用射影面积法求二面角在高考中的妙用

用射影面积法求二面角在高考中的妙用

用射影面积法求二面角在高考中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）‎ ‎ 立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现. 求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！‎ 定理 已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.‎ A B D C 本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.‎ 证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.‎ 于，，‎ 在内的射影为.‎ 又，‎ ‎（三垂线定理的逆定理）.‎ 为二面角—BC—的平面角.‎ 设△ABC和△的面积分别为S和，，则.‎ ‎.‎ A B D‎1 C1‎ D C A1 B1‎ E 典题妙解 下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.‎ 例1 如图, 已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1中，E是A A1棱的中点，则 面BE C1与面AC所成的二面角的大小为( )‎ A. B. C. D. ‎ 解：连结AC，则△在面AC内的射影是△ABC，设它们的 面积分别为S和，所成的二面角为 .‎ A B D‎1 C1‎ D C A1 B1‎ E 设正方体的棱长为2，则AB = BC = 2，‎ A B D C S B M B D ‎.‎ 故答案选D.‎ 例2（04北京）如图, 已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形, SD⊥面AC, SB = . ‎ ‎(1) 求证:BC⊥SC;‎ ‎(2) 求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;‎ ‎(3) 设棱SA的中点为M, 求异面直线DM与SB所成的角的大小.‎ ‎（1）证明： SD⊥面AC，‎ ‎ SC在面AC内的射影是SD.‎ ‎ 又四边形ABCD是正方形，面AC，‎ ‎ BC⊥SC（三垂线定理）.‎ ‎（2）解： SD⊥面AC，面AC，.‎ 又四边形ABCD是正方形，.‎ ‎ 而，CD⊥面ASD.‎ ‎ 又AB∥CD，BA⊥面ASD.‎ A B D C S B M B D E ‎ △SBC在面SAD的射影是△SAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .‎ ‎.‎ ‎ 故.‎ 所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为.‎ ‎（3）解：取AB的中点E，连结DE、ME.‎ ‎，ME∥SB.‎ 异面直线DM与SB所成的角就是，设.‎ A B D C S B M B D ‎，‎ ‎.‎ ‎. 故.‎ 所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.‎ 解法二：‎ 面SAD，‎ SB在面SAD 内的射影是SA.‎ D A M C B E F 又.‎ 而面SAD，（三垂线定理）.‎ 所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.‎ 例3 （04浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面 互相垂直，AB = ，AF = 1，M是线段EF的中点. ‎ ‎(1) 求证：AM∥平面BDE；‎ ‎(2) 求证：面AE⊥平面BDF；‎ D A M C B E F O ‎(3) 求二面角A—DF—B的大小.‎ 证明：（1）设，则，连结OE.‎ 四边形ACEF是矩形，，‎ ‎，EM∥AO.‎ 四边形AOEM是平行四边形，从而AM∥EO.‎ 又平面BDE，‎ ‎ AM∥平面BDE.‎ ‎（2）四边形ABCD是正方形，.‎ 又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，面BD面AE= AC ，‎ ‎，从而.‎ 而，.‎ 平面BDF，‎ 面AE⊥平面BDF.‎ ‎（3）解：，.‎ ‎△BDF在面ADF上的射影是△ADF，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为. ‎ AB = ，AF = 1，.‎ D A M C B E F O 连结FO，则.‎ 故.‎ 所以二面角A—DF—B的大小为.‎ 例4 （08天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩 P A D B C 形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，.‎ ‎（1）证明：AD⊥平面PAB；‎ ‎（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；‎ ‎（3）求二面角P—BD—A的大小.‎ ‎（1）证明：‎ ‎ .‎ ‎ ，即.‎ ‎ 又四边形ABCD是正方形，‎ ‎.‎ 而，AB、PA面PAB，‎ AD⊥平面PAB.‎ ‎（2）AD∥BC，‎ 异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即.‎ 在△PAB中，AB = 3，PA = 2，，‎ P A D B C E ‎.‎ 由（1）得，AD⊥平面PAB.‎ ‎，即. ‎ 又BC = AD = 2，‎ ‎. .‎ 所以异面直线PC与AD所成的角的大小为.‎ ‎（3）作于E，连结DE.‎ 由（1）知，，而，‎ 面ABCD.‎ ‎△PBD在面ABCD内的射影是△EBD，设 它们的面积分别为S和，所成的二面角为 .‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎，.‎ 所以二面角P—BD—A的大小为.‎ 点评：例1和例2 中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！‎ V D C A B 金指点睛 ‎1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.‎ ‎（1）证明：AB⊥平面VAD；‎ ‎（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.‎ C B A D E ‎2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC—中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.‎ ‎（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；‎ ‎（2）设，求二面角的大小.‎ E B C A D P ‎3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，，PA⊥平面ABCD，PA = 4，AD = 2，，BC = 6.‎ ‎（1）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）求二面角A—PC—D的大小.‎ S A B D C E ‎4. （09湖北）如图，四棱柱S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0＜）.‎ ‎（1）求证：对任意，都有AC⊥BE；‎ ‎（2）若二面角C—AE—D的大小为，求的值.‎ 金指点睛的参考答案 ‎1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.‎ V D C A B ‎（1）证明：AB⊥平面VAD；‎ ‎（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.‎ ‎（1）证明：取AD的中点E，连结VE.‎ ‎ .‎ ‎ 又平面VAD⊥底面ABCD，VE平面VAD，‎ ‎ VE⊥底面ABCD. VA在底面ABCD的射影是AD.‎ AB⊥AD，AB底面ABCD， AB⊥VA（三垂线定理）.‎ ‎ 而VA、AD平面VAD，‎ 故AB⊥平面VAD.‎ ‎（2）由（1）可知，AB⊥平面VAD，‎ ‎ △VBD在平面VAD的射影是△VAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.‎ ‎ 设正方形的边长为1，则.‎ C B A D E ‎ .‎ ‎.‎ ‎，.‎ 所以面VAD与面VDB所成二面角的大小为.‎ ‎2.（06全国Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC—中，AB = BC ，D、E分别为、的中点.‎ ‎（1）证明：ED为异面直线和的公垂线；‎ ‎（2）设，求二面角的大小.‎ ‎（1）证明：取AC的中点F，连结EF、BF.‎ ‎ ∥.‎ 在直三棱柱ABC—中，面ABC，，∥，，‎ C B A D E F ‎∥DB，EF= DB，面ABC.‎ 四边形BDEF是矩形. 从而.‎ 在Rt△ABD和Rt△中，‎ ‎.‎ ‎ Rt△ABD≌Rt△.‎ ‎. 而 ‎ 所以ED为异面直线和的公垂线.‎ ‎（2）解：连结..‎ ‎ ，即面 C B A D E 在面内的射影是.‎ ‎△在面内的射影是△.设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.‎ 设AB = BC = 1，‎ 则.‎ ‎. ‎ 所以二面角的大小为.‎ ‎3.（07陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，，PA⊥平面ABCD，PA = 4，AD = 2，，BC = 6.‎ ‎（1）求证：BD⊥平面PAC；‎ E B C A D P ‎（2）求二面角A—PC—D的大小.‎ ‎（1）证明：在Rt△ABD和Rt△ABC中，，‎ ‎ AD = 2，，BC = 6.‎ ‎ .‎ ‎. 而，‎ ‎，即.‎ ‎ 又 PA⊥平面ABCD，平面ABCD，.‎ ‎，PA、AC平面PAC，‎ 故BD⊥平面PAC.‎ ‎（2）解：连结PE. 由（1）知，BD⊥平面PAC.‎ ‎△PDC在平面PAC内的射影是△PEC，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.‎ PA⊥平面ABCD，，（三垂线定理）.‎ ‎，从而. ‎ E B C A D P ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ 所以二面角A—PC—D的大小 S A B D C E O ‎4. （09湖北）如图，四棱柱S—ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD = AD = a ，点E是SD上的点，且（0＜）.‎ ‎（1）求证：对任意，都有AC⊥BE；‎ ‎（2）若二面角C—AE—D的大小为，求的值.‎ ‎（1）证明：连结BD. 四边形ABCD是正方形，.‎ ‎ 又 SD⊥平面ABCD，SD = a ，点E是SD上的点，‎ 且（0＜），‎ ‎ 点E在线段SD上，且不与点D重合，因而BE在平面ABCD 内的射影是BD.‎ ‎ 对任意，都有AC⊥BE（三垂线定理）.‎ ‎（2）解：设，连结EO.‎ ‎ SD⊥平面ABCD，点E是SD上的点，平面ABCD， .‎ 又四边形ABCD是正方形，.‎ 而，SD、AD面SAD. CE在平面SAD内的射影是AE.‎ ‎ △CAE在在平面SAD 内的射影是△DAE. 设它们的面积分别为S和，所成的二面角为，则.‎ ‎ .‎ ‎ .‎ ‎.‎ 解得，所以的值为.‎