全国卷理科高考数学卷及答案解析

全国卷理科高考数学卷及答案解析

绝密★启用前 ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。‎ ‎4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A． B． C． D．‎ ‎2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎3．设有下面四个命题 ‎：若复数满足，则； ：若复数满足，则；‎ ‎：若复数满足，则； ：若复数，则.‎ 其中的真命题为 A． B． C． D．‎ ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范 围是 A． B． C． D．‎ ‎6．展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ ‎7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎8．右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A1 000和n=n+1 D．A1 000和n=n+2‎ ‎9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎10．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎11．设xyz为正数，且，则 A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .‎ ‎14．设x，y满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15．已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。‎ ‎16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎18.（12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C ‎7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13． 14．-5 15． 16．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ 解：（1）‎ 由题意可得，‎ 化简可得，‎ 根据正弦定理化简可得：。‎ ‎（2）‎ 由，‎ 因此可得，‎ 将之代入中可得：，‎ 化简可得，‎ 利用正弦定理可得，‎ 同理可得，‎ 故而三角形的周长为。‎ ‎18.（12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎（1）证明：‎ ‎,‎ 又,PA、PD都在平面PAD内，‎ 故而可得。‎ 又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。‎ ‎（2）解：‎ 不妨设，‎ 以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。‎ 故而可得各点坐标：，‎ 因此可得，‎ 假设平面的法向量，平面的法向量，‎ 故而可得，即，‎ 同理可得，即。‎ 因此法向量的夹角余弦值：。‎ 很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。‎ ‎19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ 解：（1）‎ 由题意可得，X满足二项分布，‎ 因此可得 ‎（2）‎ 由（1）可得，属于小概率事件，‎ 故而如果出现的零件，需要进行检查。‎ 由题意可得，‎ 故而在范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。‎ 此时：，‎ ‎。‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ 解：（1）‎ 根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同时在椭圆上，‎ P3（–1，），P4（1，）一定同时在椭圆上，‎ 因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（–1，），P4（1，），‎ 代入椭圆方程可得：，‎ 故而可得椭圆的标准方程为：。‎ ‎（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，‎ 不妨设直线P2A为：,P2B为：.‎ 联立，‎ 假设，此时可得：‎ ‎，‎ 此时可求得直线的斜率为：，‎ 化简可得，此时满足。‎ 当时，AB两点重合，不合题意。‎ 当时，直线方程为：，‎ 即，当时，，因此直线恒过定点。‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围.‎ 解：‎ ‎（1）对函数进行求导可得。‎ 当时，恒成立，故而函数恒递减 当时，，故而可得函数在上单调递减，在上单调递增。‎ ‎（2）函数有两个零点，故而可得，此时函数有极小值，‎ 要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，‎ 故而可得，令，‎ 对函数进行求导即可得到，故而函数恒递增，‎ 又，，‎ 因此可得函数有两个零点的范围为。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ 解：‎ 将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为 ‎（1）当时，代入可得直线为，联立曲线方程可得：，‎ 解得或，故而交点为或 ‎（2）点到直线的距离为，‎ 即：，‎ 化简可得，‎ 根据辅助角公式可得，‎ 又，解得或者。‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.‎ ‎（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.‎ 解：‎ 将函数化简可得 （1） 当时，作出函数图像可得的范围在F和G点中间，‎ 联立可得点，因此可得解集为。‎ （2） 即在内恒成立，故而可得恒成立，‎ 根据图像可得：函数必须在之间，故而可得。‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 ‎ 理科数学 本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 ‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 设集合，，若,则 A． B. ． C． D．‎ ‎3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ‎ A．1盏 B．3盏 ‎ C．5盏 D．9盏 ‎ ‎4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．设满足约束条件 则的最小值是 A． B． C． D．‎ ‎6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种 ‎ 理科数学试题 第1页（共4页）‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则 ‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎ 8．执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的 A．2 ‎ B．3 ‎ C．4 ‎ D．5‎ ‎9．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知直三棱柱中，, , , 则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎11．若是函数的极值点，则的极小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是 A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次，表示抽到二等品件数，则 .‎ ‎14．函数的最大值是 .‎ ‎15．等差数列的前项和为，，，则 .‎ ‎16．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则 .‎ 理科数学试题 第2页（共4页）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若，的面积为，求.‎ ‎18.（12分）‎ ‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计的概率；‎ ‎(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关；‎ 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确 到0.01）.‎ ‎ ‎ 附：‎ ‎ .‎ 理科数学试题 第3页（共4页）‎ ‎19.（12分）‎ ‎ 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于地面，，,是的中点.‎ ‎(1)证明：直线；‎ ‎ (2)点在棱上，且直线与底面 所成角为，求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）‎ ‎ 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.‎ ‎ (1)求点的轨迹方程；‎ ‎ (2)设点在直线上，且. 证明：过点且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.（12分）‎ ‎ 已知函数，且.‎ ‎(1)求；‎ ‎ (2)证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.‎ ‎(1) 为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点 的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值. ‎ ‎23.[选修：不等式选讲]（10分）‎ ‎ 已知.证明：‎ ‎(1)；‎ ‎ (2).‎ 理科数学试题 第4页（共4页）‎ ‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D ‎7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题 ‎ 13. 1.96 14. 1 15. 16. 6‎ 三、解答题 ‎17.（1）由得，即，‎ ‎ ，得，则有.‎ ‎ （2）由（1）可知，则，得，‎ ‎ 又，则.‎ ‎18.（1）旧养殖法箱产量低于50kg的频率为 ‎，‎ ‎ 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为 ‎，‎ 而两种箱产量相互独立，则.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得列联表 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ ‎ ‎ 则 ‎，‎ 所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）新养殖法箱产量低于50kg的面积为，‎ ‎ 产量低于55kg的面积为，‎ ‎ 所以新养殖法箱产量的中位数估计值为（kg）.‎ ‎19.（1）取中点，连结.因为为中点，则.而由题可知，则，即四边形为平行四边形，所以.又，故.‎ ‎（2）因为，则以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.‎ ‎ 取，设则得，，则，，可得点，所以.‎ 取底面的法向量为，则，解得,则.因为,设面的法向量为，由得，取得，‎ 则.故二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.‎ ‎（2）由题可知，设，则，‎ ‎ .由得，由（1）有，则有，所以，即过点 ‎ 且垂直于的直线过的左焦点.‎ ‎21.（1）的定义域为，则等价于.‎ ‎ 设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有 ‎ ，解得.‎ ‎（2）由（1）可知，则. ‎ 设，则.由解得，所以为 上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.‎ ‎ 而，所以.‎ 综上，. ‎ ‎22.（1）设极坐标为，极坐标为.则，‎ ‎ .由得的极坐标方程为.所以 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设极标为，由题可知，则有 ‎ .‎ ‎ 即当时，面积的最大值为.‎ ‎23.（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，解得.‎ 理科数学 2017年高三2017年全国丙卷理科数学 ‎ 理科数学 考试时间：120分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 一、单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1．已知集合，则中元素的个数为( )‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎2．设复数z满足(1+i)z=2i，则 ( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是( )‎ A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎4.的展开式中的系数为 ( )‎ A. -80 B. -40 C. 40 D. 80‎ ‎5.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设函数，则下列结论错误的是( )‎ A. f(x)的一个周期为−2π B. y=f(x)的图像关于直线对称 C. f(x+π)的一个零点为 D. f(x)在单调递减 ‎7．执行右面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（   ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ）‎ A. -24 B. -3 C. 3 D. 8‎ ‎10.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知函数有唯一零点，则a=（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. 2‎ 二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分） ‎ ‎13. 若满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎14. 设等比数列满足，则 ‎15.设函数则满足的x的取值范围是_________。‎ ‎16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°；‎ 其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）‎ 三、简答题（综合题） （本大题共7小题，共70分） ‎ ‎17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.‎ ‎18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．‎ ‎（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；‎ ‎（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．‎ ‎20.（12分）‎ 已知抛物线，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.‎ ‎21.（12分）已知函数.‎ ‎（1）若，求a的值；‎ ‎（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m最小值.‎ ‎22． 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.‎ 参考答案 单选题 ‎ ‎1.  B 2.  C 3.  A 4.  C 5.  B ‎ ‎6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  A ‎ ‎11.  C 12.  A ‎ 精选题目详解：‎ ‎8．如图所示，易知，，，选 ‎11． ‎ 令，则在上单调递减，在上单调递增；‎ 令，则由均值不等式得，在上单调递减，在上单调递增；‎ 故当时，在上单调递减，在上单调递增；‎ 满足题意，结合选项知选C ‎12. 建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则 ，‎ ‎ 由等面积法可知，圆的半径为，‎ 故圆的方程为 ‎ 故可设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 填空题 ‎ ‎13.  -1‎ ‎14.  -8‎ ‎15.  (-1/4,+∞)‎ ‎16.  ②③‎ 精选题目详解：‎ ‎15. 画出及的图像知及都是上的单调递增函数，故也是上的单调递增函数，从图像上易判断的解在直线部分，‎ 故令，解得，故的解集为 16. 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 不妨设，‎ 直线的方向向量为，‎ 直线的方向向量为 则，‎ ‎ ‎ 当直线AB与a成60°角时，即 则直线与直线的夹角应该满足 设直线与直线的夹角，则，所以的最小值为，最大值为 ‎ 综上 正确的为②③‎ 简答题 ‎ ‎17.  解：‎ ‎(1) ‎ 由余弦定理知 整理可得： ‎ ‎(舍去)‎ ‎(2) 由(1)可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18.  ‎ ‎(1) 的所有可能取值为200,300,500‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2) 当时，‎ ‎ 当时，的分布列为：‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ 当时，的分布列为：‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ 当时，的分布列为：‎ ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ 综上所述 ‎ ‎ ‎ 易知，当时，最大，此时 ‎19.  (1) 证明：‎ ‎ 设 是正三角形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又是直角三角形 ‎ ‎ ‎ 取中点，连接 ‎ 易知，且，又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 平面 ‎ 又平面 ‎ 平面平面 ‎(2) 过点作的垂线，垂足为，则，‎ 平面，平面 ‎ ‎ ‎ 又，且 ‎ ‎ ‎ 为的中位线 ‎ 为中点 ‎ 以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎ 则由(1)得，，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 平面的法向量，平面的法向量 ‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为 ‎20.  (1) 设直线方程为，‎ ‎ 联立抛物线方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 坐标原点在圆上 ‎(2) 由(1)得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，直线方程为，‎ ‎ 圆心，半径 ‎ 圆的方程为 ‎ 当时，直线方程为 ‎ 圆心，半径 圆方程为 ‎21.  ‎ ‎(1) 的定义域为 ‎ ‎ ①当时，，在上单调增，又，故不满足题意 ②当时，令，则，‎ 易知在上单调减，在上单调增 故只需，即 令，则 易知在上单调增，单调减，故 且仅在时取得最大值 故当且仅当时，‎ ‎(2) 由(1)得 对均成立 ‎ 故用代替得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 的最小值为3‎ ‎22.  ‎ ‎（1）由已知得，‎ ‎  ，，                                               （3分）‎ 即，即.                                                     （5分）‎ ‎（2）将代入（1）中，‎ 所以，‎ 解得，                              （8分）‎ 所以在直角坐标系下的坐标为 由得：.‎ 所以的极径为                                                               （10分）‎ ‎23.‎ ‎(1)当时，‎ 当，‎ 当时，‎ 令可得 综上易知，的解集为 ‎(2)设 由有解可得有解 故 的取值范围是