青岛市高考二模理科数学试题及答案

青岛市高考二模理科数学试题及答案

‎2018年青岛市高考模拟检测 数学（理科）‎ 本试题卷共6页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ ‎ 祝考试顺利 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎5．考试结束后，请将答题卡上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1．设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数（是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限 ‎3．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎4. 在如图所示的框图中，若输出，那么判断框中应填入的关于的判断条件是 开始 输出 结束 是 A．‎ B． ‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知各项均为正数的等比数列的 前项和为，且满足，，‎ 成等差数列，则 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎6．已知直线与圆：相交于，两点（为坐标原点），‎ 则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知定义域为的奇函数，当时，满足，‎ 则 A． B． C． D．‎ ‎8．将函数图像上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A． B． C． D．‎ ‎9．设变量满足约束条件，目标函数的最小值为，则的值是 A． B． C． D． ‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 俯视图 正视图 侧视图 A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且，抛物线的准线与轴交于点， 于点，若四边形的面积为，则准线的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎12．对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数： ； ；；.则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．‎ ‎13．已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影为 ． ‎ ‎14．已知展开式中的常数项为，则实数 ．‎ ‎15．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则 ．‎ ‎16．已知三棱锥中，，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为 ． ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）如图，为外一点，若在平面四边形中，‎ ‎，且，，，求的长．‎ ‎18．（12分）如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，且，点为棱上的动点，且，‎ 为的中点.‎ ‎（1）当点运动时，能否出现面情况，请说明理由.‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．（12分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.‎ 分数 频率 组距 ‎（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩；（精确到个位）‎ ‎（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩近似服从正态分布（，‎ 约为），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占.‎ ‎（ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）‎ ‎（ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎（说明：表示的概率.参考数据：，）‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为，点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）在动点的轨迹上有两个不同的点，线段的中点为，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数在上的单调性；‎ ‎（2）令函数，是自然对数的底数，‎ 若函数有且只有一个零点，判断与的大小，并说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎ ‎ ‎22．选修：坐标系与参数方程（10分）‎ ‎ 以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及的普通方程；‎ ‎（2）已知点，直线的参数方程为（为参数），设直线与曲线 相交于两点，求的值．‎ ‎23．选修：不等式选讲（10分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）在（1）的结论下，若正实数满足，求证：.‎ ‎2018年青岛市高考模拟检测 数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．‎ ‎ C B C D C A B A C D A B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：（1）在中，由正弦定理得， ………………2分 又，所以，‎ 故，…………………………………4分 所以，‎ 又，所以，故……………………………………………6分 ‎（2），………………………………………7分 又在中， ， ‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ ‎∴， ………………………………………………………………………………9分 在中， ， ， ，‎ ‎∴由余弦定理可得，‎ 即，化简得，解得．‎ 故的长为．………………………………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 否 解:（1）当为各棱中点时，面 证明如下：连接 ‎ 且 四边形为平行四边形，‎ 又面，面 面…………………………3分 为各棱中点 ‎ 又面，面，面……………………………5分 ‎，面面 又面，面…………………………………………………6分 ‎（2）如图，设中点为，作，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，‎ ‎ ………………………………………………………8分 设平面的法向量为，则有 ‎，可得平面的一个法向量 ……………………10分 又，‎ 设直线与平面所成角为，则……………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：‎ ‎ ‎ ‎ …3分 ‎（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为，‎ 根据题意，，即.‎ 由得，，‎ 所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为分. …………7分 ‎（ⅱ）因为，，.‎ 所以的分布列为 ‎ …………………………………………………………………10分 所以. …………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设点、分别为 由已知，所以，，‎ 又因为点在双曲线上，所以 则，即，解得，‎ 所以………………………………………………………………………………………3分 连接，因为，所以四边形为平行四边形 因为四边形的周长为 所以 ‎ 所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，‎ 长轴长为的椭圆（除去左右顶点）‎ 可得动点的轨迹方程为：……………………………………………5分 ‎（2）因为,所以………………………6分 所以 ‎ ‎ ………………………………………10分 等号当仅当,即 ‎ 所以,即为直角三角形………………………………………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知，且 ‎①当时，即当时，‎ 则函数在上单调递增…………………………………………………………1分 ‎②当时，即或时，有两个根，‎ ‎，因为，所以 ‎1°当时，令，解得 当或时，函数在上单调递增…………………3分 ‎2°当时，令，，‎ 解得 当时，函数在上单调递减，‎ 在上单调递增；…………………5分 ‎3°当时，令，解得 当时，函数在上单调递减； ……………………………………6分 ‎（2）函数 则 则，所以在上单调增 当，所以 所以在上有唯一零点 当，所以为的最小值 由已知函数有且只有一个零点，则 所以则 …………………………………9分 则，得 令，所以 则，所以 所以在单调递减，‎ 因为 所以在上有一个零点，在无零点 所以 …………………………………………………………………………………12分 ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程 解：（1）因为，‎ 所以，所以 ……………………………………………2分 因为，所以 …………………………………………4分 ‎（2）由题知点在直线上 将直线的参数方程代入得，‎ 设两点对应的参数为 则……………………………………………………………………6分 所以 ‎ ………………………………………………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）选修：不等式选讲 解：（1）因为 所以函数的最小值为 ………………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）知，‎ 因为 所以 所以 ……………………………………………………………………………10分