高考真题——数学江苏卷解析版

高考真题——数学江苏卷解析版

2012 江苏高考数学试卷答案与解析 一.填空题： 1．已知集合 ， ，则 ▲ ． 【答案】 【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合 A 和集合 B 的元素组成的 集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是 ， ， ， ，所以答案为 . 【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属 于基本题，难度系数较小. 2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年 级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】 【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为 ，那么根据题意得： 从高三一共可以抽取人数为： 人，答案 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也 叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的 科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容 易题，也是高考热点问题，希望引起重视． 3. 设 ， （i 为虚数单位），则 的值为 ▲ ． 【答案】 【解析】据题 ，所以 从 而 . 【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审 题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化 的实质. 4. 右图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 ▲ ． {1 2 4}A = ， ， {2 4 6}B = ， ， A B = { }6,4,2,1 1 2 4 6 { }6,4,2,1 3 3 4: : 15 50 1510 350 =× 15 a b∈R， 11 7ii 1 2ia b −+ = − a b+ 8 ii ii ii i ibia 355 1525 )21)(21( )21)(711( 21 711 +=+=+− +−=− −=+ ,3,5 == ba 8=+ ba 【答案】 【解析】根据循环结构的流程图，当 时，此时 ；不满足条件，继续执行 循 环 体 ， 当 时 ， ； 不 满 足 条 件 ， 继 续 执 行 循 环 ， 当 时 ， 不 满 足 条 件 ， 然 后 依 次 出 现 同 样 的 结 果 ， 当 时 ， 此 时 ，此时满足条件跳出循环，输出 的值为 ． 【点评】本题主要考查算法的定义、流程图及其构成，考查循环结构的流程图.注意循环条件 的设置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的 的值．这是新课标的新增内容，也 是近几年的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程． 5. 函数 的定义域为 ▲ ． 【答案】 【解析】根据题意得到 ，同时， ＞ ，解得 ，解得 ， 又 ＞ ，所以函数的定义域为： . 【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略 ＞ 这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度 重视.本题属于基本题，难度适中. 6. 现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项， 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机 抽取一个数，则它小于 8 的概率是 ▲ ． 【答案】 【解析】组成满足条件的数列为： 从中随机取 5 1=k 0452 =+− kk 2=k 6452 −=+− kk 3=k 2452 −=+− kk 5=k 4452 =+− kk k 5 k 6( ) 1 2logf x x= − (0, 6 0log21 6 ≥− x x 0 2 1log6 ≤x 6≤x x 0 (0, 6 x 0 3− 5 3 .19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1 −−−−− 出一个数共有取法 种，其中小于 的取法共有 种，因此取出的这个数小于 的概率为 . 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事 件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别 注意. 7．如图，在长方体 中， ， ，则四棱锥 的体积为 cm3. 【答案】 【解析】如图所示，连结 交 于点 ，因为 平面 ，又因为 ， 所 以 ， ， 所 以 四 棱 锥 的 高 为 ， 根 据 题 意 ，所以 ，又因为 ， ，故矩形 的面积为 ，从而四棱锥 的体积 . 【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的 位置关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥 的高为 ，这是 O D1 A1 C1 B1 A CD B 10 8 6 8 5 3 1 1 1 1ABCD ABC D− 3cmAB AD= = 1 2cmAA = DDBBA 11− 36cm AC BD O DDBBABCD 11⊥ BDAC ⊥ DDBBAC 11平面⊥ DDBBA 11− AO 3cmAB AD= = 2 23=AO 3 2cmBD = 1 2cmAA = DDBB 11 26 2cm DDBBA 11− 31 3 26 2 6cm3 2V = × × = DDBBA 11− AO D A B C 1C1D 1A 1B 解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵 活运用.本题属于中档题，难度适中. 8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 若 双 曲 线 的 离 心 率 为 ， 则 m 的 值 为 ▲ ． 【答案】 【解析】根据题目条件双曲线的焦点位置在 轴上（否则不成立），因此 ＞ ，由离心率公 式得到 ，解得 . 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对 本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看， 几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中. 9. 如图，在矩形 ABCD 中， 点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 ，则 的值是 ▲ ． 【答案】 【解析】根据题意 所以 从而得到 ，又因为 ，所以 . 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法 xOy 2 2 2 14 x y m m − =+ 5 2 x m 0 542 =++ m mm 2=m 2 2AB BC= =， ， 2AB AF =   AE BF   2 , →→→ += DFBCAF ( ) cos0 2 2,AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF DF → → → → → → → → → → → → → → • = • + = • + • = • = ⋅ ° = = 1= → DF →→→→→→ +=+= CFBCBFDFADAE , 2180cos00)()( 2 =⋅+++=+•+=• °→→→→→→→→→ CFDFBCCFBCDFADBFAE A B C E FD 找到 ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目. 10. 设 是定义在 上且周期为 2 的函数，在区间 上， 其中 ．若 ，则 的值为 ▲ ． 【答案】 . 【解析】因为 ，函数 的周期为 ，所以 ，根据 得到 ， 又 ，得到 ，结合上面的式子解得 ， 所以 . 【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性 将式子化简为 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难 度适中. 11. 设 为锐角，若 ，则 的值为 ▲ ． 【答案】 【解析】根据 ， ， 因 为 ， 所 以 ， 因 为 . 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三 角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度 1= → DF ( )f x R [ 1 1]− ， 0 1 1 1 ( ) 2 01 x x ax f x bx x <+ −= +  + ≤ ≤ ≤ ， ， ， ， a b∈R， 1 3 2 2f f   =       3a b+ 10− 1 3 2 2f f   =       ( )f x 2 )2 1()22 3()2 1( −=−= fff 0 1 1 1 ( ) 2 01 x x ax f x bx x <+ −= +  + ≤ ≤ ≤ ， ， ， ， 223 −=+ ba )1()1( −= ff 02,2 21 =++=+− baba 即 4,2 −== ba 103 −=+ ba )2 1()22 3()2 1( −=−= fff α 4cos 6 5 α π + =   )122sin( πα + 50 217 4cos 6 5 α π + =   25 7125 1621)6(cos2)32cos( 2 =−×=−+=+ παπα 0)32cos(  πα + 25 24 25 71)32sin( 2 =    −=+ πα 50 217 4sin)32cos(4cos)32sin(]4)32sin[()122sin( =+−+=−+=+ ππαππαππαπα 稍高. 12. 在平面直角坐标系 中，圆 C 的方程为 ，若直线 上至少存在一 点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是 ▲ ． 【答案】 【解析】根据题意 将此化成标准形式为： ，得到，该圆的圆 心为 半径为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆 与圆 C 有公共点，只 需要圆心 到直线 的距离 ，即可，所以有 ，化简得 解得 ，所以 k 的最大值是 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准 方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是 对若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，这句 话的理解，只需要圆心 到直线 的距离 即可，从而将问题得以转化.本题 属于中档题，难度适中. 13. 已知函数 的值域为 ，若关于 x 的不等式 的解 集为 ，则实数 c 的值为 ▲ ． 【答案】 【解析】根据函数 ，得到 ，又因为关于 的不等式 ， 可 化 为 ： ， 它 的 解 集 为 ， 设 函 数 图 象 与 轴 的 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 ， 则 ，从而， ，即 ，又因为 ，代入得到 . 【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系. 二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大. xOy 2 2 8 15 0x y x+ − + = 2y kx= − 3 4 2 2 8 15 0x y x+ − + = ( ) 14 22 =+− yx M ( )0,4 1 2y kx= − M ( )0,4 2y kx= − 11+≤d 2 1 24 2 ≤ + −= k kd 0)43( ≤−kk 3 40 ≤≤ k 3 4 2y kx= − M ( )0,4 2y kx= − 11+≤d 2( ) ( )f x x ax b a b= + + ∈R， [0 )+ ∞， ( )f x c< ( 6)m m +， 9 0)( 2 ≥++= baxxxf 042 =− ba x ( )f x c< 2 0x ax b c+ + − < ( )6, +mm cbaxxxf −++= 2)( x 21, xx 6612 =−+=− mmxx 36)( 2 12 =− xx 364)( 21 2 21 =−+ xxxx axxcbxx −=+−= 2121 , 9=c 14. 已知正数 满足： 则 的取值范围是 ▲ ． 【答案】 【解析】根据条件 ，得到 ，得到 .又因为 ，所以 ，由已知 ， 得到 .从而 ，解得 . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形， 做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大. 二、解答题 15. （本小题满分 14 分） 在 中，已知 ． （1）求证： ； （2）若 求 A 的值． 【答案及解析】 【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒 等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角 和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几 乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中. a b c， ， 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥， ， b a [ ]7,e 4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b− +− ≤ ≤ ≥， ， ( ) c bccbca lnlnln =−≤ ln , 1 a cb a b ec c c ≥ ≥ > c b< bac ≤− 35 3 5 a bc +< acb −≤ 4 4 a bc +> bba ≤+ 4 3 1≥ a b ABC∆ 3AB AC BA BC=      tan 3tanB A= 5cos 5C = ， 16. （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 中， ， 分别是棱 上的点（点 D 不同于点 C），且 为 的中点． 求证：（1）平面 平面 ； （2）直线 平面 ADE． 【答案及解析】 【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判 定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点， 相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化． 17. （本小题满分 14 分） 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过 多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC= D E， 1BC CC， AD DE F⊥ ， 1 1B C ADE ⊥ 1 1BCC B 1 //A F 2 21 (1 ) ( 0)20y kx k x k= − + > x（千米） y（千米） O （第 17 题） 【答案及解析】 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的 最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后 建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分 16 分） 已知 a，b 是实数，1 和 是函数 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设函数 的导函数 ，求 的极值点； （3）设 ，其中 ，求函数 的零点个数． 【答案及解析】 1− 3 2( )f x x ax bx= + + ( )g x ( ) ( ) 2g x f x′ = + ( )g x ( ) ( ( ))h x f f x c= − [ 2 2]c∈ − ， ( )y h x= 【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系 统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合 思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分 析问题和解决问题的能力，运算量比较大． 19. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率； （2）设 A，B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点 P． （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值． 【答案及解析】 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1( 0)F c− ， 2 ( 0)F c， (1 )e， 3 2e       ， 1AF 2BF 2AF 1BF 1 2 6 2AF BF− = 1AF 1 2PF PF+ A BP O1F 2F x y （第 19 题） 【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待 定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件 时， 2 6 21 =− BFAF 需要注意直线 和直线 平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分 16 分） 已知各项均为正数的两个数列 和 满足： ． （1）设 ，求证：数列 是等差数列； （2）设 ，且 是等比数列，求 和 的值． 【答案与解析】 【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的 互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是 有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在 1AF 2BF { }na { }nb 1 2 2 n n n n n a ba n a b ∗ + += ∈ + N， 1 1 n n n bb na ∗ + = + ∈N， 2 n n b a           1 2 n n n bb na ∗ + = ⋅ ∈N， { }na 1a 1b 训练时，要引起足够的重视. 数学Ⅱ(附加题) 21．[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆上位于 AB 异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使 BD = DC，连结 AC，AE，DE． 求证： ． 【答案与解析】 【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质 考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属 于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多， 在练习时，要有所侧重． B．[选修 4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A 的逆矩阵 ，求矩阵 A 的特征值． 【答案与解析】 E C∠ = ∠ 1 1 3 4 4 1 1 2 2 −  −  =    −   A A E B D C O （第 21-A 题） 【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式 与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可； 在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档 题． C．[选修 4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 在极坐标中，已知圆 C 经过点 ，圆心为直线 与极轴的交点，求 圆 C 的极坐标方程． 【答案与解析】 【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角 和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线 与极轴的交点，考 查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低 档题为主． D．[选修 4 - 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知实数 x，y 满足： 求证： ． 【答案与解析】 ( )2 4P π， ( ) 3sin 3 2 ρ θ π− = − 2 3)3sin( −=− πθρ 1 1| | | 2 |3 6x y x y+ < − <， ， 5| | 18y < 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适 中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用. 22．（本小题满分 10 分） 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， ；当两条棱 平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， ． （1）求概率 ； （2）求 的分布列，并求其数学期望 ． 【答案与解析】 【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事 件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求 解，在列分布列时，要注意 的取值情况，不要遗漏 的取值情况． 23．（本小题满分 10 分） 设集合 ， ．记 为同时满足下列条件的集合 A 的个数： ① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ． ξ 0ξ = ξ 1ξ = ( 0)P ξ = ξ ( )E ξ ξ ξ {1 2 }nP n= ， ， ，… n ∗∈N ( )f n nA P⊆ x A∈ 2x A∉ nPx A∈ 2 nPx A∉ （1）求 ； （2）求 的解析式（用 n 表示）． 【答案与解析】 【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集 和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中. (4)f ( )f n