高考统计与概率专题

高考统计与概率专题

‎2018年高考统计与概率专题 ‎（全国卷1文）2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 ‎【答案】B ‎【解析】刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B ‎（全国卷1理）2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎【考点】：几何概型 ‎【思路】：几何概型的面积问题，。‎ ‎【解析】：，故而选B。‎ ‎（全国卷2理）6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎（全国卷2文）6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90 B.63 C.42 D.36 ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.‎ ‎（天津卷）文（3）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（全国卷2文）11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数 总计有25种情况，满足条件的有10种 所以所求概率为。‎ ‎（全国卷3文 理 ）3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.‎ 根据该折线图，下列结论错误的是（ ）‎ A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎【答案】A ‎【考点】折线图 ‎【名师点睛】用样本估计总体时统计图表主要有 ‎1.频率分布直方图,(特点:频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应区间概率,所有小长方形的面积之和为1); 2. 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图． 3. 茎叶图.对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．‎ ‎（山东卷）文（8）如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）。若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为 A 3,5 B 5，5 C 3，7 D 5，7‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意,甲组数据为56，62，65，，74，乙组数据为59，61，67，，78.要使两组数据中位数相等，有，所以，又平均数相同，则 ‎，解得.故选A.‎ ‎（山东卷）理（5）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,选C.‎ ‎（天津卷）理（14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ‎ ‎（江苏卷）3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 18 件.‎ ‎（山东卷）文（16）（本小题满分12分）‎ 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游。‎ ‎（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率。‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎（天津卷）理16.（本小题满分13分）‎ 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为.‎ ‎（Ⅰ）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.‎ ‎【答案】 (1) (2) ‎ ‎【解析】（Ⅰ）随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎（全国卷2文）19（12分）‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：‎ （1） 记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （1） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。‎ 附：‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ K2= ‎ 由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.‎ ‎（全国卷2理）18.（12分）‎ 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于‎50kg, 新养殖法的箱产量不低于‎50kg,估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎18.解：‎ ‎（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于” ，表示事件“新养殖法的箱产量不低于” ‎ 由题意知 ‎ 旧养殖法的箱产量低于的频率为 故的估计值为0.62‎ 新养殖法的箱产量不低于的频率为 故的估计值为0.66‎ 因此，事件A的概率估计值为 ‎（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表 箱产量 箱产量 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 由于 故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．‎ ‎（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为 ‎，‎ 箱产量低于的直方图面积为 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 ‎．‎ ‎（全国卷1文）19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸 ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸 ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ ‎（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学.科网是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）‎ 附：样本的相关系数，．‎ ‎（ii） 剔除9.22，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为 ，标准差为 ‎（全国卷1理）19．（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在 之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎【考点】：统计与概率。‎ ‎【思路】：（1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。（2）考察正态分布，代入运算即可。‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）‎ 由题意可得，X满足二项分布，因此可得 ‎（2）‎ 由（1）可得，属于小概率事件，故而如果出现的零件，需要进行检查。‎ 由题意可得，故而在范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时：，‎ ‎。‎ ‎18．（12分）‎ ‎（全国卷3理）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃‎ ‎）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎18.解：‎ ‎（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 因此的分布列为 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 当时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当时，‎ 若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。‎ ‎（全国卷3文）18．（12分）‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：‎ ‎℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）的可能值列表如下：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎300‎ ‎900‎ ‎900‎ ‎900‎ 低于：；‎ ‎：；‎ 不低于：‎ ‎∴大于0的概率为.‎ ‎【考点】古典概型概率 ‎【名师点睛】点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎（数学理北京卷）（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.‎ ‎（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；‎ ‎（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机KS5U.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；‎ ‎（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）‎ ‎（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.‎ 所以的所有可能取值为0,1,2.‎ ‎.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ 故的期望.‎ ‎（Ⅲ）在这100名患者中，服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.‎ ‎（数学文北京卷）（17）（本小题13分）‎ 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；‎ ‎（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；‎ ‎（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数KS5U不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）.‎ ‎（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，‎ 所以样本中分数不小于70的男生人数为.‎ 所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.‎ 所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.‎ ‎（山东卷）理（18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名B1，B2，‎ B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。‎ ‎（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率。‎ ‎（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX。‎ ‎【答案】（I）(II)X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是.‎ ‎【解析】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则 ‎(II)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.则 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是=‎ ‎（江苏卷）23. （本小题满分10）‎ 已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n ,n 2）,这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.‎ ‎（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;‎ ‎（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(x)是x的数学期望，证明 ‎ ‎23.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识, 考查组合数及其性质, 考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分. ‎ 解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为: . ‎ ‎(2) 随机变量 X 的概率分布为: ‎ X ‎…‎ ‎…‎ P ‎…‎ ‎…‎ 随机变量 X 的期望为：‎ ‎.‎ 所以 ‎ .‎