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高考必做的36道压轴题数学变式题答案
高考数学必做 36 道压轴题答案（解析几何部分） 1-1 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是 （ ， ）， 则由于离心率 ，所以 ， ． 从而双曲线的方程为 ，且其右焦点为 （ ，0）． 把直线 的方程 代入双曲线的方程，消去 并整理，得 ． 设 ， ，则 ， ． 由弦长公式，得 =6． 所以 ， ． 从而双曲线的方程是 ． （Ⅱ）由 和 ，消去 ，得 ． 根据条件，得 且 ． 所以 ． 设 ， ，则 ， ． 由于以线段 为直径的圆过原点，所以 ． 即 ． 从而有 ，即 ． 所以 点 到直线 ： 的距离为 ． 2 2( , )x y 12 2 2 2 =− b y a x 0>a 0>b 2== a ce ac 2= 22 3ab = 13 2 2 2 2 =− a y a x F a2 MN axy 2−= y 0742 22 =−+ aaxx M 1 1( , )x y N axx 221 −=+ 2 21 2 7 axx −= 21 2 21 4)(2|| xxxxMN −+⋅= )2 7(4)2(2 22 aa −−−⋅= 1=a 33 22 == ab 13 2 2 =− yx mkxy += 13 2 2 =− yx y 032)3( 222 =−−−− mkmxxk 0)3)(3(44 2222 >−−−−=∆ mkmk 03 2 ≠− k 33 22 ≠>+ km A ),( 33 yx B ),( 44 yx 243 3 2 k kmxx −=+ 3 3 2 2 43 − += k mxx AB 04343 =+ yyxx 0)()1( 2 4343 2 =++++ mxxkmxxk 03 2 3 3)1( 2 22 2 2 =+−⋅+− +⋅+ mk kmkmk mk 22 3 21 mk =+ Q l mkxy += |11|2 6 3 2 |1| 1 |1| 2 2 mm m k md +=+= + += 由 ≥ ，解得 且 ． 由 ，解得 ． 所以当 时， 取最大值 ，此时 ． 因此 的最大值为 ，此时直线 的方程是 ． 1-2 解：（Ⅰ）设焦距为 ，由已知可得 到直线 的距离 ，即 所以椭圆 的焦距为 4． （Ⅱ）设 ，由题意知 ， ，且直线 的方程为 联立 得 ， 解得 . 因为 ，所以 ， 即 , 得 ．而 ，所以 ． 故椭圆 的方程为 2-1 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 ，即 ，又 ， 所以 , ，即 ， ． （Ⅱ）解法 1： 由（1）知 两点分别为 ， ，由题意可设 ． 那么线段 中点为 ，设 ． 13 2 22 −= mk 0 3 61 3 6 ≤≤− m 01 ≠ m 13 2 22 −= mk 3≠ ≠ m 1 6 6± 2 6=m d 2 26)3 61(2 6 +=+ 0=k d 2 26 + l 2 6=y 2c 1F l 3 2 3c = 2c = C 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 0y < 2 0y > l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 3( 2), 1 y x x y a b = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 4 3 3 0a b y b y b+ − − = 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ),3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 22AF F B= 1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )23 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 3a = 2 2 4a b− = 5b = C 2 2 1.9 5 x y+ = 3 3 ce a = = 2 2 2 2 2 2 1 3 c a be a a −= = = 2 2 2 3 b a = 2 2 1 1 b = = + 2 2b = 2 3a = 3a = 2b = 1 2,F F ( 1,0)− (1,0) (1, )P t 1PF (0, )2 tN ( , )M x y 由于 ， ， 则 消去参数 ，得 ,其轨迹为抛物线． 解法 2：如图，因为 是线段 垂直平分线 上 的 点， 所以 ，即动点 到定点 的距 离 与 的定直线 的距离相等， 由抛物线的定义知，动点 的轨迹是以定点 ， 以 定 直 线 为 准 线 的 抛 物 线 ， 易 得 其 方 程 是 ． 2-2 解：（Ⅰ）设动点 的坐标为 ，依题意可知 ， 整理得 ． 所以动点 的轨迹 的方程为 ． （II）当直线 的斜率不存在时，满足条件的点 的纵坐标为 ． 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 将 代入 并整理得， ． ． 设 ， ，则 ， ． 设 的中点为 ，则 ， ， 所以 ． ( , )2 tMN x y= − − 1( 2, )PF t− − 1 , 2 ( ),2 y t tMN PF x t y = ⋅ = + − t 2 4y x= − M 1PF 1| | | |MP MF= M 1F 1l M 1F 1l 2 4y x= − E ( , )x y 1 22 2 y y x x ⋅ = − + − 2 2 1( 2)2 x y x+ = ≠ ± E C 2 2 1( 2)2 x y x+ = ≠ ± l P 0 l l ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 28 8 0k∆ = + > 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2 2 4 2 1 kx x k + = + 2 1 2 2 2 2 2 1 kx x k −= + MN Q 2 2 2 2 1Q kx k = + 2( 1) 2 1Q Q ky k x k = − = − + 2 2 2 2( , )2 1 2 1 k kQ k k −+ + M N F2F1 O P 由题意可知 ， 又直线 的垂直平分线的方程为 ． 令 解得 ． 当 时，因为 ，所以 ； 当 时，因为 ，所以 ． 综上所述，点 纵坐标的取值范围是 ． 3-1 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 的椭圆． 所以 ， ， ． 所以 W 的方程是 ． （Ⅱ）设 C，D 两点坐标分别为 、 ，C，D 中点为 ． 当 时，显然 ； 当 时， 由 得 ． 所以 ， 所以 ， 从而 ． 所以 斜率 ． 又因为 ， 所以 ， 所以 ， 0k ≠ MN 2 2 2 1 2( )2 1 2 1 k ky xk k k + = − −+ + 0x = 2 1 12 1 2 P ky k k k = =+ + 0k > 12 2 2k k + ≥ 1 20 42 2Py< ≤ = 0k < 12 2 2k k + ≤ − 1 20 42 2Py> ≥ − = − P 2 2[ , ]4 4 − 2 3 1c = 3a = 2 2b = 2 2 13 2 x y+ = 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y 0 0( , )N x y 0k = 0m = 0k ≠ 2 2 1, 13 2 y kx x y = + + = 2 2(3 2) 6 3 0k x kx+ + − = 1 2 2 6 3 2 kx x k + = − + 1 2 0 2 3 2 3 2 x x kx k += = − + 0 0 2 21 3 2y kx k = + = + MN 20 0 2 2 3 2 3 3 2 MN y kk kx m mk += =− − −+ CM DM= CD MN⊥ 2 2 2 13 2 3 3 2 k k kmk + = − − −+ 即 ． 故所求 的取范围是 ． 3-2 解：（Ⅰ）依题意， ， ， 所以 ． 故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ． 不妨设 ， ， 因为 ，又 ，所以 ， 所以 的关系式为 ，即 ． ②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ． 将 代入 整理化简得， ． 设 ， ，则 , ． 又 ， ． 所以 2 1 23 2 3 km k k k = − = −+ + 6 6[ ,0) (0, ]12 12 ∈ − m 6 6[ , ]12 12 − 2c = 1b = 2 2 3a b c= + = C 2 2 13 x y+ = l 2 2 1, 13 x x y = + = 61, 3x y= = ± 6(1, )3A 6(1, )3B − 1 3 6 62 23 3 22 2k k − + + = + = 1 3 22k k k+ = 2 1k = ,m n 2 13 n m − =− 1 0m n− − = l l ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 2 13 x y+ = 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 6 3 1 kx x k + = + 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k −= + 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= − 1 2 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 2 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) 3 3 (3 )(3 ) y y y x y xk k x x x x − − − − + − −+ = + =− − − − 1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 3( ) 9 k x x k x x x x x x − − − + − − −= − + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (4 2)( ) 6 12 3( ) 9 kx x k x x k x x x x − + + + += − + + 所以 ，所以 ，所以 的关系式为 ． 综上所述， 的关系式为 ． 4-1 解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为 a，c， 由已知得， 解得 a=4，c=3． 所以椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）设 M（x，y），P(x， )，其中 由已知得 因为 ， 所以 由点 P 在椭圆 C 上得， ， 化简得 ． 所以点 M 的轨迹方程为 ， 轨迹是两条平行于 x 轴的线段． 4-2（Ⅰ）解：因为 A, B 两点关于 x 轴对称， 所以 AB 边所在直线与 y 轴平行． 设 M(x, y)，由题意，得 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 62 (4 2) 6 123 1 3 1 3 3 63 93 1 3 1 k kk k kk k k k k k −× − + × + ++ += − − × ++ + 2 2 2(12 6) 2.12 6 k k += =+ 22 2k = 2 2 13 nk m −= =− ,m n 1 0m n− − = ,m n 1 0m n− − = 1, 7. a c a c − = + = 2 2 1.16 7 x y+ = 1y [ ]4,4 .x∈ − 2 2 21 2 2 .x y ex y + =+ 3 4e = 2 2 2 2 116( ) 9( ).x y x y+ = + 2 2 1 112 7 16 xy −= 29 112y = 4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤ ( , 3 ), ( , 3 )A x x B x x- 所以 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 所以点 M 的轨迹 W 的方程为 ． （Ⅱ）证明：设 ， 因为曲线 关于 x 轴对称， 所以只要证明“点 M 在 x 轴上方及 x 轴上时， ”成立即可． 以下给出“当 时， ” 的证明过程． 因为点 M 在 上，所以 ． 当 x0=2 时，由点 M 在 W 上，得点 ， 此时 ， 所以 ，则 ； 当 时，直线 PM、QM 的斜率分别为 ， 因为 ，所以 ，且 ， 又 ，所以 ，且 ， 所以 ， 因为点 M 在 W 上，所以 ，即 ， 所以 ， | | 3 , | | 3AM x y MB y x= − = + | | | | 3AM MB× = ( 3 ) ( 3 ) 3x y y x− × + = 2 2 13 yx − = 2 2 1( 0)3 yx x− = > 0 0 0( , ) ( 0)M x y x > 2 2 1( 0)3 yx x− = > 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠ 2 2 1( 0)3 yx x− = > 0 1x ≥ (2,3)M , | | 3, | | 3MQ PQ MQ PQ⊥ = = ,4 2MPQ MQP π π∠ = ∠ = 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 2x ¹ 0 0 0 0 ,1 2PM QM y yk kx x = =+ − 0 0 01, 2, 0x x y≥ ≠ ≥ 0 0 01PM yk x = ≥+ 0 0 11PM yk x = ≠+ tan PMMPQ k∠ = (0, )2MPQ π∠ ∈ 4MPQ π∠ ≠ 2 2tantan 2 1 (tan ) MPQMPQ MPQ ∠∠ = − ∠ 0 0 0 0 2 2 20 0 0 0 2 1 2 ( 1) ( 1)1 ( )1 y x y x y x y x × + += = + −− + 2 2 0 0 13 yx − = 2 2 0 03 3y x= − tan 2 MPQ∠ 0 0 0 2 2 0 0 0 2 ( 1) ( 1) (3 3) 2 y x y x x x += = −+ − − − 因为 ， 所以 ， 在 中，因为 ，且 ， ， 所以 ． 综上，得当 时， ． 所以对于轨迹 W 的任意一点 M， 成立． 5-1 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点 的距离与到准线距离相等， 即 到 的距离为 3； 所以 ，解得 ． 所以 抛物线 的方程为 ． （ⅱ）抛物线焦点 ，抛物线准线与 y 轴交点为 ， 显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 ． 由 ， 消 y 得 ， ，解得 ． 所以切线方程为 ． （Ⅱ）直线 的斜率显然存在，设 ： ， 设 ， ， 由 消 y 得 ． 且 ． 所以 ， ； 因为 ， 所以 直线 ： ， tan QMMQP k∠ = − tan tan 2MQP MPQ∠ = ∠ MPQ∆ (0, )2MPQ π∠ ∈ 4MPQ π∠ ≠ (0, )MQP π∠ ∈ 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠ 2MQP MPQ∠ = ∠ ( ,2)M m F ( ,2)M m 2 py = − 2 32 p− + = 2p = P 2 4x y= (0,1)F (0, 1)E − E k 1y kx= − 2 4 1 x y y kx = = − 2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k∆ = − = 1k = ± 1y x= ± − l l 2 py kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 x py py kx = = + 2 22 0x pkx p− − = 0∆ > 1 2 2x x pk+ = 2 1 2x x p⋅ = − 1 1( , )A x y OA 1 1 yy xx = 与 联立可得 ， 同理得 ． 因为 焦点 ， 所以 ， ， 所以 所以 以 为直径的圆过焦点 ． 5-2 解 ： （ Ⅰ ） 如 图 ， 由 题 意 得 ， ． 所以 ， ． 所以所求的椭圆方程为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （ ，0）， （2， 0）． 由题意可设 ： ， （ ， ）． ， （2， ）． 由 整理 得: ． 因为 ， 所以 ． 所以 ， ． 所以 ． 即 为定值． 2 py = − 1 1 ( , )2 2 px pC y − − 2 2 ( , )2 2 px pD y − − (0, )2 pF 1 1 ( , )2 pxFC py = − − 2 2 ( , )2 pxFD py = − − 1 2 1 2 ( , ) ( , )2 2 px pxFC FD p py y ⋅ = − − ⋅ − − 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 4 px px p x xp py y y y = + = + 2 4 4 2 2 21 2 2 2 2 1 2 1 2 0 4 2 2 p x x p pp p px x x x p p p = + = + = + =− CD F 2 2 2 2b c= = 2b c= = 2a = 2 2 14 2 x y+ = C 2− D CM ( 2)y k x= + P 1x 1y MD CD⊥ ∴ M 4k 2 2 14 2 ( 2) x y y k x + = = + ， 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 8 42 1 2 kx k −− = + 2 1 2 2 4 1 2 kx k −= + 1 1 2 4( 2) 1 2 ky k x k = + = + 2 2 2 2 4 4( , )1 2 1 2 k kP k k − + + 2 2 2 2 2 2 4 4 4(1 2 )2 4 41 2 1 2 1 2 k k kOM OP kk k k − +⋅ = ⋅ + ⋅ = =+ + + OM OP⋅ （Ⅲ）设 ，则 ． 若以 为直径的圆恒过 ， 的交点，则 ， 恒成立． 由（Ⅱ）可知 ， ． 所以 ． 即 恒成立． 所以 ． 所以存在 使得以 为直径的圆恒过直线 ， 的交点． 5-3 解：(I)直线 的方程为 ； (II) 由 消去 ，得 ． （ ） 由 ， 知 ． 设 ， ，则由（ ）式，有 由于 ， ，且 是 的中点，依题意，由 ， ，可知， ， ． 若原点在以线段 为直径的圆内，则 ，即 ． 而 ， 所以 ，即 ． 0( ,0)Q x 0 2x ≠ − MP DP MQ MQ DP⊥ ∴ 0MQ DP⋅ = 0(2 ,4 )QM x k= − 2 2 2 8 4( , )1 2 1 2 k kDP k k −= + + 2 0 2 2 8 4(2 ) 4 01 2 1 2 k kQM DP x kk k −⋅ = − ⋅ + ⋅ =+ + 2 02 8 01 2 k xk =+ 0 0x = (0,0)Q MP DP MQ l 2 1 0x y− − = 2 2 2 2 ,2 1 mx my x ym = + + = x 2 22 1 04 my my+ + − = ∗ 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ∗ 1 2 2 1 2 ,2 1 .8 2 my y my y + = − = − 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c O 1 2F F 2AG GO= 2BH HO= 1 1( , )3 3 x yG 2 2( , )3 3 x yH GH 0OG OH⋅ < 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( )( ) ( 1)( )2 2 8 2 m m mx x y y my my y y m+ = + + + = + − 2 1 08 2 m − < 2 4m < H G B F2F1 O A 又由已知 ，所以 ． 即，实数 的取值范围是 ． 5-4 解：（Ⅰ）设 P（x，y）是曲线 C 上任意一点，那么点 P（x，y）满足： ， 化简得 ． (Ⅱ)设过点 M（m，0）（m>0）的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ． 设直线 l 的方程为 x=ty+m， 由 得 ，△=16（ +m）>0， 于是 ① 又 ． = +1+ ② 又 ，于是不等式②等价于 ③ 由①式，不等式③等价于 ④ 对任意实数 t， 的最小值为 0， 所以不等式④对于一切 t 成立等价于 ， 即 ． 由此可知，存在正实数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 ，且 m 的取值范围 ． 1m > 1 2m< < m (1,2) 2 2( 1) 1( 0)x y x x− + − = > 2 4 ( 0)y x x= > 1 2( , )x y 2 2( , )x y 2 , 4 x ty m y x = + = 2 4 4 0y ty m− − = 2t 1 2 1 2 4 , 4 . y y t y y m + = = − 1 1 2 2( 1, ), ( 1, )FA x y FB x y= − = − 0FA FB⋅ < 1 2 1 2( 1)( 1)x x y y⇔ − − + 1 2 1 2( )x x x x− + 1 2 0y y < 2 4 yx = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 04 4 4 4 y y y yy y⋅ + − + + < 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) 2 1 016 4 y y y y y y y y ⇔ + − + − + < 2 26 1 4m m t− + < 24t 2 6 1 0m m− + < 3 2 2 3 2 2m− < < + 0FA FB⋅ < (3 2 2,3 2 2)− + 6-1 解：（Ⅰ）由题意， 解得 ． 即：椭圆方程为 （Ⅱ）当直线 与 轴垂直时， ， 此时 不符合题意故舍掉； 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ， 代入消去 得： ． 设 ，则 所以 ． 原点到直线的 距离 ， 所以三角形的面积 ． 由 ， 所以直线 或 ． 6-2 解：（I）椭圆 C 的方程为 ，由已知得 解得 所以所求椭圆的方程为 ． .123 22 =+ yx x x )1( += xky y 2 2 2 3 1, 2, , a c b a b c − = − = = + 3, 1a c= = AB 4 3 AB = 3AOBS∆ = AB AB 2 2 2 2(2 3 ) 6 (3 6) 0k x k x k+ + + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 2 2 2 1 2 2 6 ,2 3 3 6 .2 3 kx x k kx x k −+ = + − = + 2 2 4 3( 1) 2 3 kAB k += + AB 21 kd k = + 2 22 1 1 4 3( 1) 2 2 2 31 k kS AB d kk += = ++ 23 2 2 24S k k= ⇒ = ⇒ = ± : 2 2 0ABl x y− + = : 2 2 0ABl x y+ + = )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 2 2 ,2 2 2 2, . ce a a a b c = = = = + 2, 1, 1a b c= = = 12 2 2 =+ yx (II)由题意知 的斜率存在且不为零， 设 方程为 ①，将①代入 ，整理得 ，由 得 设 ， ，则 ② 由已知， ， 则 由此可知， ，即 ， 代入②得， ，消去 得 解得， ，满足 即 ． 所以，所求直线 的方程为 ． 7-1 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，由题意可得： 椭圆 C 两焦点坐标分别为 ， ． 所以 ． 所以 ，又 ， 故椭圆的方程为 ． （Ⅱ）当直线 轴，计算得到： ， ，不符合题意． l l 2( 0)x my m= + ≠ 12 2 2 =+ yx 2 2( 2) 4 2 0m y my+ + + = 0>∆ 2 2.m > ),( 11 yxE ),( 22 yxF 1 2 2 1 2 2 4 2 2 2 my y m y y m − + = + = + 1 2 OBE OBF S S ∆ ∆ = | | 1 | | 2 BE BF = 2BF BE= 2 12y y= 1 2 2 1 2 43 2 22 2 my m y m − = + = + 1y 2 2 2 2 2 16 2 9 ( 2) 2 m m m ⋅ =+ + 2 18 7m = 2 2.m > 3 14 7m = ± l 7 3 14 14 0 7 3 14 14 0x y x y− − = + − =或 2 2 2 2 1,( 0)x y a ba b + = > > 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2 2 2 23 3 5 32 (1 1) ( ) (1 1) ( ) 42 2 2 2a = + + + − + = + = 2a = 1c = 2 4 1 3b = − = 2 2 14 3 x y+ = l x⊥ 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B− − − 2 1 2 1 1| | | | 3 2 32 2AF BS AB F F∆ = ⋅ ⋅ = × × = 当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ， 由 ，消去 y 得 ， 显然 成立，设 ， 则 又 即 ， 又圆 的半径 所以 化简，得 ， 即 ，解得 ， 所以， ， 故圆 的方程为： ． （Ⅱ）另解：设直线 的方程为 ， 由 ，消去 x 得 ， 恒成立， 设 ，则 所以 又圆 的半径为 ， l x l ( 1)y k x= + 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = + + = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − = 0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12, ,3 4 3 4 k kx x x xk k −+ = − ⋅ =+ + 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 64 4(4 12)| | 1 ( ) 4 1 (3 4 ) 3 4 k kAB k x x x x k k k −= + ⋅ + − ⋅ = + ⋅ −+ + 2 2 2 2 2 12 1 12( 1)| | 1 3 4 3 4 k kAB k k k + += + ⋅ =+ + 2F 2 2 | 1 0 | 2 | | , 1 1 k k kr k k × − += = + + 2 2 2 2 22 1 1 12( 1) 2 | | 12 | | 1 12 2| | ,2 2 3 4 3 4 71AF B k k k kS AB r k kk ∆ + += = × ⋅ = =+ ++ 4 217 18 0k k+ − = 2 2( 1)(17 18) 0k k− + = 1k = ± 2 2 | | 2 1 kr k = = + 2F 2 2( 1) 2x y− + = l 1x ty= − 2 2 1 14 3 x ty x y = − + = 2 2(4 3 ) 6 9 0t y ty+ − − = 0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9, ,4 3 4 3 ty y y yt t + = ⋅ = −+ + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 36 36| | ( ) 4 (4 3 ) 4 3 ty y y y y y t t − = + − ⋅ = ++ + 2 2 12 1 ;4 3 t t += + 2F 2 2 |1 0 1| 2 1 1 tr t t − × += = + + 所以 ，解得 ， 所以 ，故圆 的方程为： ． 7-2 （Ⅰ）解 设直线 的方程为 ． 由 得， ， 依题意 ，得 ． 设 ，则 ， ① ． ② 由直线 的方程得 ， ． 于是 ． ③ 因为 ，所以 ． ④ 由①②③④得 ，从而 ． 所以直线 PQ 的方程为 或 （Ⅱ）证法 1 ． 由已知得方程组 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 12 1 12 2| | | | | |2 4 3 7AF B tS F F y y y y t∆ += ⋅ ⋅ − = − = =+ 2 1t = 2 2 2 1 r t = = + 2F 2 2( 1) 2x y− + = PQ )3( −= xky −= =+ )3( ,126 22 xky yx 062718)13( 2222 =−+−+ kxkxk 0)32(12 2 >−=∆ k 3 6 3 6 <<− k ),(),,( 2211 yxQyxP 13 18 2 2 21 +=+ k kxx 13 627 2 2 21 + −= k kxx PQ 1 1( 3)y k x= − 2 2( 3)y k x= − ]9)(3[)3)(3( 2121 2 21 2 21 ++−=−−= xxxxkxxkyy 0OP OQ⋅ = 02121 =+ yyxx 15 2 =k )3 6,3 6(5 5 −∈±=k 035 =−− yx 035 =−+ yx ),3(),,3( 2211 yxAQyxAP −=−= =+ =+ = −=− .126 ,126 , ),3(3 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx yy xx λ λ 注意 ，解得 ． 因 ， 故 ． 而 ，所以 ． 证 法 2 （ 坐 标 法 与 几 何 证 法 结 合 ） 为 使 结 论 更 具 一 般 性 ， 下 面 就 椭 圆 方 程 为 ，点 的坐标为 进行证明（其中 ）． 如图，对三角形 应用梅涅劳斯定理，得 ，又 ， 所以， ， 作 轴于 ，则， ， （二维问题一维化） 设 ， ， 将上式用坐标表示，得 ， 整理得， ． （这个过程虽然复杂，但却表现出强烈的目标意识！下面的目标是非常明确的，即用解析几何的常 规方法，求出 与 ） 显然，直线 不垂直 轴，故可设直线 的方程为 ， 1>λ λ λ 2 15 2 −=x ),(),0,2( 11 yxMF − ),1)3((),2( 1211 yxyxFM −+−=−−= λ ),2 1(),2 1( 21 yy λ λλλ −−=−−= 2 2 2 1( 2, ) ( , )2FQ x y y λ λ −= − = FM FQλ= − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A 2 ( ,0)a c 2 2c a b= + PHA∆ 1AQ PM HE QP MH EA ⋅ ⋅ = 2PM MH = 1 2 AQ HE QP EA ⋅ = QD x⊥ D 1 2 AD HE DH EA ⋅ = ),(),,( 2211 yxQyxP 0( ,0)E x 2 2 0 1 2 2 1 0 1 2 a x x xc ax x xc − −⋅ =− − 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2[ ( )] ( ) 2a ax x x x x x xc c − + = ⋅ + − 1 2x x+ 1 2x x AP x AP 2 ( )ay k x c = − DE H Q M O A P 由 消去 ，整理得， ， 所以， 所以， ． 这说明，直线 MQ 与 轴的交点是椭圆的右焦点 ． 所以，若 ，即， ，则 ， 即 ． 注： 可以是一切正实数，当 时， 重合． 8-1 解：（Ⅰ）由焦点 F ( 1, 0 ) 在 l 上, 得 k = – , 所以 l: y = – x + ． 设点 N( m, n ) , 则有: 解得 所以 N ( , – )， 因为 ≠ ( – )2 ，所以 N 点不在抛物线 C 上． (2) 把直线方程 代入抛物线方程得: k2y2 + 4y + 4k+4 = 0 ， 因为相交，所以△ = 16 (–k2 – k + 1)≥ 0, 2 2 2 2 2 ( ), 1 ay k x c x y a b = − + = y 2 4 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 0k a k aa k b x x a bc c + − + − = 2 4 1 2 2 2 2 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ,( ) ( ) .( ) k ax x c a k b k a abcx x c a k b + = + − = + 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) a a k a a bx xc c c a k b c a k b − + = − =+ + 2 2 2 4 2 6 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2 ( ) ( ) a a k a k a abc a bx x x xc c c a k b c a k b a k b −⋅ + − = ⋅ − =+ + + 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 a b c a k bx ca k b a b += ⋅ =+ x ( ,0)F c AP AQλ= AP AQ λ= PH MH MF QD QD FQ λ = = = FM FQλ= − λ 1λ = ,P Q 2 1 2 1 2 1 1 1( )( ) 1,1 21 12 1.2 2 n mm n − − = − − + + + = 1 ,53.5 m n = = − 5 1 5 3 5 4 5 3 11 −−= kk yx 解得 ≤ k ≤ 且 k ≠ 0 ． 由对称得 , 解得 x0 = ( ≤ k ≤ ,且 k ≠ 0)． 当 P 与 M 重合时, a = 1, 所以 f ( k ) = x0 = = – 3 + ( ≤ k ≤ , 且 k ≠ 0), 因为函数 x0 = f ( k )(k∈R)是偶函数，且 k > 0 时单调递减． 所以当 k = 时， (x0)min = , ， 所以 x0 ∈[ ，1)． 8-2 解：（Ⅰ）由 ， ，得 ， ， 所以椭圆方程是： ． （Ⅱ）设 EF： （ ）代入 ，得 ， 设 ， ，由 ，得 ． 由 ， ， 得 ， ， （舍去）， 直线 的方程为： 即 ． （Ⅲ）将 代入 ，得 （*） 记 ， ，PQ 为直径的圆过 ，则 ， 即 ，又 ， ， 2 51−− 2 51+− +++=+ −=⋅− − 122 1 11 00 0 0 kaxky kax y 1 2)1( 2 22 + −− k kka 2 51 1 +− 2 51+− 1 31 2 2 + − k k 1 4 2 +k 2 51 1 +− 2 51+− 2 51−− 5 525+− 1lim 00 = → x k 5 525+− 3 3= a b 22 2 3 2 1 2 1 baba +⋅⋅=⋅ 3=a 1=b 13 2 2 =+ yx 1−= myx 0>m 13 2 2 =+ yx 022)3( 22 =−−+ myym ),( 11 yxE ),( 22 yxF DFED 2= 21 2yy −= 3 2 2221 +=−=+ m myyy 3 22 2 2 221 + −=−= myyy 3 1)3 2( 2 2 2 +=+− mm m 1=∴m 1−=m EF 1−= yx 01 =+− yx 2+= kxy 13 2 2 =+ yx 0912)13( 22 =+++ kxxk ),( 11 yxP ),( 22 yxQ )0,1(−D QDPD ⊥ 0)1)(1(),1(),1( 21212211 =+++=+⋅+ yyxxyxyx 211 += kxy 222 += kxy 得 ． 解得 ，此时（*）方程 ， 所以存在 ，满足题设条件． 9-1 解：（Ⅰ）由题意知 ， 所以 ． 即 ． 又因为 ， 所以 ， ． 故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ． 由 得 ． ① 设点 ， ，则 ． 直线 的方程为 ． 令 ，得 ． 将 ， 代入， 整理，得 ． ② 由①得 ， 代入② 整理，得 ． 013 14125))(12()1( 22121 2 =+ +−=+++++ k kxxkxxk 6 7=k 0>∆ 6 7=k 1 2 ce a = = 2 2 2 2 2 2 1 4 c a be a a −= = = 2 24 3a b= 6 3 1 1 b = = + 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = PB PB ( 4)y k x= − 2 2 ( 4), 1.4 3 y k x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )B x y 2 2( , )E x y 1 1( , )A x y− AE 2 1 2 2 2 1 ( )y yy y x xx x +− = −− 0y = 2 2 1 2 2 1 ( )y x xx x y y −= − + 1 1( 4)y k x= − 2 2( 4)y k x= − 1 2 1 2 1 2 2 4( ) 8 x x x xx x x − += + − 2 1 2 2 32 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 64 12 4 3 kx x k −= + 1x = 所以直线 与 轴相交于定点 ． （Ⅲ）当过点 直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，且 ， 在椭圆 上． 由 得 ． 易知 ． 所以 ， ， ． 则 ． 因为 ，所以 ． 所以 ． 当过点 直线 的斜率不存在时，其方程为 ． 解得 ， ． 此时 ． 所以 的取值范围是 ． 9-2 （Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为 ． 因为点 在抛物线上，所以 ． 又点 到抛物线准线的距离是 ，所以 ，可得 ． 所以抛物线的标准方程为 ． （Ⅱ）解：点 为抛物线的焦点，则 ． 依题意可知直线 不与 轴垂直，所以设直线 的方程为 ． AE x (1,0)Q Q MN MN ( 1)y m x= − ( , )M MM x y ( , )N NN x y C 2 2 ( 1), 1.4 3 y m x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0m x m x m+ − + − = 0∆ > 2 2 8 4 3M N mx x m + = + 2 2 4 12 4 3M N mx x m −= + 2 2 9 4 3M N my y m = − + M N M NOM ON x x y y⋅ = + 2 2 2 5 12 5 33 4 3 4 4(4 3) m m m += − = − −+ + 2 0m ≥ 2 11 33 04 4(4 3)m − ≤ − <+ 5[ 4, )4OM ON⋅ ∈ − − Q MN 1x = 3(1, )2M − 3(1, )2N − 5 4OM ON⋅ = − OM ON⋅ 5[ 4, ]4 − − 2 2x py= ( 0)p ≠ ( ,4)A a 0p > ( ,4)A a 5 4 52 p + = 2p = 2 4x y= F (0,1)F MN x MN 1y kx= + 由 得 ． 因为 过焦点 ，所以判别式大于零． 设 ， ． 则 ， ． ． 由于 ，所以 ． 切线 的方程为 ， ① 切线 的方程为 ． ② 由①，②，得 则 ． 所以 ． （Ⅲ）证明： ． 由抛物线的定义知 ， ． 则 ． 所以 ． 即 是 和 的等比中项． 10-1 （Ⅰ）解：设椭圆 的标准方程为 ． 因为 ， ， 所以 ． 所以 ． 2 1, 4 . y kx x y = + = 2 4 4 0x kx− − = MN F 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − 2 1 2 1( , )MN x x y y= − − 2 1 2 1( , ( ))x x k x x= − − 2 4x y= ' 1 2y x= MT 1 1 1 1 ( )2y y x x x− = − NT 2 2 2 1 ( )2y y x x x− = − 1 2 1 2( , )2 4 x x x xT + 1 2 1 2( , 1) (2 , 2)2 4 x x x xFT k += − = − 2 1 2 12 ( ) 2 ( ) 0FT MN k x x k x x⋅ = − − − = 2 2 2 2(2 ) ( 2) 4 4FT k k= + − = + 1 1MF y= + 2 1NF y= + 1 2( 1)( 1)MF NF y y⋅ = + + 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4kx kx k x x k x x= + + = + + + 24 4k= + 2 FT MF NF= ⋅ FT MF NF G 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 ( 1,0)F − 1 45PFO∠ = ° 1b c= = 2 2 2 2a b c= + = 所以 椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）设 ， ， ， ． （ⅰ）证明：由 消去 得： ． 则 ， 所以 ． 同理 ． 因为 , 所以 ． 因为 ， 所以 ． （ⅱ）解：由题意得四边形 是平行四边形，设两平行线 间的距离为 ,则 ． 因为 ， 所以 ． G 2 2 12 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y 1 2 2 , 1.2 y kx m x y = + + = y 2 2 2 1 1(1 2 ) 4 2 2 0k x km x m+ + + − = 2 2 18(2 1) 0k m∆ = − + > 1 1 2 2 2 1 1 2 2 4 ,1 2 2 2.1 2 kmx x k mx x k + = − + − = + 2 2 1 2 1 2| | ( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + + − 2 2 21 1 2 2 4 2 21 ( ) 41 2 1 2 km mk k k −= + − − ⋅+ + 2 2 12 2 2 12 2 1 1 2 k mk k − += + + 2 2 22 2 2 1| | 2 2 1 1 2 k mCD k k − += + + | | | |AB CD= 2 2 2 2 1 22 2 2 2 2 1 2 12 2 1 2 2 11 2 1 2 k m k mk kk k − + − ++ = ++ + 1 2m m≠ 1 2 0m m+ = ABCD ,AB CD d 1 2 21 m md k -= + 1 2 0m m+ = 1 2 2 1 md k= + 所以 ． （或 ） 所以 当 时， 四边形 的面积 取得最大值为 ． 10-2 （Ⅰ）解：依题意 ，设直线 方程为 ． 将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 ． 设 ， ，所以 ， ． ① 因为 ， 所以 ． ② 联立①和②，消去 ，得 ． 所以直线 的斜率是 ． （Ⅱ）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点， 从而点 与点 到直线 的距离相等， 所以四边形 的面积等于 ． 因为 ， 所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 ． 11-1 解：（Ⅰ）由已知可得 ，所以 ① 又点 在椭圆 上，所以 ② 由①②解之，得 ． 2 2 2 11 2 2 22 1| | 2 2 1 1 2 1 mk mS AB d k k k − += ⋅ = + ⋅+ + 2 2 2 1 12 2 2 1 1 2 2 2 1 (2 1) 24 2 4 2 2 21 2 1 2 k m m k m m k k − + + − += ≤ =+ + 2 2 4 2 21 1 1 2 2 2 (2 1) 1 14 2 4 2 ( ) 2 2(1 2 ) 1 2 2 4 k m m mS k k + −= = − − + ≤+ + 2 2 12 1 2k m+ = ABCD S 2 2 (1,0)F AB 1x my= + AB x 2 4 4 0y my− − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − 2AF FB= 1 22y y= − 1 2,y y 2 4m = ± AB 2 2± C O M M OC O C AB OACB 2 AOBS∆ 1 2 12 2 | | | |2AOBS OF y y∆ = × ⋅ ⋅ − 2 2 1 2 1 2( ) 4 4 1y y y y m= + − = + 0m = OACB 4 2 2 2 2 1 4 a be a −= = 2 23 4a b= 3(1, )2M C 2 2 1 9 14a b + = 2 24, 3a b= = A B C O M x y F 故椭圆 的方程为 ． (Ⅱ) 当 时， 在椭圆 上，解得 ，所以 ． 当 时，则由 消 化简整理得： ， ③ 设 点的坐标分别为 ，则 ． 由于点 在椭圆 上，所以 ． 从而 ，化简得 ，经检验满足③式． 又 因为 ，得 ，有 ， 故 ． 综上，所求 的取值范围是 ． (Ⅱ)另解：设 点的坐标分别为 ， 由 在椭圆上，可得 C 2 2 14 3 x y+ = 0k = (0,2 )P m C 3 2m = ± | | 3OP = 0k ≠ 2 2 , 1.4 3 y kx m x y = + + = y 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(3 4 ) 0k m k m k m∆ = − + − = + − > , ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 0 1 2 0 1 2 1 22 2 8 6, ( ) 23 4 3 4 km mx x x y y y k x x mk k = + = − = + = + + =+ + P C 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 2 2 2 2 2 16 12 1(3 4 ) (3 4 ) k m m k k + =+ + 2 24 3 4m k= + 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 64 36| | (3 4 ) (3 4 ) k m mOP x y k k = + = ++ + 2 2 2 2 2 2 4 (16 9) 16 9 (3 4 ) 4 3 m k k k k + += =+ + 2 34 .4 3k = − + 10 2k< ≤ 23 4 3 4k< + ≤ 2 3 3 14 4 3k ≤ <+ 133 2OP< ≤ OP 13[ 3, ]2 , ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 ,A B 2 2 1 1 2 2 2 2 3 4 12 3 4 12 x y x y + = + = ① ② ①—②整理得 由已知可得 ，所以 由已知当 ,即 ⑥ 把④⑤⑥代入③整理得 与 联立消 整理得 ． 由 得 ， 所以 ， 因为 ，得 ，有 ， 故 ． 所求 的取值范围是 ． 11-2 解：（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ， 所以 ， 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 所以 ， ． 所以 ，椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 ． 由 得 ， 设 ， ， 1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y− + + − + = ③ OP OA OB= + 1 2 0 1 2 0 x x x y y y + = + = ④ ⑤ 1 2 1 2 y yk x x −= − 1 2 1 2( )y y k x x− = − 0 03 4x ky= − 2 2 0 03 4 12x y+ = 0x 2 0 2 9 4 3y k = + 2 2 0 03 4 12x y+ = 2 2 0 0 44 3x y= − 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 4 1 3| | 4 4 43 3 4 3OP x y y y y k = + = − + = − = − + 1 2k ≤ 23 4 3 4k≤ + ≤ 2 3 3 14 4 3k ≤ ≤+ 133 2OP≤ ≤ OP 13[ 3, ]2 M 246 + 24622 +=+ ca 2 2 3 2 2 3 c a = 2 2 3c a= 3a = 2 2c = 1b = M 19 2 2 =+ yx BC ( 3),( 0)y n x n= − > AC )3(1 −−= xny 2 2 ( 3), 19 y n x x y = − + = 0196)9 1( 2222 =−+−+ nxnxn ),( 11 yxA ),( 22 yxB 因为 ，所以 ， 同理可得 ， 所以 ， ， ， 设 ， 则 ， 当且仅当 时取等号， 所以 面积的最大值为 ． 方法二：不妨设直线 的方程 ． 由 消去 得 ， 设 ， ， 则有 ， ． ① 因为以 为直径的圆过点 ，所以 ． 由 ， 得 ． 将 代入上式， 得 ． 2 2 2 81 93 9 1 nx n −= + 19 327 2 2 2 + −= n nx 2 2 1 9 327 n nx + −= 19 61|| 2 2 ++= nnBC 2 22 9 61|| n n n nAC + += 9 64)1( )1(2 ||||2 1 2 ++ + ==∆ nn nn ACBCS ABC 21 ≥+= nnt 2 2 2 3 64 64 8 9 9 tS t t t = = ≤ + + 3 8=t ABC∆ 8 3 AB x ky m= + 2 2 , 1,9 x ky m x y = + + = x 2 2 2( 9) 2 9 0k y kmy m+ + + − = ),( 11 yxA ),( 22 yxB 1 2 2 2 9 kmy y k + = − + 2 1 2 2 9 9 my y k −= + AB C 0CA CB⋅ = 1 1 2 2( 3, ), ( 3, )CA x y CB x y= − = − 1 2 1 2( 3)( 3) 0x x y y− − + = 1 1 2 2,x ky m x ky m= + = + 2 2 1 2 1 2( 1) ( 3)( ) ( 3) 0k y y k m y y m+ + − + + − = 将 ① 代入上式，解得 或 （舍）． 所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点）， 所以 ． 设 ， 则 ． 所以当 时， 取得最大值 ． 12-1 解：（Ⅰ）因为四边形 是平行四边形,周长为 8， 所以两点 到 的距离之和均为 4，可知所求曲线为椭圆． 由椭圆定义可知， ， ， 所求曲线方程为 ． （Ⅱ）由已知可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ， 设直线 的方程为： ， 代入曲线方程 ，并整理得 ， 点 在曲线上,所以 ( , )， , , ， 因为 // , 所以设 的方程为 ． 代入曲线方程，并整理得 ， 12 5m = 3m = 12 5m = AB 12( ,0)5D 1 2 1 | || |2ABCS DC y y∆ = − 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 9 25( 9) 144( ) 42 5 5 25( 9) ky y y y k + −= × + − = + 2 1 1,09 9t tk = < ≤+ 29 144 5 25ABCS t t∆ = − ⋅ + 25 1(0, ]288 9t = ∈ ABCS∆ 8 3 AMBN ,A B ,M N 2, 3a c= = 1b = 14 2 2 =+ yx l l ( 2,0)C − l ( 2)y k x= + 2 2 1( 0)4 x y y+ = ≠ 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k+ + + − = ( 2,0)C − D 2 2 8 2 1 4 k k − + + 2 4 1 4 k k+ (0,2 )E k CD = 2 2 4 4( , )1 4 1 4 k k k+ + (2,2 )CE k= OA l OA y kx= 2 2(1 4 ) 4k x+ = 所以 ． ，所以 为定值． 12-2 解：（Ⅰ）由题意得 ① 因为椭圆经过点 ，所以 ② 又 ③ 由①②③ 解得 ， ． 所以椭圆方程为 ． （Ⅱ）以 OM 为直径的圆的圆心为 ,半径 ， 方程为 ， 因为以 OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2， 所以圆心到直线 的距离 ． 所以 ，解得 ． 所求圆的方程为 ． （Ⅲ）方法一：过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平几知： ． 则直线 OM： ，直线 FN： ， 2 2 2 2( , ) 1 4 1 4 kA k k ± ± + + 2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 4 1 4 24 4 1 4 1 4 k CD CE k k kOA k k +⋅ + += = ++ + 2 CD CE OA ⋅ 2 2 c a = )2 1,2 6(P 2 2 2 2 6 1( ) ( )2 2 1a b + = 2 2 2a b c= + 22 =a 122 == cb 2 2 12 x y+ = (1, )2 t 2 14 tr = + 2 2 2( 1) ( ) 12 4 t tx y− + − = + 3 4 5 0x y− − = 3 4 5 0x y− − = 2 1d r= − 2 t= 3 2 5 5 2 t t− − = 4t = 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 2ON OK OM= 2 ty x= 2 ( 1)y xt = − − 由 得 ． 所以 ． 所以线段 ON 的长为定值 ． 方法二：设 ，则 ， ， ， ． 因为 ，所以 ．所以 ． 又因为 ，所以 ， 所以 ． 所以 为定值． 12-3 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为 圆 过椭圆的焦点，圆 ： ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． （ⅱ）由 及圆的性质，可得 ， 所以 所以 所以 ， ． （Ⅱ）设 ，则 整理得 因为 ,2 2 ( 1), ty x y xt = = − − 2 4 4Kx t = + 2 2 2 (1 ) (1 )4 4K M t tON x x= + ⋅ + 224 4 4 4 2 2 =⋅+⋅+= t t 2 0 0( , )N x y ),1( 00 yxFN −= ),2( tOM = ),2( 00 tyxMN −−= ),( 00 yxON = OMFN ⊥ 0)1(2 00 =+− tyx 22 00 =+ tyx ONMN ⊥ 0)()2( 0000 =−+− tyyxx 22 00 2 0 2 0 =+=+ tyxyx 22 0 2 0 =+= yxON O O 2 2 2x y b+ = b c= 2 2 2 2b a c c= − = 2 22a c= 2 2e = 90APB∠ = 2OP b= 2 2 22 ,OP b a= ≤ 2 22a c≤ 2 1 2e ≥ 2 12 e≤ < ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,P x y A x y B x y 0 1 1 0 1 1 y y x x x y − = −− 2 2 0 0 1 1x x y y x y+ = + 2 2 2 1 1x y b+ = 所以 方程为： ， 方程为： ． 所以 ， 所以 , 直线 方程为 ，即 ． 令 ，得 ，令 ，得 ， 所以 ， 所以 为定值，定值是 ． 13-1 解：（Ⅰ）由题意可知： 解得 ． 所以椭圆的方程为： ． （II）证明：由方程组 ， 整理得 ， 设 则 ． 由已知， 且椭圆的右顶点为 ， 所以 ， ， PA 2 1 1x x y y b+ = PB 2 2 2x x y y b+ = 1 1x x y y+ = 2 2x x y y+ 02 1 2 1 0 xy y x x y − = −− AB ( )0 1 1 0 xy y x xy − = − − 2 0 0x x y y b+ = 0x = 2 0 bON y y = = 0y = 2 0 bOM x x = = 2 2 2 22 2 2 2 2 0 0 2 2 4 4 2 a y b xa b a b a b b bON OM ++ = = = 2 2 2 2 a b ON OM + 2 2 a b 2 2 2 3, 3 ,2 , c ce a a b c = = = = + 1,2 == ba 14 2 2 =+ yx += =+ mkxy yx 14 2 2 0448)k41 222 =−+++ mkmxx得（ 0)44)(41(4)8( 222 >−+−=∆ mkkm 014 22 >+− mk ),(),,( 2221 yxNxxM 2 2 21221 41 44,41 8 k mxxk kmxx + −=+−=+ ANAM ⊥ )0,2(A 1 2 1 2( 2)( 2) 0x x y y− − + = 2 2121 2 2121 )())(( mxxkmxxkmkxmkxyy +++=++= 即 ， 也即 ， 整理得： ， 解得 均满足 ． 当 时，直线的 方程为 ，过定点（2，0）与题意矛盾舍去； 当 时，直线的 方程为 ,过定点 ． 故直线 过定点，且定点的坐标为 ． 13-2 解：（I）由题意可得 ， 所以 ，即 ， 即 ，即动点 的轨迹 的方程为 ． （II）设直线 的方程为 , ，则 ． 由 消 整理得 ， 则 ，即 ． ． 直线 ， 所以 ， ， ， ， 04))(2()1( 2 2121 2 =+++−++ mxxkmxxk 0441 8)2(41 44))1( 2 22 2 2 =+++ −•−++ −•+ mk kmkmk mk 012165 22 =++ kmkm 5 62 kmkm −=−= 或 014 22 >+− mk km 2−= l kkxy 2−= 5 6km −= l )5 6( −= xky )0,5 6( l )0,5 6( OP OM⊥ 0OP OM⋅ = ( , )( , 4) 0x y x − = 2 4 0x y− = P W 2 4x y= l 4y kx= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1'( , )A x y− 2 4 4 y kx x y = − = y 2 4 16 0x kx− + = 216 64 0k∆ = − > | | 2k > 1 2 1 24 , 16x x k x x+ = = 2 1 2 2 2 1 ' : ( )y yA B y y x xx x −− = −+ 2 1 2 2 2 1 ( )y yy x x yx x −= − ++ 2 2 22 1 2 2 1 2 1( )4( ) 4 x xy x x xx x −= − ++ 2 22 1 2 1 2 2 1 4 4 4 x x x x xy x x − −= − + 2 1 1 2y 4 4 x x x xx −= + 即 ． 所以，直线 恒过定点 ． 13-3 解：（Ⅰ）设动点 的坐标为 ， 由题意得， ， 化简得 ， 所以点 的轨迹 的方程为 ． （Ⅱ）设 两点坐标分别为 ， ， 则点 的坐标为 ． 由题意可设直线 的方程为 ， 由 得 ． ． 因为直线 与曲线 于 两点， 所以 ， ． 所以点 的坐标为 ． 由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 ． 当 时，有 ，此时直线 的斜率 ． 所以，直线 的方程为 ， 整理得 ． 于是，直线 恒过定点 ； M ( , )x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + 2 4y x= M C 2 4y x= ,A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y P 1 2 1 2( , )2 2 x x y y+ + 1l ( 1)y k x= − ( 0)k ≠ 2 4 , ( 1), y x y k x = = − 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 1l C ,A B 1 2 2 42x x k + = + 1 2 1 2 4( 2)y y k x x k + = + − = P 2 2 2(1 , )k k + 2l 1 k − Q 2(1 2 , 2 )k k+ − PQ 2 2 2 2 2 2 11 1 2 PQ k kkk kkk + = = −+ − − PQ 2 22 ( 1 2 )1 ky k x kk + = − −− 2 ( 3) 0yk x k y+ − − = PQ (3, 0)E 2 1 44 x xy x −= + 'A B (0,4) 2 2 4 2(2 4) 4 16 16 0k k kD = + - = + > 1k ≠ ± 2 2 21 1 2kk + ≠ + 当 时，直线 的方程为 ，也过点 ． 综上所述，直线 恒过定点 ． （Ⅲ）可求的 ， 所以 面积 ． 当且仅当 时，“ ”成立，所以 面积的最小值为 ． 14-1 解：（Ⅰ）由题意知： ． 根据椭圆的定义得： ，即 ． 所以 ． 所以 椭圆 的标准方程为 ． （Ⅱ）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立． 当直线 的斜率为 0 时， ． 则 ． 解得 ． 当直线 的斜率不存在时， ． 由于 ，所以 ． 下面证明 时， 恒成立． 显然 直线 的斜率为 0 时， ． 当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为： ， ． PQ (3, 0)E PQ (3, 0)E FPQ∆ 1 2 1| | ( 2 | |) 2( | |) 42 | | | |S FE k kk k = + = + ≥ 1k = ± = FPQ∆ 4 1k = ± 3x = | | 2EF = 1c = 2 22 22 ( 1 1) ( )2 2a = - - + + 2a = 2 2 1 1b = - = C 2 2 12 x y+ = x ( ,0)Q m 7 16QA QB⋅ = − l ( 2,0), ( 2,0)A B − 7( 2 ,0) ( 2 ,0) 16m m- × - - =- 5 4m = ± l 2 2(1, ), (1, )2 2A B − 5 2 5 2 7(1 , ) (1 , )4 2 4 2 16+ × + - ¹- 5 4m ¹- 5 4m = 7 16QA QB⋅ = − l 7 16QA QB⋅ = − l l 1x ty= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 由 可得： ． 显然 ． 因为 ， ， 所以 ． 综上所述：在 轴上存在点 ，使得 恒成立． 14-2 解：(Ⅰ)由题意可知 ，得 ． 因为 在椭圆上 解得： ． 故椭圆 M 的方程为： ． （Ⅱ）由于 的平分线垂直于 即垂直于 轴，故直线 的斜率存在设为 ，则 斜率 为 ，因此 ， 的直线方程分别为 ， ． 由 得 ① 由 ，得 ． 2 2 1,2 1 x y x ty ìïï + =ïíïï = +ïî 2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + - = 0∆ > 1 2 2 1 2 2 2 ,2 1 .2 ty y t y y t ìïï + =-ïï +ïíïï =-ïï +ïî 1 1 1x ty= + 2 2 1x ty= + 1 1 2 2 1 2 1 2 5 5 1 1( , ) ( , ) ( )( )4 4 4 4x y x y ty ty y y- × - = - - + 2 1 2 1 2 1 1( 1) ( )4 16t y y t y y= + - + + 2 2 2 1 1 2 1( 1) 2 4 2 16 tt tt t=- + + ++ + 2 2 2 2 2 1 7 2( 2) 16 16 t t t - - += + =-+ x 5( ,0)4Q 7 16QA QB⋅ = − 2)(13 6 a be −== 22 3ba = 1,1B( ) 111 22 =+ ba 3 44 22 == b,a 14 3 4 22 =+ yx PBQ∠ OA x PB k QB k− PB QB ( 1) 1y k x= − + ( 1) 1y k x= − − + =+ +−= 14 3 4 1)1( 22 yx xky 01631631 222 =−−+−−+ kkx)k(kx)k( 0>∆ 3 1−≠k 因为点 B 在椭圆上，x =1 是方程①的一个根，设 所以 ，即 ，同理 ． 所以 ． 因为 ，所以 ， 即 ． 所以向量 ，则总存在实数 使 成立． 15-1 解：（Ⅰ）因为 ， ， 所以 ， ， 所以 ． （Ⅱ）设直线 BD 的方程为 所以 所以 ----① -----② 因为 ， 设 为点 到直线 BD： 的距离， 所以 ，当且仅当 时取等号． 因为 ，所以当 时， 的面积最大，最大值为 ． （Ⅲ）设 ， ，直线 、 的斜率分别为： 、 ，则 ),(),,( QQpp yxQyxP 2 2 3 6 11 3 1P k kx k − −⋅ = + 2 2 3 6 1 3 1P k kx k − −= + 13 163 2 2 + −+= k kkxQ =PQk 3 1 13 12 213 )13(2 2)( 2 2 2 = +− −+ −⋅ =− −+=− − k k kk kk xx kxxk xx yy QP QP QP QP (2,0), ( 1, 1)A C − − 1 3ACk = ACPQ kk = AC//PQ λ ACPQ λ= a ce == 2 2 121 22 =+ ab 222 cba += 2=a 2=b 2=c 142 22 =+ yx bxy += 2 =+ += 42 2 22 yx bxy 04224 22 =−++⇒ bbxx 0648 2 >+−=∆ b 2222 <<−⇒ b ,2 2 21 bxx −=+ 4 42 21 −= bxx 2 2 2 1 2 64 8 61 ( 2) 3 3 84 4 2 bBD x x b ∆ −= + − = = = − d A bxy += 2 ∴ 3 bd = 2)8(4 2 2 1 22 ≤−==∆ bbdBDS ABD 2±=b 2± )22,22(−∈ 2±=b ABD∆ 2 ),( 11 yxD ),( 22 yxB AB AD ABk ADk =+ ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 − −++− −+=− −+− − x bx x bx x y x y = ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得 =0， 即 0． 15-2 解：（Ⅰ）设 ，直线 的方程为 ． 由 得 ， ， ， ， 由已知 ， 又 ，所以 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ，符合题意， 所以，所求直线 的方程为 或 ． （Ⅱ） ， ， ， 所以 ， 平方得 ， 又 ，所以 ，同理 ，代入上式， 计算得 ，即 ． ]1)( 2[22 2121 21 ++− −++ xxxx xxb ]1)( 2[22 2121 21 ++− −++ xxxx xxb =+ ABAD kk 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y l 1( 0)y kx k= + ≠ 2 24 4, 1 x y y kx + = = + 2 2(4 ) 2 3 0k x kx+ + − = 2 2 24 12(4 ) 16 48 0k k k∆ = + + = + > 1 2 2 2 4 kx x k −+ = + 1 2 2 3 4x x k −= + 1( ,0), (0,1)E Fk − CE FD= 1 1 2 2 1( , ) ( , 1)x y x yk − − − = − 1 2 1 x xk − − = 2 1 1x x k + = − 2 2 1 4 k k k − = −+ 2k = ± l 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 1 2 1 yk x = + 1 2 1 1 yk x = − 1 2: 2:1k k = 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 y x y x − =+ 2 2 2 1 2 2 1 2 ( 1) 4( 1) y x y x − =+ 2 2 1 1 14 yx + = 2 2 1 14(1 )y x= − 2 2 2 24(1 )y x= − 2 1 1 2 (1 )(1 ) 4(1 )(1 ) x x x x − − =+ + 1 2 1 23 5( ) 3 0x x x x+ + + = 假设满足条件的实数 存在，则由（Ⅰ）得 ， ． 所以 ，解得 或 ， 因为 ， ，所以 异号，故舍去 ， 所以存在实数 ，使得 ，且 ． 16- 1 解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，由题意得 解得 ， ，故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）因为过点 的直线 与椭圆在第一象限相切，所以 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ． 由 得 ． ① 因为直线 与椭圆相切，所以 ． 整理，得 ． 解得 ． 所以直线 方程为 ． 将 代入①式，可以解得 点横坐标为 1，故切点 坐标为 ． （ Ⅲ ） 若 存 在 直 线 满 足 条 件 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 代 入 椭 圆 的 方 程 得 ． 因为直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，设 两点的坐标分别为 ， 所以 ． k 1 2 2 2 4 kx x k −+ = + 1 2 2 3 4x x k −= + 23 10 3 0k k− + = 3k = 1 3k = 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 y x y x − =+ 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2,y y 1 3k = k 1 2: 2:1k k = 3k = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 2 1 9 1,4 1 ,2 . a b c a a b c + = = = + 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = (2, 1)P l l l ( 2) 1y k x= − + 2 2 1,4 3 ( 2) 1, x y y k x + = = − + 2 2 2(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − = l 2 2 2[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 0k k k k k∆ = − − − + − − = 32(6 3) 0k + = 1 2k = − l 1 1( 2) 1 22 2y x x= − − + = − + 1 2k = − M M 3(1, )2 1l 1l 1( 2) 1y k x= − + C 2 2 2 1 1 1 1 1(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − = 1l C ,A B ,A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2 2 2 1 1 1 1 1 1[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 32(6 3) 0k k k k k k∆ = − − − + − − = + > 所以 ． 又 ， ， 因为 ，即 ， 所以 ． 即 ， 所以 ，解得 ． 因为 为不同的两点，所以 ． 于是存在直线 满足条件，其方程为 ． 16-2 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆 的方程为 ， ． 由题意知 解得 ， ． 故椭圆 的方程为 ，离心率为 ．……6 分 （Ⅱ）以 为直径的圆与直线 相切． 证明如下：由题意可设直线 的方程为 ． 则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ． 由 得 ． 设点 的坐标为 ，则 ． 1 1 2k > − 1 1 1 2 2 1 8 (2 1) 3 4 k kx x k −+ = + 2 1 1 1 2 2 1 16 16 8 3 4 k kx x k − −= + 2 PA PB PM⋅ = 1 2 1 2 5( 2)( 2) ( 1)( 1) 4x x y y− − + − − = 2 2 1 2 1 5( 2)( 2)(1 ) | | 4x x k PM− − + = = 2 1 2 1 2 1 5[ 2( ) 4](1 ) 4x x x x k− + + + = 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 1 1 1 16 16 8 8 (2 1) 4 4 5[ 2 4](1 )3 4 3 4 3 4 4 k k k k kkk k k − − − +− + + = =+ + + 1 1 2k = ± ,A B 1 1 2k = 1l 1 2y x= C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( ,0)F c 2 2 2 1 2 2 3,2 2, . a b a a b c ⋅ ⋅ = = = + 3b = 1c = C 2 2 14 3 x y+ = 1 2 BD PF AP ( 2)y k x= + ( 0)k ≠ D (2, 4 )k BD E (2, 2 )k 2 2 ( 2), 14 3 y k x x y = + + = 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − = P 0 0( , )x y 2 0 2 16 122 3 4 kx k −− = + O F E P D BA y x 所以 ， ． 因为点 坐标为 ， 当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切． 当 时，则直线 的斜率 ． 所以直线 的方程为 ． 点 到直线 的距离 ． 又因为 ，所以 ． 故以 为直径的圆与直线 相切． 综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切． 17-1 （Ⅰ）解：由 ， 得 ． 依 题 意 △ 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 从 而 ， 故 ． 所 以 椭 圆 的 方 程 是 ． （Ⅱ）解：设 ， ，直线 的方程为 ． 将直线 的方程与椭圆 的方程联立， 消去 得 ． 所以 ， ． 若 平分 ，则直线 ， 的倾斜角互补， 所以 ． 1 | |2d BD= AP A 2 2 2 2 2 2 5 19 a b be a a −= = = − 2 3 b a = 1 2MB B 2b = 3a = C 2 2 19 4 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 2x my= + AB C x 2 2(4 9) 16 20 0m y my+ + − = 1 2 2 16 4 9 my y m −+ = + 1 2 2 20 4 9y y m −= + PF APB∠ PA PB 0=+ PBPA kk 2 0 2 6 8 3 4 kx k −= + 0 0 2 12( 2) 3 4 ky k x k = + = + F (1, 0) 1 2k = ± P 3(1, )2 ± D (2, 2)± PF x⊥ BD 2 2( 2) ( 1) 1x y− + = PF 1 2k ≠ ± PF 0 2 0 4 1 1 4PF y kk x k = =− − PF 2 4 ( 1)1 4 ky xk = −− E PF 2 2 2 2 2 8 421 4 1 4 16 1(1 4 ) k kkk kd k k − −− −= +− 3 2 2 2 2 8 1 4 2 | |1 4 |1 4 | k k k kk k + −= =+ − | | 4 | |BD k= BD PF BD PF 设 ，则有 ． 将 ， 代入上式， 整理得 ， 所以 ． 将 ， 代入上式， 整理得 ． 由于上式对任意实数 都成立，所以 ． 综上，存在定点 ，使 平分 ． 17-2 解：（I）方法 1 依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，易知左焦点为 从而有 ， ，即 ，所以 ， 故椭圆 C 的方程为 ． 方法 2 依题意，可设椭圆 C 的方程为 （a>b>0）， 则 解得 或 （舍去）．从而 ． 故椭圆 C 的方程为 ． （II）假设存在符合题意的直线 ，其方程为 由 得， ( ,0)P a 1 2 1 2 0y y x a x a + =− − 1 1 2x my= + 2 2 2x my= + 1 2 1 2 1 2 2 (2 )( ) 0( 2 )( 2 ) my y a y y my a my a + − + =+ − + − 1 2 1 22 (2 )( ) 0my y a y y+ − + = 1 2 2 16 4 9 my y m −+ = + 1 2 2 20 4 9y y m −= + ( 2 9) 0a m− + ⋅ = m 9 2a = 9( ,0)2P PM APB∠ 12 2 2 2 =+ b y a x ( 0)a b> > )0,2(−′F 2c = 2 | | | | 3 5 8a AF AF′= + = + = 4=a 122 =b 11216 22 =+ yx 12 2 2 2 =+ b y a x 2 2 2 2 4, 4 9 1. a b a b − = + = 122 =b 32 −=b 162 =a 11216 22 =+ yx l txy += 2 3 2 2 3 ,2 116 12 y x t x y = + + = 01233 22 =−++ ttxx 因为直线 与椭圆 C 有公共点， 所以 ， 解得 ． 另一方面，由直线 OA 与 的距离 可得 ，从而 ． 由于 ，所以符合题意的直线 不存在． 17-4．（2010 年高考福建卷文科第 19 题） 已知抛物线 C： 过点 ． （I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 L 的距离等于 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由． 17-4 解：（Ⅰ）将 代入 ，所以 ． 故所求的抛物线 C 的方程为 ，其准线方程为 ． （Ⅱ）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 ， 由 得 ． 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 Δ=4+8 t，解得 ． 另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 ，可得 ，解得 t=±1． 因为－1∉[- ,＋∞），1∈[－ ，＋∞），所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y-1 =0． 18-1 解：（1）设 由 ，所以 ． 设 是椭圆 上任意一点，则 ， l ( ) ( ) 012343 22 ≥−×−=∆ tt 3434 ≤≤− t l 4=d 4 14 9 || = + t 132±=t 2 13 [ 4 3,4 3]± ∉ − l 2 2 ( 0)y px p= > (1, 2)A − 5 5 (1, 2)A − 2 2y px= 2p = 2 4y x= 1x = − 2y x t= − + 2 4 , 2 y x y x t = = − + 2 2 2 0y y t+ − = 1 2t ≥ − 5 5d = 1 5 5 t = 1 2 1 2 2 2c a b= − 2 22 2 3 3 ce c aa = = ⇒ = 2 2 2 21 3b a c a= − = ( , )P x y C 2 2 2 2 1x y a b + = 所以 ， ． 当 时，当 时， 有最大值 ，可得 ， 所以 ． 当 时， 不合题意． 故椭圆 的方程为： ． （2） 中， ， ． 当且仅当 时， 有最大值 ， 时，点 到直线 的距离为 ． ． 又 ，此时点 ． 18-2 解：（Ⅰ）设 则 的周长为： 椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由对称性可知设 与 ， ． 2 2 2 2 2 2(1 ) 3yx a a yb = − = − 2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + + 1b ≥ 1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a = 1, 2b c= = 1b < 2 26 3 6 3PQ a b< + = + < C 2 2 13 x y+ = AOB∆ 1OA OB= = 1 1sin2 2AOBS OA OB AOB∆ = × × × ∠ ≤ 90AOB °∠ = AOBS∆ 1 2 90AOB °∠ = O AB 2 2d = 2 2 2 2 2 1 2 22 2d m n m n = ⇔ = ⇔ + = + 2 2 2 23 13 3 ,2 2m n m n+ = ⇒ = = 6 2( , )2 2M ± ± 2 2c a b= − 2 21 2 3 42 ce a c a ba = = ⇔ = ⇔ = 2ABF∆ 2 2 1 2 1 28 8 4 8 2, 3, 1 AB AF BF AF AF BF BF a a b c + + = ⇔ + + + = ⇔ = ⇔ = = =2 2 1 2 1 28 8 4 8 2, 3, 1 AB AF BF AF AF BF BF a a b c + + = ⇔ + + + = ⇔ = ⇔ = = = E 2 2 14 3 x y+ = 0 0 0( , )( 0)P x y y > ( ,0)M x 2 2 2 0 2 0 33 31 34 3 4 434 3 4 xx y xy x y k yx ′+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − 直线 ． （*） （*）对 恒成立 ， 得 ． 0 0 0 0 0 0 3 3(1 ): ( ) (4, )4 x xl y y x x Qy y −− = − − ⇒ 0 0 0 0 0 3(1 )0 ( )( 4) 0 ( 1) ( 1)( 3)xMP MQ x x x y x x x xy −= ⇔ − − + × = ⇔ − = − − 0 ( 2,2)x ∈ − 1x⇔ = (1,0)M 19-1（Ⅰ）解：当 时， ， ． 由于 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程是 ． （Ⅱ）解： ， ． ① 当 时，令 ，解得 ． 的 单 调 递 减 区 间 为 ； 单 调 递 增 区 间 为 ， ． 当 时 ， 令 ，解得 ，或 ． ② 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， ． ③ 当 时， 为常值函数，不存在单调区间． ④ 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ， ． 19-2 解：因为 所以 ． （Ⅰ）当 时, , , 所以 ． 所以曲线 在点 处的切线方程为 ． （Ⅱ）因为 ， （1）当 时,由 得 ；由 得 ． 所以函数 在区间 单调递增, 在区间 单调递减． 1a = 1( ) e ( 2)xf x x = ⋅ + 2 1 1( ) e ( 2 )xf x x x ′ = ⋅ + − (1) 3ef = (1) 2ef ′ = ( )y f x= (1, (1))f 2e e 0x y− + = 2 ( 1)[( 1) 1]( ) eax x a xf x a x + + −′ = 0x ≠ 1−=a ( ) 0f x′ = 1x = − )(xf ( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0, )+∞ 1a ≠ − ( ) 0f x′ = 1x = − 1 1x a = + 01 <<− a )(xf ( , 1)−∞ − 1( , )1a +∞+ ( 1,0)− 1(0, )1a + 0=a ( )f x 0a > )(xf ( 1,0)− 1(0, )1a + ( , 1)−∞ − 1( , )1a +∞+ 2 e( ) ,1 ax f x x = + 2 2 2 e ( 2 )( ) ( 1) ax ax x af x x − +′ = + 1a = 2 e( ) 1 x f x x = + 2 2 2 e ( 2 1)( ) ( 1) x x xf x x − +′ = + (0) 1,f = (0) 1f ′ = ( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + = 2 2 2 2 2 2 e ( 2 ) e( ) ( 2 )( 1) ( 1) ax axax x af x ax x ax x − +′ = = − ++ + 0a = ( ) 0f x′ > 0x < ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ （2）当 时, 设 ，方程 的判别式 ①当 时，此时 ． 由 得 ,或 ； 由 得 ． 所以函数 单调递增区间是 和 , 单调递减区间 ． ②当 时，此时 ．所以 ， 所以函数 单调递增区间是 ． ③当 时，此时 ． 由 得 ； 由 得 ,或 ． 所以当 时,函数 单调递减区间是 和 , 单调递增区间 ． ④当 时, 此时 ， ，所以函数 单调递减区间是 ． 20-1 解: (1)由已知得 ，令 ，得 ， 要取得极值，方程 必须有解， 所以△ ，即 ， 此时方程 的根为 ， ， 0a ≠ 2( ) 2g x ax x a= − + 2( ) 2 0g x ax x a= − + = 24 4 4(1 )(1 ),a a a∆ = − = − + 0 1a< < 0∆ > ( ) 0f x′ > 21 1 ax a − −< 21 1 ax a + −> ( ) 0f x′ < 2 21 1 1 1a axa a − − + −< < ( )f x 21 1( , )a a − −−∞ 21 1( , )a a + − +∞ 2 21 1 1 1( , )a a a a − − + − 1a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞ 1 0a− < < 0∆ > ( ) 0f x′ > 2 21 1 1 1a axa a + − − −< < ( ) 0f x′ < 21 1 ax a + −< 21 1 ax a − −> 1 0a− < < ( )f x 21 1( , )a a + −−∞ 21 1( , )a a − − +∞ 2 21 1 1 1( , )a a a a + − − − 1a ≤ − 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ 2'( ) 2 1f x ax bx= + + 0)(' =xf 2 2 1 0ax bx+ + = )(xf 2 2 1 0ax bx+ + = 24 4 0b a= − > 2b a> 2 2 1 0ax bx+ + = 2 2 1 2 4 4 2 b b a b b ax a a − − − − − −= = 2 2 2 2 4 4 2 b b a b b ax a a − + − − + −= = 所以 ． 当 时， x (-∞，x1) x 1 (x1，x2) x2 (x2，+∞) f’ (x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 在 x 1， x2 处分别取得极大值和极小值． 当 时， 所 以 在 x 1， x2 处分别取得极大 值和极小值． 综上，当 满足 时， 取得极值． (2)要使 在区间 上单调递增，需使 在 上恒成立． 即 恒成立， 所以 设 ， ， 令 得 或 (舍去)， 当 时， ，当 时 ， 单调增函数; 当 时 ， 单调减函数， 所以当 时， 取得最大，最大值为 ．所以 1 2'( ) ( )( )f x a x x x x= − − 0>a )(xf 0 )(xf )(xf (0,1] 2'( ) 2 1 0f x ax bx= + + ≥ (0,1] 1 , (0,1]2 2 axb xx ≥ − − ∈ max 1( )2 2 axb x ≥ − − 1( ) 2 2 axg x x = − − 2 2 2 1( )1'( ) 2 2 2 a xa ag x x x − = − + = '( ) 0g x = 1x a = 1x a = − 1>a 10 1a < < 1(0, )x a ∈ '( ) 0g x > 1( ) 2 2 axg x x = − − 1( ,1]x a ∈ '( ) 0g x < 1( ) 2 2 axg x x = − − 1x a = ( )g x 1( )g a a = − b a≥ − x (-∞，x2) x 2 (x2，x1) x1 (x1，+∞) f’ (x) － 0 ＋ 0 － f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区间 上单 调递增，当 时 最大，最大值为 ，所以 综上，当 时， ; 当 时， ． 20-2 解（1） 由题意得 ，即 ，所以 （2） 当 ，函数 在区间 内不可能单调递增 当 时， 则当 时， ，函数 单调递增，故当且仅当 时， 函数 在区间 内单调递增，即 时，函数 在 内单调递增． 故所求 的取值范围是 （3）直线 在点 P 处的切线斜率 令 则 所以 故当 时， ； 时， 所以直线 的斜率的取值范围是 0 1a< ≤ 1 1 a ≥ '( ) 0g x ≥ (0,1] 1( ) 2 2 axg x x = − − (0,1] 1x = ( )g x 1(1) 2 ag += − 1 2 ab +≥ − 1>a b a≥ − 0 1a< ≤ 1 2 ab +≥ − 22 2 ' )( )()( bx xbaxf + −= −=− =− 2)1( 0)1(' f f −=+ − =+ − 21 0)1( )1( 2 b a b ba = = 1 4 b a )0()( )()( 22 2 ' >+ −−= abx bxaxf 0)(0 ' ≤≤ xfb 时， )(xf ( )1,1− 0>b 22 ' )( ))(()( bx bxbxaxf + −+−= ),( bbx −∈ 0)(' >xf )(xf ≥ ≤− 1 1 b b )(xf ( )1,1− 1≥b )(xf ( )1,1− b [ )+∞,1 l 22 0 2 0 22 0 2 0 0 )1( 8 1 4 )1( 44)(' + + + −= + −== xxx xxfk , 1 1 2 0 + = x t 10 ≤< t 2 1)4 1(848 22 −−=−= tttk 4 1=t 2 1 min −=k 1=t 4max =k l − 4,2 1 20-3 解法一：（Ⅰ）依题意得 ，所以 ， 令 ，得 ， ， 随 x 的变化情况入下表： x － 0 + 0 － 极小值 极大值 由上表可知， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点． （Ⅱ） , 由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立， 当 时， ，显然 对任意 恒成立； 当 时， 等价于 ， 因为 ，不等式 等价于 , 令 ， 则 ，在 上显然有 恒成立，所以函数 在 单调递增， 所以 在 上的最小值为 ， 由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立， 需且只需 ，即 ， 解得 ，因为 ，所以 ． 综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 ． （Ⅱ） , 由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 当 时， ，显然 对任意 恒成立； 2( ) (2 )exf x x x= − 2( ) (2 )exf x x′ = − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( )f x′ ( )f x ( , 2)−∞ − 2− ( 2, 2)− 2 ( 2, )+∞ ( )f x′ ( )f x 2x = − ( )f x 2x = ( )f x 2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − + ( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 0a > ( ) 0f x′ ≤ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ ( 2,2)x∈ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ 22 2 2ax x a −− ≥ 2( ) , [ 2,2]g x x xx = − ∈ 2 2( ) 1g x x ′ = + [ 2,2] ( ) 0g x′ > ( )g x [ 2,2] ( )g x [ 2,2] ( 2) 0g = ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 22 2 2ax x a −− ≥ ( 2,2)x∈ 2 min 2 2( ) ag x a −≥ 22 20 a a −≥ 1 1a− ≤ ≤ 0a > 0 1a< ≤ ( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤ 2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − + ( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ ( 2,2)x∈ 0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 当 时，令 ，则函数 图象的对称轴为 ， 若 ，即 时，函数 在 单调递增， 要使 对 恒成立，需且只需 ，解得 ，所以 ; 若 ，即 时，由于函数 的图象是连续不间断的， 假如 对任意 恒成立，则有 ，解得 ，与 矛盾，所以 不能对任意 恒成立． 综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 ． 21-1 解：（I） 当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ． 所以 的单调递增区间为（0， ）,单调递减区间为（ , ． 当 由 ，解得 ；由 ，解得 ． 所以 的单调递增区间为（ , ,单调递减区间为（0， ）． （II）由 ，得 ， +3 ， 所以 ， 因为 在区间 上不是单调函数，且 ， 所以 即 ，解得 ． 0a > 2 2( ) (2 2) 2h x ax a x a= − − − ( )h x 2 1ax a −= 2 1 0a a − ≤ 0 1a< ≤ ( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 0 1a< ≤ 2 1 0a a − > 1a > ( )h x ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 1a > ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤ )0()21()(' >−= xx xaxf 0a > 0)(' >xf 2 10 << x ( ) 0f x <‘ 1 2x > )(xf 2 1 2 1 )∞+ 时，0xf 1 2x > ( ) 0f x <‘ 2 10 << x )(xf 2 1 )∞+ 2 1 2 3 2 3)2(' =−= af 1−=a xxxf 2ln)( +−= 23 )21(3 1)( xmxxxg ++−+= ' 2( ) (4 2 ) 1g x x m x= + + − ( )g x (1,3) ' (0) 1g = − ' ' (1) 0, (3) 0, g g < > 4 2 0, 20 6 0, m m + < + > 23 10 −<<− m 21-2 解: （Ⅰ）当 时， , , , 所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ， 即 ． （Ⅱ） , 考虑到 恒成立且 系数为正， 所以 在 上单调等价于 恒成立． 所以 ,解得 的取值范围是[-2，2]． （Ⅲ）当 时, , 令 ，得 ，或 x=1， 令 ，得 ，或 x>1， 令 ，得 . , , 的变化情况如下表 X 1 ) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以，函数 的极小值为 ． 22-1 解：（Ⅰ）可得 ． 2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + + 0a = 2( ) ( 2) ,xf x x e= + 2( ) ( 2 2)xf x e x x′ = + + (1) 3f e= (1) 5f e′ = ( )f x (1, (1))A f 3 5 ( 1)y e e x− = − 5 2 0ex y e− − = 2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + + 0xe > 2x ( )f x R 2 ( 2) 2 0x a x a+ + + + ≥ 2( 2) 4( 2) 0a a+ − + ≤ a 5 2a = − 2 5( ) ( 2) ,2 xf x x x e= − + 2 1 1( ) ( )2 2 xf x e x x′ = − − ( ) 0f x′ = 1 2x = − ( ) 0f x′ > 1 2x < − ( ) 0f x′ < 1 12 x− < < x ( )f x′ ( )f x 1( , )2 −∞ − 1 2 − 1( ,1)2 − (1,+∞ ( )f x′ ( )f x 1(1) 2f e= ' 2 1 ln( ) xf x x −= 当 时, , 为增函数;当 时, , 为减函数． （Ⅱ）依题意， 转化为不等式 对于 恒成立， 令 ，则 ， 当 时，因为 ， 是 上的增函数， 当 时， ， 是 上的减函数， 所以 的最小值是 ， 从而 的取值范围是 ． （Ⅲ）转化为 ， 与 在公共点 处的切线相 同． 由题意知 解得： ，或 （舍去），代人第一式，即有 ． 22-2 解：（Ⅰ） 的定义域为 ． 因为 ，所以 在 上是增函数， 当 时， 取得最小值 ． 所以 在 上的最小值为 1． （Ⅱ）解法一： 设 ， 依题意，在区间 上存在子区间使得不等式 成立． 因为抛物线 开口向上， 0 x e< < ' ( ) 0f x > ( )f x e x< ' ( ) 0f x < ( )f x xxa 1ln +< 0>x 1( ) lng x x x = + 2 1 1 1 1( ) 1g x x x x x ′ = − = − 1x > 1 1( ) 1 0g x x x ′ = − > ( )g x (1 )+ ∞， ( )1,0∈x ( ) 0<′ xg ( )g x ( )1,0 ( )g x (1) 1g = a ( )1,∞− mxxx −+= 3 2 6 1ln 2 xy ln= mxxy −+= 3 2 6 1 2 0 0( , )x y += −+= 3 2 3 11 3 2 6 1ln 0 0 0 2 00 xx mxxx 0 1x = 0 3x = − 6 5=m )(xf (0, )+ ∞ 1( ) 2 0f x xx ′ = + > ( )f x [1, ]e 1x = ( )f x (1) 1f = ( )f x [1, ]e 21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x − +′ = + − = 2( ) 2 2 1g x x ax= − + 1[ , 2]2 ( ) 0g x > 2( ) 2 2 1g x x ax= − + 所以只要 ，或 即可． 由 ，即 ，得 ， 由 ，即 ，得 ， 所以 ， 所以实数 的取值范围是 ． 解法二： ， 依题意得，在区间 上存在子区间使不等式 成立． 又因为 ，所以 ． 设 ，所以 小于函数 在区间 的最大值． 又因为 ， 由 解得 ； 由 解得 ． 所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减． 所以函数 在 ，或 处取得最大值． 又 ， ，所以 ， 所以实数 的取值范围是 ． (2) 0g > 1( ) 02g > (2) 0g > 8 4 1 0a− + > 9 4a < 1( ) 02g > 1 1 02 a− + > 3 2a < 9 4a < a 9( , )4 −∞ 21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x − +′ = + − = 1[ , 2]2 22 2 1 0x ax− + > 0x > 12 (2 )a x x < + 1( ) 2g x x x = + 2a ( )g x 1[ , 2]2 2 1( ) 2g x x ′ = − 2 1( ) 2 0g x x ′ = − > 2 2x > 2 1( ) 2 0g x x ′ = − < 20 2x< < ( )g x 2( , 2)2 1 2( , )2 2 ( )g x 1 2x = 2x = 9(2) 2g = 1( ) 32g = 92 2a < 9 4a < a 9( , )4 −∞ 22-3 解：（Ⅰ） ． （Ⅱ）①当 时， 是开口向上的抛物线， 显然在 上存在子区间使得 ，所以 的取值范围是 ． ②当 时，显然成立． ③当 时， 是开口向下的抛物线，要使 在 上存在子区间 使 ，应满足 或 解得 ，或 ，所以 的取值范围是 ． 则 的取值范围是 ． 23-1 解：（Ⅰ） 的定义域为 ， 当 时， ， ， 所以 在 处取得极小值 1． （Ⅱ） ， ， 2 2( ) 2 (1 )f x mx ax b′ = + + − 0m > 2( ) 2 1f x mx x′ = + − (2, )+ ∞ ( ) 0f x′ > m (0, )+ ∞ 0m = 0m < 2( ) 2 1f x mx x′ = + − ( )f x′ (2, )+ ∞ ( ) 0f x′ > 0, 1 2, 1( ) 0, m m f m < − ≥ ′ − > 0, 1 2, (2) 0. m m f < − < ′ > 1 02 m− <≤ 3 1 4 2m− < < − m 3( , 0)4 − m 3( , )4 − +∞ ( )f x (0, )+∞ 1a = ( ) lnf x x x= − 1 1( ) 1 xf x x x −′ = − = ( )f x 1x = 1( ) lnah x x a xx += + − 2 2 2 2 1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1 a a x ax a x x ah x x x x x + − − + + − +′ = − − = = 1 — 0 + 极小 x (0,1) (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； ②当 ，即 时，在 上 ， 所以，函数 在 上单调递增． （III）在 上存在一点 ，使得 成立，即 在 上存在一点 ，使得 ，即 函数 在 上的最小值小于零． 由（Ⅱ）可知 ①即 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 的最小值为 ，由 可得 ， 因为 ，所以 ； ②当 ，即 时， 在 上单调递增， 所以 最小值为 ，由 可得 ； ③当 ，即 时， 可得 最小值为 ， 因为 ，所以， 故 此时， 不成立． 综上讨论可得所求 的范围是： 或 ． 23-2 解:（I）因为函数 有三个极值点, 所以 有三个互异的实根． 设 则 当 时， 在 上为增函数； 1 0a + > 1a > − (0,1 )a+ ( ) 0h x′ < (1 , )a+ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x (0,1 )a+ (1 , )a+ +∞ 1 0a+ ≤ 1a ≤ − (0, )+∞ ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞ [ ]1,e 0x 0( )f x < 0( )g x [ ]1,e 0x 0( ) 0h x < 1( ) lnah x x a xx += + − [ ]1,e 1 ea+ ≥ e 1a ≥ − ( )h x [ ]1,e ( )h x (e)h 1(e) e 0e ah a += + − < 2e 1 e 1a +> − 2e 1 e 1e 1 + > −− 2e 1 e 1a +> − 1 1a+ ≤ 0a ≤ ( )h x [ ]1,e ( )h x (1)h (1) 1 1 0h a= + + < 2a < − 1 1 ea< + < 0 e 1a< < − ( )h x (1 )h a+ 0 ln(1 ) 1a< + < 0 ln(1 )a a a< + < (1 ) 2 ln(1 ) 2h a a a a+ = + − + > (1 ) 0h a+ < a 2e 1 e 1a +> − 2a < − 4 3 21 9( ) 4 2f x x x x cx= + − + 3 2( ) 3 9 0f x x x x c′ = + − + = 3 2( ) 3 9 ,g x x x x c= + − + 2( ) 3 6 9 3( 3)( 1),g x x x x x′ = + − = + − 3x < − ( ) 0,g x′ > ( )g x ( , 3)−∞ − 当 时， 在 上为减函数； 当 时， 在 上为增函数； 所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值． 当 或 时, 最多只有两个不同实根． 因为 有三个不同实根, 所以 且 ． 即 ,且 ， 解得 且 故 ． （II）由（I）的证明可知，当 时, 有三个极值点，不妨设为 （ ），则 所以 的单调递减区间是 , ． 若 在区间 上单调递减， 则 , 或 , 若 ,则 ．由（I）知， ,于是 ． 若 ,则 且 ．由（I）知， ． 又 ，当 时， ； 当 时， ． 因此, 当 时， 所以 且 ． 即 ，故 或 ． 反之, 当 或 时，总可找到 ，使函数 在区间 上单调递 减． 综上所述, 的取值范围是 ． 24-1 解：（Ⅰ）因为 3 1x− < < ( ) 0,g x′ < ( )g x ( 3,1)− 1x > ( ) 0,g x′ > ( )g x (1, )+∞ ( )g x 3x = − 1x = ( 3) 0g − ≤ (1) 0g ≥ ( ) 0g x = ( ) 0g x = ( 3) 0g − > (1) 0g < 27 27 27 0c− + + + > 1 3 9 0c+ − + < 27,c > − 5,c < 27 5c− < < 27 5c− < < ( )f x 1 2 3x x x， ， 1 2 3x x x< < 1 2 3( ) ( )( )( ).f x x x x x x x′ = − − − ( )f x 1( ]x−∞， 2 3[ , ]x x )(xf [ ], 2a a + [ ], 2a a + ⊆ 1( ]x−∞， [ ], 2a a + ⊆ 2 3[ , ]x x [ ], 2a a + ⊂ 1( ]x−∞， 12a x+ ≤ 1 3x < − 5a < − [ ], 2a a + ⊂ 2 3[ , ]x x 2a x≥ 32a x+ ≤ 23 1x− < < 3 2( ) 3 9f x x x x c′ = + − + 27c = − 2( ) ( 3)( 3)f x x x′ = − + 5c = 2( ) ( 5)( 1)f x x x′ = + − 27 5c− < < 31 3.x< < 3,a > − 2 3a + ≤ 3 1a− < < 5,a < − 3 1a− < < 5,a < − 3 1a− < < ( 27,5)c∈ − )(xf [ ], 2a a + a ( 5) ( 3,1)−∞ − −， ( )' 2 101 af x xx = + −+ 所以 因此 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当 时， 当 时， 所以 的单调增区间是 的单调减区间是 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当 或 时， ， 所以 的极大值为 ，极小值为 ． 因此 ， ， 所以在 的三个单调区间 内， 直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当 因此， 的取值范围为 ． 24-2 解: (I) 直线 的斜率为 1． 函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 ，所以 ． 所以 ． ． 由 解得 ；由 解得 ． ( )' 3 6 10 04 af = + − = 16a = ( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞ ( ) ( )2 ' 2 4 3 1 x x f x x − + = + ( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,3x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞ ( )f x ( )1,3 ( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x = 3x = ( )' 0f x = ( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = − ( ) ( )216 16 10 16 16ln 2 9 1f f= − × > − = ( ) ( )2 1 32 11 21 3f e f− − < − + = − < ( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞ y b= ( )y f x= ( ) ( )3 1f b f< < b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− − 2y x= + ( )f x (0, )+∞ 2 2( ) af x x x ′ = − + 2 2(1) 11 1 af ′ = − + = − 1a = 2( ) ln 2f x xx = + − 2 2( ) xf x x −′ = ( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< < 所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 ． (II) ， 由 解得 ；由 解得 ． 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 所以当 时，函数 取得最小值， ． 因为对于 都有 成立， 所以 即可． 则 ． 由 解得 ． 所以 的取值范围是 ． (III)依题得 ，则 ． 由 解得 ；由 解得 ． 所以函数 在区间 为减函数，在区间 为增函数． 又因为函数 在区间 上有两个零点，所以 解得 ． 所以 的取值范围是 ． 24-3 解： ，令 ，得 或 ． 因为在 和 内 ，所以 在 和 内是增函数， ( )f x (2, )+∞ (0,2) 2 2 2 2( ) a axf x x x x −′ = − + = ( ) 0f x′ > 2x a > ( ) 0f x′ < 20 x a < < ( )f x 2( , )a + ∞ 2(0, )a 2x a = ( )f x min 2( )y f a = (0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − 2( ) 2( 1)f aa > − 2 2ln 2 2( 1)2 a aa a + − > − 2lna aa > 20 a e < < a 2(0, )e 2( ) ln 2g x x x bx = + + − − 2 2 2( ) x xg x x + −′ = ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< < ( )g x (0, 1) (1, )+ ∞ ( )g x 1[ , ]e e− 1( ) 0, ( ) 0, (1) 0. g e g e g − < ≥ ≥ 21 1b ee < + −≤ b 2(1, 1]ee + − 2'( ) 2f x x x= − − '( ) 0f x = 1 2x = 2 1x = − ( , 1)−∞ − (2, )+∞ '( ) 0f x > ( )f x ( , 1)−∞ − (2, )+∞ 又在 内 ，所以 在 内是减函数． 所以 是 的极大值点， 是 的极小值点． 令 , 当 时， ， ， 所以方程 有不同的三个根． 24-4 解：（Ⅰ）因为 所以 因此 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ． 当 时， ; 当 时， ． 所以 的单调增区间是 ; 的单调减区间是 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当 或 时， ． 所以 的极大值为 ，极小值为 ． 所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点，当且 仅当 ． ( 1,2)− '( ) 0f x < ( )f x ( 1,2)− 2 1x = − ( )f x 1 2x = ( )f x 7( 1) 0 7 106 10 6 3(2) 03 f a a f a − = + > ⇔ − < < = − + < 7 10 6 3a− < < ( 6) 72 18 12 78 0f a a− = − − + + = − < (6) 72 18 12 42 0f a a= − − + = + > ( ) 0f x = ( )' 2 101 af x xx = + −+ ( )' 3 6 10 04 af = + − = 16a = ( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞ ( ) ( )2 ' 2 4 3 1 x x f x x − + = + ( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,3x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞ ( )f x ( )1,3 ( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x = 3x = ( )' 0f x = ( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = − ( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞ y b= ( )y f x= ( ) ( )3 1f b f< < 因此， 的取值范围为 ． 25-1 解：（Ⅰ）当 时， 得 令 ，即 ，解得 ，所以函数 在 上为增函数， 据此，函数 在 上为增函数， 而 ， ，所以函数 在 上的值域为 （Ⅱ）由 令 ，得 即 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增； 若 ，即 ，易得函数 在 上为增函数， 此时， ，要使 对 恒成立，只需 即可， 所以有 ，即 而 ，即 ，所以此时无解． 若 ，即 ，易知函数 在 上为减函数，在 上为增函数， 要使 对 恒成立，只需 ，即 ， 由 和 得 ． 若 ，即 ，易得函数 在 上为减函数， 此时， ，要使 对 恒成立，只需 即可， 所以有 ，即 ，又因为 ，所以 ． b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− − 1a = − ( ) ln ,f x x x= − 1( ) 1 ,f x x ′ = − ( ) 0f x′ > 11 0x − > 1x > ( )f x (1, )+∞ ( )f x 2[e,e ] (e) e 1f = − 2 2(e ) e 2f = − ( )f x 2[e,e ] 2[e 1,e 2]− − ( ) 1 ,af x x ′ = + ( ) 0f x′ = 1 0,a x + = ,x a= − (0, )x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a− ( , )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a− +∞ 1 ea≤ − ≤ e 1a− ≤ ≤ − ( )f x 2[e,e ] 2 max( ) (e )f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2(e ) e 1f ≤ − 2e 2 e 1a+ ≤ − 2e e 1 2a − + −≤ 2 2e e 1 (e 3e 1)( e) 02 2 − + − − − +− − = < 2e e 1 e2 − + − < − 2e ea< − < 2e ea− > > − ( )f x [e, ]a− 2[ ,e ]a− ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2 (e) e 1 (e ) e 1 f f ≤ − ≤ − 2 1 e e 1 2 a a ≤ − − + −≤ 2 2e e 1 e e 1( 1) 02 2 − + − − + +− − = < 2 2 2e e 1 e e 1( e ) 02 2 − + − + −− − = > 2 2 e e 1e 2a − + −− < ≤ 2ea− ≥ 2ea ≤ − ( )f x 2[e,e ] max( ) (e)f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ (e) e 1f ≤ − e e 1a+ ≤ − 1a ≤ − 2ea ≤ − 2ea ≤ − 综合上述，实数 a 的取值范围是 ． 25-2 解：（Ⅰ） （1）当 ，即 时， ，不成立． （2）当 ，即 时，单调减区间为 ． （3）当 ，即 时，单调减区间为 ． （Ⅱ） ， 在 上递增，在 上递减，在 上递增． （1）当 时，函数 在 上递增， 所以函数 在 上的最大值是 ， 若对 有 恒成立，需要有 解得 ． （2）当 时，有 ，此时函数 在 上递增，在 上递减，所以函 数 在 上的最大值是 ， 若对 有 恒成立，需要有 解得 ． （3）当 时，有 ，此时函数 在 上递减，在 上递增， 所以函数 在 上的最大值是 或者是 ． 由 ， ① 时， ， 若对 有 恒成立，需要有 解得 ． ② 时， ， 若对 有 恒成立，需要有 解得 ． 2e e 1( , ]2 − + −−∞ 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a= − + = − − < 3a a= 0a = 2'( ) 3 0f x x= > 3a a> 0a < (3 , )a a 3a a< 0a > ( ,3 )a a 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a= − + = − − ( )f x (0, )a ( ,3 )a a (3 , )a +∞ 3a ≥ ( )f x [0,3] ( )f x [0,3] (3)f [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ (3) 4, 3, f a ≤ ≥ a ∈∅ 1 3a≤ < 3 3a a< ≤ ( )f x [0, ]a [ ,3]a ( )f x [0,3] ( )f a [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ ( ) 4, 1 3, f a a ≤ ≤ < 1a = 1a < 3 3a> ( )f x [ ,3 ]a a [3 ,3]a ( )f x [0,3] ( )f a (3)f 2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a− = − − 30 4a< ≤ ( ) (3)f a f≤ [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ (3) 4, 30 ,4 f a ≤ < ≤ 2 3 3[1 , ]9 4a∈ − 3 14 a< < ( ) (3)f a f> [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ ( ) 4, 3 1,4 f a a ≤ < < 3( ,1)4a∈ 综上所述， ． 26-1 解：（I） 的定义域为 ． ． 根据题意，有 ，所以 ， 解得 或 ． （II） ． （1）当 时，因为 ， 由 得 ，解得 ； 由 得 ，解得 ． 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减． （2）当 时，因为 ， 由 得 ，解得 ； 由 得 ，解得 ． 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增． （III）由（Ⅱ）知，当 时，函数 的最小值为 ， 且 ． ， 令 ，得 ． 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 2 3[1 ,1]9a∈ − ( )f x { | 0}x x > ( ) ( )2 2 2 1 0a af x xx x ′ = − + > ( )1 2f ′ = − 22 3 0a a− − = 1a = − 3 2a = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( 2 )1 0a a x ax a x a x af x xx x x x + − − +′ = − + = = > 0a > 0x > ( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > x a> ( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 x a< < ( )f x ( ),a +∞ ( )0,a 0a < 0x > ( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > 2x a> − ( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 2x a< < − ( )f x ( )0, 2a− ( )2 ,a− +∞ ( ,0)a∈ −∞ ( )f x ( )g a 22( ) ( 2 ) ln( 2 ) 2 ln( 2 ) 32 ag a f a a a a a a aa = − = − + − = − −− 2( ) ln( 2 ) 3 ln( 2 ) 22g a a a aa −′ = − + − = − −− ( ) 0g a′ = 21 e2a = − a ( )g a′ ( )g a a 21( , e )2 −∞ − 21 e2 − 21( e ,0)2 − ＋ 0 － 极大值 是 在 上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是 的最大值点． 所以 ． 所以，当 时， 成立． 26-2（Ⅰ）解： ． 由 题 意 有 即 ， 解 得 或 （ 舍 去 ）．得 即 ，解得 ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ， ． 在区间 上，有 ；在区间 上，有 ． 故 在 单调递减，在 单调递增， 于是函数 在 上的最小值是 ． 故当 时，有 恒成立． (Ⅲ)解： ． 当 时，则 ，当且仅当 时等号成 立，故 的最小值 ，符合题意； 当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合题意； ( )g a′ ( )g a 21 e2 − ( )g a ( ,0)−∞ ( )g a ( ) 2 2 2 21 1 1 1( e ) e ln[ 2 ( e )] 3( e )2 2 2 2最大值g a g= − = − − × − − − 2 2 2 21 3 1e ln e e e2 2 2 = − + = ( ,0)a∈ −∞ 21( ) e2g a ≤ 23e( ) 2ef x x x ′ = + − 0( ) 0f x′ = 2 0 0 3e2e 0x x + − = 0 ex = 0 3ex = − (e) 0f = 2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b+ − − = 21 e2b = − 2 2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x= + − + > ( )f x′ 23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x − += + − = > (0,e) ( ) 0f x′ < (e, )+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,e) (e, )+∞ ( )f x (0, )+∞ (e) 0f = 0x > ( ) 0f x ≥ 23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x −′= + = + + ( 0)x > 23ea > 2 23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax −= + + ≥ − + 23ex a= − ( )F x 22 3e 2em a= − + 2e> 23ea = ( ) 2eF x x= + (0, )+∞ 当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合 题意． 综上，实数 的取值范围是 ． 27-1（Ⅰ）解： 的定义域为 ． ． 令 ， 或 ． 当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大 值 所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ． 当 时， ． 所以，函数 的单调递减区间是 ． 当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表： 0 0 0 极小值 极大 值 所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ． （ Ⅱ ） 证 明 ： 当 时 ， 由 （ Ⅰ ） 知 ， 的 极 小 值 为 ， 极 大 值 为 ． 因 为 ， ， 且 在 23ea < 23e( ) 2eaF x x x −= + + (0, )+∞ a 2(3e , )+∞ ( )f x ( , )a +∞ 2 ( 1)'( ) 1a x a xf x xx a x a − + += − + =− − '( ) 0f x = 0x = +1x a= 1 0a− < < +1 0a > ( )f x '( )f x x x ( ,0)a 0 (0, 1)a + 1a + ( 1, )a + +∞ ( )f x − + − '( )f x ( )f x (0, 1)a + ( ,0)a ( 1, )a + +¥ 1a =- 2 '( ) 01 xf x x −= ≤+ ( )f x ( 1, )- +¥ 1a < − +1 0a < ( )f x '( )f x x x ( , 1)a a + 1a + ( 1,0)a + (0, )+∞ ( )f x − + − '( )f x ( )f x ( 1,0)a + ( , 1)a a + (0, )+¥ 1 2(ln2 1) 0a− < < − < ( )f x (0)f ( 1)f a + (0) ln( ) 0f a a= − > 2 21 1( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 02 2f a a a a+ = − + + + = − > ( )f x 上是减函数， 所以 至多有一个零点． 又因为 ， 所以 函数 只有一个零点 ，且 ． （Ⅲ）解：因为 ， 所以 对任意 且 由(Ⅱ)可知： ， ，且 ． 因为 函数 在 上是增函数，在 上是减函数， 所以 ， ． 所以 ． 当 时， = >0． 所以 ． 所以 的最小值为 ． 所以 使得 恒成立的 的最大值为 ． 27-2（Ⅰ）解：由 ，可得 ． 当 单调递减， 当 单调递增． 所以函数 在区间 上单调递增， 又 ， 所以函数 在区间 上的最小值为 ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 在 时取得最小值， ( 1, )a + +¥ ( )f x 21 1( 2) ln 2 [ 2(ln 2 1)] 02 2f a a a a a a+ = − − = − − − < ( )f x 0x 01 2a x a+ < < + 41 2(ln 2 1)5 − < − < − 1 2 0, [0, ]x x x∈ 2 1 1,x x− = 1 [0, 1)x a∈ + 2 0( 1, ]x a x∈ + 2 1x ≥ ( )f x [0, 1)a + ( 1, )a + +¥ 1( )f x (0)f≥ 2( )f x (1)f≤ 1 2( ) ( ) (0) (1)f x f x f f- ³ - 4 5a = − 1(0) (1) ln( )1 2 af f a a − = −− 4 9 1ln5 4 2 − 1 2( ) ( ) (0) (1) 0f x f x f f- ³ - > 2 1( ) ( )f x f x− 4 9 1(0) (1) ln5 4 2f f− = − 2 1( ) ( )f x f x m− ≥ m 4 9 1ln5 4 2 − ( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe ′∈ < 1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe ′∈ +∞ > ( )f x [1,3] (1) 0f = ( )f x [1,3] 0 ( ) ln ( (0, ))f x x x x= ∈ +∞ 1x e = 又 ， 可知 ． 由 ，可得 ． 所以当 单调递增， 当 单调递减． 所以函数 在 时取得最大值， 又 ， 可知 ， 所以对任意 ，都有 成立． 28-1（Ⅰ）解：当 时， ， ． 由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 ． （Ⅱ）解： ． ① 当 时， ． 所以 在 单调递增，在 单调递减． 当 ， ． ② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下： 1 1( )f e e = − 1( )f m e ≥ − 2( ) x xg x e e = − 1'( ) x xg x e −= (0,1), '( ) 0, ( )x g x g x∈ > (1, ), '( ) 0, ( )x g x g x∈ +∞ < ( )( 0)g x x > 1x = 1(1)g e = − 1( )g n e ≤ − , (0, )m n∈ +∞ ( ) ( )f m g n≥ 1a = 2 2( ) 1 xf x x = + 2 2 ( 1)( 1)( ) 2 ( 1) x xf x x + −′ = − + (0) 2f ′ = ( )y f x= 2 0x y− = 2 ( )( 1)( ) 2 1 x a axf x x + −′ = − + 0a = 2 2( ) 1 xf x x ′ = + ( )f x (0, )+∞ ( ,0)−∞ 0a ≠ 2 1( )( ) ( ) 2 1 x a x af x a x + − ′ = − + 0a > ( ) 0f x′ = 1x a= − 2 1x a = ( )f x ( )f x′ 故 的 单 调 减区间是 ， ；单调增区间是 ． ③ 当 时， 与 的情况如下： 所 以 的 单 调 增 区 间 是 ； 单 调减区间是 ， ． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意． 当 时，由（Ⅱ）得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存 在最大值 ． 设 为 的零点，易知 ，且 ．从而 时， ； 时， ． 若 在 上存在最小值，必有 ，解得 ． 所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ． 当 时，由（Ⅱ）得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在 上存在最小值 ． 若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 ． 所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ． )(xf ( , )a−∞ − 1( , )a +∞ 1( , )a a − 0a < ( )f x ( )f x′ ( )f x 1( , )a −∞ 1( , )aa − − ( , )a− +∞ 0a = 0a > )(xf 1(0, )a 1( , )a +∞ )(xf (0, )+∞ 21( ) 0f aa = > 0x )(xf 2 0 1 2 ax a −= 0 1x a < 0x x> ( ) 0f x > 0x x< ( ) 0f x < )(xf [0, )+∞ (0) 0f ≤ 1 1a− ≤ ≤ 0a > )(xf [0, )+∞ a (0,1] 0a < )(xf (0, )a− ( , )a− +∞ )(xf (0, )+∞ ( ) 1f a− = − )(xf [0, )+∞ (0) 0f ≥ 1a ≥ 1a ≤ − 0a < )(xf [0, )+∞ a ( , 1]−∞ − ↘ ↗ ↘ ↗ ↘ ↗ x 1( , )x−∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x + ∞ ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x 1( )f x 2( )f x x 2( , )x−∞ 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x + ∞ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x 2( )f x 1( )f x 综上， 的取值范围是 ． 28-2 解：（Ⅰ） ， 当 时， 取最小值 ， 即 ． （Ⅱ）令 ， 由 得 ， （不合题意，舍去）． 当 变化时 ， 的变化情况如下表： 递增 极大值 递减 在 内有最大值 ． 在 内恒成立等价于 在 内恒成立， 即等价于 ， 所以 的取值范围为 ． 28-3 解:（Ⅰ）对 求导得 , 由题意 是方程 的两根． 由 ,且 得 即 ,由(1)(2)所表示的平面区域可求得 ,故 ． 所以 的取值范围是 ． (Ⅱ)方程 的两根为 , 由根与系数的关系得 a ( , 1] (0,1]−∞ − 2 3( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t= + − + − ∈ >R ， ∴ x t= − ( )f x 3( ) 1f t t t− = − + − 3( ) 1h t t t= − + − ( )0t > 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m= − − + = − + − − 2( ) 3 3 0g t t′ = − + = 1t = 1t = − t ( )g t′ ( )g t t (01)， 1 (1 2)， ( )g t′ + 0 − ( )g t 1 m− ( )g t∴ (0 2)， (1) 1g m= − ( ) 2h t t m< − + (0 2)， ( ) 0g t < (0 2)， 1 0m− < m 1m > )(xf 1)1()( 2 +−+=′ xbaxxf 21, xx 0)( =′ xf 42 21 <<< xx 0>a >′ <′ ,0)4( ,0)2( f f >−+ <−+ )2(,03416 )1(,0124 ba ba 3241)1(24)2( +−=+−−=−′ babaf 024 >− ba 3324)2( >+−=−′ baf )2(−′f ( )+∞,3 01)1(2 =+−+ xbax 21, xx = −−=+ ,1 ,1 21 21 axx a bxx 由于 ,两式相除得 ,即 ． 由条件 可得 ,易知当 时, 是增函数,当 时, , 故 的取值范围是 ． 得证． (Ⅲ)因为 的两根是 ,故可设 ,所以 ． 由于 ,因此 又 ,可知 , 故 , 当且仅当 即 时取等号． 所以 , ,当 时, , 在 内是增 函数,又 在 上连续,故 在 上是增函数． 所以 ． 29-1解：（Ⅰ） ， 易知，当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数． 当 时， ， 在区间 上是减函数． 021 ≠xx 2121 21 11)1( xxxx xxb +=+=−− 111 21 +−−= xxb 212 += xx 12 11)( 11 1 ++−−== xxxb ϕ )2,0(1 ∈x )(xϕ )2,0(1 ∈x 4 1)2()( 1 =< ϕϕ x b ∞− 4 1, 0)( =′ xf 21, xx ))(()( 21 xxxxaxf −−=′ )2)(()(2))(()(2)()( 122212 axxxxaxxxxxxaxxxfxg +−−=−+−−−=−+′−= ( )21, xxx ∈ ,0,0 12 >−>− xxxx 2≥a 02 1 >+− axx 21)11(2 )2()( )2)(()( 2 2 12 12 ++=+= +−+− ≤+−−= aaaaaxxxx aaxxxxaxg axxxx 2 12 +−=− axx 111 −+= 21)( ++= aaah [ )+∞∈ ,2a ( )+∞∈ ,2a 011)( 2 >−=′ aah )(ah ( )+∞,2 )(ah [ )+∞,2 )(ah [ )+∞,2 2 9)2()( min == hah 2 2 2 (2 1)'( ) ( 1)( 1) a x a xf x x ax + −= + + 2 1 0a − ≥ 1 2a ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞ 0a = 2'( ) 0( 1)( 1) xf x x ax −= ≤+ + ( )f x [0, )+∞ 当 且 时， ，在区间 上 ， 在区间 上不 是增函数． 所以， 的取值范围为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 在区间 上是减函数，所以，当 时， ，即 ． 分别令 ，再把这 个不等式左、右相加，即得： ． 由（Ⅰ）知，当 时， 在区间 上是增函数． 所以 ，即 ， 分别令 ，再把这 个不等式左、右相加，整理得： ． 综上， ( )． 29-2 解：（1）函数的定义域为 ． 因为 ， 所以函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 所以函数 的最小值为 ． （2）问题等价于，当 时， 恒成立． 当 时，显然 恒成立； 当 时， ．（下面求该函数的最小值） 1 2a < 0a ≠ 2 2 1 0a a −− > 2 2 1[0, ]a a −− '( ) 0f x ≤ ( )f x [0, )+∞ a 1[ , )2 +∞ 0a = ( ) ln(1 )f x x x= + − [0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0f x f< = ln(1 )x x+ < 1 1 11, , , ,2 3x n = ⋅⋅⋅ n 1 1 1ln( 1) 1 2 3n n + < + + +⋅⋅⋅+ 1a = ( ) ln(1 ) 1 xf x x x = + − + [0, )+∞ ( ) (0) 0f x f> = ln(1 ) 1 xx x + > + 1 1 11, , , ,2 3x n = ⋅⋅⋅ n 1 1 1 1ln( 1) 2 3 4 1n n + > + + +⋅⋅⋅+ + 1 1 1 1 1 1 1ln( 1) 12 3 4 1 2 3nn n + + +⋅⋅⋅+ < + < + + +⋅⋅⋅++ 1n ≥ R ' ( ) 1xf x e= − ( )f x ( ,0]−∞ [0, )+∞ ( )f x (0) 1f = [0,2]x∈ ( )f x ax> 0x = ( )f x ax> (0,2]x∈ ( )( ) f xf x ax a x > ⇔ < 令 ， 则， ， 所以， 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， 所以， ， 所以 ． 即实数 的取值范围为 ． （3）由（1）知， ， 即， ， 令 ，则有 ， 所以 ， 即 ， 所以， ． 29-3 解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ． 又曲线 在点 处的切线与直线 垂直， 所以 ， 即 ． （Ⅱ）由于 ． ( )( ) (0 2)f xg x xx = < ≤ ' 1( ) xxg x ex −= ( )g x (0,1] [1,2] min (2)( ) (1) 12 fg x g e= = = − 1a e< − a ( , 1)e−∞ − 1xe x− ≥ 1xe x≥ + ( 0,1,2,3, , 1)kx k nn = − = ⋅⋅⋅ − 1 0 k n ke n − ≥ − > (1 )k nke n − > − ( )n kn k en −− ≤ 1 2 1 2 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n n n n n n n e e e− −+ + +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ + 11 1 1 1 11 1 n ee e e e − = < = −− − ( )f x { }| 0x x > 2 1( ) af x x x ′ = + ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = (1) 1 2f a′ = + = 1a = 2 1( ) axf x x +′ = 当 时，对于 ，有 在定义域上恒成立， 即 在 上是增函数． 当 时，由 ，得 ． 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． （Ⅲ）当 时， ． 令 ． ． 当 时， ， 在 单调递减． 又 ，所以 在 恒为负． 所以当 时， ． 即 ． 故当 ，且 时， 成立． 30-1 解：（Ⅰ）当 时， ， ∴ ． 对于 ，有 ，∴ 在区间 上为增函数． ∴ ， ． （Ⅱ）令 ，定义域为 ． 0a ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a < ( ) 0f x′ = 1 (0, )x a = − ∈ +∞ 1(0, )x a ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x 1( , )x a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1a = 1( 1) ln( 1) 1f x x x − = − − − [ )2x∈ + ∞， 1( ) ln( 1) 2 51g x x xx = − − − +− ' 2 2 1 1 (2 1)( 2)( ) 21 ( 1) ( 1) x xg x x x x − −= + − = −− − − 2x > ' ( ) 0g x < ( )g x (2, )+∞ (2) 0g = ( )g x (2, )+∞ [2, )x∈ +∞ ( ) 0g x ≤ 1ln( 1) 2 5 01x xx − − − + ≤− 1a = 2x ≥ ( 1) 2 5f x x− ≤ − 1=a xxxf ln2 1)( 2 += x x xxxf 11)( 2 +=+=′ ∈x [ ]e,1 0)( >′ xf )(xf [ ]e,1 21)()( 2 max eefxf +== 2 1)1()(min == fxf xaxxaaxxfxg ln2)2 1(2)()( 2 +−−=−= ( )+∞,0 在区间 上，函数 的图象恒在直线 下方等价于 在区间 上恒成 立． ∵ ， ① 若 ，令 ，解得： ， ． 当 ，即 时，在 上有 ， 此时 在区间 上是增函数，并且在该区间上有 ，不合题意； 当 ，即 ，同理可知， 在区间 上，有 ，也不合题意； ② 若 时，则有 ，此时在区间 上恒有 ， 从而 在区间 上是减函数； 要使 在此区间上恒成立，只须满足 ， 由此求得 的范围是 ． 综合①②可知，当 ∈ 时，函数 的图象恒在直线 下方． 30-2 解：（Ⅰ）当 时，函数 ， ． ， 曲线 在点 处的切线的斜率为 ． 从而曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ． （Ⅱ） ． 令 ，要使 在定义域 内是增函数，只需 在 内恒成 立． ( )+∞,1 )(xf axy 2= 0)(查看更多