2015高考数学(理)(离散型随机变量的均值与方差)一轮复习学案

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文档介绍

2015高考数学(理)(离散型随机变量的均值与方差)一轮复习学案

学案68 离散型随机变量的均值与方差 导学目标: 1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.‎ 自主梳理 ‎1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)=____________________________________为随机变量X的均值或___________,它反映了离散型随机变量取值的____________.‎ ‎(2)方差 称D(X)=__________________________为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________,其________________________为随机变量X的标准差.‎ ‎2.均值与方差的性质 ‎(1)E(aX+b)=____________.‎ ‎(2)D(aX+b)=____________.(a,b为实数)‎ ‎3.两点分布与二项分布的均值、方差 ‎(1)若X服从两点分布,则E(X)=____,D(X)=_____________________________.‎ ‎(2)若X~B(n,p),则E(X)=______,D(X)=____________.‎ 自我检测 ‎1.若随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于(  )‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎2x ‎3x ‎7x ‎2x ‎3x x A. B. C. D. ‎2.(2011·菏泽调研)已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为(  )‎ A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4‎ C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1‎ ‎3.(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需要再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(  )‎ A.100 B.‎200 ‎ C.300 D.400‎ ‎4.(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的,记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=________.‎ ‎5.(2011·杭州月考)随机变量ξ的分布列如下:‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a,b,c成等差数列.若E(ξ)=,则D(ξ)=________.‎ 探究点一 离散型随机变量的期望与方差 例1 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.‎ ‎(1)求ξ的分布列、期望和方差;‎ ‎(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.‎ 变式迁移1 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的个数是X.‎ ‎(1)求随机变量X的分布列;‎ ‎(2)求随机变量X的数学期望和方差.‎ 探究点二 二项分布的期望与方差 例2 (2011·黄山模拟)A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中,服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为,服用B有效的概率为. ‎ ‎(1)求一个试验组为甲类组的概率;‎ ‎(2)观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望.‎ 变式迁移2 某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2 min.‎ ‎(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;‎ ‎(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望.‎ 探究点三 离散型随机变量期望与方差的应用 例3 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-.‎ ‎(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;‎ ‎(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).‎ 变式迁移3 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方案都需分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立,令ξi(i=1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.‎ ‎(1)写出ξ1、ξ2的分布列;‎ ‎(2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?‎ ‎(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?‎ ‎1.若η=aξ+b,则E(η)=aE(ξ)+b,D(η)=a2D(ξ).‎ ‎2.若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).‎ ‎3.求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量ξ的期望、方差,求ξ的线性函数η=aξ+b的期望、方差和标准差,可直接用ξ的期望、方差的性质求解;(3)如能分析所给随机变量,是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、方差公式求解.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a的值为(  )‎ ξ ‎4‎ a ‎9‎ P ‎0.5‎ ‎0.1‎ b A.5 B.‎6 ‎ C.7 D.8‎ ‎2.设ξ~B(n,p),若有E(ξ)=12,D(ξ)=4,则n、p的值分别为(  )‎ A.18, B.16, C.20, D.15, ‎3.随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 则E(5X+4)等于(  )‎ A.15 B.‎11 ‎ C.2.2 D.2.3‎ ‎4.设掷1枚骰子的点数为ξ,则(  )‎ A.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.52 B.E(ξ)=3.5,D(ξ)= C.E(ξ)=3.5,D(ξ)=3.5 D.E(ξ)=3.5,D(ξ)= ‎5.(2011·成都调研)已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧,其中a、b、c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,记随机变量ξ为“|a-b|的取值”,则ξ的数学期望E(ξ)为(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P(ξ=x)‎ ‎?‎ ‎!‎ ‎?‎ 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E(ξ)=____________.‎ ‎7.(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又X的均值E(X)=3,则a+b=________.‎ ‎8.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)=________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一次测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3 500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元;否则月工资定为2 100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.‎ ‎(1)求X的分布列;‎ ‎(2)求此员工月工资的期望.‎ ‎10.(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.‎ ‎(1)求红队至少两名队员获胜的概率;‎ ‎(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).‎ ‎11.(14分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资十万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是p(01.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,‎ 解得-0.4
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