2015年四川省高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2015年四川省高考数学试卷(理科)

‎2015年四川省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.(5分)(2015•四川)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3}‎ ‎2.(5分)(2015•四川)设i是虚数单位,则复数i3﹣=(  )‎ A.﹣i B.﹣3i C.i D.3i ‎3.(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎4.(5分)(2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )‎ A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+)‎ C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx ‎5.(5分)(2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )‎ A. B.2 C.6 D.4‎ ‎6.(5分)(2015•四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(  )‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎7.(5分)(2015•四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=(  )‎ A.20 B.15 C.9 D.6‎ ‎8.(5分)(2015•四川)设a、b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.(5分)(2015•四川)如果函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[]上单调递减,那么mn的最大值为(  )‎ A.16 B.18 C.25 D.‎ ‎10.(5分)(2015•四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。‎ ‎11.(5分)(2015•四川)在(2x﹣1)5的展开式中,含x2的项的系数是      (用数字填写答案).‎ ‎12.(5分)(2015•四川)sin15°+sin75°的值是      .‎ ‎13.(5分)(2015•四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是      小时.‎ ‎14.(5分)(2015•四川)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为      .‎ ‎15.(5分)(2015•四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;‎ ‎③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;‎ ‎④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.‎ 其中的真命题有      (写出所有真命题的序号).‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(12分)(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值.‎ ‎17.(12分)(2015•四川)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;‎ ‎(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.‎ ‎18.(12分)(2015•四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M、GH的中点为N.‎ ‎(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(Ⅱ)证明:直线MN∥平面BDH;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣EG﹣M的余弦值.‎ ‎19.(12分)(2015•四川)如图,A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.‎ ‎(Ⅰ)证明:tan;‎ ‎(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.‎ ‎20.(13分)(2015•四川)如图,椭圆E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.(14分)(2015•四川)已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a,其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.‎ ‎ ‎ ‎2015年四川省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1.(5分)(2015•四川)设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=(  )‎ A.{x|﹣1<x<3} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3}‎ ‎【分析】求解不等式得出集合A={x|﹣1<x<2},‎ 根据集合的并集可求解答案.‎ ‎【解答】解:∵集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},‎ ‎∴集合A={x|﹣1<x<2},‎ ‎∵A∪B={x|﹣1<x<3},‎ 故选:A ‎【点评】本题考查了二次不等式的求解,集合的运算,属于容易题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•四川)设i是虚数单位,则复数i3﹣=(  )‎ A.﹣i B.﹣3i C.i D.3i ‎【分析】通分得出,利用i的性质运算即可.‎ ‎【解答】解:∵i是虚数单位,则复数i3﹣,‎ ‎∴===i,‎ 故选;C ‎【点评】本题考查了复数的运算,掌握好运算法则即可,属于计算题.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•四川)执行如图所示的程序框图,输出s的值为(  )‎ A.﹣ B. C.﹣ D.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k的值,当k=5时满足条件k>4,计算并输出S的值为.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=1‎ k=2‎ 不满足条件k>4,k=3‎ 不满足条件k>4,k=4‎ 不满足条件k>4,k=5‎ 满足条件k>4,S=sin=,‎ 输出S的值为.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•四川)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(  )‎ A.y=cos(2x+) B.y=sin(2x+)‎ C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx ‎【分析】求出函数的周期,函数的奇偶性,判断求解即可.‎ ‎【解答】解:‎ y=cos(2x+)=﹣sin2x,是奇函数,函数的周期为:π,满足题意,所以A正确 y=sin(2x+)=cos2x,函数是偶函数,周期为:π,不满足题意,所以B不正确;‎ y=sin2x+cos2x=sin(2x+),函数是非奇非偶函数,周期为π,所以C不正确;‎ y=sinx+cosx=sin(x+),函数是非奇非偶函数,周期为2π,所以D不正确;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数,函数的奇偶性以及红丝带周期的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•四川)过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=(  )‎ A. B.2 C.6 D.4‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程,求出AB的方程,得到AB坐标,即可求解|AB|.‎ ‎【解答】解:双曲线x2﹣=1的右焦点(2,0),渐近线方程为y=,‎ 过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线,x=2,‎ 可得yA=2,yB=﹣2,‎ ‎∴|AB|=4.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查基本知识的应用.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(  )‎ A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 ‎【分析】根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;进而对首位数字分2种情况讨论,①首位数字为5时,②首位数字为4时,每种情况下分析首位、末位数字的情况,再安排剩余的三个位置,由分步计数原理可得其情况数目,进而由分类加法原理,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个,末位数字为0、2、4中其中1个;‎ 分两种情况讨论:‎ ‎①首位数字为5时,末位数字有3种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有3×24=72个,‎ ‎②首位数字为4时,末位数字有2种情况,在剩余的4个数中任取3个,放在剩余的3个位置上,有A43=24种情况,此时有2×24=48个,‎ 共有72+48=120个.‎ 故选:B ‎【点评】本题考查计数原理的运用,关键是根据题意,分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征,进而可得其可选的情况.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•四川)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4,若点M、N满足,,则=(  )‎ A.20 B.15 C.9 D.6‎ ‎【分析】根据图形得出=+=,‎ ‎==,=•()=2﹣,‎ 结合向量结合向量的数量积求解即可.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,点M、N满足,,‎ ‎∴根据图形可得:=+=,‎ ‎==,‎ ‎∴=,‎ ‎∵=•()=2﹣,‎ ‎2=22,‎ ‎=22,‎ ‎||=6,||=4,‎ ‎∴=22=12﹣3=9‎ 故选:C ‎【点评】本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•四川)设a、b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】求解3a>3b>3,得出a>b>1,‎ loga3<logb3,或根据对数函数的性质求解即可,‎ 再利用充分必要条件的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:a、b都是不等于1的正数,‎ ‎∵3a>3b>3,‎ ‎∴a>b>1,‎ ‎∵loga3<logb3,‎ ‎∴,‎ 即<0,‎ 或 求解得出:a>b>1或1>a>b>0或b>1,0<a<1‎ 根据充分必要条件定义得出:“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分条不必要件,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题综合考查了指数,对数函数的单调性,充分必要条件的定义,属于综合题目,关键是分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•四川)如果函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[]上单调递减,那么mn的最大值为(  )‎ A.16 B.18 C.25 D.‎ ‎【分析】函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[]上单调递减,则f′(x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0在[,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处f′()≤0,f′(2)≤0即可.结合基本不等式求出mn的最大值.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[]上单调递减,‎ ‎∴f′(x)≤0,故(m﹣2)x+n﹣8≤0在[,2]上恒成立.而(m﹣2)x+n﹣8是一次函数,在[,2]上的图象是一条线段.故只须在两个端点处f′()≤0,f′(2)≤0即可.即 由(2)得m≤(12﹣n),‎ ‎∴mn≤n(12﹣n)≤=18,当且仅当m=3,n=6时取得最大值,经检验m=3,n=6满足(1)和(2).‎ 故选:B.‎ 解法二:‎ ‎∵函数f(x)=(m﹣2)x2+(n﹣8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[]上单调递减,‎ ‎∴①m=2,n<8‎ 对称轴x=﹣,‎ ‎②即 ‎③即 设或或 设y=,y′=,‎ 当切点为(x0,y0),k取最大值.‎ ‎①﹣=﹣2.k=2x,‎ ‎∴y0=﹣2x0+12,y0==2x0,可得x0=3,y0=6,‎ ‎∵x=3>2‎ ‎∴k的最大值为3×6=18‎ ‎②﹣=﹣.,k=,‎ y0==,‎ ‎2y0+x0﹣18=0,‎ 解得:x0=9,y0=‎ ‎∵x0<2‎ ‎∴不符合题意.‎ ‎③m=2,n=8,k=mn=16‎ 综合得出:m=3,n=6时k最大值k=mn=18,‎ 故选;B ‎【点评】本题综合考查了函数方程的运用,线性规划问题,结合导数的概念,运用几何图形判断,难度较大,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点,与圆(x﹣5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是(  )‎ A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)‎ ‎【分析】先确定M的轨迹是直线x=3,代入抛物线方程可得y=±2,所以交点与圆心(5,0)的距离为4,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),‎ 斜率存在时,设斜率为k,则y12=4x1,y22=4x2,‎ 则,相减,得(y1+y2)(y1﹣y2)=4(x1﹣x2),‎ 当l的斜率存在时,利用点差法可得ky0=2,‎ 因为直线与圆相切,所以=﹣,所以x0=3,‎ 即M的轨迹是直线x=3.‎ 将x=3代入y2=4x,得y2=12,∴,‎ ‎∵M在圆上,∴,∴r2=,‎ ‎∵直线l恰有4条,∴y0≠0,∴4<r2<16,‎ 故2<r<4时,直线l有2条;‎ 斜率不存在时,直线l有2条;‎ 所以直线l恰有4条,2<r<4,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系,考查点差法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。‎ ‎11.(5分)(2015•四川)在(2x﹣1)5的展开式中,含x2的项的系数是 ﹣40 (用数字填写答案).‎ ‎【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第r+1项,整理成最简形式,令x的指数为2求得r,再代入系数求出结果.‎ ‎【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项,‎ Tr+1=;‎ 要求x2的项的系数,‎ ‎∴5﹣r=2,‎ ‎∴r=3,‎ ‎∴x2的项的系数是22(﹣1)3C53=﹣40.‎ 故答案为:﹣40.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•四川)sin15°+sin75°的值是  .‎ ‎【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.‎ ‎【解答】解:sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=(sin15°cos45°+cos15°sin45°)=sin60°=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•四川)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 24 小时.‎ ‎【分析】由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=ekx+b,解方程,可得k,b,再由x=33,代入即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.‎ 代入函数y=ekx+b,‎ 可得eb=192,e22k+b=48,‎ 即有e11k=,eb=192,‎ 则当x=33时,y=e33k+b=×192=24.‎ 故答案为:24.‎ ‎【点评】本题考查函数的解析式的求法和运用,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•四川)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为  .‎ ‎【分析】首先以AB,AD,AQ三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,并设正方形边长为2,M(0,y,2),从而可求出向量的坐标,由cosθ=得到,对函数求导,根据导数符号即可判断该函数为减函数,从而求出cosθ的最大值.‎ ‎【解答】解:根据已知条件,AB,AD,AQ三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设AB=2,则:‎ A(0,0,0),E(1,0,0),F(2,1,0);‎ M在线段PQ上,设M(0,y,2),0≤y≤2;‎ ‎∴;‎ ‎∴cosθ==;‎ 设f(y)=,;‎ 函数g(y)=﹣2y﹣5是一次函数,且为减函数,g(0)=﹣5<0;‎ ‎∴g(y)<0在[0,2]恒成立,∴f′(y)<0;‎ ‎∴f(y)在[0,2]上单调递减;‎ ‎∴y=0时,f(y)取到最大值.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】考查建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线所成角的问题,异面直线所成角的概念及其范围,向量夹角的概念及其范围,以及向量夹角余弦的坐标公式,函数导数符号和函数单调性的关系.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2015•四川)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1、x2,设m=,n=.现有如下命题:‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2,都有m>0;‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2,都有n>0;‎ ‎③对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;‎ ‎④对于任意的a,存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n.‎ 其中的真命题有 ①④ (写出所有真命题的序号).‎ ‎【分析】运用指数函数的单调性,即可判断①;由二次函数的单调性,即可判断②;‎ 通过函数h(x)=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性,即可判断③;‎ 通过函数h(x)=x2+ax+2x,求出导数判断单调性,即可判断④.‎ ‎【解答】解:对于①,由于2>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;‎ 对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(﹣,+∞)递增,则n>0不恒成立,‎ 则②错误;‎ 对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f(x1)=g(x2)﹣f(x2),‎ 考查函数h(x)=x2+ax﹣2x,h′(x)=2x+a﹣2xln2,‎ 当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;‎ 对于④,由m=﹣n,可得f(x1)﹣f(x2)=﹣[g(x1)﹣g(x2)],考查函数h(x)=x2+ax+2x,‎ h′(x)=2x+a+2xln2,对于任意的a,h′(x)不恒大于0或小于0,则④正确.‎ 故答案为:①④.‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性,以及导数判断单调性是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.(12分)(2015•四川)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,求使得|Tn﹣1|成立的n的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式得到an=2an﹣1(n≥2),再由已知a1,a2+1,a3成等差数列求出数列首项,可得数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,则其通项公式可求;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)求出数列{}的通项公式,再由等比数列的前n项和求得Tn,结合求解指数不等式得n的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由已知Sn=2an﹣a1,有 an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1 (n≥2),‎ 即an=2an﹣1(n≥2),‎ 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,‎ 又∵a1,a2+1,a3成等差数列,‎ ‎∴a1+4a1=2(2a1+1),解得:a1=2.‎ ‎∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,‎ ‎∴.‎ 由,得,即2n>1000.‎ ‎∵29=512<1000<1024=210,‎ ‎∴n≥10.‎ 于是,使|Tn﹣1|成立的n的最小值为10.‎ ‎【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2015•四川)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.‎ ‎(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;‎ ‎(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出A中学至少有1名学生入选代表队的对立事件的概率,然后求解概率即可;‎ ‎(Ⅱ)求出X表示参赛的男生人数的可能值,求出概率,得到X的分布列,然后求解数学期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意,参加集训的男、女学生共有6人,参赛学生全从B中抽出(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为:=,因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为:1﹣=;‎ ‎(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,X表示参赛的男生人数,‎ 则X的可能取值为:1,2,3,‎ P(X=1)==,‎ P(X=2)==,‎ P(X=3)==.‎ X的分布列:‎ ‎ X ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P 和数学期望EX=1×=2.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,期望的求法,考查古典概型概率的求法,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2015•四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M、GH的中点为N.‎ ‎(Ⅰ)请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);‎ ‎(Ⅱ)证明:直线MN∥平面BDH;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣EG﹣M的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据展开图和直观图之间的关系进行判断即可;‎ ‎(Ⅱ)利用线面平行的判定定理即可证明直线MN∥平面BDH;‎ ‎(Ⅲ)法一:利用定义法求出二面角的平面角进行求解.‎ 法二:建立坐标系,利用向量法进行求解即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)F、G、H的位置如图;‎ 证明:(Ⅱ)连接BD,设O是BD的中点,‎ ‎∵BC的中点为M、GH的中点为N,‎ ‎∴OM∥CD,OM=CD,‎ HN∥CD,HN=CD,‎ ‎∴OM∥HN,OM=HN,‎ 即四边形MNHO是平行四边形,‎ ‎∴MN∥OH,‎ ‎∵MN⊄平面BDH;OH⊂面BDH,‎ ‎∴直线MN∥平面BDH;‎ ‎(Ⅲ)方法一:‎ 连接AC,过M作MH⊥AC于P,‎ 则正方体ABCD﹣EFGH中,AC∥EG,‎ ‎∴MP⊥EG,‎ 过P作PK⊥EG于K,连接KM,‎ ‎∴EG⊥平面PKM 则KM⊥EG,‎ 则∠PKM是二面角A﹣EG﹣M的平面角,‎ 设AD=2,则CM=1,PK=2,‎ 在Rt△CMP中,PM=CMsin45°=,‎ 在Rt△PKM中,KM==,‎ ‎∴cos∠PKM=,‎ 即二面角A﹣EG﹣M的余弦值为.‎ 方法二:以D为坐标原点,‎ 分别为DA,DC,DH方向为x,y,z轴建立空间坐标系如图:‎ 设AD=2,则M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),‎ 则=(2,﹣2,0),,‎ 设平面EGM的法向量为=(x,y,z),‎ 则,即,令x=2,得=(2,2,1),‎ 在正方体中,DO⊥平面AEGC,‎ 则==(1,1,0)是平面AEG的一个法向量,‎ 则cos<>====.‎ 二面角A﹣EG﹣M的余弦值为.‎ ‎【点评】本题主要考查简单空间图形的直观图,空间线面平行的判定和性质,空间面面夹角的计算,考查空间想象能力,推理能力,运算求解能力.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2015•四川)如图,A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角.‎ ‎(Ⅰ)证明:tan;‎ ‎(Ⅱ)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.‎ ‎(Ⅱ)通过A+C=180°,得C=180°﹣A,D=180°﹣B,利用(Ⅰ)化简tan+tan+tan+tan=,连结BD,在△ABD中,利用余弦定理求出sinA,连结AC,求出sinB,然后求解即可.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)tan===.等式成立.‎ ‎(Ⅱ)由A+C=180°,得C=180°﹣A,D=180°﹣B,由(Ⅰ)可知:tan+tan+tan+tan==,连结BD,在△ABD中,有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,‎ 在△BCD中,有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC,‎ 所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC,‎ 则:cosA===.‎ 于是sinA==,‎ 连结AC,同理可得:cosB===,‎ 于是sinB==.‎ 所以tan+tan+tan+tan===.‎ ‎【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角恒等变换,考查函数与方程的思想,转化与化归思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2015•四川)如图,椭圆E:的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ)通过直线l平行于x轴时被椭圆E截得的线段长为2及离心率是,计算即得结论;‎ ‎(Ⅱ)通过直线l与x轴平行、垂直时,可得若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是(0,2).然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况,利用韦达定理及直线斜率计算方法,证明对任意直线l,均有即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为2,‎ ‎∴点(,1)在椭圆E上,‎ 又∵离心率是,‎ ‎∴,解得a=2,b=,‎ ‎∴椭圆E的方程为:+=1;‎ ‎(Ⅱ)结论:存在与点P不同的定点Q(0,2),使得恒成立.‎ 理由如下:‎ 当直线l与x轴平行时,设直线l与椭圆相交于C、D两点,‎ 如果存在定点Q满足条件,则有==1,即|QC|=|QD|.‎ ‎∴Q点在直线y轴上,可设Q(0,y0).‎ 当直线l与x轴垂直时,设直线l与椭圆相交于M、N两点,‎ 则M、N的坐标分别为(0,)、(0,﹣),‎ 又∵=,∴=,解得y0=1或y0=2.‎ ‎∴若存在不同于点P的定点Q满足条件,则Q点坐标只能是(0,2).‎ 下面证明:对任意直线l,均有.‎ 当直线l的斜率不存在时,由上可知,结论成立.‎ 当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=kx+1,‎ A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),‎ 联立,消去y并整理得:(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,‎ ‎∵△=(4k)2+8(1+2k2)>0,‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣,‎ ‎∴+==2k,‎ 已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为(﹣x2,y2),‎ 又kAQ===k﹣,kQB′===﹣k+=k﹣,‎ ‎∴kAQ=kQB′,即Q、A、B′三点共线,‎ ‎∴===.‎ 故存在与点P不同的定点Q(0,2),使得恒成立.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积累,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2015•四川)已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a,其中a>0.‎ ‎(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的定义域,把函数f(x)求导得到g(x)再对g(x)求导,得到其导函数的零点,然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g(x)的单调期间;‎ ‎(Ⅱ)由f(x)的导函数等于0把a用含有x的代数式表示,然后构造函数φ(x)=x2,由函数零点存在定理得到x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令,u(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1),利用导数求得a0∈(0,1),然后进一步利用导数说明当a=a0时,若x ‎∈(1,+∞),有f(x)≥0,即可得到存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ g(x)=,‎ ‎∴.‎ 当0<a<时,g(x)在上单调递增,‎ 在区间上单调递减;‎ 当a时,g(x)在(0,+∞)上单调递增.‎ ‎(Ⅱ)由=0,解得,‎ 令φ(x)=x2,‎ 则φ(1)=1>0,φ(e)=.‎ 故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.‎ 令,u(x)=x﹣1﹣lnx(x≥1),‎ 由知,函数u(x)在(1,+∞)上单调递增.‎ ‎∴.‎ 即a0∈(0,1),‎ 当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.‎ 由(Ⅰ)知,f′(x)在(1,+∞)上单调递增,‎ 故当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;‎ 当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.‎ ‎∴当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.‎ 综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.‎ ‎【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识,考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法,是压轴题.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:sdpyqzh;w3239003;qiss;刘长柏;双曲线;wkl197822;sxs123;maths;cst(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2016年8月29日
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