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高考必做的36道压轴题数学变式题答案
高考数学必做 36 道压轴题答案(解析几何部分) 1-1 解:(Ⅰ)设双曲线的方程是 ( , ), 则由于离心率 ,所以 , . 从而双曲线的方程为 ,且其右焦点为 ( ,0). 把直线 的方程 代入双曲线的方程,消去 并整理,得 . 设 , ,则 , . 由弦长公式,得 =6. 所以 , . 从而双曲线的方程是 . (Ⅱ)由 和 ,消去 ,得 . 根据条件,得 且 . 所以 . 设 , ,则 , . 由于以线段 为直径的圆过原点,所以 . 即 . 从而有 ,即 . 所以 点 到直线 : 的距离为 . 2 2( , )x y 12 2 2 2 =− b y a x 0>a 0>b 2== a ce ac 2= 22 3ab = 13 2 2 2 2 =− a y a x F a2 MN axy 2−= y 0742 22 =−+ aaxx M 1 1( , )x y N axx 221 −=+ 2 21 2 7 axx −= 21 2 21 4)(2|| xxxxMN −+⋅= )2 7(4)2(2 22 aa −−−⋅= 1=a 33 22 == ab 13 2 2 =− yx mkxy += 13 2 2 =− yx y 032)3( 222 =−−−− mkmxxk 0)3)(3(44 2222 >−−−−=∆ mkmk 03 2 ≠− k 33 22 ≠>+ km A ),( 33 yx B ),( 44 yx 243 3 2 k kmxx −=+ 3 3 2 2 43 − += k mxx AB 04343 =+ yyxx 0)()1( 2 4343 2 =++++ mxxkmxxk 03 2 3 3)1( 2 22 2 2 =+−⋅+− +⋅+ mk kmkmk mk 22 3 21 mk =+ Q l mkxy += |11|2 6 3 2 |1| 1 |1| 2 2 mm m k md +=+= + += 由 ≥ ,解得 且 . 由 ,解得 . 所以当 时, 取最大值 ,此时 . 因此 的最大值为 ,此时直线 的方程是 . 1-2 解:(Ⅰ)设焦距为 ,由已知可得 到直线 的距离 ,即 所以椭圆 的焦距为 4. (Ⅱ)设 ,由题意知 , ,且直线 的方程为 联立 得 , 解得 . 因为 ,所以 , 即 , 得 .而 ,所以 . 故椭圆 的方程为 2-1 解:(Ⅰ)因为 , 所以 ,即 ,又 , 所以 , ,即 , . (Ⅱ)解法 1: 由(1)知 两点分别为 , ,由题意可设 . 那么线段 中点为 ,设 . 13 2 22 −= mk 0 3 61 3 6 ≤≤− m 01 ≠ m 13 2 22 −= mk 3≠ ≠ m 1 6 6± 2 6=m d 2 26)3 61(2 6 +=+ 0=k d 2 26 + l 2 6=y 2c 1F l 3 2 3c = 2c = C 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 0y < 2 0y > l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 3( 2), 1 y x x y a b = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 4 3 3 0a b y b y b+ − − = 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ),3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 22AF F B= 1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )23 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 3a = 2 2 4a b− = 5b = C 2 2 1.9 5 x y+ = 3 3 ce a = = 2 2 2 2 2 2 1 3 c a be a a −= = = 2 2 2 3 b a = 2 2 1 1 b = = + 2 2b = 2 3a = 3a = 2b = 1 2,F F ( 1,0)− (1,0) (1, )P t 1PF (0, )2 tN ( , )M x y 由于 , , 则 消去参数 ,得 ,其轨迹为抛物线. 解法 2:如图,因为 是线段 垂直平分线 上 的 点, 所以 ,即动点 到定点 的距 离 与 的定直线 的距离相等, 由抛物线的定义知,动点 的轨迹是以定点 , 以 定 直 线 为 准 线 的 抛 物 线 , 易 得 其 方 程 是 . 2-2 解:(Ⅰ)设动点 的坐标为 ,依题意可知 , 整理得 . 所以动点 的轨迹 的方程为 . (II)当直线 的斜率不存在时,满足条件的点 的纵坐标为 . 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 . 将 代入 并整理得, . . 设 , ,则 , . 设 的中点为 ,则 , , 所以 . ( , )2 tMN x y= − − 1( 2, )PF t− − 1 , 2 ( ),2 y t tMN PF x t y = ⋅ = + − t 2 4y x= − M 1PF 1| | | |MP MF= M 1F 1l M 1F 1l 2 4y x= − E ( , )x y 1 22 2 y y x x ⋅ = − + − 2 2 1( 2)2 x y x+ = ≠ ± E C 2 2 1( 2)2 x y x+ = ≠ ± l P 0 l l ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 2 12 x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 28 8 0k∆ = + > 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 1 2 2 4 2 1 kx x k + = + 2 1 2 2 2 2 2 1 kx x k −= + MN Q 2 2 2 2 1Q kx k = + 2( 1) 2 1Q Q ky k x k = − = − + 2 2 2 2( , )2 1 2 1 k kQ k k −+ + M N F2F1 O P 由题意可知 , 又直线 的垂直平分线的方程为 . 令 解得 . 当 时,因为 ,所以 ; 当 时,因为 ,所以 . 综上所述,点 纵坐标的取值范围是 . 3-1 解:(Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点,长轴长为 的椭圆. 所以 , , . 所以 W 的方程是 . (Ⅱ)设 C,D 两点坐标分别为 、 ,C,D 中点为 . 当 时,显然 ; 当 时, 由 得 . 所以 , 所以 , 从而 . 所以 斜率 . 又因为 , 所以 , 所以 , 0k ≠ MN 2 2 2 1 2( )2 1 2 1 k ky xk k k + = − −+ + 0x = 2 1 12 1 2 P ky k k k = =+ + 0k > 12 2 2k k + ≥ 1 20 42 2Py< ≤ = 0k < 12 2 2k k + ≤ − 1 20 42 2Py> ≥ − = − P 2 2[ , ]4 4 − 2 3 1c = 3a = 2 2b = 2 2 13 2 x y+ = 1 1( , )C x y 2 2( , )D x y 0 0( , )N x y 0k = 0m = 0k ≠ 2 2 1, 13 2 y kx x y = + + = 2 2(3 2) 6 3 0k x kx+ + − = 1 2 2 6 3 2 kx x k + = − + 1 2 0 2 3 2 3 2 x x kx k += = − + 0 0 2 21 3 2y kx k = + = + MN 20 0 2 2 3 2 3 3 2 MN y kk kx m mk += =− − −+ CM DM= CD MN⊥ 2 2 2 13 2 3 3 2 k k kmk + = − − −+ 即 . 故所求 的取范围是 . 3-2 解:(Ⅰ)依题意, , , 所以 . 故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)①当直线 的斜率不存在时,由 解得 . 不妨设 , , 因为 ,又 ,所以 , 所以 的关系式为 ,即 . ②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 . 将 代入 整理化简得, . 设 , ,则 , . 又 , . 所以 2 1 23 2 3 km k k k = − = −+ + 6 6[ ,0) (0, ]12 12 ∈ − m 6 6[ , ]12 12 − 2c = 1b = 2 2 3a b c= + = C 2 2 13 x y+ = l 2 2 1, 13 x x y = + = 61, 3x y= = ± 6(1, )3A 6(1, )3B − 1 3 6 62 23 3 22 2k k − + + = + = 1 3 22k k k+ = 2 1k = ,m n 2 13 n m − =− 1 0m n− − = l l ( 1)y k x= − ( 1)y k x= − 2 2 13 x y+ = 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 1 2 2 6 3 1 kx x k + = + 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k −= + 1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= − 1 2 1 2 2 1 1 3 1 2 1 2 2 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) 3 3 (3 )(3 ) y y y x y xk k x x x x − − − − + − −+ = + =− − − − 1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 3( ) 9 k x x k x x x x x x − − − + − − −= − + + 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (4 2)( ) 6 12 3( ) 9 kx x k x x k x x x x − + + + += − + + 所以 ,所以 ,所以 的关系式为 . 综上所述, 的关系式为 . 4-1 解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c, 由已知得, 解得 a=4,c=3. 所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 M(x,y),P(x, ),其中 由已知得 因为 , 所以 由点 P 在椭圆 C 上得, , 化简得 . 所以点 M 的轨迹方程为 , 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 4-2(Ⅰ)解:因为 A, B 两点关于 x 轴对称, 所以 AB 边所在直线与 y 轴平行. 设 M(x, y),由题意,得 , 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 62 (4 2) 6 123 1 3 1 3 3 63 93 1 3 1 k kk k kk k k k k k −× − + × + ++ += − − × ++ + 2 2 2(12 6) 2.12 6 k k += =+ 22 2k = 2 2 13 nk m −= =− ,m n 1 0m n− − = ,m n 1 0m n− − = 1, 7. a c a c − = + = 2 2 1.16 7 x y+ = 1y [ ]4,4 .x∈ − 2 2 21 2 2 .x y ex y + =+ 3 4e = 2 2 2 2 116( ) 9( ).x y x y+ = + 2 2 1 112 7 16 xy −= 29 112y = 4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤ ( , 3 ), ( , 3 )A x x B x x- 所以 , 因为 , 所以 ,即 , 所以点 M 的轨迹 W 的方程为 . (Ⅱ)证明:设 , 因为曲线 关于 x 轴对称, 所以只要证明“点 M 在 x 轴上方及 x 轴上时, ”成立即可. 以下给出“当 时, ” 的证明过程. 因为点 M 在 上,所以 . 当 x0=2 时,由点 M 在 W 上,得点 , 此时 , 所以 ,则 ; 当 时,直线 PM、QM 的斜率分别为 , 因为 ,所以 ,且 , 又 ,所以 ,且 , 所以 , 因为点 M 在 W 上,所以 ,即 , 所以 , | | 3 , | | 3AM x y MB y x= − = + | | | | 3AM MB× = ( 3 ) ( 3 ) 3x y y x− × + = 2 2 13 yx − = 2 2 1( 0)3 yx x− = > 0 0 0( , ) ( 0)M x y x > 2 2 1( 0)3 yx x− = > 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠ 2 2 1( 0)3 yx x− = > 0 1x ≥ (2,3)M , | | 3, | | 3MQ PQ MQ PQ⊥ = = ,4 2MPQ MQP π π∠ = ∠ = 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 2x ¹ 0 0 0 0 ,1 2PM QM y yk kx x = =+ − 0 0 01, 2, 0x x y≥ ≠ ≥ 0 0 01PM yk x = ≥+ 0 0 11PM yk x = ≠+ tan PMMPQ k∠ = (0, )2MPQ π∠ ∈ 4MPQ π∠ ≠ 2 2tantan 2 1 (tan ) MPQMPQ MPQ ∠∠ = − ∠ 0 0 0 0 2 2 20 0 0 0 2 1 2 ( 1) ( 1)1 ( )1 y x y x y x y x × + += = + −− + 2 2 0 0 13 yx − = 2 2 0 03 3y x= − tan 2 MPQ∠ 0 0 0 2 2 0 0 0 2 ( 1) ( 1) (3 3) 2 y x y x x x += = −+ − − − 因为 , 所以 , 在 中,因为 ,且 , , 所以 . 综上,得当 时, . 所以对于轨迹 W 的任意一点 M, 成立. 5-1 解:(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点 到焦点 的距离与到准线距离相等, 即 到 的距离为 3; 所以 ,解得 . 所以 抛物线 的方程为 . (ⅱ)抛物线焦点 ,抛物线准线与 y 轴交点为 , 显然过点 的抛物线的切线斜率存在,设为 ,切线方程为 . 由 , 消 y 得 , ,解得 . 所以切线方程为 . (Ⅱ)直线 的斜率显然存在,设 : , 设 , , 由 消 y 得 . 且 . 所以 , ; 因为 , 所以 直线 : , tan QMMQP k∠ = − tan tan 2MQP MPQ∠ = ∠ MPQ∆ (0, )2MPQ π∠ ∈ 4MPQ π∠ ≠ (0, )MQP π∠ ∈ 2MQP MPQ∠ = ∠ 0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠ 2MQP MPQ∠ = ∠ ( ,2)M m F ( ,2)M m 2 py = − 2 32 p− + = 2p = P 2 4x y= (0,1)F (0, 1)E − E k 1y kx= − 2 4 1 x y y kx = = − 2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k∆ = − = 1k = ± 1y x= ± − l l 2 py kx= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 2 x py py kx = = + 2 22 0x pkx p− − = 0∆ > 1 2 2x x pk+ = 2 1 2x x p⋅ = − 1 1( , )A x y OA 1 1 yy xx = 与 联立可得 , 同理得 . 因为 焦点 , 所以 , , 所以 所以 以 为直径的圆过焦点 . 5-2 解 : ( Ⅰ ) 如 图 , 由 题 意 得 , . 所以 , . 所以所求的椭圆方程为 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ( ,0), (2, 0). 由题意可设 : , ( , ). , (2, ). 由 整理 得: . 因为 , 所以 . 所以 , . 所以 . 即 为定值. 2 py = − 1 1 ( , )2 2 px pC y − − 2 2 ( , )2 2 px pD y − − (0, )2 pF 1 1 ( , )2 pxFC py = − − 2 2 ( , )2 pxFD py = − − 1 2 1 2 ( , ) ( , )2 2 px pxFC FD p py y ⋅ = − − ⋅ − − 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 2 4 px px p x xp py y y y = + = + 2 4 4 2 2 21 2 2 2 2 1 2 1 2 0 4 2 2 p x x p pp p px x x x p p p = + = + = + =− CD F 2 2 2 2b c= = 2b c= = 2a = 2 2 14 2 x y+ = C 2− D CM ( 2)y k x= + P 1x 1y MD CD⊥ ∴ M 4k 2 2 14 2 ( 2) x y y k x + = = + , 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 8 42 1 2 kx k −− = + 2 1 2 2 4 1 2 kx k −= + 1 1 2 4( 2) 1 2 ky k x k = + = + 2 2 2 2 4 4( , )1 2 1 2 k kP k k − + + 2 2 2 2 2 2 4 4 4(1 2 )2 4 41 2 1 2 1 2 k k kOM OP kk k k − +⋅ = ⋅ + ⋅ = =+ + + OM OP⋅ (Ⅲ)设 ,则 . 若以 为直径的圆恒过 , 的交点,则 , 恒成立. 由(Ⅱ)可知 , . 所以 . 即 恒成立. 所以 . 所以存在 使得以 为直径的圆恒过直线 , 的交点. 5-3 解:(I)直线 的方程为 ; (II) 由 消去 ,得 . ( ) 由 , 知 . 设 , ,则由( )式,有 由于 , ,且 是 的中点,依题意,由 , ,可知, , . 若原点在以线段 为直径的圆内,则 ,即 . 而 , 所以 ,即 . 0( ,0)Q x 0 2x ≠ − MP DP MQ MQ DP⊥ ∴ 0MQ DP⋅ = 0(2 ,4 )QM x k= − 2 2 2 8 4( , )1 2 1 2 k kDP k k −= + + 2 0 2 2 8 4(2 ) 4 01 2 1 2 k kQM DP x kk k −⋅ = − ⋅ + ⋅ =+ + 2 02 8 01 2 k xk =+ 0 0x = (0,0)Q MP DP MQ l 2 1 0x y− − = 2 2 2 2 ,2 1 mx my x ym = + + = x 2 22 1 04 my my+ + − = ∗ 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ∗ 1 2 2 1 2 ,2 1 .8 2 my y my y + = − = − 1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c O 1 2F F 2AG GO= 2BH HO= 1 1( , )3 3 x yG 2 2( , )3 3 x yH GH 0OG OH⋅ < 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1( )( ) ( 1)( )2 2 8 2 m m mx x y y my my y y m+ = + + + = + − 2 1 08 2 m − < 2 4m < H G B F2F1 O A 又由已知 ,所以 . 即,实数 的取值范围是 . 5-4 解:(Ⅰ)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: , 化简得 . (Ⅱ)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ,B . 设直线 l 的方程为 x=ty+m, 由 得 ,△=16( +m)>0, 于是 ① 又 . = +1+ ② 又 ,于是不等式②等价于 ③ 由①式,不等式③等价于 ④ 对任意实数 t, 的最小值为 0, 所以不等式④对于一切 t 成立等价于 , 即 . 由此可知,存在正实数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 ,且 m 的取值范围 . 1m > 1 2m< < m (1,2) 2 2( 1) 1( 0)x y x x− + − = > 2 4 ( 0)y x x= > 1 2( , )x y 2 2( , )x y 2 , 4 x ty m y x = + = 2 4 4 0y ty m− − = 2t 1 2 1 2 4 , 4 . y y t y y m + = = − 1 1 2 2( 1, ), ( 1, )FA x y FB x y= − = − 0FA FB⋅ < 1 2 1 2( 1)( 1)x x y y⇔ − − + 1 2 1 2( )x x x x− + 1 2 0y y < 2 4 yx = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 04 4 4 4 y y y yy y⋅ + − + + < 2 21 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) 2 1 016 4 y y y y y y y y ⇔ + − + − + < 2 26 1 4m m t− + < 24t 2 6 1 0m m− + < 3 2 2 3 2 2m− < < + 0FA FB⋅ < (3 2 2,3 2 2)− + 6-1 解:(Ⅰ)由题意, 解得 . 即:椭圆方程为 (Ⅱ)当直线 与 轴垂直时, , 此时 不符合题意故舍掉; 当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为: , 代入消去 得: . 设 ,则 所以 . 原点到直线的 距离 , 所以三角形的面积 . 由 , 所以直线 或 . 6-2 解:(I)椭圆 C 的方程为 ,由已知得 解得 所以所求椭圆的方程为 . .123 22 =+ yx x x )1( += xky y 2 2 2 3 1, 2, , a c b a b c − = − = = + 3, 1a c= = AB 4 3 AB = 3AOBS∆ = AB AB 2 2 2 2(2 3 ) 6 (3 6) 0k x k x k+ + + − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 2 2 2 1 2 2 6 ,2 3 3 6 .2 3 kx x k kx x k −+ = + − = + 2 2 4 3( 1) 2 3 kAB k += + AB 21 kd k = + 2 22 1 1 4 3( 1) 2 2 2 31 k kS AB d kk += = ++ 23 2 2 24S k k= ⇒ = ⇒ = ± : 2 2 0ABl x y− + = : 2 2 0ABl x y+ + = )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 2 2 ,2 2 2 2, . ce a a a b c = = = = + 2, 1, 1a b c= = = 12 2 2 =+ yx (II)由题意知 的斜率存在且不为零, 设 方程为 ①,将①代入 ,整理得 ,由 得 设 , ,则 ② 由已知, , 则 由此可知, ,即 , 代入②得, ,消去 得 解得, ,满足 即 . 所以,所求直线 的方程为 . 7-1 解:(Ⅰ)设椭圆的方程为 ,由题意可得: 椭圆 C 两焦点坐标分别为 , . 所以 . 所以 ,又 , 故椭圆的方程为 . (Ⅱ)当直线 轴,计算得到: , ,不符合题意. l l 2( 0)x my m= + ≠ 12 2 2 =+ yx 2 2( 2) 4 2 0m y my+ + + = 0>∆ 2 2.m > ),( 11 yxE ),( 22 yxF 1 2 2 1 2 2 4 2 2 2 my y m y y m − + = + = + 1 2 OBE OBF S S ∆ ∆ = | | 1 | | 2 BE BF = 2BF BE= 2 12y y= 1 2 2 1 2 43 2 22 2 my m y m − = + = + 1y 2 2 2 2 2 16 2 9 ( 2) 2 m m m ⋅ =+ + 2 18 7m = 2 2.m > 3 14 7m = ± l 7 3 14 14 0 7 3 14 14 0x y x y− − = + − =或 2 2 2 2 1,( 0)x y a ba b + = > > 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2 2 2 23 3 5 32 (1 1) ( ) (1 1) ( ) 42 2 2 2a = + + + − + = + = 2a = 1c = 2 4 1 3b = − = 2 2 14 3 x y+ = l x⊥ 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B− − − 2 1 2 1 1| | | | 3 2 32 2AF BS AB F F∆ = ⋅ ⋅ = × × = 当直线 与 轴不垂直时,设直线 的方程为: , 由 ,消去 y 得 , 显然 成立,设 , 则 又 即 , 又圆 的半径 所以 化简,得 , 即 ,解得 , 所以, , 故圆 的方程为: . (Ⅱ)另解:设直线 的方程为 , 由 ,消去 x 得 , 恒成立, 设 ,则 所以 又圆 的半径为 , l x l ( 1)y k x= + 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y = + + = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − = 0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12, ,3 4 3 4 k kx x x xk k −+ = − ⋅ =+ + 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 64 4(4 12)| | 1 ( ) 4 1 (3 4 ) 3 4 k kAB k x x x x k k k −= + ⋅ + − ⋅ = + ⋅ −+ + 2 2 2 2 2 12 1 12( 1)| | 1 3 4 3 4 k kAB k k k + += + ⋅ =+ + 2F 2 2 | 1 0 | 2 | | , 1 1 k k kr k k × − += = + + 2 2 2 2 22 1 1 12( 1) 2 | | 12 | | 1 12 2| | ,2 2 3 4 3 4 71AF B k k k kS AB r k kk ∆ + += = × ⋅ = =+ ++ 4 217 18 0k k+ − = 2 2( 1)(17 18) 0k k− + = 1k = ± 2 2 | | 2 1 kr k = = + 2F 2 2( 1) 2x y− + = l 1x ty= − 2 2 1 14 3 x ty x y = − + = 2 2(4 3 ) 6 9 0t y ty+ − − = 0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9, ,4 3 4 3 ty y y yt t + = ⋅ = −+ + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 36 36| | ( ) 4 (4 3 ) 4 3 ty y y y y y t t − = + − ⋅ = ++ + 2 2 12 1 ;4 3 t t += + 2F 2 2 |1 0 1| 2 1 1 tr t t − × += = + + 所以 ,解得 , 所以 ,故圆 的方程为: . 7-2 (Ⅰ)解 设直线 的方程为 . 由 得, , 依题意 ,得 . 设 ,则 , ① . ② 由直线 的方程得 , . 于是 . ③ 因为 ,所以 . ④ 由①②③④得 ,从而 . 所以直线 PQ 的方程为 或 (Ⅱ)证法 1 . 由已知得方程组 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 12 1 12 2| | | | | |2 4 3 7AF B tS F F y y y y t∆ += ⋅ ⋅ − = − = =+ 2 1t = 2 2 2 1 r t = = + 2F 2 2( 1) 2x y− + = PQ )3( −= xky −= =+ )3( ,126 22 xky yx 062718)13( 2222 =−+−+ kxkxk 0)32(12 2 >−=∆ k 3 6 3 6 <<− k ),(),,( 2211 yxQyxP 13 18 2 2 21 +=+ k kxx 13 627 2 2 21 + −= k kxx PQ 1 1( 3)y k x= − 2 2( 3)y k x= − ]9)(3[)3)(3( 2121 2 21 2 21 ++−=−−= xxxxkxxkyy 0OP OQ⋅ = 02121 =+ yyxx 15 2 =k )3 6,3 6(5 5 −∈±=k 035 =−− yx 035 =−+ yx ),3(),,3( 2211 yxAQyxAP −=−= =+ =+ = −=− .126 ,126 , ),3(3 2 2 2 2 2 1 2 1 21 21 yx yx yy xx λ λ 注意 ,解得 . 因 , 故 . 而 ,所以 . 证 法 2 ( 坐 标 法 与 几 何 证 法 结 合 ) 为 使 结 论 更 具 一 般 性 , 下 面 就 椭 圆 方 程 为 ,点 的坐标为 进行证明(其中 ). 如图,对三角形 应用梅涅劳斯定理,得 ,又 , 所以, , 作 轴于 ,则, , (二维问题一维化) 设 , , 将上式用坐标表示,得 , 整理得, . (这个过程虽然复杂,但却表现出强烈的目标意识!下面的目标是非常明确的,即用解析几何的常 规方法,求出 与 ) 显然,直线 不垂直 轴,故可设直线 的方程为 , 1>λ λ λ 2 15 2 −=x ),(),0,2( 11 yxMF − ),1)3((),2( 1211 yxyxFM −+−=−−= λ ),2 1(),2 1( 21 yy λ λλλ −−=−−= 2 2 2 1( 2, ) ( , )2FQ x y y λ λ −= − = FM FQλ= − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A 2 ( ,0)a c 2 2c a b= + PHA∆ 1AQ PM HE QP MH EA ⋅ ⋅ = 2PM MH = 1 2 AQ HE QP EA ⋅ = QD x⊥ D 1 2 AD HE DH EA ⋅ = ),(),,( 2211 yxQyxP 0( ,0)E x 2 2 0 1 2 2 1 0 1 2 a x x xc ax x xc − −⋅ =− − 2 2 0 1 2 1 2 1 2 2[ ( )] ( ) 2a ax x x x x x xc c − + = ⋅ + − 1 2x x+ 1 2x x AP x AP 2 ( )ay k x c = − DE H Q M O A P 由 消去 ,整理得, , 所以, 所以, . 这说明,直线 MQ 与 轴的交点是椭圆的右焦点 . 所以,若 ,即, ,则 , 即 . 注: 可以是一切正实数,当 时, 重合. 8-1 解:(Ⅰ)由焦点 F ( 1, 0 ) 在 l 上, 得 k = – , 所以 l: y = – x + . 设点 N( m, n ) , 则有: 解得 所以 N ( , – ), 因为 ≠ ( – )2 ,所以 N 点不在抛物线 C 上. (2) 把直线方程 代入抛物线方程得: k2y2 + 4y + 4k+4 = 0 , 因为相交,所以△ = 16 (–k2 – k + 1)≥ 0, 2 2 2 2 2 ( ), 1 ay k x c x y a b = − + = y 2 4 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 0k a k aa k b x x a bc c + − + − = 2 4 1 2 2 2 2 2 6 2 1 2 2 2 2 2 2 ,( ) ( ) .( ) k ax x c a k b k a abcx x c a k b + = + − = + 2 2 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) a a k a a bx xc c c a k b c a k b − + = − =+ + 2 2 2 4 2 6 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( ) 2 ( ) ( ) a a k a k a abc a bx x x xc c c a k b c a k b a k b −⋅ + − = ⋅ − =+ + + 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 a b c a k bx ca k b a b += ⋅ =+ x ( ,0)F c AP AQλ= AP AQ λ= PH MH MF QD QD FQ λ = = = FM FQλ= − λ 1λ = ,P Q 2 1 2 1 2 1 1 1( )( ) 1,1 21 12 1.2 2 n mm n − − = − − + + + = 1 ,53.5 m n = = − 5 1 5 3 5 4 5 3 11 −−= kk yx 解得 ≤ k ≤ 且 k ≠ 0 . 由对称得 , 解得 x0 = ( ≤ k ≤ ,且 k ≠ 0). 当 P 与 M 重合时, a = 1, 所以 f ( k ) = x0 = = – 3 + ( ≤ k ≤ , 且 k ≠ 0), 因为函数 x0 = f ( k )(k∈R)是偶函数,且 k > 0 时单调递减. 所以当 k = 时, (x0)min = , , 所以 x0 ∈[ ,1). 8-2 解:(Ⅰ)由 , ,得 , , 所以椭圆方程是: . (Ⅱ)设 EF: ( )代入 ,得 , 设 , ,由 ,得 . 由 , , 得 , , (舍去), 直线 的方程为: 即 . (Ⅲ)将 代入 ,得 (*) 记 , ,PQ 为直径的圆过 ,则 , 即 ,又 , , 2 51−− 2 51+− +++=+ −=⋅− − 122 1 11 00 0 0 kaxky kax y 1 2)1( 2 22 + −− k kka 2 51 1 +− 2 51+− 1 31 2 2 + − k k 1 4 2 +k 2 51 1 +− 2 51+− 2 51−− 5 525+− 1lim 00 = → x k 5 525+− 3 3= a b 22 2 3 2 1 2 1 baba +⋅⋅=⋅ 3=a 1=b 13 2 2 =+ yx 1−= myx 0>m 13 2 2 =+ yx 022)3( 22 =−−+ myym ),( 11 yxE ),( 22 yxF DFED 2= 21 2yy −= 3 2 2221 +=−=+ m myyy 3 22 2 2 221 + −=−= myyy 3 1)3 2( 2 2 2 +=+− mm m 1=∴m 1−=m EF 1−= yx 01 =+− yx 2+= kxy 13 2 2 =+ yx 0912)13( 22 =+++ kxxk ),( 11 yxP ),( 22 yxQ )0,1(−D QDPD ⊥ 0)1)(1(),1(),1( 21212211 =+++=+⋅+ yyxxyxyx 211 += kxy 222 += kxy 得 . 解得 ,此时(*)方程 , 所以存在 ,满足题设条件. 9-1 解:(Ⅰ)由题意知 , 所以 . 即 . 又因为 , 所以 , . 故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)由题意知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 . 由 得 . ① 设点 , ,则 . 直线 的方程为 . 令 ,得 . 将 , 代入, 整理,得 . ② 由①得 , 代入② 整理,得 . 013 14125))(12()1( 22121 2 =+ +−=+++++ k kxxkxxk 6 7=k 0>∆ 6 7=k 1 2 ce a = = 2 2 2 2 2 2 1 4 c a be a a −= = = 2 24 3a b= 6 3 1 1 b = = + 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = PB PB ( 4)y k x= − 2 2 ( 4), 1.4 3 y k x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k+ − + − = 1 1( , )B x y 2 2( , )E x y 1 1( , )A x y− AE 2 1 2 2 2 1 ( )y yy y x xx x +− = −− 0y = 2 2 1 2 2 1 ( )y x xx x y y −= − + 1 1( 4)y k x= − 2 2( 4)y k x= − 1 2 1 2 1 2 2 4( ) 8 x x x xx x x − += + − 2 1 2 2 32 4 3 kx x k + = + 2 1 2 2 64 12 4 3 kx x k −= + 1x = 所以直线 与 轴相交于定点 . (Ⅲ)当过点 直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,且 , 在椭圆 上. 由 得 . 易知 . 所以 , , . 则 . 因为 ,所以 . 所以 . 当过点 直线 的斜率不存在时,其方程为 . 解得 , . 此时 . 所以 的取值范围是 . 9-2 (Ⅰ)解:由题意可设抛物线的方程为 . 因为点 在抛物线上,所以 . 又点 到抛物线准线的距离是 ,所以 ,可得 . 所以抛物线的标准方程为 . (Ⅱ)解:点 为抛物线的焦点,则 . 依题意可知直线 不与 轴垂直,所以设直线 的方程为 . AE x (1,0)Q Q MN MN ( 1)y m x= − ( , )M MM x y ( , )N NN x y C 2 2 ( 1), 1.4 3 y m x x y = − + = 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0m x m x m+ − + − = 0∆ > 2 2 8 4 3M N mx x m + = + 2 2 4 12 4 3M N mx x m −= + 2 2 9 4 3M N my y m = − + M N M NOM ON x x y y⋅ = + 2 2 2 5 12 5 33 4 3 4 4(4 3) m m m += − = − −+ + 2 0m ≥ 2 11 33 04 4(4 3)m − ≤ − <+ 5[ 4, )4OM ON⋅ ∈ − − Q MN 1x = 3(1, )2M − 3(1, )2N − 5 4OM ON⋅ = − OM ON⋅ 5[ 4, ]4 − − 2 2x py= ( 0)p ≠ ( ,4)A a 0p > ( ,4)A a 5 4 52 p + = 2p = 2 4x y= F (0,1)F MN x MN 1y kx= + 由 得 . 因为 过焦点 ,所以判别式大于零. 设 , . 则 , . . 由于 ,所以 . 切线 的方程为 , ① 切线 的方程为 . ② 由①,②,得 则 . 所以 . (Ⅲ)证明: . 由抛物线的定义知 , . 则 . 所以 . 即 是 和 的等比中项. 10-1 (Ⅰ)解:设椭圆 的标准方程为 . 因为 , , 所以 . 所以 . 2 1, 4 . y kx x y = + = 2 4 4 0x kx− − = MN F 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = − 2 1 2 1( , )MN x x y y= − − 2 1 2 1( , ( ))x x k x x= − − 2 4x y= ' 1 2y x= MT 1 1 1 1 ( )2y y x x x− = − NT 2 2 2 1 ( )2y y x x x− = − 1 2 1 2( , )2 4 x x x xT + 1 2 1 2( , 1) (2 , 2)2 4 x x x xFT k += − = − 2 1 2 12 ( ) 2 ( ) 0FT MN k x x k x x⋅ = − − − = 2 2 2 2(2 ) ( 2) 4 4FT k k= + − = + 1 1MF y= + 2 1NF y= + 1 2( 1)( 1)MF NF y y⋅ = + + 2 1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4kx kx k x x k x x= + + = + + + 24 4k= + 2 FT MF NF= ⋅ FT MF NF G 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 ( 1,0)F − 1 45PFO∠ = ° 1b c= = 2 2 2 2a b c= + = 所以 椭圆 的标准方程为 . (Ⅱ)设 , , , . (ⅰ)证明:由 消去 得: . 则 , 所以 . 同理 . 因为 , 所以 . 因为 , 所以 . (ⅱ)解:由题意得四边形 是平行四边形,设两平行线 间的距离为 ,则 . 因为 , 所以 . G 2 2 12 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y 1 2 2 , 1.2 y kx m x y = + + = y 2 2 2 1 1(1 2 ) 4 2 2 0k x km x m+ + + − = 2 2 18(2 1) 0k m∆ = − + > 1 1 2 2 2 1 1 2 2 4 ,1 2 2 2.1 2 kmx x k mx x k + = − + − = + 2 2 1 2 1 2| | ( ) ( )AB x x y y= − + − 2 2 1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + + − 2 2 21 1 2 2 4 2 21 ( ) 41 2 1 2 km mk k k −= + − − ⋅+ + 2 2 12 2 2 12 2 1 1 2 k mk k − += + + 2 2 22 2 2 1| | 2 2 1 1 2 k mCD k k − += + + | | | |AB CD= 2 2 2 2 1 22 2 2 2 2 1 2 12 2 1 2 2 11 2 1 2 k m k mk kk k − + − ++ = ++ + 1 2m m≠ 1 2 0m m+ = ABCD ,AB CD d 1 2 21 m md k -= + 1 2 0m m+ = 1 2 2 1 md k= + 所以 . (或 ) 所以 当 时, 四边形 的面积 取得最大值为 . 10-2 (Ⅰ)解:依题意 ,设直线 方程为 . 将直线 的方程与抛物线的方程联立,消去 得 . 设 , ,所以 , . ① 因为 , 所以 . ② 联立①和②,消去 ,得 . 所以直线 的斜率是 . (Ⅱ)解:由点 与原点 关于点 对称,得 是线段 的中点, 从而点 与点 到直线 的距离相等, 所以四边形 的面积等于 . 因为 , 所以 时,四边形 的面积最小,最小值是 . 11-1 解:(Ⅰ)由已知可得 ,所以 ① 又点 在椭圆 上,所以 ② 由①②解之,得 . 2 2 2 11 2 2 22 1| | 2 2 1 1 2 1 mk mS AB d k k k − += ⋅ = + ⋅+ + 2 2 2 1 12 2 2 1 1 2 2 2 1 (2 1) 24 2 4 2 2 21 2 1 2 k m m k m m k k − + + − += ≤ =+ + 2 2 4 2 21 1 1 2 2 2 (2 1) 1 14 2 4 2 ( ) 2 2(1 2 ) 1 2 2 4 k m m mS k k + −= = − − + ≤+ + 2 2 12 1 2k m+ = ABCD S 2 2 (1,0)F AB 1x my= + AB x 2 4 4 0y my− − = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = − 2AF FB= 1 22y y= − 1 2,y y 2 4m = ± AB 2 2± C O M M OC O C AB OACB 2 AOBS∆ 1 2 12 2 | | | |2AOBS OF y y∆ = × ⋅ ⋅ − 2 2 1 2 1 2( ) 4 4 1y y y y m= + − = + 0m = OACB 4 2 2 2 2 1 4 a be a −= = 2 23 4a b= 3(1, )2M C 2 2 1 9 14a b + = 2 24, 3a b= = A B C O M x y F 故椭圆 的方程为 . (Ⅱ) 当 时, 在椭圆 上,解得 ,所以 . 当 时,则由 消 化简整理得: , ③ 设 点的坐标分别为 ,则 . 由于点 在椭圆 上,所以 . 从而 ,化简得 ,经检验满足③式. 又 因为 ,得 ,有 , 故 . 综上,所求 的取值范围是 . (Ⅱ)另解:设 点的坐标分别为 , 由 在椭圆上,可得 C 2 2 14 3 x y+ = 0k = (0,2 )P m C 3 2m = ± | | 3OP = 0k ≠ 2 2 , 1.4 3 y kx m x y = + + = y 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = 2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(3 4 ) 0k m k m k m∆ = − + − = + − > , ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 0 1 2 0 1 2 1 22 2 8 6, ( ) 23 4 3 4 km mx x x y y y k x x mk k = + = − = + = + + =+ + P C 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 2 2 2 2 2 16 12 1(3 4 ) (3 4 ) k m m k k + =+ + 2 24 3 4m k= + 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 64 36| | (3 4 ) (3 4 ) k m mOP x y k k = + = ++ + 2 2 2 2 2 2 4 (16 9) 16 9 (3 4 ) 4 3 m k k k k + += =+ + 2 34 .4 3k = − + 10 2k< ≤ 23 4 3 4k< + ≤ 2 3 3 14 4 3k ≤ <+ 133 2OP< ≤ OP 13[ 3, ]2 , ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、 ,A B 2 2 1 1 2 2 2 2 3 4 12 3 4 12 x y x y + = + = ① ② ①—②整理得 由已知可得 ,所以 由已知当 ,即 ⑥ 把④⑤⑥代入③整理得 与 联立消 整理得 . 由 得 , 所以 , 因为 ,得 ,有 , 故 . 所求 的取值范围是 . 11-2 解:(Ⅰ)因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 , 所以 , 又椭圆的离心率为 ,即 ,所以 , 所以 , . 所以 ,椭圆 的方程为 . (Ⅱ)方法一:不妨设 的方程 ,则 的方程为 . 由 得 , 设 , , 1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y− + + − + = ③ OP OA OB= + 1 2 0 1 2 0 x x x y y y + = + = ④ ⑤ 1 2 1 2 y yk x x −= − 1 2 1 2( )y y k x x− = − 0 03 4x ky= − 2 2 0 03 4 12x y+ = 0x 2 0 2 9 4 3y k = + 2 2 0 03 4 12x y+ = 2 2 0 0 44 3x y= − 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 4 1 3| | 4 4 43 3 4 3OP x y y y y k = + = − + = − = − + 1 2k ≤ 23 4 3 4k≤ + ≤ 2 3 3 14 4 3k ≤ ≤+ 133 2OP≤ ≤ OP 13[ 3, ]2 M 246 + 24622 +=+ ca 2 2 3 2 2 3 c a = 2 2 3c a= 3a = 2 2c = 1b = M 19 2 2 =+ yx BC ( 3),( 0)y n x n= − > AC )3(1 −−= xny 2 2 ( 3), 19 y n x x y = − + = 0196)9 1( 2222 =−+−+ nxnxn ),( 11 yxA ),( 22 yxB 因为 ,所以 , 同理可得 , 所以 , , , 设 , 则 , 当且仅当 时取等号, 所以 面积的最大值为 . 方法二:不妨设直线 的方程 . 由 消去 得 , 设 , , 则有 , . ① 因为以 为直径的圆过点 ,所以 . 由 , 得 . 将 代入上式, 得 . 2 2 2 81 93 9 1 nx n −= + 19 327 2 2 2 + −= n nx 2 2 1 9 327 n nx + −= 19 61|| 2 2 ++= nnBC 2 22 9 61|| n n n nAC + += 9 64)1( )1(2 ||||2 1 2 ++ + ==∆ nn nn ACBCS ABC 21 ≥+= nnt 2 2 2 3 64 64 8 9 9 tS t t t = = ≤ + + 3 8=t ABC∆ 8 3 AB x ky m= + 2 2 , 1,9 x ky m x y = + + = x 2 2 2( 9) 2 9 0k y kmy m+ + + − = ),( 11 yxA ),( 22 yxB 1 2 2 2 9 kmy y k + = − + 2 1 2 2 9 9 my y k −= + AB C 0CA CB⋅ = 1 1 2 2( 3, ), ( 3, )CA x y CB x y= − = − 1 2 1 2( 3)( 3) 0x x y y− − + = 1 1 2 2,x ky m x ky m= + = + 2 2 1 2 1 2( 1) ( 3)( ) ( 3) 0k y y k m y y m+ + − + + − = 将 ① 代入上式,解得 或 (舍). 所以 (此时直线 经过定点 ,与椭圆有两个交点), 所以 . 设 , 则 . 所以当 时, 取得最大值 . 12-1 解:(Ⅰ)因为四边形 是平行四边形,周长为 8, 所以两点 到 的距离之和均为 4,可知所求曲线为椭圆. 由椭圆定义可知, , , 所求曲线方程为 . (Ⅱ)由已知可知直线 的斜率存在,又直线 过点 , 设直线 的方程为: , 代入曲线方程 ,并整理得 , 点 在曲线上,所以 ( , ), , , , 因为 // , 所以设 的方程为 . 代入曲线方程,并整理得 , 12 5m = 3m = 12 5m = AB 12( ,0)5D 1 2 1 | || |2ABCS DC y y∆ = − 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 9 25( 9) 144( ) 42 5 5 25( 9) ky y y y k + −= × + − = + 2 1 1,09 9t tk = < ≤+ 29 144 5 25ABCS t t∆ = − ⋅ + 25 1(0, ]288 9t = ∈ ABCS∆ 8 3 AMBN ,A B ,M N 2, 3a c= = 1b = 14 2 2 =+ yx l l ( 2,0)C − l ( 2)y k x= + 2 2 1( 0)4 x y y+ = ≠ 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k+ + + − = ( 2,0)C − D 2 2 8 2 1 4 k k − + + 2 4 1 4 k k+ (0,2 )E k CD = 2 2 4 4( , )1 4 1 4 k k k+ + (2,2 )CE k= OA l OA y kx= 2 2(1 4 ) 4k x+ = 所以 . ,所以 为定值. 12-2 解:(Ⅰ)由题意得 ① 因为椭圆经过点 ,所以 ② 又 ③ 由①②③ 解得 , . 所以椭圆方程为 . (Ⅱ)以 OM 为直径的圆的圆心为 ,半径 , 方程为 , 因为以 OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2, 所以圆心到直线 的距离 . 所以 ,解得 . 所求圆的方程为 . (Ⅲ)方法一:过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平几知: . 则直线 OM: ,直线 FN: , 2 2 2 2( , ) 1 4 1 4 kA k k ± ± + + 2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 4 1 4 24 4 1 4 1 4 k CD CE k k kOA k k +⋅ + += = ++ + 2 CD CE OA ⋅ 2 2 c a = )2 1,2 6(P 2 2 2 2 6 1( ) ( )2 2 1a b + = 2 2 2a b c= + 22 =a 122 == cb 2 2 12 x y+ = (1, )2 t 2 14 tr = + 2 2 2( 1) ( ) 12 4 t tx y− + − = + 3 4 5 0x y− − = 3 4 5 0x y− − = 2 1d r= − 2 t= 3 2 5 5 2 t t− − = 4t = 2 2( 1) ( 2) 5x y− + − = 2ON OK OM= 2 ty x= 2 ( 1)y xt = − − 由 得 . 所以 . 所以线段 ON 的长为定值 . 方法二:设 ,则 , , , . 因为 ,所以 .所以 . 又因为 ,所以 , 所以 . 所以 为定值. 12-3 解:(Ⅰ)(ⅰ)因为 圆 过椭圆的焦点,圆 : , 所以 , 所以 , 所以 , 所以 . (ⅱ)由 及圆的性质,可得 , 所以 所以 所以 , . (Ⅱ)设 ,则 整理得 因为 ,2 2 ( 1), ty x y xt = = − − 2 4 4Kx t = + 2 2 2 (1 ) (1 )4 4K M t tON x x= + ⋅ + 224 4 4 4 2 2 =⋅+⋅+= t t 2 0 0( , )N x y ),1( 00 yxFN −= ),2( tOM = ),2( 00 tyxMN −−= ),( 00 yxON = OMFN ⊥ 0)1(2 00 =+− tyx 22 00 =+ tyx ONMN ⊥ 0)()2( 0000 =−+− tyyxx 22 00 2 0 2 0 =+=+ tyxyx 22 0 2 0 =+= yxON O O 2 2 2x y b+ = b c= 2 2 2 2b a c c= − = 2 22a c= 2 2e = 90APB∠ = 2OP b= 2 2 22 ,OP b a= ≤ 2 22a c≤ 2 1 2e ≥ 2 12 e≤ < ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,P x y A x y B x y 0 1 1 0 1 1 y y x x x y − = −− 2 2 0 0 1 1x x y y x y+ = + 2 2 2 1 1x y b+ = 所以 方程为: , 方程为: . 所以 , 所以 , 直线 方程为 ,即 . 令 ,得 ,令 ,得 , 所以 , 所以 为定值,定值是 . 13-1 解:(Ⅰ)由题意可知: 解得 . 所以椭圆的方程为: . (II)证明:由方程组 , 整理得 , 设 则 . 由已知, 且椭圆的右顶点为 , 所以 , , PA 2 1 1x x y y b+ = PB 2 2 2x x y y b+ = 1 1x x y y+ = 2 2x x y y+ 02 1 2 1 0 xy y x x y − = −− AB ( )0 1 1 0 xy y x xy − = − − 2 0 0x x y y b+ = 0x = 2 0 bON y y = = 0y = 2 0 bOM x x = = 2 2 2 22 2 2 2 2 0 0 2 2 4 4 2 a y b xa b a b a b b bON OM ++ = = = 2 2 2 2 a b ON OM + 2 2 a b 2 2 2 3, 3 ,2 , c ce a a b c = = = = + 1,2 == ba 14 2 2 =+ yx += =+ mkxy yx 14 2 2 0448)k41 222 =−+++ mkmxx得( 0)44)(41(4)8( 222 >−+−=∆ mkkm 014 22 >+− mk ),(),,( 2221 yxNxxM 2 2 21221 41 44,41 8 k mxxk kmxx + −=+−=+ ANAM ⊥ )0,2(A 1 2 1 2( 2)( 2) 0x x y y− − + = 2 2121 2 2121 )())(( mxxkmxxkmkxmkxyy +++=++= 即 , 也即 , 整理得: , 解得 均满足 . 当 时,直线的 方程为 ,过定点(2,0)与题意矛盾舍去; 当 时,直线的 方程为 ,过定点 . 故直线 过定点,且定点的坐标为 . 13-2 解:(I)由题意可得 , 所以 ,即 , 即 ,即动点 的轨迹 的方程为 . (II)设直线 的方程为 , ,则 . 由 消 整理得 , 则 ,即 . . 直线 , 所以 , , , , 04))(2()1( 2 2121 2 =+++−++ mxxkmxxk 0441 8)2(41 44))1( 2 22 2 2 =+++ −•−++ −•+ mk kmkmk mk 012165 22 =++ kmkm 5 62 kmkm −=−= 或 014 22 >+− mk km 2−= l kkxy 2−= 5 6km −= l )5 6( −= xky )0,5 6( l )0,5 6( OP OM⊥ 0OP OM⋅ = ( , )( , 4) 0x y x − = 2 4 0x y− = P W 2 4x y= l 4y kx= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1'( , )A x y− 2 4 4 y kx x y = − = y 2 4 16 0x kx− + = 216 64 0k∆ = − > | | 2k > 1 2 1 24 , 16x x k x x+ = = 2 1 2 2 2 1 ' : ( )y yA B y y x xx x −− = −+ 2 1 2 2 2 1 ( )y yy x x yx x −= − ++ 2 2 22 1 2 2 1 2 1( )4( ) 4 x xy x x xx x −= − ++ 2 22 1 2 1 2 2 1 4 4 4 x x x x xy x x − −= − + 2 1 1 2y 4 4 x x x xx −= + 即 . 所以,直线 恒过定点 . 13-3 解:(Ⅰ)设动点 的坐标为 , 由题意得, , 化简得 , 所以点 的轨迹 的方程为 . (Ⅱ)设 两点坐标分别为 , , 则点 的坐标为 . 由题意可设直线 的方程为 , 由 得 . . 因为直线 与曲线 于 两点, 所以 , . 所以点 的坐标为 . 由题知,直线 的斜率为 ,同理可得点 的坐标为 . 当 时,有 ,此时直线 的斜率 . 所以,直线 的方程为 , 整理得 . 于是,直线 恒过定点 ; M ( , )x y 2 2( 1) | 1|x y x− + = + 2 4y x= M C 2 4y x= ,A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y P 1 2 1 2( , )2 2 x x y y+ + 1l ( 1)y k x= − ( 0)k ≠ 2 4 , ( 1), y x y k x = = − 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + = 1l C ,A B 1 2 2 42x x k + = + 1 2 1 2 4( 2)y y k x x k + = + − = P 2 2 2(1 , )k k + 2l 1 k − Q 2(1 2 , 2 )k k+ − PQ 2 2 2 2 2 2 11 1 2 PQ k kkk kkk + = = −+ − − PQ 2 22 ( 1 2 )1 ky k x kk + = − −− 2 ( 3) 0yk x k y+ − − = PQ (3, 0)E 2 1 44 x xy x −= + 'A B (0,4) 2 2 4 2(2 4) 4 16 16 0k k kD = + - = + > 1k ≠ ± 2 2 21 1 2kk + ≠ + 当 时,直线 的方程为 ,也过点 . 综上所述,直线 恒过定点 . (Ⅲ)可求的 , 所以 面积 . 当且仅当 时,“ ”成立,所以 面积的最小值为 . 14-1 解:(Ⅰ)由题意知: . 根据椭圆的定义得: ,即 . 所以 . 所以 椭圆 的标准方程为 . (Ⅱ)假设在 轴上存在点 ,使得 恒成立. 当直线 的斜率为 0 时, . 则 . 解得 . 当直线 的斜率不存在时, . 由于 ,所以 . 下面证明 时, 恒成立. 显然 直线 的斜率为 0 时, . 当直线 的斜率不为 0 时,设直线 的方程为: , . PQ (3, 0)E PQ (3, 0)E FPQ∆ 1 2 1| | ( 2 | |) 2( | |) 42 | | | |S FE k kk k = + = + ≥ 1k = ± = FPQ∆ 4 1k = ± 3x = | | 2EF = 1c = 2 22 22 ( 1 1) ( )2 2a = - - + + 2a = 2 2 1 1b = - = C 2 2 12 x y+ = x ( ,0)Q m 7 16QA QB⋅ = − l ( 2,0), ( 2,0)A B − 7( 2 ,0) ( 2 ,0) 16m m- × - - =- 5 4m = ± l 2 2(1, ), (1, )2 2A B − 5 2 5 2 7(1 , ) (1 , )4 2 4 2 16+ × + - ¹- 5 4m ¹- 5 4m = 7 16QA QB⋅ = − l 7 16QA QB⋅ = − l l 1x ty= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 由 可得: . 显然 . 因为 , , 所以 . 综上所述:在 轴上存在点 ,使得 恒成立. 14-2 解:(Ⅰ)由题意可知 ,得 . 因为 在椭圆上 解得: . 故椭圆 M 的方程为: . (Ⅱ)由于 的平分线垂直于 即垂直于 轴,故直线 的斜率存在设为 ,则 斜率 为 ,因此 , 的直线方程分别为 , . 由 得 ① 由 ,得 . 2 2 1,2 1 x y x ty ìïï + =ïíïï = +ïî 2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + - = 0∆ > 1 2 2 1 2 2 2 ,2 1 .2 ty y t y y t ìïï + =-ïï +ïíïï =-ïï +ïî 1 1 1x ty= + 2 2 1x ty= + 1 1 2 2 1 2 1 2 5 5 1 1( , ) ( , ) ( )( )4 4 4 4x y x y ty ty y y- × - = - - + 2 1 2 1 2 1 1( 1) ( )4 16t y y t y y= + - + + 2 2 2 1 1 2 1( 1) 2 4 2 16 tt tt t=- + + ++ + 2 2 2 2 2 1 7 2( 2) 16 16 t t t - - += + =-+ x 5( ,0)4Q 7 16QA QB⋅ = − 2)(13 6 a be −== 22 3ba = 1,1B( ) 111 22 =+ ba 3 44 22 == b,a 14 3 4 22 =+ yx PBQ∠ OA x PB k QB k− PB QB ( 1) 1y k x= − + ( 1) 1y k x= − − + =+ +−= 14 3 4 1)1( 22 yx xky 01631631 222 =−−+−−+ kkx)k(kx)k( 0>∆ 3 1−≠k 因为点 B 在椭圆上,x =1 是方程①的一个根,设 所以 ,即 ,同理 . 所以 . 因为 ,所以 , 即 . 所以向量 ,则总存在实数 使 成立. 15-1 解:(Ⅰ)因为 , , 所以 , , 所以 . (Ⅱ)设直线 BD 的方程为 所以 所以 ----① -----② 因为 , 设 为点 到直线 BD: 的距离, 所以 ,当且仅当 时取等号. 因为 ,所以当 时, 的面积最大,最大值为 . (Ⅲ)设 , ,直线 、 的斜率分别为: 、 ,则 ),(),,( QQpp yxQyxP 2 2 3 6 11 3 1P k kx k − −⋅ = + 2 2 3 6 1 3 1P k kx k − −= + 13 163 2 2 + −+= k kkxQ =PQk 3 1 13 12 213 )13(2 2)( 2 2 2 = +− −+ −⋅ =− −+=− − k k kk kk xx kxxk xx yy QP QP QP QP (2,0), ( 1, 1)A C − − 1 3ACk = ACPQ kk = AC//PQ λ ACPQ λ= a ce == 2 2 121 22 =+ ab 222 cba += 2=a 2=b 2=c 142 22 =+ yx bxy += 2 =+ += 42 2 22 yx bxy 04224 22 =−++⇒ bbxx 0648 2 >+−=∆ b 2222 <<−⇒ b ,2 2 21 bxx −=+ 4 42 21 −= bxx 2 2 2 1 2 64 8 61 ( 2) 3 3 84 4 2 bBD x x b ∆ −= + − = = = − d A bxy += 2 ∴ 3 bd = 2)8(4 2 2 1 22 ≤−==∆ bbdBDS ABD 2±=b 2± )22,22(−∈ 2±=b ABD∆ 2 ),( 11 yxD ),( 22 yxB AB AD ABk ADk =+ ABAD kk 1 22 1 22 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 − −++− −+=− −+− − x bx x bx x y x y = ------* 将(Ⅱ)中①、②式代入*式整理得 =0, 即 0. 15-2 解:(Ⅰ)设 ,直线 的方程为 . 由 得 , , , , 由已知 , 又 ,所以 所以 ,即 , 所以 ,解得 ,符合题意, 所以,所求直线 的方程为 或 . (Ⅱ) , , , 所以 , 平方得 , 又 ,所以 ,同理 ,代入上式, 计算得 ,即 . ]1)( 2[22 2121 21 ++− −++ xxxx xxb ]1)( 2[22 2121 21 ++− −++ xxxx xxb =+ ABAD kk 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y l 1( 0)y kx k= + ≠ 2 24 4, 1 x y y kx + = = + 2 2(4 ) 2 3 0k x kx+ + − = 2 2 24 12(4 ) 16 48 0k k k∆ = + + = + > 1 2 2 2 4 kx x k −+ = + 1 2 2 3 4x x k −= + 1( ,0), (0,1)E Fk − CE FD= 1 1 2 2 1( , ) ( , 1)x y x yk − − − = − 1 2 1 x xk − − = 2 1 1x x k + = − 2 2 1 4 k k k − = −+ 2k = ± l 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 1 2 1 yk x = + 1 2 1 1 yk x = − 1 2: 2:1k k = 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 y x y x − =+ 2 2 2 1 2 2 1 2 ( 1) 4( 1) y x y x − =+ 2 2 1 1 14 yx + = 2 2 1 14(1 )y x= − 2 2 2 24(1 )y x= − 2 1 1 2 (1 )(1 ) 4(1 )(1 ) x x x x − − =+ + 1 2 1 23 5( ) 3 0x x x x+ + + = 假设满足条件的实数 存在,则由(Ⅰ)得 , . 所以 ,解得 或 , 因为 , ,所以 异号,故舍去 , 所以存在实数 ,使得 ,且 . 16- 1 解:(Ⅰ)设椭圆 的方程为 ,由题意得 解得 , ,故椭圆 的方程为 . (Ⅱ)因为过点 的直线 与椭圆在第一象限相切,所以 的斜率存在,故可设直线 的方程为 . 由 得 . ① 因为直线 与椭圆相切,所以 . 整理,得 . 解得 . 所以直线 方程为 . 将 代入①式,可以解得 点横坐标为 1,故切点 坐标为 . ( Ⅲ ) 若 存 在 直 线 满 足 条 件 , 设 直 线 的 方 程 为 , 代 入 椭 圆 的 方 程 得 . 因为直线 与椭圆 相交于不同的两点 ,设 两点的坐标分别为 , 所以 . k 1 2 2 2 4 kx x k −+ = + 1 2 2 3 4x x k −= + 23 10 3 0k k− + = 3k = 1 3k = 2 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 y x y x − =+ 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2,y y 1 3k = k 1 2: 2:1k k = 3k = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 2 1 9 1,4 1 ,2 . a b c a a b c + = = = + 2 4a = 2 3b = C 2 2 14 3 x y+ = (2, 1)P l l l ( 2) 1y k x= − + 2 2 1,4 3 ( 2) 1, x y y k x + = = − + 2 2 2(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − = l 2 2 2[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 0k k k k k∆ = − − − + − − = 32(6 3) 0k + = 1 2k = − l 1 1( 2) 1 22 2y x x= − − + = − + 1 2k = − M M 3(1, )2 1l 1l 1( 2) 1y k x= − + C 2 2 2 1 1 1 1 1(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − = 1l C ,A B ,A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 2 2 2 1 1 1 1 1 1[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 32(6 3) 0k k k k k k∆ = − − − + − − = + > 所以 . 又 , , 因为 ,即 , 所以 . 即 , 所以 ,解得 . 因为 为不同的两点,所以 . 于是存在直线 满足条件,其方程为 . 16-2 解:(Ⅰ)由题意可设椭圆 的方程为 , . 由题意知 解得 , . 故椭圆 的方程为 ,离心率为 .……6 分 (Ⅱ)以 为直径的圆与直线 相切. 证明如下:由题意可设直线 的方程为 . 则点 坐标为 , 中点 的坐标为 . 由 得 . 设点 的坐标为 ,则 . 1 1 2k > − 1 1 1 2 2 1 8 (2 1) 3 4 k kx x k −+ = + 2 1 1 1 2 2 1 16 16 8 3 4 k kx x k − −= + 2 PA PB PM⋅ = 1 2 1 2 5( 2)( 2) ( 1)( 1) 4x x y y− − + − − = 2 2 1 2 1 5( 2)( 2)(1 ) | | 4x x k PM− − + = = 2 1 2 1 2 1 5[ 2( ) 4](1 ) 4x x x x k− + + + = 2 2 21 1 1 1 1 12 2 2 1 1 1 16 16 8 8 (2 1) 4 4 5[ 2 4](1 )3 4 3 4 3 4 4 k k k k kkk k k − − − +− + + = =+ + + 1 1 2k = ± ,A B 1 1 2k = 1l 1 2y x= C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( ,0)F c 2 2 2 1 2 2 3,2 2, . a b a a b c ⋅ ⋅ = = = + 3b = 1c = C 2 2 14 3 x y+ = 1 2 BD PF AP ( 2)y k x= + ( 0)k ≠ D (2, 4 )k BD E (2, 2 )k 2 2 ( 2), 14 3 y k x x y = + + = 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − = P 0 0( , )x y 2 0 2 16 122 3 4 kx k −− = + O F E P D BA y x 所以 , . 因为点 坐标为 , 当 时,点 的坐标为 ,点 的坐标为 . 直线 轴,此时以 为直径的圆 与直线 相切. 当 时,则直线 的斜率 . 所以直线 的方程为 . 点 到直线 的距离 . 又因为 ,所以 . 故以 为直径的圆与直线 相切. 综上得,当直线 绕点 转动时,以 为直径的圆与直线 相切. 17-1 (Ⅰ)解:由 , 得 . 依 题 意 △ 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 从 而 , 故 . 所 以 椭 圆 的 方 程 是 . (Ⅱ)解:设 , ,直线 的方程为 . 将直线 的方程与椭圆 的方程联立, 消去 得 . 所以 , . 若 平分 ,则直线 , 的倾斜角互补, 所以 . 1 | |2d BD= AP A 2 2 2 2 2 2 5 19 a b be a a −= = = − 2 3 b a = 1 2MB B 2b = 3a = C 2 2 19 4 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 2x my= + AB C x 2 2(4 9) 16 20 0m y my+ + − = 1 2 2 16 4 9 my y m −+ = + 1 2 2 20 4 9y y m −= + PF APB∠ PA PB 0=+ PBPA kk 2 0 2 6 8 3 4 kx k −= + 0 0 2 12( 2) 3 4 ky k x k = + = + F (1, 0) 1 2k = ± P 3(1, )2 ± D (2, 2)± PF x⊥ BD 2 2( 2) ( 1) 1x y− + = PF 1 2k ≠ ± PF 0 2 0 4 1 1 4PF y kk x k = =− − PF 2 4 ( 1)1 4 ky xk = −− E PF 2 2 2 2 2 8 421 4 1 4 16 1(1 4 ) k kkk kd k k − −− −= +− 3 2 2 2 2 8 1 4 2 | |1 4 |1 4 | k k k kk k + −= =+ − | | 4 | |BD k= BD PF BD PF 设 ,则有 . 将 , 代入上式, 整理得 , 所以 . 将 , 代入上式, 整理得 . 由于上式对任意实数 都成立,所以 . 综上,存在定点 ,使 平分 . 17-2 解:(I)方法 1 依题意,可设椭圆 C 的方程为 ,易知左焦点为 从而有 , ,即 ,所以 , 故椭圆 C 的方程为 . 方法 2 依题意,可设椭圆 C 的方程为 (a>b>0), 则 解得 或 (舍去).从而 . 故椭圆 C 的方程为 . (II)假设存在符合题意的直线 ,其方程为 由 得, ( ,0)P a 1 2 1 2 0y y x a x a + =− − 1 1 2x my= + 2 2 2x my= + 1 2 1 2 1 2 2 (2 )( ) 0( 2 )( 2 ) my y a y y my a my a + − + =+ − + − 1 2 1 22 (2 )( ) 0my y a y y+ − + = 1 2 2 16 4 9 my y m −+ = + 1 2 2 20 4 9y y m −= + ( 2 9) 0a m− + ⋅ = m 9 2a = 9( ,0)2P PM APB∠ 12 2 2 2 =+ b y a x ( 0)a b> > )0,2(−′F 2c = 2 | | | | 3 5 8a AF AF′= + = + = 4=a 122 =b 11216 22 =+ yx 12 2 2 2 =+ b y a x 2 2 2 2 4, 4 9 1. a b a b − = + = 122 =b 32 −=b 162 =a 11216 22 =+ yx l txy += 2 3 2 2 3 ,2 116 12 y x t x y = + + = 01233 22 =−++ ttxx 因为直线 与椭圆 C 有公共点, 所以 , 解得 . 另一方面,由直线 OA 与 的距离 可得 ,从而 . 由于 ,所以符合题意的直线 不存在. 17-4.(2010 年高考福建卷文科第 19 题) 已知抛物线 C: 过点 . (I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 L 的距离等于 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由. 17-4 解:(Ⅰ)将 代入 ,所以 . 故所求的抛物线 C 的方程为 ,其准线方程为 . (Ⅱ)假设存在符合题意的直线 l ,其方程为 , 由 得 . 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以得 Δ=4+8 t,解得 . 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 ,可得 ,解得 t=±1. 因为-1∉[- ,+∞),1∈[- ,+∞),所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1 =0. 18-1 解:(1)设 由 ,所以 . 设 是椭圆 上任意一点,则 , l ( ) ( ) 012343 22 ≥−×−=∆ tt 3434 ≤≤− t l 4=d 4 14 9 || = + t 132±=t 2 13 [ 4 3,4 3]± ∉ − l 2 2 ( 0)y px p= > (1, 2)A − 5 5 (1, 2)A − 2 2y px= 2p = 2 4y x= 1x = − 2y x t= − + 2 4 , 2 y x y x t = = − + 2 2 2 0y y t+ − = 1 2t ≥ − 5 5d = 1 5 5 t = 1 2 1 2 2 2c a b= − 2 22 2 3 3 ce c aa = = ⇒ = 2 2 2 21 3b a c a= − = ( , )P x y C 2 2 2 2 1x y a b + = 所以 , . 当 时,当 时, 有最大值 ,可得 , 所以 . 当 时, 不合题意. 故椭圆 的方程为: . (2) 中, , . 当且仅当 时, 有最大值 , 时,点 到直线 的距离为 . . 又 ,此时点 . 18-2 解:(Ⅰ)设 则 的周长为: 椭圆 的方程为 . (Ⅱ)由对称性可知设 与 , . 2 2 2 2 2 2(1 ) 3yx a a yb = − = − 2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + + 1b ≥ 1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a = 1, 2b c= = 1b < 2 26 3 6 3PQ a b< + = + < C 2 2 13 x y+ = AOB∆ 1OA OB= = 1 1sin2 2AOBS OA OB AOB∆ = × × × ∠ ≤ 90AOB °∠ = AOBS∆ 1 2 90AOB °∠ = O AB 2 2d = 2 2 2 2 2 1 2 22 2d m n m n = ⇔ = ⇔ + = + 2 2 2 23 13 3 ,2 2m n m n+ = ⇒ = = 6 2( , )2 2M ± ± 2 2c a b= − 2 21 2 3 42 ce a c a ba = = ⇔ = ⇔ = 2ABF∆ 2 2 1 2 1 28 8 4 8 2, 3, 1 AB AF BF AF AF BF BF a a b c + + = ⇔ + + + = ⇔ = ⇔ = = =2 2 1 2 1 28 8 4 8 2, 3, 1 AB AF BF AF AF BF BF a a b c + + = ⇔ + + + = ⇔ = ⇔ = = = E 2 2 14 3 x y+ = 0 0 0( , )( 0)P x y y > ( ,0)M x 2 2 2 0 2 0 33 31 34 3 4 434 3 4 xx y xy x y k yx ′+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − 直线 . (*) (*)对 恒成立 , 得 . 0 0 0 0 0 0 3 3(1 ): ( ) (4, )4 x xl y y x x Qy y −− = − − ⇒ 0 0 0 0 0 3(1 )0 ( )( 4) 0 ( 1) ( 1)( 3)xMP MQ x x x y x x x xy −= ⇔ − − + × = ⇔ − = − − 0 ( 2,2)x ∈ − 1x⇔ = (1,0)M 19-1(Ⅰ)解:当 时, , . 由于 , , 所以曲线 在点 处的切线方程是 . (Ⅱ)解: , . ① 当 时,令 ,解得 . 的 单 调 递 减 区 间 为 ; 单 调 递 增 区 间 为 , . 当 时 , 令 ,解得 ,或 . ② 当 时, 的单调递减区间为 , ;单调递增区间为 , . ③ 当 时, 为常值函数,不存在单调区间. ④ 当 时, 的单调递减区间为 , ;单调递增区间为 , . 19-2 解:因为 所以 . (Ⅰ)当 时, , , 所以 . 所以曲线 在点 处的切线方程为 . (Ⅱ)因为 , (1)当 时,由 得 ;由 得 . 所以函数 在区间 单调递增, 在区间 单调递减. 1a = 1( ) e ( 2)xf x x = ⋅ + 2 1 1( ) e ( 2 )xf x x x ′ = ⋅ + − (1) 3ef = (1) 2ef ′ = ( )y f x= (1, (1))f 2e e 0x y− + = 2 ( 1)[( 1) 1]( ) eax x a xf x a x + + −′ = 0x ≠ 1−=a ( ) 0f x′ = 1x = − )(xf ( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0, )+∞ 1a ≠ − ( ) 0f x′ = 1x = − 1 1x a = + 01 <<− a )(xf ( , 1)−∞ − 1( , )1a +∞+ ( 1,0)− 1(0, )1a + 0=a ( )f x 0a > )(xf ( 1,0)− 1(0, )1a + ( , 1)−∞ − 1( , )1a +∞+ 2 e( ) ,1 ax f x x = + 2 2 2 e ( 2 )( ) ( 1) ax ax x af x x − +′ = + 1a = 2 e( ) 1 x f x x = + 2 2 2 e ( 2 1)( ) ( 1) x x xf x x − +′ = + (0) 1,f = (0) 1f ′ = ( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + = 2 2 2 2 2 2 e ( 2 ) e( ) ( 2 )( 1) ( 1) ax axax x af x ax x ax x − +′ = = − ++ + 0a = ( ) 0f x′ > 0x < ( ) 0f x′ < 0x > ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ (2)当 时, 设 ,方程 的判别式 ①当 时,此时 . 由 得 ,或 ; 由 得 . 所以函数 单调递增区间是 和 , 单调递减区间 . ②当 时,此时 .所以 , 所以函数 单调递增区间是 . ③当 时,此时 . 由 得 ; 由 得 ,或 . 所以当 时,函数 单调递减区间是 和 , 单调递增区间 . ④当 时, 此时 , ,所以函数 单调递减区间是 . 20-1 解: (1)由已知得 ,令 ,得 , 要取得极值,方程 必须有解, 所以△ ,即 , 此时方程 的根为 , , 0a ≠ 2( ) 2g x ax x a= − + 2( ) 2 0g x ax x a= − + = 24 4 4(1 )(1 ),a a a∆ = − = − + 0 1a< < 0∆ > ( ) 0f x′ > 21 1 ax a − −< 21 1 ax a + −> ( ) 0f x′ < 2 21 1 1 1a axa a − − + −< < ( )f x 21 1( , )a a − −−∞ 21 1( , )a a + − +∞ 2 21 1 1 1( , )a a a a − − + − 1a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞ 1 0a− < < 0∆ > ( ) 0f x′ > 2 21 1 1 1a axa a + − − −< < ( ) 0f x′ < 21 1 ax a + −< 21 1 ax a − −> 1 0a− < < ( )f x 21 1( , )a a + −−∞ 21 1( , )a a − − +∞ 2 21 1 1 1( , )a a a a + − − − 1a ≤ − 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞ 2'( ) 2 1f x ax bx= + + 0)(' =xf 2 2 1 0ax bx+ + = )(xf 2 2 1 0ax bx+ + = 24 4 0b a= − > 2b a> 2 2 1 0ax bx+ + = 2 2 1 2 4 4 2 b b a b b ax a a − − − − − −= = 2 2 2 2 4 4 2 b b a b b ax a a − + − − + −= = 所以 . 当 时, x (-∞,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) f’ (x) + 0 - 0 + f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 时, 所 以 在 x 1, x2 处分别取得极大 值和极小值. 综上,当 满足 时, 取得极值. (2)要使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立. 即 恒成立, 所以 设 , , 令 得 或 (舍去), 当 时, ,当 时 , 单调增函数; 当 时 , 单调减函数, 所以当 时, 取得最大,最大值为 .所以 1 2'( ) ( )( )f x a x x x x= − − 0>a )(xf 0 )(xf )(xf (0,1] 2'( ) 2 1 0f x ax bx= + + ≥ (0,1] 1 , (0,1]2 2 axb xx ≥ − − ∈ max 1( )2 2 axb x ≥ − − 1( ) 2 2 axg x x = − − 2 2 2 1( )1'( ) 2 2 2 a xa ag x x x − = − + = '( ) 0g x = 1x a = 1x a = − 1>a 10 1a < < 1(0, )x a ∈ '( ) 0g x > 1( ) 2 2 axg x x = − − 1( ,1]x a ∈ '( ) 0g x < 1( ) 2 2 axg x x = − − 1x a = ( )g x 1( )g a a = − b a≥ − x (-∞,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+∞) f’ (x) - 0 + 0 - f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间 上单 调递增,当 时 最大,最大值为 ,所以 综上,当 时, ; 当 时, . 20-2 解(1) 由题意得 ,即 ,所以 (2) 当 ,函数 在区间 内不可能单调递增 当 时, 则当 时, ,函数 单调递增,故当且仅当 时, 函数 在区间 内单调递增,即 时,函数 在 内单调递增. 故所求 的取值范围是 (3)直线 在点 P 处的切线斜率 令 则 所以 故当 时, ; 时, 所以直线 的斜率的取值范围是 0 1a< ≤ 1 1 a ≥ '( ) 0g x ≥ (0,1] 1( ) 2 2 axg x x = − − (0,1] 1x = ( )g x 1(1) 2 ag += − 1 2 ab +≥ − 1>a b a≥ − 0 1a< ≤ 1 2 ab +≥ − 22 2 ' )( )()( bx xbaxf + −= −=− =− 2)1( 0)1(' f f −=+ − =+ − 21 0)1( )1( 2 b a b ba = = 1 4 b a )0()( )()( 22 2 ' >+ −−= abx bxaxf 0)(0 ' ≤≤ xfb 时, )(xf ( )1,1− 0>b 22 ' )( ))(()( bx bxbxaxf + −+−= ),( bbx −∈ 0)(' >xf )(xf ≥ ≤− 1 1 b b )(xf ( )1,1− 1≥b )(xf ( )1,1− b [ )+∞,1 l 22 0 2 0 22 0 2 0 0 )1( 8 1 4 )1( 44)(' + + + −= + −== xxx xxfk , 1 1 2 0 + = x t 10 ≤< t 2 1)4 1(848 22 −−=−= tttk 4 1=t 2 1 min −=k 1=t 4max =k l − 4,2 1 20-3 解法一:(Ⅰ)依题意得 ,所以 , 令 ,得 , , 随 x 的变化情况入下表: x - 0 + 0 - 极小值 极大值 由上表可知, 是函数 的极小值点, 是函数 的极大值点. (Ⅱ) , 由函数 在区间 上单调递减可知: 对任意 恒成立, 当 时, ,显然 对任意 恒成立; 当 时, 等价于 , 因为 ,不等式 等价于 , 令 , 则 ,在 上显然有 恒成立,所以函数 在 单调递增, 所以 在 上的最小值为 , 由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立, 需且只需 ,即 , 解得 ,因为 ,所以 . 综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 . (Ⅱ) , 由函数 在区间 上单调递减可知: 对任意 恒成立, 即 对任意 恒成立, 当 时, ,显然 对任意 恒成立; 2( ) (2 )exf x x x= − 2( ) (2 )exf x x′ = − ( ) 0f x′ = 2x = ± ( )f x′ ( )f x ( , 2)−∞ − 2− ( 2, 2)− 2 ( 2, )+∞ ( )f x′ ( )f x 2x = − ( )f x 2x = ( )f x 2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − + ( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 0a > ( ) 0f x′ ≤ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ ( 2,2)x∈ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ 22 2 2ax x a −− ≥ 2( ) , [ 2,2]g x x xx = − ∈ 2 2( ) 1g x x ′ = + [ 2,2] ( ) 0g x′ > ( )g x [ 2,2] ( )g x [ 2,2] ( 2) 0g = ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 22 2 2ax x a −− ≥ ( 2,2)x∈ 2 min 2 2( ) ag x a −≥ 22 20 a a −≥ 1 1a− ≤ ≤ 0a > 0 1a< ≤ ( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤ 2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − + ( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ ( 2,2)x∈ 0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈ 当 时,令 ,则函数 图象的对称轴为 , 若 ,即 时,函数 在 单调递增, 要使 对 恒成立,需且只需 ,解得 ,所以 ; 若 ,即 时,由于函数 的图象是连续不间断的, 假如 对任意 恒成立,则有 ,解得 ,与 矛盾,所以 不能对任意 恒成立. 综合上述,若函数 在区间 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 . 21-1 解:(I) 当 时,由 ,解得 ;由 ,解得 . 所以 的单调递增区间为(0, ),单调递减区间为( , . 当 由 ,解得 ;由 ,解得 . 所以 的单调递增区间为( , ,单调递减区间为(0, ). (II)由 ,得 , +3 , 所以 , 因为 在区间 上不是单调函数,且 , 所以 即 ,解得 . 0a > 2 2( ) (2 2) 2h x ax a x a= − − − ( )h x 2 1ax a −= 2 1 0a a − ≤ 0 1a< ≤ ( )h x (0, )+∞ ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 0 1a< ≤ 2 1 0a a − > 1a > ( )h x ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 1a > ( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤ )0()21()(' >−= xx xaxf 0a > 0)(' >xf 2 10 << x ( ) 0f x <‘ 1 2x > )(xf 2 1 2 1 )∞+ 时,0xf 1 2x > ( ) 0f x <‘ 2 10 << x )(xf 2 1 )∞+ 2 1 2 3 2 3)2(' =−= af 1−=a xxxf 2ln)( +−= 23 )21(3 1)( xmxxxg ++−+= ' 2( ) (4 2 ) 1g x x m x= + + − ( )g x (1,3) ' (0) 1g = − ' ' (1) 0, (3) 0, g g < > 4 2 0, 20 6 0, m m + < + > 23 10 −<<− m 21-2 解: (Ⅰ)当 时, , , , 所以函数 的图象在点 处的切线方程为 , 即 . (Ⅱ) , 考虑到 恒成立且 系数为正, 所以 在 上单调等价于 恒成立. 所以 ,解得 的取值范围是[-2,2]. (Ⅲ)当 时, , 令 ,得 ,或 x=1, 令 ,得 ,或 x>1, 令 ,得 . , , 的变化情况如下表 X 1 ) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以,函数 的极小值为 . 22-1 解:(Ⅰ)可得 . 2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + + 0a = 2( ) ( 2) ,xf x x e= + 2( ) ( 2 2)xf x e x x′ = + + (1) 3f e= (1) 5f e′ = ( )f x (1, (1))A f 3 5 ( 1)y e e x− = − 5 2 0ex y e− − = 2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + + 0xe > 2x ( )f x R 2 ( 2) 2 0x a x a+ + + + ≥ 2( 2) 4( 2) 0a a+ − + ≤ a 5 2a = − 2 5( ) ( 2) ,2 xf x x x e= − + 2 1 1( ) ( )2 2 xf x e x x′ = − − ( ) 0f x′ = 1 2x = − ( ) 0f x′ > 1 2x < − ( ) 0f x′ < 1 12 x− < < x ( )f x′ ( )f x 1( , )2 −∞ − 1 2 − 1( ,1)2 − (1,+∞ ( )f x′ ( )f x 1(1) 2f e= ' 2 1 ln( ) xf x x −= 当 时, , 为增函数;当 时, , 为减函数. (Ⅱ)依题意, 转化为不等式 对于 恒成立, 令 ,则 , 当 时,因为 , 是 上的增函数, 当 时, , 是 上的减函数, 所以 的最小值是 , 从而 的取值范围是 . (Ⅲ)转化为 , 与 在公共点 处的切线相 同. 由题意知 解得: ,或 (舍去),代人第一式,即有 . 22-2 解:(Ⅰ) 的定义域为 . 因为 ,所以 在 上是增函数, 当 时, 取得最小值 . 所以 在 上的最小值为 1. (Ⅱ)解法一: 设 , 依题意,在区间 上存在子区间使得不等式 成立. 因为抛物线 开口向上, 0 x e< < ' ( ) 0f x > ( )f x e x< ' ( ) 0f x < ( )f x xxa 1ln +< 0>x 1( ) lng x x x = + 2 1 1 1 1( ) 1g x x x x x ′ = − = − 1x > 1 1( ) 1 0g x x x ′ = − > ( )g x (1 )+ ∞, ( )1,0∈x ( ) 0<′ xg ( )g x ( )1,0 ( )g x (1) 1g = a ( )1,∞− mxxx −+= 3 2 6 1ln 2 xy ln= mxxy −+= 3 2 6 1 2 0 0( , )x y += −+= 3 2 3 11 3 2 6 1ln 0 0 0 2 00 xx mxxx 0 1x = 0 3x = − 6 5=m )(xf (0, )+ ∞ 1( ) 2 0f x xx ′ = + > ( )f x [1, ]e 1x = ( )f x (1) 1f = ( )f x [1, ]e 21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x − +′ = + − = 2( ) 2 2 1g x x ax= − + 1[ , 2]2 ( ) 0g x > 2( ) 2 2 1g x x ax= − + 所以只要 ,或 即可. 由 ,即 ,得 , 由 ,即 ,得 , 所以 , 所以实数 的取值范围是 . 解法二: , 依题意得,在区间 上存在子区间使不等式 成立. 又因为 ,所以 . 设 ,所以 小于函数 在区间 的最大值. 又因为 , 由 解得 ; 由 解得 . 所以函数 在区间 上递增,在区间 上递减. 所以函数 在 ,或 处取得最大值. 又 , ,所以 , 所以实数 的取值范围是 . (2) 0g > 1( ) 02g > (2) 0g > 8 4 1 0a− + > 9 4a < 1( ) 02g > 1 1 02 a− + > 3 2a < 9 4a < a 9( , )4 −∞ 21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x − +′ = + − = 1[ , 2]2 22 2 1 0x ax− + > 0x > 12 (2 )a x x < + 1( ) 2g x x x = + 2a ( )g x 1[ , 2]2 2 1( ) 2g x x ′ = − 2 1( ) 2 0g x x ′ = − > 2 2x > 2 1( ) 2 0g x x ′ = − < 20 2x< < ( )g x 2( , 2)2 1 2( , )2 2 ( )g x 1 2x = 2x = 9(2) 2g = 1( ) 32g = 92 2a < 9 4a < a 9( , )4 −∞ 22-3 解:(Ⅰ) . (Ⅱ)①当 时, 是开口向上的抛物线, 显然在 上存在子区间使得 ,所以 的取值范围是 . ②当 时,显然成立. ③当 时, 是开口向下的抛物线,要使 在 上存在子区间 使 ,应满足 或 解得 ,或 ,所以 的取值范围是 . 则 的取值范围是 . 23-1 解:(Ⅰ) 的定义域为 , 当 时, , , 所以 在 处取得极小值 1. (Ⅱ) , , 2 2( ) 2 (1 )f x mx ax b′ = + + − 0m > 2( ) 2 1f x mx x′ = + − (2, )+ ∞ ( ) 0f x′ > m (0, )+ ∞ 0m = 0m < 2( ) 2 1f x mx x′ = + − ( )f x′ (2, )+ ∞ ( ) 0f x′ > 0, 1 2, 1( ) 0, m m f m < − ≥ ′ − > 0, 1 2, (2) 0. m m f < − < ′ > 1 02 m− <≤ 3 1 4 2m− < < − m 3( , 0)4 − m 3( , )4 − +∞ ( )f x (0, )+∞ 1a = ( ) lnf x x x= − 1 1( ) 1 xf x x x −′ = − = ( )f x 1x = 1( ) lnah x x a xx += + − 2 2 2 2 1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1 a a x ax a x x ah x x x x x + − − + + − +′ = − − = = 1 — 0 + 极小 x (0,1) (1, )+∞ ( )f x′ ( )f x ①当 时,即 时,在 上 ,在 上 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增; ②当 ,即 时,在 上 , 所以,函数 在 上单调递增. (III)在 上存在一点 ,使得 成立,即 在 上存在一点 ,使得 ,即 函数 在 上的最小值小于零. 由(Ⅱ)可知 ①即 ,即 时, 在 上单调递减, 所以 的最小值为 ,由 可得 , 因为 ,所以 ; ②当 ,即 时, 在 上单调递增, 所以 最小值为 ,由 可得 ; ③当 ,即 时, 可得 最小值为 , 因为 ,所以, 故 此时, 不成立. 综上讨论可得所求 的范围是: 或 . 23-2 解:(I)因为函数 有三个极值点, 所以 有三个互异的实根. 设 则 当 时, 在 上为增函数; 1 0a + > 1a > − (0,1 )a+ ( ) 0h x′ < (1 , )a+ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x (0,1 )a+ (1 , )a+ +∞ 1 0a+ ≤ 1a ≤ − (0, )+∞ ( ) 0h x′ > ( )h x (0, )+∞ [ ]1,e 0x 0( )f x < 0( )g x [ ]1,e 0x 0( ) 0h x < 1( ) lnah x x a xx += + − [ ]1,e 1 ea+ ≥ e 1a ≥ − ( )h x [ ]1,e ( )h x (e)h 1(e) e 0e ah a += + − < 2e 1 e 1a +> − 2e 1 e 1e 1 + > −− 2e 1 e 1a +> − 1 1a+ ≤ 0a ≤ ( )h x [ ]1,e ( )h x (1)h (1) 1 1 0h a= + + < 2a < − 1 1 ea< + < 0 e 1a< < − ( )h x (1 )h a+ 0 ln(1 ) 1a< + < 0 ln(1 )a a a< + < (1 ) 2 ln(1 ) 2h a a a a+ = + − + > (1 ) 0h a+ < a 2e 1 e 1a +> − 2a < − 4 3 21 9( ) 4 2f x x x x cx= + − + 3 2( ) 3 9 0f x x x x c′ = + − + = 3 2( ) 3 9 ,g x x x x c= + − + 2( ) 3 6 9 3( 3)( 1),g x x x x x′ = + − = + − 3x < − ( ) 0,g x′ > ( )g x ( , 3)−∞ − 当 时, 在 上为减函数; 当 时, 在 上为增函数; 所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值. 当 或 时, 最多只有两个不同实根. 因为 有三个不同实根, 所以 且 . 即 ,且 , 解得 且 故 . (II)由(I)的证明可知,当 时, 有三个极值点,不妨设为 ( ),则 所以 的单调递减区间是 , . 若 在区间 上单调递减, 则 , 或 , 若 ,则 .由(I)知, ,于是 . 若 ,则 且 .由(I)知, . 又 ,当 时, ; 当 时, . 因此, 当 时, 所以 且 . 即 ,故 或 . 反之, 当 或 时,总可找到 ,使函数 在区间 上单调递 减. 综上所述, 的取值范围是 . 24-1 解:(Ⅰ)因为 3 1x− < < ( ) 0,g x′ < ( )g x ( 3,1)− 1x > ( ) 0,g x′ > ( )g x (1, )+∞ ( )g x 3x = − 1x = ( 3) 0g − ≤ (1) 0g ≥ ( ) 0g x = ( ) 0g x = ( 3) 0g − > (1) 0g < 27 27 27 0c− + + + > 1 3 9 0c+ − + < 27,c > − 5,c < 27 5c− < < 27 5c− < < ( )f x 1 2 3x x x, , 1 2 3x x x< < 1 2 3( ) ( )( )( ).f x x x x x x x′ = − − − ( )f x 1( ]x−∞, 2 3[ , ]x x )(xf [ ], 2a a + [ ], 2a a + ⊆ 1( ]x−∞, [ ], 2a a + ⊆ 2 3[ , ]x x [ ], 2a a + ⊂ 1( ]x−∞, 12a x+ ≤ 1 3x < − 5a < − [ ], 2a a + ⊂ 2 3[ , ]x x 2a x≥ 32a x+ ≤ 23 1x− < < 3 2( ) 3 9f x x x x c′ = + − + 27c = − 2( ) ( 3)( 3)f x x x′ = − + 5c = 2( ) ( 5)( 1)f x x x′ = + − 27 5c− < < 31 3.x< < 3,a > − 2 3a + ≤ 3 1a− < < 5,a < − 3 1a− < < 5,a < − 3 1a− < < ( 27,5)c∈ − )(xf [ ], 2a a + a ( 5) ( 3,1)−∞ − −, ( )' 2 101 af x xx = + −+ 所以 因此 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 当 时, 当 时, 所以 的单调增区间是 的单调减区间是 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 在 内单调增加,在 内单调减少,在 上单调增加,且当 或 时, , 所以 的极大值为 ,极小值为 . 因此 , , 所以在 的三个单调区间 内, 直线 有 的图象各有一个交点,当且仅当 因此, 的取值范围为 . 24-2 解: (I) 直线 的斜率为 1. 函数 的定义域为 , 因为 ,所以 ,所以 . 所以 . . 由 解得 ;由 解得 . ( )' 3 6 10 04 af = + − = 16a = ( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞ ( ) ( )2 ' 2 4 3 1 x x f x x − + = + ( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,3x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞ ( )f x ( )1,3 ( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x = 3x = ( )' 0f x = ( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = − ( ) ( )216 16 10 16 16ln 2 9 1f f= − × > − = ( ) ( )2 1 32 11 21 3f e f− − < − + = − < ( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞ y b= ( )y f x= ( ) ( )3 1f b f< < b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− − 2y x= + ( )f x (0, )+∞ 2 2( ) af x x x ′ = − + 2 2(1) 11 1 af ′ = − + = − 1a = 2( ) ln 2f x xx = + − 2 2( ) xf x x −′ = ( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< < 所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 . (II) , 由 解得 ;由 解得 . 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. 所以当 时,函数 取得最小值, . 因为对于 都有 成立, 所以 即可. 则 . 由 解得 . 所以 的取值范围是 . (III)依题得 ,则 . 由 解得 ;由 解得 . 所以函数 在区间 为减函数,在区间 为增函数. 又因为函数 在区间 上有两个零点,所以 解得 . 所以 的取值范围是 . 24-3 解: ,令 ,得 或 . 因为在 和 内 ,所以 在 和 内是增函数, ( )f x (2, )+∞ (0,2) 2 2 2 2( ) a axf x x x x −′ = − + = ( ) 0f x′ > 2x a > ( ) 0f x′ < 20 x a < < ( )f x 2( , )a + ∞ 2(0, )a 2x a = ( )f x min 2( )y f a = (0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> − 2( ) 2( 1)f aa > − 2 2ln 2 2( 1)2 a aa a + − > − 2lna aa > 20 a e < < a 2(0, )e 2( ) ln 2g x x x bx = + + − − 2 2 2( ) x xg x x + −′ = ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< < ( )g x (0, 1) (1, )+ ∞ ( )g x 1[ , ]e e− 1( ) 0, ( ) 0, (1) 0. g e g e g − < ≥ ≥ 21 1b ee < + −≤ b 2(1, 1]ee + − 2'( ) 2f x x x= − − '( ) 0f x = 1 2x = 2 1x = − ( , 1)−∞ − (2, )+∞ '( ) 0f x > ( )f x ( , 1)−∞ − (2, )+∞ 又在 内 ,所以 在 内是减函数. 所以 是 的极大值点, 是 的极小值点. 令 , 当 时, , , 所以方程 有不同的三个根. 24-4 解:(Ⅰ)因为 所以 因此 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, . 当 时, ; 当 时, . 所以 的单调增区间是 ; 的单调减区间是 (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 在 内单调增加,在 内单调减少,在 上单调增加,且当 或 时, . 所以 的极大值为 ,极小值为 . 所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点,当且 仅当 . ( 1,2)− '( ) 0f x < ( )f x ( 1,2)− 2 1x = − ( )f x 1 2x = ( )f x 7( 1) 0 7 106 10 6 3(2) 03 f a a f a − = + > ⇔ − < < = − + < 7 10 6 3a− < < ( 6) 72 18 12 78 0f a a− = − − + + = − < (6) 72 18 12 42 0f a a= − − + = + > ( ) 0f x = ( )' 2 101 af x xx = + −+ ( )' 3 6 10 04 af = + − = 16a = ( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞ ( ) ( )2 ' 2 4 3 1 x x f x x − + = + ( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )1,3x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞ ( )f x ( )1,3 ( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x = 3x = ( )' 0f x = ( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = − ( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞ y b= ( )y f x= ( ) ( )3 1f b f< < 因此, 的取值范围为 . 25-1 解:(Ⅰ)当 时, 得 令 ,即 ,解得 ,所以函数 在 上为增函数, 据此,函数 在 上为增函数, 而 , ,所以函数 在 上的值域为 (Ⅱ)由 令 ,得 即 当 时, ,函数 在 上单调递减; 当 时, ,函数 在 上单调递增; 若 ,即 ,易得函数 在 上为增函数, 此时, ,要使 对 恒成立,只需 即可, 所以有 ,即 而 ,即 ,所以此时无解. 若 ,即 ,易知函数 在 上为减函数,在 上为增函数, 要使 对 恒成立,只需 ,即 , 由 和 得 . 若 ,即 ,易得函数 在 上为减函数, 此时, ,要使 对 恒成立,只需 即可, 所以有 ,即 ,又因为 ,所以 . b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− − 1a = − ( ) ln ,f x x x= − 1( ) 1 ,f x x ′ = − ( ) 0f x′ > 11 0x − > 1x > ( )f x (1, )+∞ ( )f x 2[e,e ] (e) e 1f = − 2 2(e ) e 2f = − ( )f x 2[e,e ] 2[e 1,e 2]− − ( ) 1 ,af x x ′ = + ( ) 0f x′ = 1 0,a x + = ,x a= − (0, )x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a− ( , )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a− +∞ 1 ea≤ − ≤ e 1a− ≤ ≤ − ( )f x 2[e,e ] 2 max( ) (e )f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2(e ) e 1f ≤ − 2e 2 e 1a+ ≤ − 2e e 1 2a − + −≤ 2 2e e 1 (e 3e 1)( e) 02 2 − + − − − +− − = < 2e e 1 e2 − + − < − 2e ea< − < 2e ea− > > − ( )f x [e, ]a− 2[ ,e ]a− ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2 (e) e 1 (e ) e 1 f f ≤ − ≤ − 2 1 e e 1 2 a a ≤ − − + −≤ 2 2e e 1 e e 1( 1) 02 2 − + − − + +− − = < 2 2 2e e 1 e e 1( e ) 02 2 − + − + −− − = > 2 2 e e 1e 2a − + −− < ≤ 2ea− ≥ 2ea ≤ − ( )f x 2[e,e ] max( ) (e)f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ (e) e 1f ≤ − e e 1a+ ≤ − 1a ≤ − 2ea ≤ − 2ea ≤ − 综合上述,实数 a 的取值范围是 . 25-2 解:(Ⅰ) (1)当 ,即 时, ,不成立. (2)当 ,即 时,单调减区间为 . (3)当 ,即 时,单调减区间为 . (Ⅱ) , 在 上递增,在 上递减,在 上递增. (1)当 时,函数 在 上递增, 所以函数 在 上的最大值是 , 若对 有 恒成立,需要有 解得 . (2)当 时,有 ,此时函数 在 上递增,在 上递减,所以函 数 在 上的最大值是 , 若对 有 恒成立,需要有 解得 . (3)当 时,有 ,此时函数 在 上递减,在 上递增, 所以函数 在 上的最大值是 或者是 . 由 , ① 时, , 若对 有 恒成立,需要有 解得 . ② 时, , 若对 有 恒成立,需要有 解得 . 2e e 1( , ]2 − + −−∞ 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a= − + = − − < 3a a= 0a = 2'( ) 3 0f x x= > 3a a> 0a < (3 , )a a 3a a< 0a > ( ,3 )a a 2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a= − + = − − ( )f x (0, )a ( ,3 )a a (3 , )a +∞ 3a ≥ ( )f x [0,3] ( )f x [0,3] (3)f [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ (3) 4, 3, f a ≤ ≥ a ∈∅ 1 3a≤ < 3 3a a< ≤ ( )f x [0, ]a [ ,3]a ( )f x [0,3] ( )f a [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ ( ) 4, 1 3, f a a ≤ ≤ < 1a = 1a < 3 3a> ( )f x [ ,3 ]a a [3 ,3]a ( )f x [0,3] ( )f a (3)f 2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a− = − − 30 4a< ≤ ( ) (3)f a f≤ [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ (3) 4, 30 ,4 f a ≤ < ≤ 2 3 3[1 , ]9 4a∈ − 3 14 a< < ( ) (3)f a f> [ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ ( ) 4, 3 1,4 f a a ≤ < < 3( ,1)4a∈ 综上所述, . 26-1 解:(I) 的定义域为 . . 根据题意,有 ,所以 , 解得 或 . (II) . (1)当 时,因为 , 由 得 ,解得 ; 由 得 ,解得 . 所以函数 在 上单调递增,在 上单调递减. (2)当 时,因为 , 由 得 ,解得 ; 由 得 ,解得 . 所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增. (III)由(Ⅱ)知,当 时,函数 的最小值为 , 且 . , 令 ,得 . 当 变化时, , 的变化情况如下表: 2 3[1 ,1]9a∈ − ( )f x { | 0}x x > ( ) ( )2 2 2 1 0a af x xx x ′ = − + > ( )1 2f ′ = − 22 3 0a a− − = 1a = − 3 2a = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( 2 )1 0a a x ax a x a x af x xx x x x + − − +′ = − + = = > 0a > 0x > ( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > x a> ( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 x a< < ( )f x ( ),a +∞ ( )0,a 0a < 0x > ( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > 2x a> − ( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 2x a< < − ( )f x ( )0, 2a− ( )2 ,a− +∞ ( ,0)a∈ −∞ ( )f x ( )g a 22( ) ( 2 ) ln( 2 ) 2 ln( 2 ) 32 ag a f a a a a a a aa = − = − + − = − −− 2( ) ln( 2 ) 3 ln( 2 ) 22g a a a aa −′ = − + − = − −− ( ) 0g a′ = 21 e2a = − a ( )g a′ ( )g a a 21( , e )2 −∞ − 21 e2 − 21( e ,0)2 − + 0 - 极大值 是 在 上的唯一极值点,且是极大值点,从而也是 的最大值点. 所以 . 所以,当 时, 成立. 26-2(Ⅰ)解: . 由 题 意 有 即 , 解 得 或 ( 舍 去 ).得 即 ,解得 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 , . 在区间 上,有 ;在区间 上,有 . 故 在 单调递减,在 单调递增, 于是函数 在 上的最小值是 . 故当 时,有 恒成立. (Ⅲ)解: . 当 时,则 ,当且仅当 时等号成 立,故 的最小值 ,符合题意; 当 时,函数 在区间 上是增函数,不存在最小值,不合题意; ( )g a′ ( )g a 21 e2 − ( )g a ( ,0)−∞ ( )g a ( ) 2 2 2 21 1 1 1( e ) e ln[ 2 ( e )] 3( e )2 2 2 2最大值g a g= − = − − × − − − 2 2 2 21 3 1e ln e e e2 2 2 = − + = ( ,0)a∈ −∞ 21( ) e2g a ≤ 23e( ) 2ef x x x ′ = + − 0( ) 0f x′ = 2 0 0 3e2e 0x x + − = 0 ex = 0 3ex = − (e) 0f = 2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b+ − − = 21 e2b = − 2 2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x= + − + > ( )f x′ 23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x − += + − = > (0,e) ( ) 0f x′ < (e, )+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,e) (e, )+∞ ( )f x (0, )+∞ (e) 0f = 0x > ( ) 0f x ≥ 23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x −′= + = + + ( 0)x > 23ea > 2 23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax −= + + ≥ − + 23ex a= − ( )F x 22 3e 2em a= − + 2e> 23ea = ( ) 2eF x x= + (0, )+∞ 当 时,函数 在区间 上是增函数,不存在最小值,不合 题意. 综上,实数 的取值范围是 . 27-1(Ⅰ)解: 的定义域为 . . 令 , 或 . 当 时, ,函数 与 随 的变化情况如下表: 0 0 极小值 极大 值 所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 和 . 当 时, . 所以,函数 的单调递减区间是 . 当 时, ,函数 与 随 的变化情况如下表: 0 0 0 极小值 极大 值 所以,函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 和 . ( Ⅱ ) 证 明 : 当 时 , 由 ( Ⅰ ) 知 , 的 极 小 值 为 , 极 大 值 为 . 因 为 , , 且 在 23ea < 23e( ) 2eaF x x x −= + + (0, )+∞ a 2(3e , )+∞ ( )f x ( , )a +∞ 2 ( 1)'( ) 1a x a xf x xx a x a − + += − + =− − '( ) 0f x = 0x = +1x a= 1 0a− < < +1 0a > ( )f x '( )f x x x ( ,0)a 0 (0, 1)a + 1a + ( 1, )a + +∞ ( )f x − + − '( )f x ( )f x (0, 1)a + ( ,0)a ( 1, )a + +¥ 1a =- 2 '( ) 01 xf x x −= ≤+ ( )f x ( 1, )- +¥ 1a < − +1 0a < ( )f x '( )f x x x ( , 1)a a + 1a + ( 1,0)a + (0, )+∞ ( )f x − + − '( )f x ( )f x ( 1,0)a + ( , 1)a a + (0, )+¥ 1 2(ln2 1) 0a− < < − < ( )f x (0)f ( 1)f a + (0) ln( ) 0f a a= − > 2 21 1( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 02 2f a a a a+ = − + + + = − > ( )f x 上是减函数, 所以 至多有一个零点. 又因为 , 所以 函数 只有一个零点 ,且 . (Ⅲ)解:因为 , 所以 对任意 且 由(Ⅱ)可知: , ,且 . 因为 函数 在 上是增函数,在 上是减函数, 所以 , . 所以 . 当 时, = >0. 所以 . 所以 的最小值为 . 所以 使得 恒成立的 的最大值为 . 27-2(Ⅰ)解:由 ,可得 . 当 单调递减, 当 单调递增. 所以函数 在区间 上单调递增, 又 , 所以函数 在区间 上的最小值为 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 在 时取得最小值, ( 1, )a + +¥ ( )f x 21 1( 2) ln 2 [ 2(ln 2 1)] 02 2f a a a a a a+ = − − = − − − < ( )f x 0x 01 2a x a+ < < + 41 2(ln 2 1)5 − < − < − 1 2 0, [0, ]x x x∈ 2 1 1,x x− = 1 [0, 1)x a∈ + 2 0( 1, ]x a x∈ + 2 1x ≥ ( )f x [0, 1)a + ( 1, )a + +¥ 1( )f x (0)f≥ 2( )f x (1)f≤ 1 2( ) ( ) (0) (1)f x f x f f- ³ - 4 5a = − 1(0) (1) ln( )1 2 af f a a − = −− 4 9 1ln5 4 2 − 1 2( ) ( ) (0) (1) 0f x f x f f- ³ - > 2 1( ) ( )f x f x− 4 9 1(0) (1) ln5 4 2f f− = − 2 1( ) ( )f x f x m− ≥ m 4 9 1ln5 4 2 − ( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + 1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe ′∈ < 1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe ′∈ +∞ > ( )f x [1,3] (1) 0f = ( )f x [1,3] 0 ( ) ln ( (0, ))f x x x x= ∈ +∞ 1x e = 又 , 可知 . 由 ,可得 . 所以当 单调递增, 当 单调递减. 所以函数 在 时取得最大值, 又 , 可知 , 所以对任意 ,都有 成立. 28-1(Ⅰ)解:当 时, , . 由 , 得曲线 在原点处的切线方程是 . (Ⅱ)解: . ① 当 时, . 所以 在 单调递增,在 单调递减. 当 , . ② 当 时,令 ,得 , , 与 的情况如下: 1 1( )f e e = − 1( )f m e ≥ − 2( ) x xg x e e = − 1'( ) x xg x e −= (0,1), '( ) 0, ( )x g x g x∈ > (1, ), '( ) 0, ( )x g x g x∈ +∞ < ( )( 0)g x x > 1x = 1(1)g e = − 1( )g n e ≤ − , (0, )m n∈ +∞ ( ) ( )f m g n≥ 1a = 2 2( ) 1 xf x x = + 2 2 ( 1)( 1)( ) 2 ( 1) x xf x x + −′ = − + (0) 2f ′ = ( )y f x= 2 0x y− = 2 ( )( 1)( ) 2 1 x a axf x x + −′ = − + 0a = 2 2( ) 1 xf x x ′ = + ( )f x (0, )+∞ ( ,0)−∞ 0a ≠ 2 1( )( ) ( ) 2 1 x a x af x a x + − ′ = − + 0a > ( ) 0f x′ = 1x a= − 2 1x a = ( )f x ( )f x′ 故 的 单 调 减区间是 , ;单调增区间是 . ③ 当 时, 与 的情况如下: 所 以 的 单 调 增 区 间 是 ; 单 调减区间是 , . (Ⅲ)解:由(Ⅱ)得, 时不合题意. 当 时,由(Ⅱ)得, 在 单调递增,在 单调递减,所以 在 上存 在最大值 . 设 为 的零点,易知 ,且 .从而 时, ; 时, . 若 在 上存在最小值,必有 ,解得 . 所以 时,若 在 上存在最大值和最小值, 的取值范围是 . 当 时,由(Ⅱ)得, 在 单调递减,在 单调递增,所以 在 上存在最小值 . 若 在 上存在最大值,必有 ,解得 ,或 . 所以 时,若 在 上存在最大值和最小值, 的取值范围是 . )(xf ( , )a−∞ − 1( , )a +∞ 1( , )a a − 0a < ( )f x ( )f x′ ( )f x 1( , )a −∞ 1( , )aa − − ( , )a− +∞ 0a = 0a > )(xf 1(0, )a 1( , )a +∞ )(xf (0, )+∞ 21( ) 0f aa = > 0x )(xf 2 0 1 2 ax a −= 0 1x a < 0x x> ( ) 0f x > 0x x< ( ) 0f x < )(xf [0, )+∞ (0) 0f ≤ 1 1a− ≤ ≤ 0a > )(xf [0, )+∞ a (0,1] 0a < )(xf (0, )a− ( , )a− +∞ )(xf (0, )+∞ ( ) 1f a− = − )(xf [0, )+∞ (0) 0f ≥ 1a ≥ 1a ≤ − 0a < )(xf [0, )+∞ a ( , 1]−∞ − ↘ ↗ ↘ ↗ ↘ ↗ x 1( , )x−∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x + ∞ ( )f x′ − 0 + 0 − ( )f x 1( )f x 2( )f x x 2( , )x−∞ 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x + ∞ ( )f x′ + 0 − 0 + ( )f x 2( )f x 1( )f x 综上, 的取值范围是 . 28-2 解:(Ⅰ) , 当 时, 取最小值 , 即 . (Ⅱ)令 , 由 得 , (不合题意,舍去). 当 变化时 , 的变化情况如下表: 递增 极大值 递减 在 内有最大值 . 在 内恒成立等价于 在 内恒成立, 即等价于 , 所以 的取值范围为 . 28-3 解:(Ⅰ)对 求导得 , 由题意 是方程 的两根. 由 ,且 得 即 ,由(1)(2)所表示的平面区域可求得 ,故 . 所以 的取值范围是 . (Ⅱ)方程 的两根为 , 由根与系数的关系得 a ( , 1] (0,1]−∞ − 2 3( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t= + − + − ∈ >R , ∴ x t= − ( )f x 3( ) 1f t t t− = − + − 3( ) 1h t t t= − + − ( )0t > 3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m= − − + = − + − − 2( ) 3 3 0g t t′ = − + = 1t = 1t = − t ( )g t′ ( )g t t (01), 1 (1 2), ( )g t′ + 0 − ( )g t 1 m− ( )g t∴ (0 2), (1) 1g m= − ( ) 2h t t m< − + (0 2), ( ) 0g t < (0 2), 1 0m− < m 1m > )(xf 1)1()( 2 +−+=′ xbaxxf 21, xx 0)( =′ xf 42 21 <<< xx 0>a >′ <′ ,0)4( ,0)2( f f >−+ <−+ )2(,03416 )1(,0124 ba ba 3241)1(24)2( +−=+−−=−′ babaf 024 >− ba 3324)2( >+−=−′ baf )2(−′f ( )+∞,3 01)1(2 =+−+ xbax 21, xx = −−=+ ,1 ,1 21 21 axx a bxx 由于 ,两式相除得 ,即 . 由条件 可得 ,易知当 时, 是增函数,当 时, , 故 的取值范围是 . 得证. (Ⅲ)因为 的两根是 ,故可设 ,所以 . 由于 ,因此 又 ,可知 , 故 , 当且仅当 即 时取等号. 所以 , ,当 时, , 在 内是增 函数,又 在 上连续,故 在 上是增函数. 所以 . 29-1解:(Ⅰ) , 易知,当 ,即 时, , 在区间 上是增函数. 当 时, , 在区间 上是减函数. 021 ≠xx 2121 21 11)1( xxxx xxb +=+=−− 111 21 +−−= xxb 212 += xx 12 11)( 11 1 ++−−== xxxb ϕ )2,0(1 ∈x )(xϕ )2,0(1 ∈x 4 1)2()( 1 =< ϕϕ x b ∞− 4 1, 0)( =′ xf 21, xx ))(()( 21 xxxxaxf −−=′ )2)(()(2))(()(2)()( 122212 axxxxaxxxxxxaxxxfxg +−−=−+−−−=−+′−= ( )21, xxx ∈ ,0,0 12 >−>− xxxx 2≥a 02 1 >+− axx 21)11(2 )2()( )2)(()( 2 2 12 12 ++=+= +−+− ≤+−−= aaaaaxxxx aaxxxxaxg axxxx 2 12 +−=− axx 111 −+= 21)( ++= aaah [ )+∞∈ ,2a ( )+∞∈ ,2a 011)( 2 >−=′ aah )(ah ( )+∞,2 )(ah [ )+∞,2 )(ah [ )+∞,2 2 9)2()( min == hah 2 2 2 (2 1)'( ) ( 1)( 1) a x a xf x x ax + −= + + 2 1 0a − ≥ 1 2a ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞ 0a = 2'( ) 0( 1)( 1) xf x x ax −= ≤+ + ( )f x [0, )+∞ 当 且 时, ,在区间 上 , 在区间 上不 是增函数. 所以, 的取值范围为 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时, 在区间 上是减函数,所以,当 时, ,即 . 分别令 ,再把这 个不等式左、右相加,即得: . 由(Ⅰ)知,当 时, 在区间 上是增函数. 所以 ,即 , 分别令 ,再把这 个不等式左、右相加,整理得: . 综上, ( ). 29-2 解:(1)函数的定义域为 . 因为 , 所以函数 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, 所以函数 的最小值为 . (2)问题等价于,当 时, 恒成立. 当 时,显然 恒成立; 当 时, .(下面求该函数的最小值) 1 2a < 0a ≠ 2 2 1 0a a −− > 2 2 1[0, ]a a −− '( ) 0f x ≤ ( )f x [0, )+∞ a 1[ , )2 +∞ 0a = ( ) ln(1 )f x x x= + − [0, )+∞ 0x > ( ) (0) 0f x f< = ln(1 )x x+ < 1 1 11, , , ,2 3x n = ⋅⋅⋅ n 1 1 1ln( 1) 1 2 3n n + < + + +⋅⋅⋅+ 1a = ( ) ln(1 ) 1 xf x x x = + − + [0, )+∞ ( ) (0) 0f x f> = ln(1 ) 1 xx x + > + 1 1 11, , , ,2 3x n = ⋅⋅⋅ n 1 1 1 1ln( 1) 2 3 4 1n n + > + + +⋅⋅⋅+ + 1 1 1 1 1 1 1ln( 1) 12 3 4 1 2 3nn n + + +⋅⋅⋅+ < + < + + +⋅⋅⋅++ 1n ≥ R ' ( ) 1xf x e= − ( )f x ( ,0]−∞ [0, )+∞ ( )f x (0) 1f = [0,2]x∈ ( )f x ax> 0x = ( )f x ax> (0,2]x∈ ( )( ) f xf x ax a x > ⇔ < 令 , 则, , 所以, 在区间 上是减函数,在区间 上是增函数, 所以, , 所以 . 即实数 的取值范围为 . (3)由(1)知, , 即, , 令 ,则有 , 所以 , 即 , 所以, . 29-3 解:(Ⅰ)函数 的定义域为 , . 又曲线 在点 处的切线与直线 垂直, 所以 , 即 . (Ⅱ)由于 . ( )( ) (0 2)f xg x xx = < ≤ ' 1( ) xxg x ex −= ( )g x (0,1] [1,2] min (2)( ) (1) 12 fg x g e= = = − 1a e< − a ( , 1)e−∞ − 1xe x− ≥ 1xe x≥ + ( 0,1,2,3, , 1)kx k nn = − = ⋅⋅⋅ − 1 0 k n ke n − ≥ − > (1 )k nke n − > − ( )n kn k en −− ≤ 1 2 1 2 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n n n n n n n n e e e− −+ + +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ + 11 1 1 1 11 1 n ee e e e − = < = −− − ( )f x { }| 0x x > 2 1( ) af x x x ′ = + ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = (1) 1 2f a′ = + = 1a = 2 1( ) axf x x +′ = 当 时,对于 ,有 在定义域上恒成立, 即 在 上是增函数. 当 时,由 ,得 . 当 时, , 单调递增; 当 时, , 单调递减. (Ⅲ)当 时, . 令 . . 当 时, , 在 单调递减. 又 ,所以 在 恒为负. 所以当 时, . 即 . 故当 ,且 时, 成立. 30-1 解:(Ⅰ)当 时, , ∴ . 对于 ,有 ,∴ 在区间 上为增函数. ∴ , . (Ⅱ)令 ,定义域为 . 0a ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ 0a < ( ) 0f x′ = 1 (0, )x a = − ∈ +∞ 1(0, )x a ∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x 1( , )x a ∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x 1a = 1( 1) ln( 1) 1f x x x − = − − − [ )2x∈ + ∞, 1( ) ln( 1) 2 51g x x xx = − − − +− ' 2 2 1 1 (2 1)( 2)( ) 21 ( 1) ( 1) x xg x x x x − −= + − = −− − − 2x > ' ( ) 0g x < ( )g x (2, )+∞ (2) 0g = ( )g x (2, )+∞ [2, )x∈ +∞ ( ) 0g x ≤ 1ln( 1) 2 5 01x xx − − − + ≤− 1a = 2x ≥ ( 1) 2 5f x x− ≤ − 1=a xxxf ln2 1)( 2 += x x xxxf 11)( 2 +=+=′ ∈x [ ]e,1 0)( >′ xf )(xf [ ]e,1 21)()( 2 max eefxf +== 2 1)1()(min == fxf xaxxaaxxfxg ln2)2 1(2)()( 2 +−−=−= ( )+∞,0 在区间 上,函数 的图象恒在直线 下方等价于 在区间 上恒成 立. ∵ , ① 若 ,令 ,解得: , . 当 ,即 时,在 上有 , 此时 在区间 上是增函数,并且在该区间上有 ,不合题意; 当 ,即 ,同理可知, 在区间 上,有 ,也不合题意; ② 若 时,则有 ,此时在区间 上恒有 , 从而 在区间 上是减函数; 要使 在此区间上恒成立,只须满足 , 由此求得 的范围是 . 综合①②可知,当 ∈ 时,函数 的图象恒在直线 下方. 30-2 解:(Ⅰ)当 时,函数 , . , 曲线 在点 处的切线的斜率为 . 从而曲线 在点 处的切线方程为 , 即 . (Ⅱ) . 令 ,要使 在定义域 内是增函数,只需 在 内恒成 立. ( )+∞,1 )(xf axy 2= 0)(查看更多