321备战2010高考系列之数学专题十二 极限

321备战2010高考系列之数学专题十二 极限

‎3年高考2年模拟1年原创 极限 ‎【考点定位】2010考纲解读和近几年考点分布 极限作为初等数学与高等数学的衔接点，每年必考，主要考查极限的求法及简单应用。纵观近年来的全国卷与各省市的试卷，试题呈 “小题”，在选择、填空题中出现，都属容易题；极限通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查极限思想与方法的灵活应用能力；考查“数形结合”、“分类讨论”等数学思想方法的综合运用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．‎ ‎【考点pk】名师考点透析 考点一、数学归纳法 ‎ ‎【名师点睛】‎ ‎1．数学归纳法的定义：由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：（1）先证明当n=n0（n0是使命题成立的最小自然数）时命题成立；（2）假设当n=k（k∈N*， k≥n0）时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，那么就证明这个命题成立，这种证明方法叫数学归纳法. ‎ 特别提示（1）用数学归纳法证题时，两步缺一不可;（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑目标 ‎2．数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明.．‎ ‎【试题演练】‎ 设数列{an}满足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，…）.（1）证明an＞对一切正整数n都成立；‎ ‎（2）令bn= （n=1，2，…），判定bn与bn+1的大小，并说明理由.‎ ‎（1）证法一：当n=1时，a1=2＞，不等式成立.假设n=k时，ak＞成立，‎ 当n=k+1时，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，ak+1＞成立.‎ 综上，由数学归纳法可知，an＞对一切正整数成立.‎ 证法二：当n=1时，a1=2＞=结论成立.假设n=k时结论成立，即ak＞，‎ 当n=k+1时，由函数f（x）=x+（x＞1）的单调递增性和归纳假设有 ak+1=ak+＞+ ===＞ ‎=.∴当n=k+1时，结论成立.因此，an＞对一切正整数n均成立.‎ ‎（2）解：==（1+）＜（1+） = = =＜1.故bn+1＜bn.‎ 误点警示：由n=k正确n=k+1时也正确是证明的关键.‎ 二、数列的极限．‎ ‎ 【名师点睛】‎ ‎1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数 【试题演练】‎ ‎1求下列数列的极限：‎ ‎（1）;（2） （－n）;（3）（++…+）.‎ 分析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n2后再求极限；（2）因与n都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.‎ 解:（1）==.‎ ‎（2） （－n）= ==.‎ ‎（3）原式===（1+）=1.‎ 误点警示：:对于（1）要避免下面两种错误：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误： ①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.‎ ‎2.已知数列｛｝是由正数构成的数列，＝3，且满足lg＝lg＋lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．（1）求数列｛｝的通项公式及前n和；（2）求的值．‎ 解:（1）由已知得an＝ｃ·,‎ ‎∴｛an｝是以a1＝3，公比为c的等比数列，则＝3·ｃn－1.∴＝ ‎（2） ＝.①当c=2时，原式＝－;‎ ‎②当ｃ＞2时，原式＝＝－;③当0＜ｃ＜2时，原式=＝.‎ 误点警示：几个常用的极限：①C=C（C为常数）;②=0;③qn=0（|q|＜1）。求数列极限时要注意分类讨论 三、函数的极限．根限的四则运算法则．‎ ‎【名师点睛】1.函数极限的概念：（1）如果=a且=a,那么就说当x趋向于无穷大时，‎ ‎1.求下列函数的极限：（1） （（2）（－x）（3） ；（4） 解:（1）原式＝＝=－.（2）原式==a+b.‎ ‎（3）因为=1,而==－1，≠,所以不存在．‎ ‎（4）原式=＝（cos+sin）＝ ‎ 误点警示：1。函数极限有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需注意.‎ ‎2．在求函数极限时需观察，对不能直接求的可以化简后求，但要注意与的区别.‎ 四、函数的连续性 ‎【名师点睛】1.函数的连续性.一般地，函数在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：‎ ‎（1）函数在点x=x0处有定义；（2）存在；（3）=.如果函数y=在点x=x0处及其附近有定义，而且=,就说函数在点x0处连续.‎ ‎2.如果是闭区间［a,b］上的连续函数，那么在闭区间［a,b］上有最大值和最小值.‎ ‎3.若、都在点x0处连续,则±, ·g（x）,（≠0）也在点x0处连续.若在点x0处连续,且在u0=处连续,则复合函数在点x0处也连续.‎ 特别提示（1）连续必有极限,有极限未必连续（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“”是可以交换顺序的.‎ ‎【试题演练】‎ ‎1讨论函数= 分析：需判断==f（0）.‎ 解:∵=－1, =1,≠,∴不存在.∴在x=0处不连续.‎ ‎2.设=当a为何值时,函数是连续的.‎ 分析：函数在x=0处连续,而在x≠0时, 显然连续,于是我们可判断当a=1时,‎ 在（－∞,+∞）内是连续的.‎ 解: = （a+x）=a, =ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, =f（0）,‎ 误点警示：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.‎ ‎【三年高考】 07、08、09 高考试题及其解析2009高考试题及解析 ‎ 1北京（理）9．__________.‎ ‎【答案】【解析】∵，∴，故填.‎ ‎2重庆理（8）已知，其中，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D【解析】所以则 ‎3湖北理6.设，‎ 则 ‎ ‎【答案】选。【解析】∵ 令(),‎ 则，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴0.‎ ‎4湖南（理科）15、将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2)‎ ‎【答案】 ‎【解析】（1）由于任意一条线上的数成等差数列，记三点的数分别为，则在上的两点所对应的数的和等于，又由重心性质可得：三角形中心点对应的为 ‎，所以.‎ ‎（2）因为，所以 归纳得：.‎ ‎5陕西理13．设等差数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由．‎ ‎2008高考试题及解析 一选择题 ‎1．（湖北卷理8）已知,，若,则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【标准答案】Ａ ‎【试题解析】易知由洛必达法则有，所以．‎ ‎2．（江西卷理4）（ ）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【标准答案】.‎ ‎【试题解析】 ‎3．（辽宁卷理2）（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ 答案：B解析：本小题主要考查对数列极限的求解。依题 ‎4．（上海卷理14文14）若数列{an}是首项为1，公比为a－的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（ ）A．1 B．‎2 C． D． ‎【答案】【解析】由.‎ 二填空题 ‎1．（湖北卷理15）观察下列等式： …………‎ 可以推测，当≥2（）时， ， .‎ ‎【标准答案】15． ‎【试题解析】由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，‎ 第四项均为零，所以。‎ ‎【高考考点】考查学生的观察能力与归纳猜想思想。【易错提醒】没有正确理解题意。‎ ‎【备考提示】数列是高中的重要内容，要重点复习。‎ ‎2．（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎ 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 。‎ ‎【答案】 ‎【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。‎ ‎5．（湖南卷理11）.‎ ‎【答案】 【解析】 ‎6．（陕西卷理13），则 ．‎ ‎【解析】 分式类极限的逆向思维问题，注意到同次的分式极限值为最高项系数比，则有 ；‎ ‎7．（天津卷理15）已知数列中，，则 .‎ 解析：所以 .‎ ‎8．（重庆卷理12）已知函数f(x)=(当x0时) ，点在x=0处连续，则 .‎ ‎【答案】【解析】 又 点在x=0处连续，所以 即 故 ‎2007高考试题及解析 一、选择题　‎ ‎1.（福建理9）把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）A． B． C． D．2‎ 解析：令x=1得an=1+2+22+……+2n=，‎ ，选D.‎ ‎2.．（湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎‎ ‎ C． D． 答案：选C解析：法一 特殊值法，由题意取，‎ 则，可见应选C 法二 ‎ ‎ 令，分别取和，则原式化为 所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）‎ ‎3．（湖南理7）下列四个命题中，不正确的是（ ）‎ A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D． ‎【答案】C.【解析】的前提是必须都存在！‎ ‎4．（江西理2）（　　）Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在 解析：=，选B ‎5．(上海文14)数列中， 则数列的极限值（　　）‎ ‎ Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在 ‎【答案】B【解析】，选B。‎ ‎6. （四川理3）（A）0 (B)1 (C) (D) 解：原式或原式．选D．‎ ‎7．（重庆理8）设正数满足，则（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ‎【答案】：B P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－2Pn－1, ‎ ‎∴ ，，，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为.整理得=。‎ ‎9．（辽宁理13）已知函数在点处连续，则 ．‎ 解析：因为在点处连续，故，填-1‎ ‎10．（全国Ⅱ理16）已知数列的通项，其前项和为，则 ．‎ 解：【答案】 －【解析】已知数列的通项an=－5n+2，其前n项和为Sn，则=－。‎ ‎11．（陕西理13） ．‎ 解析： ‎12．（天津理13）设等差数列的公差是2，前项的和为，则　　　　．‎ ‎【答案】3【分析】根据题意知 代入极限式得.‎ ‎13．（上海春1）计算 ‎ ‎【答案】【分析】 所以 三、解答题 ‎14．（湖北理21）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；‎ ‎（II）对于，已知，求证， ‎（III）求出满足等式的所有正整数．‎ ，‎ ．‎ 即．即当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；‎ 当时，，等式成立；当时，，等式成立；‎ 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；‎ 当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．‎ 解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当，且时，，．　　①‎ ‎（ⅰ）当时，左边，右边，‎ 因为，所以，即左边右边，不等式①成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，‎ 因为，所以．又因为，所以．‎ 于是在不等式两边同乘以得 ，‎ 所以．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当，时，，，‎ 而由（Ⅰ），，．‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，‎ 即有．　　②‎ 又由（Ⅱ）可得 ，与②式矛盾．‎ 故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．‎ ‎15．（江西理17）已知函数在区间内连续，且．‎ ‎（1）求实数和的值；（2）解不等式．‎ ‎2假设成立，则，则时 由①得 因为时，，所以．‎ ，所以．又，所以．‎ 故，即时，成立．由1，2知，对任意，．‎ ‎（2）方法二：由，，，猜想：．‎ 下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；‎ ‎2假设成立，则，则时 由①得即　　②‎ 由②左式，得，即，因为两端为整数，‎ 则．于是　　　　③‎ 又由②右式，．‎ 则．因为两端为正整数，则，‎ 所以．又因时，为正整数，则　④‎ 据③④，即时，成立．由1，2知，对任意，．‎ ‎17. （辽宁理21）已知数列，与函数，，满足条件：，.（I）若，，，存在，求的取值范围；（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，（用表示）．‎ ‎(Ⅰ)解法一：由题设知得又已知,可得…4分 由 ‎ 是等比数列，其首项为.于是 又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且…8分 解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且可得…4分由可知,‎ 所以是首项为,公比为的等比数列.‎ 由 可知，若存在，则存在.于是可得0＜＜1,‎ 所以-2＜t＜2且=2………8分 解法三:由题设知tbn+1=2bn+1,即 ①于是有 ②‎ ‎②-①得……4分 由 所以是首项为,公比为的等比数列，于是 （b2-b1）+2b.‎ 又存在，可得0＜＜1,所以-2＜t＜2且 ………8分 ‎18.（全国I理22）已知数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．‎ 解：（Ⅰ）由题设： ，．‎ ‎19.（天津理21）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．‎ ‎(I)解法一：， ， .‎ ‎ 由此可猜想出数列的通项公式为.‎ ‎ 以下用数学归纳法证明.(1)当时等式成立.(2)假设当时等式成立，即 那么， 这就是说，当时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何N都成立.‎ 解法二：由N可得 ‎ 所以为等数列，其公差为1，首项为0.故 所以数列的通项公式为 ‎(II)解：设 ①‎ ②‎ ‎ 当时，①式减去②式，得 ‎ ‎ ‎ 这时数列的前项和 ‎ 当 时，这时数列的前项和 ‎(III)证明：通过分析，推测数列的第一项最大.下面证明： ③‎ ‎ 由知要使③式成立，只要因为 ‎ 所以③式成立. 因此，存在使得对任意N均成立.‎ ‎20.（重庆理21）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：．‎ ‎（I）解：由，解得或，由假设，因此，‎ 又由，得，‎ 即或，因，故不成立，舍去．‎ 由此不等式有 ．‎ 证法三：同证法一求得及．‎ 令，．‎ 因．因此．‎ 从而．‎ 证法四：同证法一求得及．下面用数学归纳法证明：．‎ 当时，，，因此，结论成立．‎ 假设结论当时成立，即．‎ 则当时， 因．故．‎ 从而．这就是说，当时结论也成立．‎ 综上对任何成立．‎ ‎【两年模拟】 08名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎1、（2008荆门市实验高中测试）‎ 等于 ( )A.1 B. C. c D.1或答案 D ‎2、（2008荆门市实验高中测试）下列极限存在的是 ( )‎ ‎① ② ③ ④‎ A.①②④ B.②③ C.①③ D.①②③④答案 C ‎3、（2008荆门市实验高中测试）已知a,b时互不相等的正数，则 等于（ ）A.1 B.1或－‎1 C.0 D.0或－1答案 B ‎4、(淮南市部分重点中学2007年高三数学素质测试）设 ‎ 存在，则常数b的值是（ ） A．0 B．‎1 ‎C．－1 D．e.答案 B ‎5、 (巢湖2007二模)若,则常数、的值为 （ ）‎ A.， B. ， C. ， D. .答案 C ‎6、(皖南八校2007届一联）的值为 （ ）‎ ‎ A．0 B．不存在 C．－ D．.答案 C ‎7、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4… …则这个数列的第2006个数是 ( )A 62 B‎.63 ‎‎ C 64 D 65答案 B ‎ ‎8、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）函数f（x）=的不连续 点为 ( )A x= B x=‎1 C x= D 以上答案都不对 答案A ‎ ‎9、（南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练）用数学归纳法证明命题时，此命题 左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加 ( )‎ A． B． ‎ C． D．答案C ‎ 二、填空题 ‎10、 （2008荆门市实验高中测试） 若 。.答案 2‎ ‎11、（2008荆门市实验高中测试） _____________。答案 －1‎ ‎12、（2008宣威六中高三数学测试）_________。答案 －1‎ ‎13、（安徽宿州三中2007年三模）已知，则 答案 -8 ‎ 三、解答题 ‎14、 （2008荆门市实验高中测试）求 解 ‎ ‎（2）因为 所以故 ‎17、(南昌市2007-2008学年度高三第一轮复习训练)‎ 数列 ‎（1）求（2）证明猜想的正确性 解 ： ‎ ‎⑵由⑴知 ‎2009名校模拟题及其答案 一、选择题 ‎1、(2009年3月襄樊市高中调研统一测试理)的值为 ( ) A．0 B．‎1 ‎C． D．答案 C A．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0 B．如果 f (x) = 2 x－1，则 f (x) = 0‎ C．如果 f (n) = ，则 f (n) 不存在 D．如果 f (x) = ，则 f (x) = 0答案 D ‎6、（2009宣威六中第一次月考），则（ ）‎ A． B． C． D．答案 A 二、填空题 ‎7、（2009上海十四校联考）如图，在杨辉三角中，斜线上方 的数组成数列：‎ ‎ 1，3，6，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，‎ ‎ 则= .‎ 答案 6‎ ‎8、（2009上海奉贤区模拟考）已知各项均为正数的等比数列 的首项，公比为，前n项和为，若，则公比为的取值范围是 。‎ 答案 ‎ ‎9、（2009闵行三中模拟）若实数满足，则_______.答案3‎ ‎10．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)若展开式的第项为，则= ．答案 2‎ ‎17、（2009宣威六中第一次月考）= .答案 -3‎ 三、解答题 ‎18、（2009冠龙高级中学3月月考）由函数确定数列，，函数的反函数能确定数列，，若对于任意，都有，则称数列是数列的“自反数列”。(1)若函数确定数列的自反数列为，求的通项公式；(2)在(1)条件下，记为正数数列的调和平均数，若，‎ 都满足，求. ‎ 解 因为，所以由条件可得，.‎ 即数列是公比的等比数列.又，所以，.‎ ‎【一年原创】 2008和2009原创试题及其解析 一选择题 ‎1、如果复数m2(1＋i)＋(m＋i)i2为纯虚数，则实数m的值为( )‎ A．0 B．‎1 ‎‎ ‎ C．－1 D．0或1答案A ‎2、已知数列{an}满足：，且对任意正整数m、n，都有am＋n=aman，若数列{an}的前n项和为Sn，则( )答案A ‎5、（ ）A． B C． D． 答案D ‎6.的值为（ ） A.0 B.1 C.- D.答案C ‎7、等于（ ）A.2 B.1 C. D.0答案C ‎8、已知，且函数在上具有单调性，则的取值范围是 ‎ A． B． C． D． 答案D  ‎13.设f(n)=1+++…+（n∈N*），那么f(n+1)-f(n)等于 （ ） A. B.C. D.答案D ‎14.的值为 （ ） A.-1  B.0 C. D.1答案A ‎15.设正数a,b满足（x2+ax-b）=4,则等于 （ ） A.0 B. C. D.1答案B ‎16.数列{an}中a1=2，且an=（an-1+）（n≥2），若an存在，则an等于 （ ） A. B.- C.± D.答案A ‎11.‎ ‎17.数列{an}中，有［（5n+2）an］=2,并有an存在，则(nan)的值为 （ ） A.0 B.2 C. D.不存在答案C 二填空题 ‎1. =2，则a= .答案 1 ‎2.设常数a＞0,4展开式中x3的系数为,则(a+a2+…+an)= .答案 1‎ ‎3.= .答案 -2 三解答题 ‎1已知等差数列前三项为a，4，‎3a，前n项和为Sn，Sk=2 550.（1）求a及k的值；‎ ‎（2）求.‎ 解 （1）由已知得a1=a，a2=4，a3=‎3a，∴a3-a2=a2-a1，即‎4a=8，∴a=2. ‎∴首项a1=2，公差d=2.由Sk=ka1+d，得2k+·2=2 550， ‎∴k2+k-2 550=0，∴k=50或k=-51（舍去).∴a=2，k=50. ‎（2）由Sn=na1+n（n-1）d=2n+n（n-1）得Sn=n2+n=n（n+1）. ‎∴∴= ‎=1-∴==1‎ ‎2.若函数f(x)=(+)2 (x≥0),数列{an}（an＞0）的前n项和Sn（n∈N*）对所有大于1的正整数n 都有Sn=f(Sn-1),且a1=2.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn= (n∈N*)，‎ 求(b1+b2+…+bn-n). 解 （1）∵Sn=f（Sn-1）=（）2（n≥2），∴, ‎∴{}是以为首项，为公差的等差数列. ‎∴=+（n-1）=n，∴Sn=2n2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-2,又a1=2适合上式，故an=4n-2. ‎（2）bn=,∴b1+b2+…+bn-n=1-. ‎∴( b1+b2+…+bn-n)=(1-)=1.‎ ‎3已知函数f(x)= (1)求f(x);(2)若f(x)存在，求a，b的值； ‎（3）若函数f(x)在x=1处连续，求a，b所满足的条件. 解 （1）∵x→0时，的分子、分母都有极限-1，∴f(x)=1. ‎(2)若f(x)存在，则f(x)=f(x),而f(x)=(ax2+2)=a+2.  f(x)=∴a+2=,∴a=-,b可为任意实数. ‎（3）若f(x)在x=1处连续，则f(x)=f(x)=f(1),则a=-,b=.‎ ‎4是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由. 解 假设存在a、b、c使12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c） 对于一切n∈N*都成立.当n=1时，a（b+c）=1；当n=2时，‎2a（4b+c）=6； 当n=3时，‎3a（9b+c）=19.解方程组解得 证明如下： ‎①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立. ‎②假设n=k（k∈N*）时等式成立，即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12 ‎=k（2k2+1）；当n=k+1时， ‎12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12=k（2k2+1）+（k+1）2+k2 ‎=k（2k2+3k+1）+（k+1）2=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2 ‎=（k+1）（2k2+4k+3）=（k+1）［2（k+1）2+1］.即n=k+1时，等式成立. 因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立.‎ ‎【考点预测】 2010高考预测 极限是考查的重点内容，2010以选择或填空题为主，主要考察求函数、数列的极限 复习建议 数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视.数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐据在点x0处的极限来定义的,它要求存在.其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先, 在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于的定义域,也可以不属于的定义域,即与是否有意义无关,而在点x0处连续,要求在点x0及其附近都有定义;其次,f（x）在点x0处的极限（值）与在点x0处的函数值可以无关,而在点x0处连续,要求在点x0处的极限（值）等于它在这一点的函数值.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.‎ 函数f（x）在x0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数在x=x0处及其附近有定义；（2）存在；（3） =.‎ ‎【母题特供】每个专题5道最典型试题 解 (1)f(x)= 即f(x)= f(x)的定义域为R. ‎（2）函数y=f(x)的图象如图所示. ‎（3）函数在x=1处不连续，这是因为 母题三： 金题引路：已知=3,求的值.‎ 解 依题意可知ax2+bx+1中必有x-1这个因式，∴a+b+1=0 又 ‎∴a=4,将a=4代入a+b+1=0，得b=-5，∴ 母题四： ‎ 与n2-1的大小，并证明你的结论. ‎（1）证明 ∵n，an，Sn成等差数列，∴2an=n+Sn又an=Sn-Sn-1(n≥2). ‎∴2（Sn-Sn-1）=n+Sn，即Sn=2Sn-1+n.∴Sn+n+2=2Sn-1+2(n+1)=2［Sn-1+(n-1)+2］ 且S1+1+2=4≠0,所以数列{Sn+n+2}成等比数列. ‎（2）解 Sn+n+2=4·2n-1=2n+1，即Sn=2n+1-n-2,∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-n-2-［2n-(n-1)-2］=2n-1,‎ 又a1=1=21-1.故对任意正整数n,an=2n-1. ‎（3）解 an=2n-1,令f(n)=n2-1,a1=1,f(1)=0,a1＞f(1),a2=3,f(2)=3,a2=f(2),a3＜f(3),a4=f(4) a5＞f(5).猜想n≥5时,an＞f(n).证明如下：①由上知n=5时猜想成立 ‎②假设n=k（k∈N*,k≥5)时猜想成立，即2k-1＞k2-1,即2k＞k2,那么2k+1-1=2·2k-1＞2k2-1 ‎∵k‎2-1-2‎k=(k-1)2-2＞0,∴k2+k2-1＞k2+2k=(k+1)2-1∴n=k+1时结论成立.∴n∈N*,n≥5时结论成立 来源 臂力论文网 http://www.zidir.com ‎ ‎ ‎