计数原理20122018高考真题

计数原理20122018高考真题

计数原理高考真题汇总 ‎2017~2018年 一. 排列与组合 ‎1. (2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果, 哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30=7+23, 在不超过30的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎[答案与解析].符合题意的素数有: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10个, 故不同的取法有=45种 其中和为30的组合有: {7, 23}, {11, 19}, {13, 17}三种, 故P==, 选C.‎ ‎2. (2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码， 共中5克， 3克， 1克砝码各一个， 2克砝码两个， 从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____（结果用最简分数表示）‎ ‎[答案与解析].砝码有5个, 故不同的取法有=10种, 总质量为9克的仅{9, 3, 1}, {9, 2, 2}两种, ‎ 故P==,‎ ‎3. (2018·浙江)从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, ‎ 一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)‎ ‎[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列, 减去0为首位的情况.‎ 即=1260个 ‎4. (2018·新课标1·理) 从2位女生, 4位男生中选3人参加科技比赛, 且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有______种. (用数字填写答案) ‎ ‎[答案与解析].方法一: 先从两女生中选出1人, 余下2个名额在4男1女中任意选取.‎ 故=20, 但这里包括了2名女生入选的情况, 若2名女生入选再乘就重复了, ‎ 所以, 即不同的选法共有20–=16.‎ 方法二: 在六人中任取三人, 减去作是男生的情况 =16‎ 方法三: 分女生有1人, 2人入选两种情况讨论+=16‎ ‎5.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） ‎ A.12种 B.18种 C.24种 D.36种 ‎[答案与解析].D 4项工作分成3组，可得： =6，安排3名志愿者完成4项工作，‎ 每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6× =36种．故选D． 6.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） ‎ ‎[答案与解析].1 080 根据题意，分2种情况讨论：‎ ‎①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；‎ ‎②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C53•C41=40种取法， 将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序，‎ 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；‎ 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．‎ ‎7.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法．（用数字作答)‎ ‎[答案与解析]. 660 ‎ 第一类，先选1女3男，有C63C21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，‎ 故有40×12=480种，‎ 第二类，先选2女2男，有C62C22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，‎ 故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660‎ 二. 二项式定理 ‎1. (2018·全国3·理)的展开式中x4的系数为( )‎ A. 10 B. 20 C. 40 D. 80‎ ‎[答案与解析].Tr+1=, 由10–2r–r=4, 解得r=2, 于是所求系数为=40, 故选C.‎ ‎2. (2018·天津·理10)在的展开式中x2的系数为_______‎ ‎[答案与解析]. Tr+1=,由=2, 解得r=2, 于是所求系数为=‎ ‎3 (2018·上海3)在(1+x)7的二项展开式中, x2项的系数为________ (结果用数值表示)‎ ‎[答案与解析].‎ ‎4. (2018·浙江)二项式的展开式的常数项是______ .‎ ‎[答案与解析].‎ ‎5.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（　　） ‎ A.15 B.20 C.30 D.35‎ ‎[答案与解析].C （2x﹣y）5的展开式的通项公式：‎ Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr ． ‎ 令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．‎ ‎∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数= +23× =40．故选C． 6.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （    ） ‎ A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80‎ ‎[答案与解析].C （1+ ）（1+x）6展开式中：若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6‎ 提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得 ．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为 ．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为 ．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C． ‎ ‎7.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， 则a4=________，a5=________． ‎ ‎[答案与解析].16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5 ， （x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4． 故答案为：16；4． ‎ ‎8.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________． ‎ ‎[答案与解析]. （1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1= （3x）r=3r xr ．‎ ‎ ∵含有x2的系数是54，∴r=2．‎ ‎∴ =54，可得 =6，∴ =6，n∈N* ． 解得n=4．故答案为：4．‎ ‎2015~2016年 一. 排列与组合 ‎1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A.24 B.18 C.12 D.9‎ ‎[答案与解析].B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]‎ ‎2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 ‎[答案与解析].C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C种，共2＋8＋4＝14.]‎ ‎3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)‎ A.24 B.48 C.60 D.72‎ ‎[答案与解析].D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有C·A＝72.选D.]‎ ‎4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎[答案与解析].B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；‎ ‎②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；‎ ‎④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，‎ 所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]‎ ‎5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎[答案与解析].B　[由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]‎ ‎6.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].1 560　[依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1 560条毕业留言.]‎ 二. 二项式定理 ‎1.(2016·四川，2)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(　　)‎ A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4‎ ‎[答案与解析]. A [由题可知，含x4的项为Cx4i2＝－15x4.选A.]‎ ‎2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A.10 B.20 C.30 D.60‎ ‎[答案与解析].C　[Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，‎ ‎∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.]‎ ‎3.(2015·湖南，6)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a＝(　　)‎ A. B.－ C.6 D.－6‎ ‎[答案与解析].D　[的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，‎ 令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.]‎ ‎4.(2015·陕西，4)二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎[答案与解析].C　[由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.]‎ ‎5.(2016·全国Ⅰ，14)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是______________(用数字填写答案).‎ ‎[答案与解析].10 [(2x＋)5展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x)5－k()k＝C25－kx5－，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－ ‎＝3解得k＝4，得T5＝C25－4x5－＝10x3，∴x3的系数是10.]‎ ‎6.(2016·北京，10)在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________.‎ ‎[答案与解析]. 60 [展开式的通项Tr＋1＝C·16－r·(－2x)r＝C(－2x)r.令r＝2得T3＝C·4x2＝60x2，即x2的系数为60.]‎ ‎7.(2015·北京，9)在(2＋x)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].40　[展开式通项为：Tr＋1＝C25－rxr，∴当r＝3时，系数为C·25－3＝40.]‎ ‎8.(2015·天津，12)在6的展开式中，x2的系数为________.‎ ‎[答案与解析].　[的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r；‎ 当6－2r＝2时，r＝2，所以x2的系数为C＝.]‎ ‎2014年 一. 计数原理 ‎1.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)‎ A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 ‎[答案与解析].C　[从中选出2名男医生的选法有C＝15种，从中选出1名女医生的选法有C＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]‎ ‎2.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)‎ A.144 B.120 C.72 D.24‎ ‎[答案与解析].D　[3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]‎ ‎3.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 ‎[答案与解析].B　[当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种.故不同的排法共有A＋CA＝9×24＝216种.]‎ ‎4 (2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ ‎[答案与解析].B　[依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]‎ ‎5.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有(　　)‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 ‎[答案与解析].C　[法一　直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.‎ 法二　间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C－12－6＝48对.]‎ ‎6.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)‎ A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5 B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5‎ C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5) D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)‎ ‎[答案与解析].A　[分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]‎ ‎7.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)‎ A.60 B.90 C.120 D.130‎ ‎[答案与解析].D　[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]‎ ‎8.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.‎ ‎[答案与解析].36　[将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA＝48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]‎ ‎9 (2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].60　[分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为CCA＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]‎ 二. 二项式定理 ‎1.(2014·湖北，2)若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)‎ A.2 B. C.1 D. ‎[答案与解析].C　[Tr＋1＝C·(2x)7－r·＝27－rCar·.令2r－7＝3，则r＝5.由22·Ca5＝84得a＝1，故选C.]‎ ‎2.(2014·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　)‎ A.45 B.60 C.120 D.210‎ ‎[答案与解析].C　[在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)＝C·C.从而f(3，0)＝C＝20，f(2，1)＝C·C＝60,f(1，2)＝C·C＝36,f(0，3)＝C＝4，故选C.]‎ ‎3.(2014·四川，2)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)‎ A.30 B.20 C.15 D.10‎ ‎[答案与解析].C　[只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可,而含x2项的系数为C＝15，故选C.]‎ ‎4.(2014·湖南，4)5的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A.－20 B.－5 C.5 D.20‎ ‎[答案与解析].A　[展开式的通项为Tk＋1＝C(x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Cx5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.则展开式中x2y3的系数为(－1)3·22×3－5C＝－20，故选A.]‎ ‎5.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________(用数字填写答案).‎ ‎[答案与解析].－20　[由二项展开式公式可知，含x2y7的项可表示为x·Cxy7－y·Cx2y6，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为C－C＝C－C＝8－28＝－20.]‎ ‎6.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].　[Tr＋1＝Cx10－rar,令10－r＝7,得r＝3,∴Ca3＝15，即a3＝15,∴a3＝，∴a＝.]‎ ‎7.(2014·安徽，13)设a≠0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.‎ ‎[答案与解析].3　[根据题意知a0＝1，a1＝3，a2＝4，‎ 结合二项式定理得即解得a＝3.]‎ ‎8.(2014·山东，14)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.‎ ‎[答案与解析].2　[Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.‎ ‎∴Ca3b3＝20，即ab＝1.∴a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2.]‎ ‎9.(2014·大纲全国，13)8的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答).‎ ‎[答案与解析].70　[Tr＋1＝C··＝(－1)r·C·x·y，‎ 令得r＝4.所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.]‎ a1·,≥, ≤, {an}=, n∈N*,± (n∈N*), x∈R, x∈(–∞,+∞) ⋃ y=f (x)=ax2+bx+c(a≠0). f '(x)= ‎ ‎∵ ∴⇔ ⇒∩⋃△∠°⊥α, π, x≠0 ①②③④ x1–x2, , , , , A (x1, y1), B(x2, y2) ‎ ‎2013年 一. 计数原理 ‎1. (2013·四川8). 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a, b，共可得到的不同值的个数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案C 解析：=lg ,=有4×5−2 =18种，2为情况 所以选C ‎2. (2013·福建5).满足a, b∈{–1, 0, 1, 2}，且关于的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（ ）‎ A. 14 B. ‎13 C. 12 D. 10 ‎ ‎[答案与解析]. B 方程ax2+2x+b=0有实数解. 分类讨论.‎ ‎① 当a=0时, 2x+b=0有实数解, 此时b可以取4个值, 故有4个有序数对.‎ ‎② 当a≠0时, 方程ax2+2x+b=0有实数解. 则△=4–4ab≥0, 即ab≤1, ‎ 此时(2. 1), (1, 2), (2, 2)三个不符合题意, 故有3×4–3=9个 综上, 有9+4=13个.‎ ‎3. (2013·山东10). 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ‎(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279‎ ‎[答案与解析]. B 有重复数字的三位数有9×10×10=900. 没有重复数字的三位数有=648.‎ 所以有重复数字的三位数的个数为900–648=252.‎ ‎4. (2013·新课标II 14）). 从n个正整数1, 2, 3, 4, 5, ... , n中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是，则n＝_________。‎ ‎[答案与解析].8 , 取出的两数之和等于5的概率为，n＝8。‎ ‎5. (2013·全国（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）‎ ‎【答案】480‎ ‎【解析】 先排除甲、乙外的4人，方法有再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有 的排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有=480‎ ‎6. (2013·北京12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 ____‎ ‎7. (2013·广东13.给定区域D：，令点集是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点，则中的点共确定 条不同的直线。‎ 解析：目标函数的最大值点有五个点 都在同一直线上，最小值点为.‎ 故中的点共确定不同直线的条数为 ‎ 6 .‎ ‎8. (2013·重庆13、从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________（用数字作答）‎ ‎【答案】：590‎ ‎9. (2013·浙江14)将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排, 且A, B均在C的同侧, 则不同的排法有_____种(用数字作答)‎ 二. 二项式定理 ‎1. (2013·浙江11)设二项式的展开式中常数项为A, 则A=________‎ 答案: -10‎ ‎2. (2013·安徽理（11）若的展开式中的系数为7，则实数______。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 通项 所以 ‎3. (2013·上海5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则．‎ 答案−2‎ 解析：⟹且⟹a=−2‎ ‎4. (2013·陕西8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为 ‎ (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】当的展开式中，常数项为。所以选A ‎5. (2013·新课标I，9、设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝ ( )‎ A、5 B、6 C、7 D、8‎ ‎【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.‎ ‎【解析】由题知=，=，∴13=7，即=，‎ 解得=6，故选B.‎ ‎6. (2013·新课标II 5、已知的展开式中的系数是5，则＝（　　）‎ ‎（A） －4 （B） －3 （C）－2 （D）－1‎ ‎【答案】D ‎7. (2013·江西1). (x2-)5展开式中的常数项为 A.80 B.-80 C.40 D.-40‎ ‎8. (2013·辽宁（7）使得 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】通项，常数项满足条件，所以时最小 ‎9. (2013·[全国] （7）的展开式中的系数是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎[答案]D ‎[解析]=‎ ‎10. (2013·天津(10) 的二项展开式中的常数项为 .‎ 答案15‎ 解析：,,r=4, ‎11. (2013·四川11．二项式的展开式中，含的项的系数是____________．（用数字作答）‎ 答案：10‎ 解析：由⟹r=2，含的项的系数是 ‎2012年 一、排列组合 ‎1 ．（2012年高考（新课标理））将名教师,名学生分成个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,‎ 每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有 （　　） ‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎ 【解析】选 甲地由名教师和名学生:种 ‎ ‎2．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有 （　　）‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎ 【答案】D ‎ ‎【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:种;4个都是奇数:种.∴不同的取法共有66种. ‎ ‎3．（2012年高考（四川理））方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （　　）‎ A．60条 B．62条 C．71条 D．80条 ‎ [答案]B ‎ ‎[解析]方程变形得,若表示抛物线,则 ‎ 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况: ‎ ‎(1)若b=-3, ; (2)若b=3, ‎ 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条; ‎ 同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. ‎ 综上,共有23+23+16=62种 ‎ ‎[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. ‎ ‎4 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有 （　　）‎ A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 ‎ 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有种情形;当比分为3:2时,共有种情形;总共有种,选D. ‎ ‎5．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 （　　）‎ A．232 B．‎252 ‎C．472 D．484‎ ‎ 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有种,若2色相同,则有;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有种,如同色则有,所以共有,故选C. ‎ ‎6 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 （　　）‎ A．3×3! B．3×(3!)‎3 ‎C．(3!)4 D．9!‎ ‎ 【答案】C ‎ ‎【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有种排法,三个家庭共有种排法;再把三个家庭进行全排列有种排法.因此不同的坐法种数为,答案为C ‎ ‎【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题. ‎ ‎7．（2012年高考（大纲理））将字母排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 （　　）‎ A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种 答案A ‎ ‎【命题意图】本试题考查了排列组合的用用. ‎ ‎【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有. ‎ ‎8．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 （　　）‎ A．24 B．‎18 ‎C．12 D．6‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共种,选B. ‎ ‎【考点定位】 本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解. ‎ ‎9．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到份纪念品的同学人数为 （　　）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎ ‎【解析】选 ‎ ①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人 ‎ ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到份纪念品的同学人数为人 ‎ ‎10．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为. ‎ ‎【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义. ‎ 二项式定理 ‎1 ．（2012年高考（天津理））在的二项展开式中,的系数为 （　　）‎ A．10 B． C．40 D．‎ ‎ 【答案】D ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数. ‎ ‎【解析】∵=,∴,即,∴的系数为. ‎ ‎2．（2012年高考（重庆理））的展开式中常数项为 （　　） ‎ A． B． C． D．105‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】,令,故展开式中的常数项为. ‎ ‎【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. ‎ ‎3 ．（2012年高考（四川理））的展开式中的系数是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ [答案]D ‎ ‎[解析]二项式展开式的通项公式为=,令k=2,则 ‎ ‎ ‎ ‎[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. ‎ ‎4.（2012年高考（湖北理））设,且,若能被13整除,则 （　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．11 D．12‎ 考点分析:本题考察二项展开式的系数. ‎ 解析:由于51=52-1,, ‎ 又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D. ‎ ‎5．（2012年高考（安徽理））的展开式的常数项是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ 【解析】选 ‎ 第一个因式取,第二个因式取得: ‎ 第一个因式取,第二个因式取得: 展开式的常数项是 ‎ ‎6．（2012年高考（浙江理））若将函数表示为 其中,,,,为实数,则=______________.‎ ‎【答案】10 ‎ ‎【解析】法一:由等式两边对应项系数相等. ‎ 即:. ‎ 法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即.‎ ‎6.（2012年高考（上海理））在的二项展开式中,常数项等于 _________ .‎ ‎[解析] 展开式通项,令6-2r=0,得r=3, ‎ 故常数项为. ‎ ‎7．（2012年高考（上海春））若 则___.‎ ‎ 【答案】1 ‎ ‎8．（2012年高考（陕西理））展开式中的系数为10, 则实数a的值为__________.‎ 解析:展开式中第k项为,令k=2, x2的系数为,解得a=1. ‎ ‎9．（2012年高考（湖南理））( -)6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)‎ ‎【答案】-160 ‎ ‎【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知,所以二项展开式中的常数项为. ‎ ‎10．（2012年高考（广东理））(二项式定理)的展开式中的系数为_____.(用数字作答).‎ 解析:20.的展开式通项为,令,解得,所以的展开式中的系数为. ‎ ‎11．（2012年高考（福建理））的展开式中的系数等于8,则实数_________.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】时, ‎ ‎12．（2012年高考（大纲理））若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为___________‎ 答案:56 ‎ ‎【解析】根据已知条件可知, ‎ 所以的展开式的通项为,令 ‎ 所以所求系数为. ‎