安徽高考文科数学试题及答案

安徽高考文科数学试题及答案

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)‎ ‎ 数 学(文科)‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。全卷满分l50分，考试时间l20分钟。‎ 参考公式：‎ ‎ S表示底面积，h表示底面上的高 如果事件A与B互斥，那么 棱柱体积V=Sh ‎ P(A+B)=P(A)+P(B） 棱锥体积V=‎ 第Ⅰ卷(选择题 共50分)‎ 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．‎ ‎(1)若A=，B=，则=‎ ‎ (A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)‎ 答案：C 解析：画数轴易知.‎ ‎(2)已知，则i()=‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案：B 解析：直接计算.‎ ‎(3)设向量,,则下列结论中正确的是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)与垂直 答案：D 解析：利用公式计算，采用排除法.‎ ‎（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 ‎（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0‎ 答案：A 解析：利用点斜式方程.‎ ‎(5)设数列｛｝的前n项和=，则的值为 ‎（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64‎ 答案：A 解析：利用=S8-S7，即前8项和减去前7项和.‎ ‎（6）设abc＞0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是 答案：D 解析：利用开口方向a、对称轴的位置、y轴上的截距点c之间关系，结合abc＞0产生矛盾，采用排除法易知.‎ ‎（7）设a=，b=,c=，则a，b，c的大小关系是 ‎（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a 答案：A 解析：利用构造幂函数比较a、c再利用构造指数函数比较b、c.‎ ‎（8）设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是 ‎（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8‎ 答案：C 解析：画出可行域易求.‎ ‎（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 ‎（A）372 （C）292 ‎ ‎（B）360 （D）280‎ 答案：B 解析：可理解为长8、宽10、高2的长方体和长6、宽2、高8的长方体组合而成,注意2×6重合两次，应减去.‎ ‎ ‎ ‎（10）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：C 解析：所有可能有6×6，所得的两条直线相互垂直有5×2.‎ 数 学(文科)(安徽卷)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置·‎ ‎(11)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=‎0”‎的否定是 ‎ 答案：对任何X∈R，都有X2+2X+5≠0 ‎ 解析：依据“存在”的否定为“任何、任意”，易知.‎ ‎(12)抛物线y2=8x的焦点坐标是 ‎ 答案：（2,0） 解析：利用定义易知.‎ ‎(13)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x= ‎ 答案：12 解析：运算时X顺序取值为: 1,2,4,5,6,8,9,10,12.‎ ‎(14)某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .‎ 答案：5.7% 解析： ，，易知.‎ ‎(15)若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①ab≤1； ②+≤； ③a2+b2≥2； ④a3+b3≥3; ‎ 答案：①,③,⑤ 解析：①,⑤化简后相同，令a=b=1排除②、易知④ ，再利用易知③正确 三、解答题：本大题共6小题．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内.‎ (16) ‎△ABC的面积是30，内角A,B,C,所对边长分别为a，b，c，cosA=.‎ (1) 求 (2) 若c-b=1，求a的值.‎ ‎（本小题满分12分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力.‎ 解：由cosA=，得sinA= =.‎ 又bc sinA=30，∴bc=156. ‎ ‎（1）=bc cosA=156·=144.‎ ‎（2）a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2·156·(1-)=25，‎ ‎∴a=5‎ （17） 椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率.‎ (1) 求椭圆E的方程；‎ (2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.‎ ‎（本小题满分12分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力.‎ 解：（1）设椭圆E的方程为 由e=，得=，b2=a2-c2 =‎3c2. ∴ 将A（2,3）代入，有 ，解得：c=2, 椭圆E的方程为 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F2（2,0），所以直线AF1的方程为 y=(X+2)，‎ 即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知，‎ ‎∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.‎ 设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，‎ 则有 若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去.‎ 于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.‎ 所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.‎ ‎18、（本小题满分13分）‎ ‎ 某市‎2010年4月1日—‎4月30日对空气污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）:‎ ‎ 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,‎ ‎ 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,‎ ‎(Ⅰ) 完成频率分布表；‎ ‎（Ⅱ）作出频率分布直方图；‎ ‎（Ⅲ）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。‎ 请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.‎ ‎（本小题满分13分）本题考查频数，频数及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识.‎ 解：(Ⅰ) 频率分布表：‎ 分 组 频 数 频 率 ‎［41,51)‎ ‎2‎ ‎［51,61)‎ ‎1‎ ‎［61,71)‎ ‎4‎ ‎［71,81)‎ ‎6‎ ‎［81,91)‎ ‎10‎ ‎［91,101)‎ ‎5‎ ‎［101,111)‎ ‎2‎ 空气污染指数 ‎4151 61 71 81 91 101 111‎ 频率 组距 ‎ （Ⅱ）频率分布直方图：‎ ‎（Ⅲ）答对下述两条中的一条即可：‎ ‎（i）该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的. 有26天处于良好的水平，占当月天数的. 处于优或良的天数共有28天，占当月天数的. 说明该市空气质量基本良好.‎ ‎（ii）轻微污染有2天，占当月天数的. 污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%. 说明该市空气质量有待进一步改善.‎ (19) ‎(本小题满分13分)‎ 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，‎ ‎(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;‎ ‎（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB; ‎ ‎（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；‎ ‎（本小题满分13分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ) 证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点. 连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH∥AB且 GH=AB 又EF∥AB且 EF=AB ‎∴EF∥GH. 且 EF=GH ∴四边形EFHG为平行四边形.‎ ‎∴EG∥FH，而EG 平面EDB，∴FH∥平面EDB.‎ ‎（Ⅱ）证：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.‎ 又EF∥AB，∴ EF⊥BC. 而EF⊥FB，∴ EF⊥平面BFC，∴ EF⊥FH.‎ ‎∴ AB⊥FH.又BF=FC H为BC的中点，FH⊥BC.∴ FH⊥平面ABCD.‎ ‎∴ FH⊥AC. 又FH∥EG，∴ AC⊥EG. 又AC⊥BD，EG∩BD=G，‎ ‎∴ AC⊥平面EDB.‎ ‎（Ⅲ）解：∵ EF⊥FB，∠BFC=90°，∴ BF⊥平面CDEF.‎ ‎∴ BF为四面体B-DEF的高. 又BC=AB=2, ∴ BF=FC= ‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数f（x）=sinx-cosx+x+1, 0﹤x﹤2 ,求函数f(x)的单调区间与极值.‎ ‎（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力.‎ 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0﹤x﹤2,‎ 知=cosx+sinx+1，‎ 于是=1+sin(x+ ).‎ 令=0，从而sin(x+ )=-，得x= ，或x=.‎ 当x变化时，，f(x)变化情况如下表：‎ X ‎(0, )‎ ‎（，）‎ ‎（，2 ）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增↗‎ ‎+2‎ 单调递减↘‎ 单调递增↗‎ 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, ）与（，2 ），单调递减区间是（，），极小值为f（）=，极大值为f（）= +2.‎ ‎（21）（本小题满分13分)‎ 设，...,,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=x相切，对每一个正整数n,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.‎ ‎(Ⅰ)证明：为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）设=1，求数列的前n项和. ‎ ‎（本小题满分13分）本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理论证能力.‎ 解：(Ⅰ)将直线y=x的倾斜角记为 ， 则有tan = ，sin =.‎ 设Cn的圆心为（，0），则由题意知= sin = ，得 = 2 ；同理，题意知将 = 2代入，解得 rn+1=3rn.‎ 故{ rn }为公比q=3的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由于r1=1，q=3，故rn=3n-1，从而 =n·，‎ 记Sn=， 则有 Sn=1+2·3-1+3·3-2+………+n·. ①‎ ‎=1·3-1+2·3-2+………+(n-1) ·+n·. ② ①-②，得 ‎=1+3-1 +3-2+………+-n· =- n·= –(n+)· ‎ Sn= – (n+)·.‎