平面向量高考理科数学总复习专题练习

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平面向量高考理科数学总复习专题练习

平面向量 ‎1.代数法 例1:已知向量,满足,,且,则在方向上的投影为( )‎ A.3 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】考虑在上的投影为,所以只需求出,即可.‎ 由可得:,‎ 所以.进而.故选C.‎ ‎2.几何法 例2:设,是两个非零向量,且,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可知,,为平行四边形的一组邻边和一条对角线,‎ 由可知满足条件的只能是底角为,边长的菱形,‎ 从而可求出另一条对角线的长度为.‎ ‎3.建立直角坐标系 例3:在边长为1的正三角形中,设,,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,‎ 观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题,‎ 如图建系:,,,‎ 下面求坐标:令,∴,,‎ 由可得:,∴,‎ ‎∴,,∴.‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1.已知向量,满足,,且向量,的夹角为,若与垂直,则实数的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以,故选D.‎ ‎2.已知向量,满足,,,则( )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得:,则.故选A.‎ ‎3.如图,平行四边形中,,,,点在边上,且,‎ 则( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,,‎ 则 ‎.故选B.‎ ‎4.如图,在中,是边的中线,是边的中点,若,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,在中,是边的中线,所以,‎ 又因为是边的中点,所以,‎ 所以,故选B.‎ ‎5.在梯形中,,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,,,,‎ 所以是直角梯形,且,,‎ 以所在直线为轴,以所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系:‎ 因为,,动点和分别在线段和上,‎ 则,,,,‎ 所以,‎ 令且,‎ 由基本不等式可知,当时可取得最大值,‎ 则.故选D.‎ ‎6.已知中,,,,为线段上任意一点,则的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,中,,,,‎ 则根据余弦定理可得,即.∴‎ 为直角三角形 以为原点,为轴,为轴建立坐标系,则,,‎ 则线段的方程为,.‎ 设,则.‎ ‎∵,∴.故选C.‎ ‎7.已知非零向量,,满足且,则与的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】非零向量,,满足且,则,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,∴与的夹角为,故选A.‎ ‎8.在中斜边,以为中点的线段,则的最大值为( )‎ A. B.0 C.2 D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵在中斜边,∴,‎ ‎∵为线段中点,且,‎ ‎∴原式,‎ 当时,有最大值,.故选B.‎ ‎9.设向量,,,满足,,,则的最大值等于 ‎( )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】设,,,因为,,‎ 所以,,所以,,,四点共圆,‎ 因为,,所以,‎ 由正弦定理知,即过,,,四点的圆的直径为2,‎ 所以的最大值等于直径2,故选D.‎ ‎10.已知与为单位向量,且,向量满足,则的取值范围为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,是单位向量,,可设,,,‎ 由向量满足,∴,‎ ‎∴,即,其圆心,半径,‎ ‎∴,∴.故选B.‎ ‎11.平行四边形中,,在上投影的数量分别为,,则在上的投影的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系:设,‎ 则,,则,解得. 所以,.在上的摄影,‎ 当时,,得到:,当时,,,故选A.‎ ‎12.如图,在等腰直角三角形中,,,是线段上的点,且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示,以所在直线为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系,‎ 则,,,设,则,.‎ 据此有,,‎ 则.‎ 据此可知,当时,取得最小值;‎ 当或时,取得最大值;‎ 的取值范围是.故选A.‎ 二、填空题 ‎13.已知向量,,,若,则________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为,,所以,‎ 又,且,则,即.‎ ‎14.若向量,满足,,且,则与的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得,,即,‎ 据此可得,∴,‎ 又与的夹角的取值范围为,故与的夹角为.‎ ‎15.已知正方形的边长为2,是上的一个动点,则求的最大值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设,则,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴当时,取得最大值4,故答案为4.‎ ‎16.在中,,,,为线段上一点,则的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为坐标原点,,所在直线为,轴建立直角坐标系,‎ 可得,,,则直线的方程为,‎ 设,则,,,,‎ 则|‎ ‎, 由,可得的最小值为 ,时,则的最大值为 ‎ 即的取值范围为.故答案为.‎
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