详细解析上海高考数学理科

详细解析上海高考数学理科

‎2001年上海市高考数学试卷 ‎（理科）‎ 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．已知，则满足的值为　 ___　．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】时，，，不合题意，舍去；时，‎ ‎，，综上可得．‎ ‎【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．‎ ‎2．设数列的通项为，则　____　．‎ ‎【答案】153‎ ‎【解析】由，解得，所以数列的前3项为负数，‎ 则．‎ ‎【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道基础题．‎ ‎3．设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的 轨迹方程是　_____　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，代入双曲线方程得，即为所求．‎ ‎【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．‎ ‎4．设集合，则的元素 个数为　_____　个．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由，可得，∴或，检验知符合题意，∴，时，；时，，∴的元素个数为1个，故答案为1．‎ ‎【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎5．抛物线的焦点坐标为　______　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，，表示顶点在，开口向上的抛物线，，∴故焦点坐标是．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p是解题的关键．‎ ‎6．设数列是公比为的等比数列，是它的前项和，若，则此数列的首项的取值范围为　_____　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为，则，．而等比数列前项和，因此，而根据极限的四项运算法则有，，因此，解得．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查等比数列前n项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现 在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种　_____　种．（结果用数值表示）‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】设素菜种，则，所以的最小值为7．‎ ‎【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，为最小正整数．‎ ‎8．在的展开式中，常数项为　_____　．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】由于 ‎，故展开式中，常数项为．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．‎ ‎9．设，且，则的取值范围是　_____　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，而表示在区间上余弦值等于的一个角，∴，故答案为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．‎ ‎10．直线与曲线（为参数）的交点坐标是　_____　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴曲线方程化为，与直线联立，解得或，由，故 不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为．‎ ‎【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键 ‎11．已知两个圆：①；②，则由①式减去②式可得上述两个圆 的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为　_____　．‎ ‎【答案】设圆方程①，②（或，‎ 则由①—②，得两圆的对称轴方程．‎ ‎【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：‎ 设圆方程①，②（或），由①—②，得两圆的对称轴方程．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．‎ ‎12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______　．‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了（万平方公里），‎ 平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）‎ ‎1970﹣1990：平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）；‎ ‎1990﹣2000：平均沙化面积为：（万平方千米）（百平方公里）．如上图．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．‎ 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．‎ ‎13．是直线和直线平行且不重合的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】当时，两直线分别为，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则 ，∴综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件．故选C．‎ ‎【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．‎ ‎14．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，‎ ‎．则下列向量中与相等的向量是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得 ‎．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．‎ ‎15．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是 A．若，则 B．若，则 C．若相交，则相交 D．若相交，则相交 ‎【答案】D ‎【解析】略．‎ ‎16．用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A．在上是单调减函数 B．的值域为 C．有最小值 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵的导数，，‎ ‎∴当时，；当时，．‎ 可得函数在上为增函数，在为减函数，最大值，值域为，由此可得A、B、C三项都不正确．‎ 由极限的运算法则，可得，D项正确．‎ ‎【点评】本题给出关于函数的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．‎ 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 已知是中的对边，是的面积，若 ‎，求的长度．‎ ‎【解】∵，∴， ......（4分）‎ 于是，或， ......（6分）‎ 又 ......（8分）‎ 当时，，； ...... （10分）‎ 当时，，． ...... （12分）‎ 故的长度为或．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 设为椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值．‎ ‎【解】解法一：由已知得．......（4分）‎ 根据直角的不同位置，分两种情况：‎ 若为直角，则，即，‎ 得，故； ......（9分）‎ 若为直角，则，即，‎ 得，故．. .....（12分）‎ 解法二：由椭圆的对称性不妨设，‎ 则由已知可得． ......（4分）‎ 根据直角的不同位置，分两种情况：‎ 若为直角，则，于是，故；...（9分）‎ 若为直角，则，‎ 解得，即，‎ 于是，故．. .....（12分）‎ ‎（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑轴时的情况．‎ ‎19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小．（结果用反三角函数表示）‎ ‎【解】（I）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系．‎ 设，则，‎ ‎．‎ ‎∴．......（4分）‎ ‎∵，‎ ‎∴． ......（6分）‎ ‎（II）记，则，‎ 三棱锥的体积，‎ 当且仅当时，等号成立．‎ 因此，三棱锥的体积取得最大值时，．......（10分）‎ 过作交于，连，可知．‎ ‎∴是二面角的平面角．‎ 在直角三角形中，直角边，是斜边上的高，‎ ‎∴，‎ 故二面角的大小为． ......（14分）‎ ‎【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．‎ 对任意一个非零复数，定义集合．‎ ‎（Ⅰ）设是方程的一个根．试用列举法表示集合，若在中任取两个数，求其和为零的概率；‎ ‎（Ⅱ）设复数，求证：．‎ ‎【解】（Ⅰ）∵是方程的根，‎ ‎∴或． ......（2分）‎ 当时，∵，‎ ‎∴．‎ 当时，∵，‎ ‎∴．‎ 因此，不论取哪一个值，集合是不变的，即． ......（8分）‎ 于是，． ......（10分）‎ ‎（Ⅱ）证明：∵，∴存在，使得．......（12分）‎ 于是对任意，‎ 由于是正奇数，，所以．......（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．‎ ‎（Ⅰ）试规定的值，并解释其实际意义；‎ ‎（Ⅱ）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；‎ ‎（Ⅲ）设．现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．‎ ‎【解】（Ⅰ），表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分）‎ ‎（Ⅱ）函数应该满足的条件和具有的性质是：，‎ 在上单调递减，且． ......（8分）‎ ‎（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为，‎ 清洗两次后，残留的农药量为， ......（12分）‎ 则．‎ 于是，当时，；当时，；当时，．‎ 因此，当时，清洗两次后残留在农药量较少；‎ 当时，两种清洗方法具有相同的效果；‎ 当时，一次清洗残留的农药量较少． ......（16分）‎ ‎【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．‎ ‎22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ 对任意函数，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：‎ ‎①输入数据，经数列发生器输出；‎ ‎②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去，现定义．‎ ‎（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；‎ ‎（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；‎ ‎（Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足；对任意正整数，均有，求的取值范围．‎ ‎【解】（Ⅰ）∵的定义域，‎ ‎∴数列只有三项：． ......（3分）‎ ‎（Ⅱ）∵，即，∴，或．‎ 即当或2时，．‎ 故当时，；‎ 当时，． ......（9分）‎ ‎（Ⅲ）解不等式，得或．‎ 要使，则或． ......（12分）‎ 对于函数，‎ 若，则． ......（15分）‎ 当时，，且，‎ 依此类推，可得数列的所有项均满足．‎ 综上所述，．‎ 由，得．. .....（18分）‎ ‎【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎