高考理科数学辅导集合与常用逻辑用语

高考理科数学辅导集合与常用逻辑用语

第一章　集合与常用逻辑用语 高考导航 考试要求 重难点击 命题展望 ‎1.集合的含义与表示 ‎(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；‎ ‎(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.‎ ‎2.集合间的基本关系 ‎(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.‎ ‎3.集合的基本运算 ‎(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；‎ ‎(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.‎ ‎4.命题及其关系 ‎(1)理解命题的概念；‎ ‎(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；‎ ‎(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.‎ ‎5.简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.‎ ‎6.全称量词与存在量词 ‎(1)理解全称量词与存在量词的意义；‎ ‎(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 本章重点：‎ ‎1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；‎ ‎2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.‎ 本章难点：‎ ‎1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；‎ ‎2.充分条件、必要条件的判断；‎ ‎3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.‎ ‎1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；‎ ‎2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；‎ ‎3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；‎ ‎4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ 知识网络 ‎1.1　集合及其运算 ‎ 典例精析 题型一　集合中元素的性质 ‎【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.‎ ‎【解析】令a＋1＝－3⇒a＝－4，检验合格；‎ 令a－3＝－3⇒a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；‎ 令2a－1＝－3⇒a＝－1，检验合格；‎ 而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.‎ ‎【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.‎ ‎【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，求a和b的值.‎ ‎【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，，b}，‎ 得①或②　显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.‎ 题型二　集合的基本运算 ‎【例2】已知A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a.‎ ‎【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝∅⊆A；当a≠0时，B＝{}.‎ 要使B⊆A，则＝3或＝5，即a＝或.‎ 综上，a＝0或或.‎ ‎【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.‎ ‎【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B等于(　　)‎ A.{x|－1≤x≤1} B.{x|x≥0}‎ C.{x|0≤x≤1} D.‎ ‎【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].‎ 题型三　集合语言的运用 ‎【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{x|x2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A⊆B.‎ ‎(1)对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；‎ ‎(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.‎ ‎【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.‎ ‎(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.‎ 设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，‎ 所以≥0.6，所以y≥6，即log2t－2≥6，解得t≥28＝256.‎ 又A⊆B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).‎ ‎【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A.{x|－2≤x＜1}‎ B.{x|－2≤x≤2}‎ C.{x|1＜x≤2}‎ D.{x|x＜2}‎ ‎【解析】选C.‎ 化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x|1＜x≤3}，故图中阴影部分为∁RM∩N＝{x|1＜x≤2}.‎ 总结提高 ‎1.元素与集合及集合与集合之间的关系 对于符号∈，∉和⊆，⊈的使用，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.‎ ‎2.“数形结合”思想在集合运算中的运用 认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想. ‎ ‎(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.‎ ‎(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.‎ ‎3.处理集合之间的关系时，是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.‎ 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 典例精析 题型一　四种命题的写法及真假判断 ‎【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.‎ ‎(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；‎ ‎(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.‎ ‎【解析】(1)逆命题：若m＋n是奇数，则m，n都是奇数，假命题；‎ 否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；‎ 逆否命题：若m＋n不是奇数，则m，n不都是奇数，假命题.‎ ‎(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；‎ 否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；‎ 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.‎ ‎【点拨】‎ 写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.‎ ‎【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是(　　)‎ A.若p，则qB.若q，则p C.若q，则pD.若q，则p ‎【解析】选 B.‎ 题型二　充分必要条件探究 ‎【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：|x－2|＜m，条件q：|x2－4|＜1，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】设集合A＝{x||x－2|＜m}＝{x|2－m＜x＜2＋m}，B＝{x||x2－4|＜1}＝{x|＜x＜或－＜x＜－}.‎ 由题设有：q⇒p且p不能推出q，所以p⇒q且q不能推出p，所以A⊆B.‎ 因为m＞0，所以(2－m，2＋m)⊆(，)，‎ 故由2＋m≤且2－m≥⇒0＜m≤－2，故实数m的取值范围为(0，－2].‎ ‎【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.‎ ‎【变式训练2】已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是(　　)‎ A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2‎ C.0＜a≤2D.0＜a＜2‎ ‎【解析】选A.因为A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，且A∩B＝∅，所以如图，由画出的数轴可知，‎ 即0≤a≤2.‎ 题型三　充分必要条件的证明 ‎【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有＋＋…＋＝成立的充要条件是{an}为等差数列.‎ ‎【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d，则 ＋＋…＋＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]‎ ‎＝(－)＝＝.‎ ‎(2)(必要性)若＋＋…＋＝，‎ 则＋＋…＋＋＝，‎ 两式相减得＝－⇒a1＝nan－(n－1)an＋1.①‎ 于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②‎ 由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).‎ 又由＋＝⇒a3－a2＝a2－a1，‎ 所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.‎ ‎【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.‎ ‎【变式训练3】设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的(　　)‎ A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】选B.若xsin x＜1，因为x∈(0，)，所以xsin x＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函数f(x)＝xsin2x在(0，)上单调递增，且sin2＝＞1，所以存在x0∈(0，)使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立.‎ 总结提高 ‎1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.‎ ‎2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：‎ ‎①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.‎ ‎3.p是q的充分条件，即p⇒q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P⊆Q，即PQ或P＝Q，必要条件正好相反.而充要条件p⇔q就相当于P＝Q.‎ ‎4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p⇒q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.‎ ‎1.3　简易逻辑联结词、全称量词与存在量词 典例精析 题型一　全称命题和特称命题的真假判断 ‎【例1】判断下列命题的真假.‎ ‎(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞；‎ ‎(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β；‎ ‎(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N；‎ ‎(4)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3.‎ ‎【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞.‎ ‎(2)真命题，例如α＝，β＝，符合题意.‎ ‎(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4∉N.‎ ‎(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.‎ ‎【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.‎ ‎【变式训练1】已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是(　　)‎ A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题 C.命题“p∨q”是真命题D.命题“p∧q”是假命题 ‎【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝，p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确.‎ 题型二　含有一个量词的命题的否定 ‎【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.‎ ‎(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；‎ ‎(2)q：所有的正方形都是矩形；‎ ‎(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；‎ ‎(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.‎ ‎【解析】(1)p：∃x∈R，x2－x＋＜0，是假命题.‎ ‎(2)q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.‎ ‎(3)r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.‎ ‎(4)s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题.‎ ‎【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.‎ ‎【变式训练2】已知命题p：∀x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则p为.‎ ‎【解析】∃x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.‎ 题型三　命题的真假运用 ‎【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】因为由m＜sin x＋cos x＝sin(x＋)恒成立，得m＜－；‎ 而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2. ‎ 依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－且－2＜m＜2，‎ 故所求m的取值范围为－≤m＜2.‎ ‎【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r(x)为假命题(取A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.‎ ‎【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中属于集合M的函数是(写出所有满足要求的函数的序号).‎ ‎【解析】②④.对于①，方程＝＋1，显然无实数解；‎ 对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；‎ 对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，显然也无实数解；‎ 对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，‎ 即cos πx＝，显然存在x使等式成立.故填②④.‎ 总结提高 ‎1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.‎ ‎2.命题的否定，一定要注意与否命题的区别：全称命题的否定，先要将它变成特称命题，然后将结论加以否定；反过来，对特称命题的否定，先将它变成全称命题，然后对结论加以否定.而命题的否命题，则是将原命题中的条件否定当条件，结论否定当结论构成一个新的，即否命题.‎