题 5分，满分 20分． （一）必做题（9 ~ 13题） 11． 已 知 { }na 是 递 增 的 等 比 数 列 ， 若 2 2a  ， 4 3 4a a  ， 则 此 数 列 的 公 比 q  ． 11．2． 2 2 4 3 2 24 4 2 2 4 0 2( 2)( 1) 0a a a q a q q q q q             2q  或 1q   ∵{ }na 是递增的等比数列，∴ 2q  12．设函数 3( ) cos 1f x x x  ．若 ( ) 11f a  ，则 ( )f a  ． 12． 9 3( ) cos 1 11f a a a   ，即 3( ) cos 10f a a a  ， 则 3 3( ) ( ) cos( ) 1 cos 1 10 1 9f a a a a a             13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月 1 号到 5号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y之间的关系： 时间 x 1 2 3 4 5 命中率 y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这 5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小 李该月 6号打 6小时篮球的投篮命中率为 ． 13．0.5；0.53 小李这 5天的平均投篮命中率 1 (0.4 0.5 0.6 0.6 0.4) 0.5 5 y       3x  ， 1 2 2 2 2 2 1 ( )( ) 0.2 0 0 0.1 ( 0.2) 0.01 ( 2) ( 1) 0 1 2( ) n i i i n i i x x y y b x x                      ，  0.47a y bx   ∴线性回归方程  0.01 0.47y x  ，则当 6x  时， 0.53y  ∴预测小李该月 6号打 6小时篮球的投篮命中率为0.53 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 图 4 BA CD E F 14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为 5 cos sin x y       (0 ) ≤ 和 25 4 x t y t      (t )R ，它们的交点坐标为___________． 14． 2 5(1, ) 5 ． 5 cos sin x y       表示椭圆 2 2 1 5 x y  ( 5 5 0 1)x y    且 ， 25 4 x t y t      表示抛物 线 2 4 5 y x 2 2 2 2 1( 5 5 0 1) 5 4 5 0 1 4 5 x y x y x x x y x                  且 或 5x   （舍去）， 又因为0 1y  ，所以它们的交点坐标为 2 5(1, ) 5 15．（几何证明选讲选做题）如图 4，在梯形 ABCD中， AB∥CD， 4AB  ， 2CD  ， ,E F分别为 ,AD BC 上的点，且 3EF  ， EF ∥ AB，则梯形 ABFE与梯形 EFCD的面积比为________． 15． 7 5 如图，延长 ,AD BC， AD BC P ∵ 2 3 CD EF  ，∴ 4 9 PCD PEF S S    ∵ 2 4 CD AB  ，∴ 4 16 PCD PEF S S    ∴ 7 5 ABEF EFCD S S 梯形 梯形 P BA CD E F 三、解答题：本大题共 6小题，满分 80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分 12分） 已知函数 1( ) 2sin( ) 3 6 f x x    ， x R． （1）求 (0)f 的值； （2）设 , 0, 2        ， 10(3 ) 2 13 f    ， 6(3 2 ) 5 f    ，求 sin( )  的值． 16．解：（1） (0) 2sin( ) 1 6 f      （2） 1 10(3 ) 2sin[ (3 ) ] 2sin 2 3 2 6 13 f           ，即 5sin 13   1 6(3 2 ) 2sin[ (3 2 ) ] 2sin( ) 3 6 2 5 f             ，即 3cos 5   ∵ , 0, 2        ， ∴ 2 12cos 1 sin 13     ， 2 4sin 1 cos 5     ∴ 5 3 12 4 63sin( ) sin cos cos sin 13 5 13 5 65              17．（本小题满分 13分） 在某次测验中，有 6位同学的平均成绩为 75分．用 nx 表示编号为 n ( 1, 2, ,6)n   的 同学所得成绩，且前 5位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩 nx 70 76 72 70 72 （1）求第 6位同学的成绩 6x ，及这 6位同学成绩的标准差 s； （2）从前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间（68，75）中 的概率． 17．解：（1） 6 1 (70 76 72 70 72 ) 75 6 x      ，解得 6 90x  标 准 差 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1 1[( ) ( ) ( ) ] (5 1 3 5 3 15 ) 7 6 6 s x x x x x x              B A B A C C D D E E G H  1O 2O 1O  2O  图 5 B A B A C C D D E E G H  1O 2O 1O  2O  H （2）前 5位同学中随机选出的 2位同学记为 ( , )a b ， , {1,2,3,4,5}a b 且 a b 则基本事件有 (1, 2)， (1,3)， (1, 4)， (1,5)， (2,3)， (2, 4)， (2,5)， (3, 4)， (3,5)， (4,5)共 10种 这 5位同学中，编号为 1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中 设 A表示随机事件“从前 5位同学中随机选出 2位同学，恰有 1位同学成绩在区间（68， 75）中” 则 A中的基本事件有 (1, 2)、 (2,3)、 (2, 4)、 (2,5)共 4种，则 4 2( ) 10 5 P A   18．（本小题满分 13分） 图 5所示的几何体是将高为 2，底面半径为 1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一 半沿切面向右水平平移后得到的． , , ,A A B B 分别为CD ,C D  ,DE ,D E 的中点， 1 1 2 2, , ,O O O O 分别为CD ,C D  , DE ,D E 的中点． （1）证明： 1 2, , ,O A O B  四点共面； （2）设G为 AA中点，延长 1A O  到H ，使得 1 1O H A O   ．证明： 2BO  平面 H B G  ． 18．证明：（1）连接 2 ,BO 2 2 ,O O  依题意得 1 1 2 2, , ,O O O O 是圆柱底面圆的圆心 ∴ , , ,CD C D DE D E   是圆柱底面圆的直径 ∵ , ,A B B 分别为C D  ,DE ,D E 的中点 ∴ 1 2 90A O D B O D         ∴ 1A O  ∥ 2BO  ∵ BB // 2 2O O ，四边形 2 2O O B B  是平行四边形 ∴ 2BO ∥ 2BO  ∴ 1A O  ∥ 2BO ∴ 1 2, , ,O A O B  四点共面 （2）延长 1A O 到H ，使得 1 1O H AO  ，连接 1, ,HH HO HB ∵ 1 1O H A O   ∴ 1O H  // 2O B ，四边形 1 2O O B H   是平行四边形 ∴ 1 2O O ∥H B  ∵ 1 2 2 2O O O O   ， 1 2 2O O B O   ， 2 2 2 2O O B O O    ∴ 1 2O O  面 2 2O O B B  ∴H B  面 2 2O O B B  ， 2BO  面 2 2O O B B  ∴ 2BO H B   易知四边形 AA H H  是正方形，且边长 2AA  ∵ 1 1 tan 2HHHO H O H        ， 1tan 2 A GA H G A H        ∴ 1tan tan 1HO H A H G       ∴ 1 90HO H A H G       ∴ 1HO HG  易知 1 2O O  //HB，四边形 1 2O O BH  是平行四边形 ∴ 2BO ∥ 1HO  ∴ 2BO H G  ，HG H B H    ∴ 2BO  平面H B G  ． 19．（本小题满分 14分） 设 0a  ，讨论函数 2( ) ln (1 ) 2(1 )f x x a a x a x     的单调性． 19．解：函数 ( )f x 的定义域为 (0, ) 21 2 (1 ) 2(1 ) 1( ) 2 (1 ) 2(1 ) a a x a xf x a a x a x x           令 2( ) 2 (1 ) 2(1 ) 1g x a a x a x     2 24(1 ) 8 (1 ) 12 16 4 4(3 1)( 1)a a a a a a a           ① 当 10 3 a  时， 0  ，令 ( ) 0f x  ，解得 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) a a a x a a       则当 1 (3 1)( 1) 0 2 (1 ) a a a x a a        或 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) a a a x a a       时， ( ) 0f x  当 1 (3 1)( 1) 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) 2 (1 ) a a a a a a x a a a a             时， ( ) 0f x  则 ( )f x 在 1 (3 1)( 1) (0, ) 2 (1 ) a a a a a      ， 1 (3 1)( 1) ( , ) 2 (1 ) a a a a a       上单调递 增， 在 1 (3 1)( 1) 1 (3 1)( 1) ( , ) 2 (1 ) 2 (1 ) a a a a a a a a a a           上单调递减 ② 当 1 1 3 a  时， 0  ， ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增 ③ 当 1a  时， 0  ，令 ( ) 0f x  ，解得 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) a a a x a a       ∵ 0x  ，∴ 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) a a a x a a       则当 1 (3 1)( 1) 0 2 (1 ) a a a x a a        时， ( ) 0f x  当 1 (3 1)( 1) 2 (1 ) a a a x a a       时， ( ) 0f x  则 ( )f x 在 1 (3 1)( 1) (0, ) 2 (1 ) a a a a a      上 单 调 递 增 ， 在 1 (3 1)( 1) ( , ) 2 (1 ) a a a a a       上单调递减 20．（本小题满分 14分） 设 0b  ，数列{ }na 满足 1a b ， 1 1 1 n n n nbaa a n      (n≥ 2)． （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数 n， 2 na ≤ 1 1nb   ． 20．（1）解：∵ 1 1 1 n n n nbaa a n      ∴ 1 1 1 n n n a ba n a n      ∴ 1 1 1 1 n n n n a b a b     ① 当 1b  时， 1 1 1 n n n n a a     ，则{ } n n a 是以 1为首项，1为公差的等差数列 ∴ 1 ( 1) 1 n n n n a      ，即 1na  ② 当 0b  且 1b  时， 1 1 1 1 1( ) 1 1n n n n a b b a b       当 1n  时， 1 1 1 (1 )n n a b b b     ∴ 1{ } 1n n a b   是以 1 (1 )b b 为首项， 1 b 为公比的等比数列 ∴ 1 1 1( ) 1 1 n n n a b b b      ∴ 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) n n n n n b a b b b b b        ∴ (1 ) 1 n n n n b ba b    综上所述 (1 ) , 0 1 1 1 1 n n n n b b b ba b b        　 且 ，　 　 　　　 （2）证明：① 当 1b  时， 12 1 2n na b    ； ② 当 0b  且 1b  时， 2 11 (1 )(1 )n n nb b b b b        要证 12 1n na b   ，只需证 12 (1 ) 1 1 n n n n b b b b     ， 即证 2 (1 ) 1 1 n n n b b b b     即证 2 1 2 1 1 n n n n b b b b b        即证 2 11( )(1 ) 2n n nb b b b n b        即证 2 1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) 2n n n nb b b b n b b b b             ∵ 2 1 1 2 1 1 1 1( ) ( )n n n nb b b b b b b b            2 1 2 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n n nb b b b b b b b           2 1 2 1 1 1 1 12 2 2 2 2n n n nb b b b n b b b b            ，∴原不等式成立 x y O 2x   A P l M M x y O 2x   T N l H N H  H ∴对于一切正整数n， 2 na ≤ 1 1nb   ． 21．（本小题满分 14分） 在平面直角坐标系 xOy上，直线 l： 2x   交 x轴于点 A．设P是 l上一点，M 是线 段OP的垂直平分线上一点，且满足 MPO AOP   ． （1）当点 P在 l上运动时，求点M 的轨迹 E的方程； （2）已知 (1, 1)T  ，设H 是 E上动点，求 HO HT 的最小值，并给出此时点H 的 坐标； （3）过点 (1, 1)T  且不平行于 y轴的直线 1l 与轨迹 E有且只有两个不同的交点，求直 线 1l 的斜率 k的取值范围． 21．解：（1）如图所示，连接OM ，则 PM OM ∵ MPO AOP   ， ∴动点M 满足MP l 或M 在 x的负半轴上，设 ( , )M x y ① 当MP l 时， 2MP x  ， 2 2OM x y  2 22x x y   ，化简得 2 4 4y x  ( 1)x   ② 当M 在 x的负半轴上时， 0y  ( 1)x   综上所述，点M 的轨迹 E的方程为 2 4 4y x  ( 1)x   或 0y  ( 1)x   （2）由（1）知 M 的轨迹是顶点为 ( 1,0) ，焦点为原点的抛物线和 x 的负半轴 0y  ( 1)x   ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l 于 N 由于 l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有 HO HN 则 HO HT HN HT   当 , ,N H T 三点共线时， HN HT 有最小值 3TN  求得此时H的坐标为 3( , 1) 4   ② 若H 是 x的负半轴 0y  ( 1)x   上的动点 显然有 3HO HT  x y O TA 1l 1l 1l 综上所述， HO HT 的最小值为 3，此时点H 的坐标为 3( , 1) 4   （3）如图，设抛物线顶点 ( 1,0)A  ，则直线 AT 的斜率 1 2ATk   ∵点 (1, 1)T  在抛物线内部， ∴过点T 且不平行于 ,x y轴的直线 1l 必与抛物线有两个交点 则直线 1l 与轨迹 E的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当 1 2 k   时，直线 1l 与轨迹 E有且只有两个不同的交点 ② 当 1 0 2 k   时，直线 1l 与轨迹 E有且只有三个不同的交点 ③ 当 0k  时，直线 1l 与轨迹 E有且只有一个交点 ④ 当 0k  时，直线 1l 与轨迹 E有且只有两个不同的交点 综上所述，直线 1l 的斜率 k的取值范围是 1( , ] (0, ) 2   