空间向量与立体几何高考题汇编

空间向量与立体几何高考题汇编

‎1.（2009北京卷）（本小题共14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面； ‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ 解:如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎2.(2009山东卷)（本小题满分12分）‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ （1） 证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。 ‎ 解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,‎ 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,‎ C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,‎ 所以,,设平面CC‎1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. ‎ ‎（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,‎ ‎,, ‎ 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. ‎ ‎3.（2009全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面 ‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。‎ ‎（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， ‎ 为的中点，。又平面，‎ ‎（射影相等的两条斜线段相等）而平面，‎ ‎（相等的斜线段的射影相等）。‎ 分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。‎ 分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。‎ 作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.‎ ‎ 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益 ‎4.（2009全国卷Ⅰ）(本小题满分12分)‎ ‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 ‎ ‎（I）证明：是侧棱的中点；‎ 求二面角的大小。 ‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。‎ S A B C D M z x y ‎（Ⅰ）设，则 ‎，‎ ‎，由题得 ‎，即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2：设，则 又 故，即 ‎，解得，‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，‎ 设分别是平面、的法向量，则 且，即且 分别令得，即 ‎，‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎5.（2009天津卷）（本小题满分12分）‎ 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE；‎ ‎（III）求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎（I） ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎（II）证明： ，‎ ‎ ‎ ‎（III） ‎ 又由题设，平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎6.（2009年上海卷）（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，,‎ ‎,求二面角的大小。 ‎ ‎【解】如图，建立空间直角坐标系 则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分 设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;‎ ‎∴BM⊥平面A‎1C1C,即=(1,1,0)是平面A‎1C1C的一个法向量。……5分 设平面的一个法向量是 =（x，y，z），‎ ‎ =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） ……7分 ‎ ‎ 设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角 ‎…………………….14分 ‎7（2010湖南）18.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 ‎（Ⅰ）求异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B‎1M1‎ ‎18.解 Ⅰ）如图，因为，所以异面 直线Ｍ和所成的角，因为平面，‎ 所以，而=1，，‎ 故.‎ ‎ 即异面直线Ｍ和所成的角的正切值为 ‎（Ⅱ）由平面，BM平面，得 BM ① ‎ 由（Ⅰ）知，， ，，所以，‎ 从而BMB‎1M ② 又, 再由① ②得BM平面A1B‎1M，而BM平面ABM，‎ 因此平面ABM平面A1B‎1M.‎ ‎8.（2010辽宁理数）（19）（本小题满分12分）‎ 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：CM⊥SN；‎ ‎（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.‎ 证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。‎ 则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分 ‎（Ⅰ）,‎ 因为，‎ 所以CM⊥SN ……6分 ‎（Ⅱ）,‎ 设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，‎ 则 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 ‎9.（2010江西理数）20. （本小题满分12分）‎ 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。‎ （1） 求点A到平面MBC的距离；‎ （2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。‎ 解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.‎ 以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.‎ OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），‎ ‎（1）设是平面MBC的法向量，则，‎ ‎，由得；由得；取，则距离 ‎（2），.‎ 设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则 设所求二面角为，则.‎ ‎10（2010四川）（18）（本小题满分12分）‎ 已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，‎ 点O是对角线BD'的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. ‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), ＝(－1,0,1)‎ ‎ 即 取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)‎ cos由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) ‎ ‎＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)‎ ‎ 即 取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)点M到平面OBC的距离d＝‎ VM－OBC＝…………………………………………12分 ‎11（2010全国卷1理数）（19）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .‎ ‎（Ⅰ）证明：SE=2EB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎12.（11广东理18） ‎ 如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，‎ ‎ 且∠DAB=60，,PB=2,‎ ‎ E,F分别是BC,PC的中点．‎ ‎（1） 证明：AD 平面DEF;‎ ‎（2） 求二面角P-AD-B的余弦值．‎ ‎ 法二：（1）取AD中点为G，因为 ‎ 又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。‎ ‎ 延长BG到O且使得PO OB，又平面PBG，PO AD，‎ ‎ 所以PO 平面ABCD。‎ ‎ 以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD 的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于 ‎ 得 ‎ 平面DEF。‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ 取平面ABD的法向量 ‎ 设平面PAD的法向量 ‎ 由 ‎ 取 ‎ ‎ ‎13.（11湖南理19） ‎ 如图5，在圆锥中，已知=，⊙O的直径,是的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面;‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ 解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ 设是平面POD的一个法向量，‎ 则由，得 所以 设是平面PAC的一个法向量，‎ 则由，‎ 得 所以 得。‎ 因为 所以从而平面平面PAC。‎ ‎（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为 由（I）知，平面PAC的一个法向量为 设向量的夹角为，则 由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，‎ 所以二面角B—PA—C的余弦值为 ‎14.（11辽宁理18） ‎ 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；‎ ‎（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．‎ 解：‎ 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.‎ 则 所以 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ （II）依题意有B（1，0，1），‎ 设是平面PBC的法向量，则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量，则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎15.（11全国大纲理19） ‎ 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形，．‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的大小．‎ 解：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。‎ 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。‎ 又设 ‎ （I），，‎ 由得 故x=1。‎ 由 又由 即 …………3分 于是，‎ 故 所以平面SAB。 …………6分 ‎ （II）设平面SBC的法向量，‎ 则又 故 …………9分 取p=2得。‎ 故AB与平面SBC所成的角为 ‎16.（11全国新课标理18） ‎ 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．‎ 解：（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，，，．‎ 设平面PAB的法向量为n=（x，y，z），则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=设平面PBC的法向量为m，则 ‎ ‎ 可取m=（0，-1，） ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎