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文档介绍
2007—2011历年湖南数学理工类高考试题
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数等于（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．设是两个集合，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有 A． B． C． D． 5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则= A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975 6．函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 7．下列四个命题中，不正确的是（ ） A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D． 8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ） A． B． C． D． 9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。 11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 。 12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 。 13．函数在区间上的最小值是 。 14．设集合，，， （1）的取值范围是 ； （2）若，且的最大值为9，则的值是 。 15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数，。 （I）设是函数图象的一条对称轴，求的值； （II）求函数的单调递增区间。 17．（本小题满分12分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。 （I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望。 18．（本小题满分12分） 如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且。连结，如图3。 （I）证明：平面平面； （II）当，，时，求直线和平面所成的角。 19．（本小题满分12分） 如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用。从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元。已知，，，。 （I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小； （II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小； （III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论。 20．（本小题满分12分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。 （I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； （II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 21．（本小题满分13分） 已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…。 （I）证明：数列（）是常数数列； （II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增。 绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学(理工农医类) 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数等于 A.8 B.－8 C.8i D.－8i 2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的 A．充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 A.2 B.5 C.6 D.8 4.设随机变量服从正态分布N(2,9) ,若P (＞c+1)=P(＜c－,则c= A.1 B.2 C.3 D.4 5.设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是 A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ 6.函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是 A.1 B. C. D.1+ 7.设D 、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 则与 A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=, AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是 A. 2 B. C. D. 10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1），对于给定的nN*,定义，x,则当x时，函数的值域是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。 11._____ 12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于____ 13.设函数y=f (x)存在反函数y= f－1（x），且函数y = x－f (x)的图象过点（1，2），则函数 y=f－1(x)－x的图象一定过点 . 14.已知函数f(x)＝ （1）若a＞0,则f(x)的定义域是____ (2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是________ 15. 对有n (n≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n=________；所有Pif(1≤i＜j≤的和等于 ______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望. 17.（本小题满分12分） 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB; （Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小. 18.（本小题满分12分） 数列 (Ⅰ)求并求数列的通项公式； (Ⅱ)设证明：当 19.（本小题满分13分） 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域. 。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. （I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I）如图，AB=40，AC=10， 由于<<，所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为（海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1=AB=40， , 所以过点B、C的直线l的斜率k=, 直线l的方程为y=2x－40. 又点E（0，－55）到直线l的距离d= 20.（本小题满分13分） 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2. （Ⅰ）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； （Ⅱ）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=ln2(1+x)－. （Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间; （Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）. 求的最大值. 2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，，则【 】 A．, B．, C. , D. , 2．对于非零向量“”是“”的【 】 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 】 A． B． C. D. 4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 】 A ． B ． C ． D ． 5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】 A． 85 B． 56 C ．49 D ．28 6．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 】 A． B． C． D． 7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 】 A．2 B．3 C． 4 D．5 8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【 】 A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _. 10．在的展开式中，的系数为___(用数字作答). 11．若，则的最小值为 . 12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为 13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 。 14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 （1）球心到平面ABC的距离为 ； （2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 . 15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有， ，… ， . 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在中，已知，求角A，B，C的大小 17．（本小题满分12分） 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。 18．（本小题满分12分） 如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且 （I）证明：平面平面； （II）求直线和平面所成角的正弦值。 19．（本小题满分13分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。 （Ⅰ）试写出关于的函数关系式； （Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 20．（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 21．（本小题满分13分） 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； （Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断； A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列; B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。 2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．[来源:Z#xx#k.Com] 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．下列命题中的假命题是 A．， B．，[来源:Z&xx&k.Com] C．， D．， 3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是 A．圆、直线 B．直线、圆[来源:学+科+网] C．圆、圆 D．直线、直线 4．在中，，，则等于 A． B． C．8 D．16 5．等于 A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则[来源:学_ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 8．用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为 A． B．2 C． D．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g． 10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点．已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 ． 11．在区间上随机取一个数，则的概率为 ． 12．图2是求的值的程序框图，则正整数 ． 13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ． 开始 否 输出 结束 是 图2 14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ． 15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）求函数的零点的集合. 17．（本小题满分12分） 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.[来源:学.科.网] （Ⅰ）求直方图中的值. （Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体中，E是棱的中点. （Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. 19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分 边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 20.（本小题满分13分） 已知函数对任意的，恒有. （Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值. 21．（本小题满分13分） 数列中，是函数的极小值点. （Ⅰ）当时，求通项； （Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。 参考公式：（1），其中为两个事件，且， （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。 （3）球的体积公式，其中为求的半径。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，为虚数单位，且则 A．， B. C. D. 2.设集合则 “”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 由算得，. 参照附表，得到的正确结论是 A． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 A. B.1 C. D. 7.设m＞1，在约束条件下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为 A.（1，） B.（，） C.（1,3 ） D.（3，） 8.设直线x=t 与函数， 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为 A.1 B. C. D. 填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。 （一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分） 9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 10.设,则的最小值为 。 11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4， AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。 （二）必做题（12～16题） 12.设是等差数列，的前项和，且，则= . 13.若执行如图3所示的框图，输入，,则输出的数等于 。 14.在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =__________________. 15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴C影部分）内”，则 （1）P(A)= _____________； (2)P(B|A)= . 16.对于 ,将n 表示 ,当时，,当时, 为0或1.记为上述表示中为0的个数（例如：）,故, ),则 （1）________________;(2) ________________; 三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,c，且满足csinA=cosC. (Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinA-cos (B+)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。 18. （本小题满分12分） 某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。 (Ⅰ）求当天商品不进货的概率； （Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。 19.（本小题满分12分） 如图5，在圆锥中，已知=，⊙的直径,是的中点，为的中点. (Ⅰ)证明：平面 平面; (Ⅱ)求二面角的余弦值。 20.（本小题满分13分） 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。 （Ⅰ）写出y的表达式 （Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。 21. (本小题满分13分） 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。 （Ⅰ）求，的方程； （Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E. (i)证明：MD⊥ME; (ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得? 请说明理由。 22.（本小题满分13分） 已知函数() =，g ()=+。 （Ⅰ）求函数h ()=()g ()的零点个数。并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（）满足，，证明：存在常数M，使得对于任意的，都有≤ . 2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学（理工农医类） 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。 11． 12． 13． 14．（1）（2） 15．，32 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 解：（I）由题设知 因为是函数图象的一条对称轴，所以， 即（）。 所以 当为偶数时，， 当为奇数时， （II） 当，即（）时， 函数是增函数， 故函数的单调递增区间是（） 17．（本小题满分12分） 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，． （I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 （II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是 0 1 2 3 0.001 0.027 0. 243 0.729 的期望是 （或的期望是） 18．（本小题满分12分） 解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面 （II）过点作于点，连结 由（I）的结论可知，平面， 所以是和平面所成的角 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，故 因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形 由题设，，，则所以，， ， 因为平面，，所以平面，从而 故， 又，由得 故 即直线与平面所成的角是 解法二： （I）因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面． （II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）， 由题设，，，则， ，，相关各点的坐标分别是， ，， 所以， 设是平面的一个法向量， 由得故可取 过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上 因为，所以， 设（），由，解得， 所以 设和平面所成的角是，则 故直线与平面所成的角是 19．（本小题满分12分） 解：（I）如图， ，，， 由三垂线定理逆定理知，，所以是 山坡与所成二面角的平面角，则， 设，．则 记总造价为万元， 据题设有 当，即时，总造价最小 （II）设，，总造价为万元，根据题设有 则，由，得 当时，，在内是减函数； 当时，，在内是增函数 故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元 （III）解法一：不存在这样的点， 事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与 之间，故可设位于与之间，且=，， ，总造价为万元，则．类似于（I）、 （II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得 当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一。 20．（本小题满分12分） 解：由条件知，，设，． 解法一： （I）设，则则，， ，由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，，即 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 （II）假设在轴上存在定点，使为常数 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以，， 于是 因为是与无关的常数，所以，即，此时= 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，， 此时 故在轴上存在定点，使为常数 解法二： （I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以 由①②③得…………………………………………………④ ……………………………………………………………………⑤ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ．整理得。 当时，点的坐标为，满足上述方程 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。 故点的轨迹方程是。 （II）假设在轴上存在定点点，使为常数， 当不与轴垂直时，由（I）有，。 以上同解法一的（II）。 21．（本小题满分13分） 解：（I）当时，由已知得 因为，所以 ……① 于是 ……② 由②－①得 ……③ 于是 ……④ 由④－③得， …… ⑤ 所以，即数列是常数数列 （II）由①有，所以．由③有，，所以， 而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 所以，，， 数列是单调递增数列且对任意的成立。 且 即所求的取值集合是 （III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 所以时，，从而，所以在和上都是增函数 由（II）知，时，数列单调递增， 取，因为，所以 取，因为，所以 所以，即弦的斜率随单调递增 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以： ， 故，即弦的斜率随单调递增。 绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数 学(理工农医类) 参考答案 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．(D) 2．（B） 3． (C) 4. (B) 5.（D） 6. (C) 7. (A) 8. (B) 9. (C) 10. (D) 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。 11.. 12. . 13. (－1,2) . 14.已知函数f(x)＝ （1）; (2) . 15. ； 6 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A，B，C相互独立，且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3. ＝ ＝ = = 所以， 的分布列是 0 1 2 3 P 的期望 17.（本小题满分12分） 解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB. 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB. （Ⅱ） 解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是 A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0) （Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)易知 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 设是平面PAD的一个法向量，则由得 所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 18.（本小题满分12分） 解 (Ⅰ)因为 一般地，当时， ＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， ① ② ①－②得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n = k+1时， 由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时， 于是当时， 综上所述，当时， 19.（本小题满分13分 解 （I）如图，AB=40，AC=10， 由于<<，所以cos= 由余弦定理得BC= 所以船的行驶速度为（海里/小时）. （II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D. 由题设有，x1=y1=AB=40， , 所以过点B、C的直线l的斜率k=, 直线l的方程为y=2x－40. 又点E（0，－55）到直线l的距离d= 所以船会进入警戒水域. 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得， ===. 从而 在△ABQ中，由正弦定理得， AQ= 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15. 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离. 在Rt△中， PE=QE·sin = 所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分13分） 解（Ⅰ）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 （x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4（x1－x2）.因为x1x2,所以y1+y20. 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=. 从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线l上，所以－ym= 而于是 故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中， 整理得 （·） 则是方程（·）的两个实根，且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为0<<4xm=4(x0－2) =4x0－8,于是设t=,则t(0,4x0－8). 记l2=g(t)=－[t－2(x0－3)]2+4(x0－1)2. 若x0>3,则2(x0－3) (0, 4x0－8),所以当t=2(x0－3),即=2(x0－3)时, l有最大值2(x0－1). 若2查看更多