2015高考数学人教A版本（6-4数列的综合问题与数列的应用）一轮复习学案

2015高考数学人教A版本（6-4数列的综合问题与数列的应用）一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)若a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是(　　)‎ A．0　　　　B．‎1　‎　　　C．2　　　　D．不确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　由题意知，b2＝ac>0，∴Δ＝b2－‎4ac＝－‎3ac<0，∴f(x)的图象与x轴无交点．‎ ‎(理)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an、an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于(　　)‎ A．24　 　 　B．‎32　‎ 　 　C．48　 　 　D．64‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64，故选D.‎ ‎2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：‎ 每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{an}，有以下结论：‎ ‎①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列的递推公式为：an＝an－1＋n(n∈N*)，其中正确的为(　　)‎ A．①②④ B．①③④‎ C．①② D．①④‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　观察图形可知an＝1＋2＋3＋…＋n＝.∴选D.‎ ‎(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：‎ ‎●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……‎ 若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是(　　)‎ A．60 B．‎61 C．62 D．63‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n)个位置．‎ ‎∵1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝62时，＝＝1953,2014－1953＝61<63，‎ ‎∴在前2014个圈中的●的个数是62.‎ ‎3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2、a4是方程x2－x－2＝0的两个实数根，则S5的值为(　　)‎ A. B．‎5 C．－ D．－5‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵a2、a4是方程x2－x－2＝0的两实根，‎ ‎∴a2＋a4＝1，‎ ‎∴S5＝＝＝.‎ ‎4．(文)已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则(　　)‎ A．a6＝b6 B．a6>b6‎ C．a6＝b6.‎ ‎(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和是100，那么a6·a15的最大值是(　　)‎ A．25 B．‎50 C．100 D．不存在 ‎[答案]　A ‎[解析]　由条件知，a6＋a15＝a1＋a20＝S20＝×100＝10，a6>0，a15>0，∴a6·a15≤()2＝25，等号在a6＝a15＝5时成立，即当an＝5(n∈N*)时，a6·a15取最大值25.‎ ‎5．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S29＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an ‎)，点Q(2015，a2015)，则·＝(　　)‎ A．2015 B．－2015‎ C．0 D．1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由S29＝S4000得到Sn关于n＝＝2014.5对称，故Sn的最大(或最小)值为S2014＝S2015，故a2015＝0，·＝2015＋an·a2015＝2015＋an×0＝2015，故选A.‎ ‎6．(2013·江南十校联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝(　　)‎ A.－1 B.－1‎ C.－1 D.＋1‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由f(4)＝2可得‎4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.‎ ‎∴an＝＝＝－，‎ S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.‎ 二、填空题 ‎7．(文)已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b2,‎2a4＝b3，且存在常数α、β，使得an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则αβ＝________.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则解得(舍去)或所以an＝2n，bn＝4n－1.若an＝logαbn＋β对每一个正整数n都成立，则满足2n＝logα4n－1＋β，即2n＝(n－1)logα4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.‎ ‎(理)在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)dx，则公比q为________．‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　∵a4＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)|＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q3＝＝27，‎ ‎∴q＝3.‎ ‎8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．‎ ‎[答案]　78ar ‎[解析]　依题意得，小王存款到期利息为12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝ar＝78ar元．‎ ‎9．(文)已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由2n＝‎2m＋n和n2＝m2n可得m＝2，n＝4，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎(理)已知双曲线an－1y2－anx2＝an－1an(n≥2，n∈N*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是y＝x，其中数列{an}是以4为首项的正项数列，则数列{an}的通项公式是________．‎ ‎[答案]　an＝2n＋1‎ ‎[解析]　双曲线方程为－＝1，‎ ‎∵焦点在y轴上，‎ 又渐近线方程为y＝x，‎ ‎∴＝，‎ 又a1＝4，∴an＝4×2n－1＝2n＋1.‎ 三、解答题 ‎10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x)＝2x＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝2n·an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.‎ ‎[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，‎ ‎∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x，‎ ‎∴Sn＝n2＋2n，‎ ‎∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1，‎ 又a1＝S1＝3，适合上式，∴an＝2n＋1.‎ ‎(2)bn＝(2n＋1)·2n，‎ ‎∴Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，‎ ‎∴2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1，‎ 相减得－Tn＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝6＋2·－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝(1－2n)·2n＋1－2，‎ ‎∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2.‎ ‎(理)已知函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解析]　(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx＋c，‎ 则f ′(x)＝2ax＋b＝6x－2，∴a＝3，b＝－2，‎ ‎∵f(x)过原点，∴c＝0，∴f(x)＝3x2－2x.‎ 依题意得Sn＝3n2－2n.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，‎ n＝1时，a1＝S1＝1适合上式．‎ ‎∴an＝6n－5(n∈N*)．‎ ‎(2)∵an＝＋＋＋…＋，‎ ‎∴an－1＝＋＋＋…＋(n≥2)．‎ 相减得＝6，‎ ‎∴bn＝6·2n(n≥2)．b1＝‎2a1＝2，‎ ‎∴bn＝ ‎∴Tn＝2＋6(22＋23＋…＋2n)＝3·2n＋2－22.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1、P2、…、Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值为(　　)‎ A．2001 B．2000‎ C．1999 D．1998‎ ‎[答案]　B ‎[分析]　公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n越大)，故P1‎ 与Pn取长轴两端点时n取最大值，可依据公差大于列不等式解．‎ ‎[解析]　∵|PnF|max＝a＋c＝3，|PnF|min＝a－c＝1，‎ d＝＝＞，n∈N，‎ ‎∴nmax＝2000，故选B.‎ ‎12．(文)数列{an}是公差d≠0的等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＝b1，a3＝b3，a7＝b5，则b11等于(　　)‎ A．a63 B．a‎36 C．a31 D．a13‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　设数列{bn}的首项为b1，公比为q，则 得d＝(q4－q2)．‎ ‎∴a1＋(q4－q2)＝a1q2，‎ ‎∵q≠1，∴q2＝2，d＝，‎ 于是b11＝a1q10＝‎32a1.‎ 设‎32a1＝a1＋(n－1)·，则n＝63，‎ ‎∴b11＝a63.‎ ‎(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)(＋1)(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(　　)‎ A．λ>2 B．λ>3‎ C．λ<2 D．λ<3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由已知可得＝＋1，＋1＝2(＋1)，＋1＝2≠0，则＋1＝2n，bn＋1＝2n(n－λ)，bn＝2n－1(n－1－λ)(n≥2，n∈N*)，b1＝－λ也适合上式，故bn＝2n－1(n－1－λ)(n∈N*)．由bn＋1>bn，得2n(n－λ)>2n－1(n－1－λ)，即λ0，∴a1＝1，∴an＝2n－1.‎ 二、填空题 ‎14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{an}的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a24＋a25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．‎ ‎[答案]　28　640‎ ‎[解析]　a24＋a25＝a12＋25＝a6＋25＝a3＋25＝3＋25＝28.‎ ‎5＝a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640.‎ ‎15．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，把数列{an ‎}的各项排列成如图所示的三角形数阵：‎ ‎2‎ ‎22　23‎ ‎24　25　26‎ ‎27　28　29　210‎ ‎……‎ 记M(s，t)表示该数阵中第s行的第t个数，则M(11,2)对应的数是________(用2n的形式表示，n∈N)．‎ ‎[答案]　257‎ ‎[解析]　由数阵的排列规律知，第m行的最后一个数是数列{an}的第1＋2＋3＋…＋m＝项，且该行有m项，由此可知第11行的第2个数是数列{an}的第＋2＝57项，对应的数是257.‎ 三、解答题 ‎16．(文)已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，记Sn为其前n项和．‎ ‎(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.‎ ‎(2)若a1＝1，证明点P1，P2，…，Pn(n∈N*)在同一条直线上，并写出此直线方程．‎ ‎[解析]　(1)∵a2、a3、a6依次成等比数列，‎ ‎∴q＝＝＝＝＝3，即公比q＝3.‎ ‎(2)证明：∵Sn＝na1＋d，‎ ‎∴＝a1＋d＝1＋d.‎ ‎∴点Pn在直线y＝1＋d上．‎ ‎∴点P1，P2，…，Pn(n∈N*)都在过点(1,1)且斜率为的直线上．‎ 此直线方程为y－1＝(x－1)．即dx－2y＋2－d＝0.‎ ‎(理)在等差数列{an}中， 设Sn为它的前n项和，若S15>0，S16<0，且点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为－2的直线l上，‎ ‎(1)求a1的取值范围；‎ ‎(2)指出，，…，中哪个值最大，并说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由已知可得＝－2，则公差d＝－2，‎ ‎∴ ‎∴140，S16＝8(a8＋a9)<0，‎ ‎∴a8>0，a9<0，即S8最大．‎ 又当1≤i≤8时，>0；当9≤i≤15时，<0，‎ ‎∵数列{an}递减，‎ ‎∴≤≤…≤，≥≥…≥⇒最大．‎ 考纲要求 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．‎ 补充说明 ‎1．等比数列综合问题的解题思路 在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．‎ ‎2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．‎ ‎3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．‎ ‎4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．‎ 备选习题 ‎1．设正项等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T10＝32，则＋的最小值为(　　)‎ A．2 B. C．2 D. ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，T10＝a‎1a2…a10＝(a‎5a6)5＝32，∵an>0，∴a‎5a6＝2，∴＋＝·a‎5a6·(＋)＝(a5＋a6)≥×2＝，等号在a5＝a6＝时成立．‎ ‎2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则a6＋a7>0是S9≥S3的(　　)‎ A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵S9≥S3⇔a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9≥0⇔3(a6＋a7)≥0⇔a6＋a7≥0，∴a6＋a7>0⇒a6＋a7≥0，但a6＋a7≥‎0 a6＋a7>0，故选A.‎ ‎3．已知数列{an}、{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝，则b2014＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　∵an＋bn＝1，a1＝，∴b1＝，‎ ‎∵bn＋1＝，∴b2＝＝，‎ ‎∴a2＝，b3＝＝，a3＝，b4＝＝，a4＝，…，观察可见an＝，bn＝，∴b2014＝，故选C.‎ ‎4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i行第j列的数记为ai，j，且满足a1，j＝2j－1，ai,1＝i，ai＋1，j＋1＝ai，j＋ai＋1，j(i，j∈N*)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{bn}，则 第1行 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎…‎ 第2行 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎…‎ 第3行 ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎…‎ ‎……‎ ‎(1)此数表中的第2行第8列的数为________；‎ ‎(2)数列{bn}的通项公式为________．‎ ‎[答案]　(1)129　(2)bn＝2n－1＋n＋1，n∈N*‎ ‎5．已知f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn(n为正偶数)且{an}为等差数列，f(1)＝n2，f(－1)＝n，试比较f与3的大小，并证明你的结论．‎ ‎[解析]　由f(1)＝n2，f(－1)＝n得，a1＝1，d＝2.‎ ‎∴f＝＋32＋53＋…＋(2n－1)· n，‎ 两边同乘以得，f＝2＋33＋…＋(2n－3)n＋(2n－1)n＋1，‎ 两式相减得，f＝＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)n＋1＝＋－(2n－1).‎ ‎∴f＝3－<3.‎