高考不等式专题讲解

高考不等式专题讲解

高考重难点专题突破之——不等式 一、 综述（内容、地位、作用）：‎ 在苏教版高中数学教科书必修系列中，直接涉及“不等式”内容的部分为必修5第三章《不等式》。另外，在实际教学过程中，在学到必修5《不等式》之前的某些章节（如集合、函数的值域等），无论文理科班，基于教学内容的关联性和完整性，老师们基本上都要对选修4-5中的部分基础性内容进行选讲。所以“不等式”的内容主要来自必修5第三章《不等式》以及选修系列4-5《不等式选讲》。综合来看，不等式的内容主要可分为不等式的求解、证明和应用三部分，它们又分别以一元二次不等式的求解、均值不等式相关的证明、不等式在应用题以及线性规划中的应用为主。‎ 不等式是中学数学的主干内容之一， 它不仅是中学数学的基础知识，而且在中学数学中起着广泛的工具性作用，对学生们步入大学之后的数学学习也具有基础性的铺垫作用。在历年的高考中，不等式虽很少单独命题（理科附加卷除外），但无论从它所涉及到的知识点或是题量来看，有关不等式的试题分布范围极广（甚至有些题目很难界定其中对不等式的考查所占到的比重，所以我们也很难准确给出高考中不等式所占分值），试题不仅考查了不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的应用能力等数学素养。‎ 在高考命题趋势上，不等式的考查极其突出工具性，淡化独立性、突出解，是不等式命题的总体取向。高考中不等式试题的落脚点主要有：一，不等式的性质，常与指数函数、对数函数、三角函数等结合起来，考查不等式的性质、函数的单调性、最值等；二，不等式的证明，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高；三，解不等式，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；四，不等式的应用，以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。‎ 二、 考试要求与教学建议：‎ （一） 必修5部分 新课标在对“必修5”《不等式》一章的说明中指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容……‎ 掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系。”由此，我们大致可以看出教材对于本部分的基本要求以及高考的考查要点。‎ 本部分的课标建议课时为大约16课时。相应的说明与建议主要有：‎ 1、 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。‎ 2、 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学中可以从实际背景引入二元一次不等式组。‎ 3、 线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，不必引入很多名词。‎ （一） 不等式选讲部分 此部分文理科考生的对待方式见的异同我们已在“综述”部分有所讲解，次不赘述。‎ 本专题主要介绍几个数学中重要的不等式以及数学归纳法。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。从文理科学习之间的异同的角度，我们可以将本专题内容分为两部分：前半部分，文理科同等要求，且均在必修过程中已基本讲解到位；后半部分，只对理科生做简单要求，即高考时所考题目难度不大，基本上可直接套用公式，或只需经简单并行即可套用公式，同时，也不是必做题。‎ 下面，我们把新课标中的内容与要求重点性的摘录于此，以供诸位师生探讨，同时也作为本部分内容的一个基本总结，后文将不再详细展开。‎ 1、 理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明三角不等式等。‎ 2、 认识柯西不等式的几种不同形式。‎ 3、 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。‎ 4、 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。‎ 1、 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 ‎ 二、 考点归纳与题型讲解之“不等式的求解”‎ ‎（一）、不等式的性质 ‎1、不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。‎ ‎2、两个实数的大小：‎ ‎；；‎ ‎3、不等式的基本性质： ‎ ‎(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．‎ 如果，那么.‎ ‎(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．‎ 如果，那么（或）.‎ ‎（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．‎ 如果,,那么（或）‎ 由上面三条可以衍生出如下的性质： ‎ ‎（1）（对称性）‎ ‎（2）（传递性） ‎ ‎（3）（加法单调性）‎ ‎（4）（同向不等式相加）‎ ‎（5）（异向不等式相减）‎ ‎（6）‎ ‎（7）（乘法单调性）‎ ‎（8）（同向不等式相乘）‎ ‎ （异向不等式相除）‎ ‎ （倒数关系）‎ ‎（11）（平方法则）‎ ‎（12）（开方法则）‎ ‎4．例题：‎ ‎（1）已知，，则的取值范围是______‎ ‎（答：）；‎ ‎（2）已知，且则的取值范围是______‎ ‎（答：）‎ ‎（二）解一元一次不等式（组）‎ ‎1．一元一次不等式 ‎1.1定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．‎ 注：一元一次不等式的一般形式是ax+b>O或ax+bb）‎ 不等式组 图示 解集 ‎（同大取大）‎ ‎（同小取小）‎ ‎（大小交叉取中间）‎ 无解 ‎（大小分离解为空）‎ ‎2．4.解一元一次不等式组的步骤 ‎(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；‎ ‎(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．‎ ‎3．例题讲解 ‎【例1】 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来.‎ 解:解不等式①得，解不等式②得，不等式①和②的解集在数轴上表示如下：‎ ‎∴原不等式组的解集是.‎ ‎（三）解一元二次不等式（组）‎ ‎1：一元二次不等式的定义：‎ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2‎ 的不等式，称为一元二次不等式。‎ 比如：.任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或.‎ ‎2：一般的一元二次不等式的解法：‎ 一元二次不等式的解集可以联系二次函数的图象，图象在轴上方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集，图象在轴下方部分对应的横坐标值的集合为不等式的解集. 　　设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表：‎ ‎(a>0)的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 注：表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，可先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； ‎ ‎3：规律方法指导 3.1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数； 3.2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；‎ ‎ 3.3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 3.4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 3.5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 ‎（四）．解分式不等式 ‎1. 形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0（其中f(x)、g(x)为整式且g(x)不为０）的不等式称为分式不等式。‎ 通俗的说就是分母中含未知数的不等式称之为分式不等式。‎ ‎2. 归纳分式不等式的解法：（不知道分母正负的时候）‎ 化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式 将分式不等式进行形如以下四类的等价变形：‎ ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎3.例题讲解：解不等式：.‎ 解法1：化为两个不等式组来解：‎ ‎∵x∈φ或，‎ ‎∴原不等式的解集是.‎ 解法2：化为二次不等式来解： ‎ ‎∵， ∴原不等式的解集是 ‎ 点评：提倡用解法2，避免分类讨论，提高解题速率。‎ 变式1：解不等式 解：‎ 的解集是{x| -70”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎+‎ xn xn-1‎ x3‎ x2‎ x1‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎-‎ 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；‎ ‎3.例题讲解：‎ 例1.解不等式：.‎ 解：∵‎ ‎+‎ ‎+‎ ‎，用穿根法（零点分段法）画图如下：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴原不等式的解集为{x| -1b>c，求证：‎ 分析 考虑到a―c=（a―b）+（b―c），由此可以令x=a－b>0，y=b－c>0，使问题转化为“若x、y>0，证明”。‎ 证明 令x=a―b>0，y=b―c>0，a―c=x+y，下面只要证明即可。‎ ‎∵x，y>0，‎ ‎∴，‎ ‎（当且仅当，即x=y，2b=a+c取等号）‎ ‎∴，‎ 即。‎ ‎（十二）数学归纳法证明不等式 例1 证明不等式：，‎ 讲解：此题为与自然数有关的命题，故可考虑用数学归纳法证明．‎ 解1 ①时，不等式的左端=1，右端=2，显然1<2，‎ 所以，时命题成立．‎ ‎②假设时命题成立，即：．‎ 则当时，‎ 不等式的左端 ‎ 不等式的右端．‎ ‎ 由于=‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 所以，，即时命题也成立．‎ ‎ 由①②可知：原不等式得证．‎ 一. 裂项放缩:‎ ‎1.求证: ‎ ‎ 证:由 ‎ 得到 注:常见变型:‎ ‎①或 ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ ‎⑦‎ ‎2.求证:‎ ‎ 证:由 ‎ 得到 ‎ ‎ ‎3.求证:‎ ‎ 证:由 ‎ 得到 ‎ ‎ ‎4.‎ ‎ 证:①先证左边:‎ ‎ ‎ ‎②再证右边:‎ ‎ ‎ ‎5.已知,,求证:‎ ‎ 证:由 ‎ 得到 一. 函数放缩:‎ ‎6.求证:‎ ‎ 证:先构造函数有 ‎ 得……………………①‎ ‎ 其中 ‎ ‎ ……………………②‎ ‎ 由①,②得 ‎7.求证: ‎ ‎ 证:构造函数有 得……………………①‎ ‎………②‎ ‎8.求证:‎ ‎ 证:构造函数有 则 ‎ 得 ‎9.求证: ‎ ‎ 证:构造函数有 得 ‎10.已知函数,若,证明 ‎ 证:令 ‎ ‎ 则,则在上递减,在上递增,‎ 所以有 一. 分式放缩:‎ ‎11.求证:‎ ‎ 证:记 ‎ 则 ‎ 即 ‎ 注:也可得到 ‎12.求证:‎ ‎ 证:记 ‎ ‎ 则 即: ‎ ‎13.求证:‎ ‎ 证:‎ ‎ ‎ 二. 借助数列递推关系 ‎14.求证:‎ ‎ 证:记 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中 ‎ 所以 ‎15.若,求证:‎ ‎ 证:由 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一. 均值不等式放缩:‎ ‎16.设,求证:‎ ‎ 证:由 得 ‎ 注:‎ ‎17.若,求证:‎ ‎ (1)‎ ‎ (2)‎ ‎ 证:(1)由 ‎ (2)由 一. 加强命题法:‎ ‎18. 数列中,,对任何有 求证！‎ ‎ 证:由已知可以推出,令 即证 现用数学归纳法证明:‎ ‎①当时,左边=,右边=,命题成立 ‎②假设时,成立,‎ 则 ‎ 所以时,命题也成立.‎ 即: ‎ ‎ ‎