高考数学模拟试题及答案二

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高考数学模拟试题及答案二

‎2012年高考数学模拟试题及答案(二)‎ ‎6 已知过函数f(x)=的图象上一点B(1,b)的切线的斜率为-3。‎ (1) 求a、b的值;‎ (2) 求A的取值范围,使不等式f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立;‎ (3) 令。是否存在一个实数t,使得当时,g(x)有最大值1? ‎ ‎7 已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P在y轴上的射影为H,︱︱是2和的等比中项。‎ (1) 求动点P的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;‎ (2) 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程。‎ ‎8.已知数列{an}满足 ‎ (1)求数列{bn}的通项公式;‎ ‎ (2)设数列{bn}的前项和为Sn,试比较Sn与的大小,并证明你的结论.‎ ‎9.已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.‎ ‎(Ⅰ)求双曲线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在轴上的截距b的取值范围; ‎ ‎(Ⅲ)若Q是双曲线C上的任一点,为双曲线C的左,右两个焦点,从引的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.‎ ‎10. 对任意都有 ‎(Ⅰ)求和的值.‎ ‎(Ⅱ)数列满足:=+,数列是等差数列吗?请给予证明;‎ 试比较与的大小.‎ 参考答案:‎ ‎6、解:(1)=‎ 依题意得k==3+2a=-3, ∴a=-3‎ ‎,把B(1,b)代入得b=‎ ‎∴a=-3,b=-1‎ ‎(2)令=3x2-6x=0得x=0或x=2‎ ‎∵f(0)=1,f(2)=23-3×22+1=-3‎ f(-1)=-3,f(4)=17‎ ‎∴x∈[-1,4],-3≤f(x)≤17‎ 要使f(x)≤A-1987对于x∈[-1,4]恒成立,则f(x)的最大值17≤A-1987‎ ‎∴A≥2004。‎ (1) 已知g(x)=-‎ ‎∴‎ ‎∵0<x≤1,∴-3≤-3x2<0,‎ ① 当t>3时,t-3x2>0,‎ ‎∴g(x)在上为增函数,‎ g(x)的最大值g(1)=t-1=1,得t=2(不合题意,舍去)‎ ② 当0≤t≤3时, ‎ 令=0,得x=‎ 列表如下:‎ x ‎(0, )‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ g(x)在x=处取最大值-+t=1‎ ‎∴t==<3‎ ‎∴x=<1‎ ‎③当t<0时,<0,∴g(x)在上为减函数,‎ ‎∴g(x)在上为增函数,‎ ‎∴存在一个a=,使g(x)在上有最大值1。‎ ‎7、解:(1)设动点的坐标为P(x,y),则H(0,y),,=(-2-x,-y)‎ ‎=(2-x,-y)‎ ‎∴·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=‎ 由题意得∣PH∣2=2··‎ 即 即,所求点P的轨迹为椭圆 ‎(2)由已知求得N(2,0)关于直线x+y=1的对称点E(1,-1),则∣QE∣=∣QN∣‎ 双曲线的C实轴长2a=(当且仅当Q、E、M共线时取“=”),此时,实轴长2a最大为 所以,双曲线C的实半轴长a=‎ 又 ‎∴双曲线C的方程式为 ‎8.(1)‎ ‎ (2)‎ ‎9.解:(Ⅰ)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0‎ ‎∵该直线与圆相切,‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.…………………………………………2分 故设双曲线C的方程为.‎ 又双曲线C的一个焦点为 ‎ ‎∴,.‎ ‎∴双曲线C的方程为.………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)由得.‎ 令 直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.‎ 因此  解得.‎ 又AB中点为,‎ ‎∴直线l的方程为.………………………………6分 令x=0,得.‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∴.………………………………………………8分 ‎(Ⅲ)若Q在双曲线的右支上,则延长到T,使,‎ 若Q在双曲线的左支上,则在上取一点T,使.‎ 根据双曲线的定义,所以点T在以为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是 ‎   ①…………………………………………10分 由于点N是线段的中点,设,.‎ 则,即.‎ 代入①并整理得点N的轨迹方程为.………………12分 ‎10 解:(Ⅰ)因为.所以.……2分 令,得,即.……………4分 ‎(Ⅱ)‎ 又………………5分 两式相加 ‎.‎ 所以,………………7分 又.故数列是等差数列.………………9分 ‎(Ⅲ)‎ ‎………………10分 ‎………………12分 所以……………………………………………………………………14分
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