高考数学考点归纳之两直线的位置关系

高考数学考点归纳之两直线的位置关系

高考数学考点归纳之两直线的位置关系 一、基础知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线 l1，l2，若其斜率分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线 l1，l2 不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. (2)两条直线垂直 ①如果两条直线 l1，l2 的斜率存在， 设为 k1，k2，则有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0 时，l1⊥l2. 2．两条直线的交点的求法 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12. (2)点到直线的距离公式 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . (3)两平行直线间的距离公式 两条平行直线 Ax＋By＋C1＝0 与 Ax＋By＋C2＝0 间的距离 d＝|C1－C2| A2＋B2 . 二、常用结论 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx－Ay＋m＝0； ②平行：Ax＋By＋n＝0. (2)与对称问题相关的四个结论： ①点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)． ②点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)． ③点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)． ④点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k ＋y，x－k)． 考点一 两条直线的位置关系 [典例] 已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n 的值，使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. [解] (1)由题意得 m2－8＋n＝0， 2m－m－1＝0， 解得 m＝1， n＝7. 即 m＝1，n＝7 时，l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴ m2－16＝0， －m－2n≠0， 解得 m＝4， n≠－2 或 m＝－4， n≠2. 即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2. (3)当且仅当 2m＋8m＝0， 即 m＝0 时，l1⊥l2. 又－n 8 ＝－1，∴n＝8. 即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. [解题技法] 1．．由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0) l1 与 l2 垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1 与 l2 平行的充分条件 A1 A2 ＝B1 B2 ≠C1 C2 (A2B2C2≠0) l1 与 l2 相交的充分条件 A1 A2 ≠B1 B2 (A2B2≠0) l1 与 l2 重合的充分条件 A1 A2 ＝B1 B2 ＝C1 C2 (A2B2C2≠0) [题组训练] 1．已知直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为( ) A．7 B．9 C．11 D．－7 解析：选 A 由直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直得，20－2m＝0，m＝10. 直线 4x＋10y－6＝0 过点(t,1)，所以 4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线 5x－2y＋n＝0 上，所以－5－2＋n＝0，n＝7. 2．(2019·保定五校联考)直线 l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2” 是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 C 由 l1∥l2 得－m(m－1)＝1×(－2)，得 m＝2 或 m＝－1，经验证，当 m＝－ 1 时，直线 l1 与 l2 重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选 C. 考点二 距离问题 [典例] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0 C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0 (2)若两平行直线 l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与 l2：2x＋ny－6＝0 之间的距离是 5，则 m ＋n＝( ) A．0 B．1 C．－2 D．－1 [解析] (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线， 因为直线 OP 的斜率为1－0 2－0 ＝1 2 ，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为 2x＋y－5 ＝0. (2)因为 l1，l2 平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3， 所以直线 l2：x－2y－3＝0.又 l1，l2 之间的距离是 5，所以|m＋3| 1＋4 ＝ 5，解得 m＝2 或 m＝ －8(舍去)，所以 m＋n＝－2，故选 C. [答案] (1)A (2)C [解题技法] 1．点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离． (2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练] 1．已知点 P(2，m)到直线 2x－y＋3＝0 的距离不小于 2 5，则实数 m 的取值范围是 ________________． 解析：由题意得，点 P 到直线的距离为|2×2－m＋3| 22＋12 ≥2 5，即|m－7|≥10，解得 m≥17 或 m≤－3，所以实数 m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞) 2．如果直线 l1：ax＋(1－b)y＋5＝0 和直线 l2：(1＋a)x－y－b＝0 都平行于直线 l3：x－ 2y＋3＝0，则 l1，l2 之间的距离为________． 解析：因为 l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得 a＝－1 2 ，b＝0， 因此 l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝ |－10－0| 12＋－22 ＝2 5. 答案：2 5 考点三 对称问题 [典例] 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)． (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程． [解] (1)设 A′(x，y)，再由已知得 y＋2 x＋1 ×2 3 ＝－1， 2×x－1 2 －3×y－2 2 ＋1＝0， 解得 x＝－33 13 ， y＝ 4 13 ， 所以 A′ －33 13 ， 4 13 . (2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在 m′上．设 对称点为 M′(a，b)，则 2×a＋2 2 －3×b＋0 2 ＋1＝0， b－0 a－2 ×2 3 ＝－1， 解得 M′ 6 13 ，30 13 .设 m 与 l 的交 点为 N，则由 2x－3y＋1＝0， 3x－2y－6＝0， 得 N(4,3)．又因为 m′经过点 N(4,3)，所以由两点式得直线 m′方程为 9x－46y＋102＝0. [变透练清] 1.变结论在本例条件下，则直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程为 ________________． 解析：法一：在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点， 如 M(1,1)，N(4,3)， 则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上． 易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)， 由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 法二：设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0. 答案：2x－3y－9＝0 2．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0 反射， 反射光线经过点 N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________． 解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在 直线过点 M′，所以 b－4 a－－3 ＝－1， －3＋a 2 －b＋4 2 ＋3＝0， 解得 a＝1，b＝0.又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为y－0 6－0 ＝x－1 2－1 ，即 6x－y－6＝0. 答案：6x－y－6＝0 [解题技法] 1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 x＝2a－x1， y＝2b－y1 进而 求解． (2)直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由 两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点 M(x，y)，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称， 由方程组 A×x1＋x2 2 ＋B×y1＋y2 2 ＋C＝0， y2－y1 x2－x1 × －A B ＝－1， 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2， y2)(其中 B≠0，x1≠x2)． (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是 已知直线与对称轴平行． [课时跟踪检测] 1．过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 垂直的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：选 C 因为直线 x－2y－2＝0 的斜率为1 2 ， 所以所求直线的斜率 k＝－2. 所以所求直线的方程为 y－0＝－2(x－1)， 即 2x＋y－2＝0. 2．已知直线 l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0 和 l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若 l1⊥l2，则 a＝( ) A．2 或1 2 B.1 3 或－1 C.1 3 D．－1 解析：选 B 因为直线 l1⊥l2，所以 2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得 a＝1 3 或－1. 3．若点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐 标为( ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 解析：选 C 设 P(x,5－3x)，则 d＝|x－5＋3x－1| 12＋－12 ＝ 2，化简得|4x－6|＝2，即 4x－6＝ ±2，解得 x＝1 或 x＝2，故 P(1，2)或(2，－1)． 4．(2018·揭阳一模)若直线 l1：x－3y＋2＝0 与直线 l2：mx－y＋b＝0 关于 x 轴对称，则 m＋b＝( ) A.1 3 B．－1 C．－1 3 D．1 解析：选 B 直线 l1：x－3y＋2＝0 关于 x 轴对称的直线为 x＋3y＋2＝0.由题意知 m≠0. 因为 mx－y＋b＝0，即 x－y m ＋b m ＝0，且直线 l1 与 l2 关于 x 轴对称， 所以有 －1 m ＝3， b m ＝2， 解得 m＝－1 3 ， b＝－2 3 ， 则 m＋b＝－1 3 ＋ －2 3 ＝－1. 5．点 A(1,3)关于直线 y＝kx＋b 对称的点是 B(－2,1)，则直线 y＝kx＋b 在 x 轴上的截距 是( ) A．－3 2 B.5 4 C．－6 5 D.5 6 解析：选 D 由题意，知 3－1 1＋2 ·k＝－1， 2＝k· －1 2 ＋b， 解得 k＝－3 2 ， b＝5 4. ∴直线方程为 y＝－3 2x＋5 4 ，它在 x 轴上的截距为－5 4 × －2 3 ＝5 6.故选 D. 6．(2019·成都五校联考)已知 A，B 是 x 轴上的两点，点 P 的横坐标为 2，且|PA|＝|PB|， 若直线 PA 的方程为 x－y＋1＝0，则直线 PB 的方程是( ) A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0 C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0 解析：选 B 由|PA|＝|PB|得点 P 一定在线段 AB 的垂直平分线上，根据直线 PA 的方程 为 x－y＋1＝0，可得 A(－1,0)，将 x＝2 代入直线 x－y＋1＝0，得 y＝3，所以 P(2，3)，所 以 B(5,0)，所以直线 PB 的方程是 x＋y－5＝0，选 B. 7．若动点 A，B 分别在直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 上移动，则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A．3 2 B．2 2 C．3 3 D．4 2 解析：选 A 依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1：x＋y－7＝0 和 l2：x＋y－5＝0 距离都相等的直线，则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点 M 所在直线 的方程为 l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得|m＋7| 2 ＝|m＋5| 2 ⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝ －6，即 l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得 M 到原点的距离的最小值为|－6| 2 ＝3 2. 8．已知点 A(1,3)，B(5，－2)，在 x 轴上有一点 P，若|AP|－|BP|最大，则 P 点坐标为 ( ) A．(3.4,0) B．(13,0) C．(5,0) D．(－13,0) 解析：选 B 作出 A 点关于 x 轴的对称点 A′(1，－3)，则 A′B 所在直线方程为 x－4y －13＝0.令 y＝0 得 x＝13，所以点 P 的坐标为(13,0)． 9．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5 ＝0 垂直的直线 l 的方程为________． 解析：由方程组 x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0 得 x＝0，y＝2，即 P(0,2)．因为 l⊥l3，所以直线 l 的 斜率 k＝－4 3 ，所以直线 l 的方程为 y－2＝－4 3x，即 4x＋3y－6＝0. 答案：4x＋3y－6＝0 10．已知点 P1(2,3)，P2(－4,5)和 A(－1,2)，则过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线方 程为________． 解析：当直线与点 P1，P2 的连线所在的直线平行时，由直线 P1P2 的斜率 k＝3－5 2＋4 ＝－1 3 ， 得所求直线的方程为 y－2＝－1 3(x＋1)，即 x＋3y－5＝0.当直线过线段 P1P2 的中点时，因为 线段 P1P2 的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为 x＝－1.综上所述，所求直线方程为 x＋3y －5＝0 或 x＝－1. 答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1 11．直线 x－2y＋1＝0 关于直线 x＝1 对称的直线方程是________． 解析：由题意得直线 x－2y＋1＝0 与直线 x＝1 的交点坐标为(1,1)．又直线 x－2y＋1＝0 上的点(－1,0)关于直线 x＝1 的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y－0 1－0 ＝x－3 1－3 ， 即 x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 12．过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2：x－3y＋10＝0 截得的线段被 点 P 平分，则直线 l 的方程为________． 解析：设 l1 与 l 的交点为 A(a,8－2a)， 则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(－a,2a－6)在 l2 上，把 B 点坐标代入 l2 的方程 得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上， 所以由两点式得直线 l 的方程为 x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 13．已知△ABC 的三个顶点是 A(1,1)，B(－1,3)，C(3,4)． (1)求 BC 边的高所在直线 l1 的方程； (2)若直线 l2 过 C 点，且 A，B 到直线 l2 的距离相等，求直线 l2 的方程． 解：(1)因为 kBC＝4－3 3＋1 ＝1 4 ，又直线 l1 与 BC 垂直，所以直线 l1 的斜率 k＝－ 1 kBC ＝－4， 所以直线 l1 的方程是 y＝－4(x－1)＋1，即 4x＋y－5＝0. (2)因为直线 l2 过 C 点且 A，B 到直线 l2 的距离相等， 所以直线 l2 与 AB 平行或过 AB 的中点 M， 因为 kAB＝ 3－1 －1－1 ＝－1，所以直线 l2 的方程是 y＝－(x－3)＋4，即 x＋y－7＝0. 因为 AB 的中点 M 的坐标为(0,2)， 所以 kCM＝4－2 3－0 ＝2 3 ，所以直线 l2 的方程是 y＝2 3(x－3)＋4，即 2x－3y＋6＝0. 综上，直线 l2 的方程是 x＋y－7＝0 或 2x－3y＋6＝0.