高考真题理科数学解析分类汇编7立体几何

高考真题理科数学解析分类汇编7立体几何

2013 年高考真题理科数学解析分类汇编 7 立体几何 一选择题 1.[湖南]7．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方 体的正视图的面积不可能等于 A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 由题知，正方体的棱长为 1， 。选 C 2.陕西 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 【答案】 【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2。所以体 积 3.安徽理（3）在下列命题中，不是公理的是 （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推 导证明，故是定理。 所以选 A 4.广东 5.某四棱台的三视图如图 1 所示，则该四棱台的体积是 1 2 2-1 2 2+1 2 12 1-2.]2,1[]2,1[1 <而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为 3 π 3 π 3212 1 3 1 2 ππ =⋅⋅⋅⋅=V 11 2 1 图 1 A. 4 B. C. D. 6 解析：显然棱台的上下底的面积分别为 ，故其体积为 选 B 5.广东 6.设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A.若 ，则 m⊥n； B. 若 ，则 C. 若 ，则 ； D. 若 ，则 解析：选 D ∵ ，∴平面 内存在直线 ，故 其它选项均错。 6.新课标 I，6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器 高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水 面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、 500π 3 cm3 B、 866π 3 cm3 C、 1372π 3 cm3 D、 2048π 3 cm3 【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4， 球心到截面圆的距离为 R-2，则 ，解得 R=5，∴球的体积为 = 500π 3 ，故选 A. 7.新课标 I，8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . . . . 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积 公式，是中档题. 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 14 3 16 3 1 21 4S S= =、 1 1 2 2 1 1 14V= ( ) (1 2 4) 23 3 3S S S S h+ + = + + × = ,α β , ,m nα β α β⊥ ⊂ ⊂ // , ,m nα β α β⊂ ⊂ //m n , ,m n m nα β⊥ ⊂ ⊂ α β⊥ , // , //m m n nα β⊥ α β⊥ , // , //m m n nα β⊥ β α⊥ α β⊥ 2 2 2( 2) 4R R= − + 34 5 3 π × 3cm A 16 8π+ B 8 8π+ C 16 16π+ D 8 16π+ 4 ， 上 边 放 一 个 长 为 4 宽 为 2 高 为 2 长 方 体 ， 故 其 体 积 为 = ，故选 . 8.新课标 II 4、已知 ， 为异面直线， ⊥平面 ， ⊥平面 ，直线 满足 ⊥ ， ⊥ ， ，　 ，则（ ） （A） ∥ 且 ∥ 　　　　　　（B） ⊥ 且 ⊥ （ C ） 与 相 交 ， 且 交 线 垂 直 于 （ D ） 与 相 交 ， 且 交 线 平 行 于 【答案】D 设 m∥γ n∥γ 因为 m⊥β⟹m⊥a n⊥α⟹n⊥a 所以 a⊥γ 又 ⊥ ， ⊥ 所以 ⊥γ 因此 ∥a 新课标 II 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ， ， ， ，画该四面体三视图中的正视图时，以 平面为投影面，则 得到正视图可以为（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体 的直观图，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A. 9.江西 8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上，且 ，正方体的六个面所在的平面与直线 CE，EF 相交的平面个数分别记为 ，那 么 21 2 4 4 2 22 π × × + × × 16 8π+ A m n m α n β l l m l n l ⊄ α l ⊄ β α β l α α β l β α β l α β l l m l n l l O xyz− (1,0,1) (1,1,0) (0,1,1) (0,0,0) zOx O ABC− α AB CD ,m n m n+ = A.8 B.9 C.10 D.11 10.辽宁（10）已知三棱柱 A． B． C． D． [答案]C 【解析】如图：因为 所以 BC 是小圆 的直径， 是小圆 的直径， 所以球心在 的中点 R= = 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC− = =的 个顶点都在球 的球面上若 ， ， ,AB AC⊥ 1 12AA O= ，则球 的半径为 3 17 2 2 10 13 2 3 10 ,AB AC⊥ 11.全国（10）已知正四棱柱 的正弦值等于 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】如下图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 ,过 C 作 于 H 为垂足 , ⟹ ⟹CH⊥平面 CD 与平面 所成的角为∠CDH 设 AB=a 则 OC= ，CH= = ，sin∠CDH= 12.山东 4、已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，底面是边长为 的正三角形，若 为底面 的中心，则 与平面 所成角的大小为 (A) (B) (C) (D) 1 1 1 1 1 12 ,ABCD A B C D AA AB CD BDC− =中， 则 与平面 所成角 2 3 3 3 2 3 1 3 1C O 1CH C O⊥ 1 1 1 −ABC A B C 9 4 3 P 1 1 1A B C PA ABC 5 12 π 3 π 4 π 6 π 13.四川 3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ） 14.重庆 5、某几何体的三视图如题 图所示，则该几何体的体积为（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】：C ( )5 560 3 580 3 200 240 15.湖北 16.浙江 二填空题 17. 上 海 13 ． 在 平 面 上 ， 将 两 个 半 圆 弧 和 、两条直线 xOy 2 2( 1) 1( 1)x y x− + = ≥ 2 2( 3) 1( 3)x y x− + = ≥ 和 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体 为 ，过 作 的水平截面，所得截面面积为 ，试利用祖暅原 理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 的体积值为__________ 答案 [解析]：构造如图所示的圆柱和长方体长方体的长与圆柱的高是 2π，圆柱的底面园的直径 为 2 与 长 方 体 的 侧 面 长 方 形 的 长 为 4 ， 高 为 2 则 水 平 截 面 ， 所 得 截 面 面 积 为 由祖暅原理得 的体积值= =2π×4×2+π× 18.浙江 19. [江苏] 8．如图，在三棱柱 中， 分别是 的中 点 ， 设 三 棱 锥 的 体 积 为 ， 三 棱 柱 的 体 积 为 ， 则 1y = 1y = − Ω (0, )(| | 1)y y ≤ Ω 24 1 8yπ π− + Ω 22 16π π+ 24 1 8yπ π− + Ω 22 16π π+ ABCCBA −111 FED ，， 1AAACAB ，， ADEF − 1V ABCCBA −111 2V ． 【答案】1：24 【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比 为 1：2，故体积之比为 1：8． 又因三棱锥 与三棱柱 的体积之 比 为 1 ： 3 ． 所 以 ， 三 棱 锥 与 三 棱 柱 的体积之比为 1：24． 20.[全国] （16）已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆，其公共弦长等于球 的半径， 则球 的表面积等于 . 答案 16π 解析： 如图：过两圆相交弦 AB 的中点 E 分别与两圆圆心 O,K 连线 ，得到两圆直径 CD,和 GH 则 CD⊥AB,和 GH⊥AB ,∠GEC 为两圆的二面角的平面角∠GEC= ，O 是大圆圆心即为球心 所以 OK⊥圆 K 所在平面，AB=OA=OB=OC=R 在正三角形 AOB 中 高 OE= R，在直角三角形 OKE 中 OK =OE ⟹ R = ⟹ R= 2⟹ S=16π =21 :VV ADEF − ABCA −1 ABCA −1 ABCCBA −111 ADEF − ABCCBA −111 O K O O 3 602OK O K= ，且圆 与圆 所在的平面所成角为 ， O A B C 1A D E F 1B 1C 21.辽宁（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 【答案】 【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。 22.安徽理（15）如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是__①②③⑤ ___（写出所有正确命题的编号）。 ①当 时，S 为四边形 ②当 时，S 为等腰梯形 ③当 时，S 与 的交点 R 满足 ④当 时，S 为六边形 ⑤当 时，S 的面积为 【答案】 ①②③⑤ 【解析】 . 对①， ,则 所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真. 16 16π − V = 2 22 4 2 4π ⋅ − ⋅ = 16 16π − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC 10 2CQ< < 1 2CQ = 3 4CQ = 1 1C D 1 1 1 3C R = 3 14 CQ< < 1CQ = 6 2 CQDTPQATPQATTDD 22//1 =⇒=且，则相交于设截面与 时当 2 10. << CQ .10 << DT 对②, ，截面S为四边形 截面S为等腰梯形. 所以为真. 对③, 所以为真. 对④, .截面S与线段 相交，所以四边形S为五边 形.所以为假. 对⑤, .对角 线长度分别为 所以为真. 综上，选①②③⑤ 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 23.北京 14.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上，点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 . 24．福建 12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、 俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球 的表面积是 1=DT,2 1. 时当 =CQ 重合与 1, DT ., 11 QDAPAPQD =所以 时当 4 3. =CQ .3 1.2 1,2 3,4 1 1111 ====⇒ RCTDDTQC 利用三角形相似解得 2DT2 3,14 3. <<<< 时当 CQ 1111 CD,DA AGAPCGDASCCQ 111111 ,Q1. 即为菱形相交于中点与线段截面重合与时，当 = .2 632 的面积为，和 S 三解答题 25.广东 18. （本小题满分 14 分）如图 5，在等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，BC=6，D、 E 分别是 ACAB 上的点，CD=BE= ，O 是 BC 的中点，将△ADE 折起得到如图 6 所示的四棱 锥 ，其中 （1）证明 平面 BCDE； （2）求二面角 的平面角的余弦值。 解：(1)连结 OD、OE。 ∵BC=6， ∴BO=CO=3 由余弦定理得 在等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，BC=6， ∴ ∴ ∴ ，∵ ∴ (2)设 G 为 AC 的中点，连结 ，则 ，且 A’ O BC ED 2 'A BCDE− ' 3A O = 'A O ⊥ 'A CD B− − 2 2 2 2 22 cos 2 9 2 2 3 52OD OE CD CO CD CO BCD= = + − ⋅ ∠ = + − × × = 3 2AB AC= = ' ' 2 2A D A E= = 2 2 2 2 2 2' ' 5 3 8 ' 'OD A O OE A O A D A E+ = + = + = = = ' , 'A O OD A O OE⊥ ⊥ OD OE O= 'A O BCDE⊥ 平面 'A G OG、 1 3 2 2 2OG AB= = //OG AB A’ G A O BC ED ∵ AB⊥BC， ∴ OG⊥AC. ∵ ， ∴ ∴∠ 为二面角 的平面角 在 Rt△ 中， ∴ 为所求二面角 的平面角的余弦值。 26.陕西 18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, . (Ⅰ) 证明: A1C⊥平面 BB1D1D; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. 【答案】(Ⅰ) 见下; (Ⅱ) = (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 的大小. 【解析】 (Ⅰ) ；又因为，在正方形 AB CD 中， 。 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . .(证毕) (Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题。 以 O 为原点，以 OC 为 X 轴正方向，以 OB 为 Y 轴正方向。则 O D1 B1 C1 D A C B A1 'A O BCDE⊥ 平面 'A G AC⊥ 'A GO 'A CD B− − 'A OG 9 15 30' 3 2 2 2A G = + = = 15cos ' ' 5 OGA GO A G ∠ = = 'A CD B− − 1 2AB AA= = θ θ 3 π θ BDOAABCDBDABCDOA ⊥∴⊂⊥ 11 ,, 面且面 BDCAACACAACABDAACOABDAC ⊥⊂⊥=∩⊥ 11111 , ，故面且面所以；且 .111 =∆ OAOAART 中，在 OECAOCEAEDB 1111111 ⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设 ，所以由以上三点得且，面面又 OOBDDDBBODDBBBD =∩⊂⊂ 111111 E.E, DDBBCA 111 面⊥ . 由(Ⅰ)知, 平面 BB1D1D 的一个法向量 设平面 OCB1 的法向量为 。 所以，平面 OCB1 与平面 BB1D1D 的夹角 为 27.山东（18）（本小题满分 12 分） 　如图所示，在三棱锥 P-ABQ 中，PB⊥平面 ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP，BP 的中点，AQ=2BD，PD 与 EQ 交于点 G，PC 与 FQ 交于点 H，连接 GH。 （ Ⅰ ） 求 证 ： AB//GH ； （ Ⅱ ） 求 二 面 角 D-GH-E 的 余 弦 值 . 解答：（1）因为 C、D 为中点，所以 CD//AB 同理：EF//AB，所以 EF//CD，EF 平面 EFQ， 所以 CD//平面 EFQ，又 CD 平面 PCD,所以 CD//GH，又 AB//CD，所以 AB//GH. (2)由 AQ=2BD，D 为 AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以 B 为坐标原点，以 BA、BC、 BP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，设 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一个法向量为 ，平面 EFG 的一个法向量为 ，可得 ,所以二面 角 D-GH-E 的余弦值为 28.[江苏] 16．（本小题满分 14 分） )1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0 111 −=⇒ CABACB ，，，，）（ .0,0,1),1,1,1(),1,0,1( 111 ）（==−== OCOBCAn ，则 0,0, 2122 =⋅=⋅ OCnOBnn ).1-,1,0(法向量 2 =n为解得其中一个 2 1 22 1 |||| |||,cos|cos 21 21 11 = ⋅ = ⋅ ⋅=><= nn nnnnθ θ 3 π ⊂ ⊂ 1 (0,2,1)n = 2 (0,1,2)n = 4 4cos 55 5 α = = 4 5 − O D1 B1 C1 D A C B A1 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 分别是棱 的中点．求证： （1）平面 平面 ； （2） ． 证：（1）因为 SA＝AB 且 AF⊥SB， 所以 F 为 SB 的中点． 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点， 所以，EF∥AB，EG∥AC． 又 AB∩AC＝A，AB 面 SBC，AC 面 ABC， 所以，平面 平面 ． （2）因为平面 SAB⊥平面 SBC，平面 SAB∩平面 SBC＝BC， AF 平面 ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面 SBC． 又 BC 平面 SBC， 所以，AF⊥BC． 又 AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面 SAB． 又 SA 平面 SAB， 所以， ． 29.安徽（19）（本小题满分 13 分） 如图，圆锥顶点为 。底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 22.5°。 和 是底面 圆 上的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角为 60°， （Ⅰ）证明：平面 与平面 的交线平行于底面； （Ⅱ）求 。 【答案】 （Ⅰ） 见下. （Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ） . 所以, .(证毕) ABCS − ⊥SAB SBC BCAB ⊥ ABAS = A SBAF ⊥ F GE， SCSA， //EFG ABC SABC ⊥ ⊂ ⊂ //EFG ABC ⊂ ⊂ ⊂ SABC ⊥ p o AB CD O OP PCD PAB PCD cos COD∠ 212-17 mABPCDABPCDCDCDABmC 直线面面且直线面设面 //////,DPPAB ⇒⇒⊂=∩  ABCDmABCDAB 面直线面 //⇒⊂ ABCDDPPAB 的公共交线平行底面与面面 C A B C S G F E （Ⅱ） . . . 30.上海 19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明 直线 BC1 平行于平面 DA1C，并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离. 19. 【解答】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体，故 ， 故 ABC1D1 为平行四边形，故 ，显然 B 不在平面 D1AC 上，于是直线 BC1 平行于平面 DA1C； 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 考虑三棱锥 ABCD1 的体积，以 ABC 为底面，可得 而 中， ，故 所以， ，即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 ． 31。[新课标 I]18、（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能 力、逻辑推论证能力，是容易题. 【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， ， ， ∵AB= ， = ，∴ 是正三角 形， ∴ ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵ =E，∴AB⊥面 ， ∴AB⊥ ； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， ⊥AB， r POOPFFCDr =°°=∠ 5.22tan.60, 由题知，则的中点为线段设底面半径为 °− °=°∠==°⋅°⇒=° 5.22tan1 5.22tan245tan,2cos5.22tan60tan60tan, 2 COD r OF PO OF )223(3)],1-2(3[2 1cos,1-25.22tan12cos2cos 22 −==+∠=°⇒−∠=∠ CODCODCOD 212-17cos.212-17cos =∠=∠ CODCOD 所以 1 1 1 1// ,AB C D AB C D= 1 1//BC AD h 1 1 1( 1 2) 13 2 3V = × × × × = 1AD C∆ 1 15, 2AC D C AD= = = 1 3 2AD CS∆ = 1 3 1 2 3 2 3 3V h h= × × = ⇒ = 2 3 1AB 1AE 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1AE 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA D1 C1 B1 A1 D C BA 又∵面 ABC⊥面 ，面 ABC∩面 =AB，∴EC⊥面 ，∴EC⊥ ， ∴EA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单 位长度，建立如图所示空间直角坐标系 ， 有题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(－1,0,0),则 =（1,0， ）, = =(－1,0, ), =(0,－ , ), ……9 分 设 = 是平面 的法向量， 则 ，即 ，可取 =（ ，1，-1）， ∴ = ， ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . ……12 分 32.[湖南] 19．（本小题满分 12 分）如图 5，在直棱柱 （I）证明： ； （II）求直线 所成角的正弦值。 【解析】 (Ⅰ) . (证 毕) 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA EA x EA O xyz− 1A 3 3 BC 3 1BB 1AA 3 1AC 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 1 0 0 BC BB  • = • =   n n 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 1cos , ACn 1 1 | AC AC •   n | n || 10 5 10 5 11 1 1 //ABCD A B C D AD BC− 中， ， 190 , , 1, 3.BAD AC BD BC AD AA∠ = ⊥ = = = 1AC B D⊥ 1 1 1B C ACD与平面 ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD ⊥⇒⊂⊥∴− 111111 , 面且面是直棱柱 DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC 11111 ,, ⊥∴⊂⊥∴=∩⊥ ，面。面且又  （Ⅱ） 。 33.辽宁 18．（本小题满分 12 分） 如图， （I）求证： （II） 【解析】 .由 AB 是圆 O 的直径.得 AC⊥BC.由 PA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC.得 PA⊥BC 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线 θ111111 ,//// ACDADACDCBADBCCB ∴ 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向 XADYABA ( ) BDACyBDyACyCyBDDA ⊥−== ),0,,3(),0,,1()0,,1(),0,,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,0 1 ，则，设 ).3,0,3(),0,3,1(.30,0030 1 2 ==∴=⇒>=+−⇒=⋅ ADACyyyBDAC ），，（），，（的一个法向量平面则的法向量为设平面 303,313-. 0 0, 1 1 1 ==⇒    =⋅ =⋅ ADnACD ADn ACnnACD 7 21 37 33|,cos|sin003,313-1 = ⋅ =><=⇒==∴ ADnADnACD θ），，（），，（的一个法向量平面 7 21 11 夹角的正弦值为与平面所以 ACDBD .AB PA C是圆的直径， 垂直圆所在的平面， 是圆上的点 PAC PBC⊥平面 平面 ； 2 .AB AC PA C PB A= = = − −若 ， 1， 1，求证：二面角 的余弦值 又 PA∩AC=A.PA⊂平面 PAC.AC⊂平面 PAC.所以 BC⊥平面 PAC （II）解法一 过 C 作 CM∥ PA,CM⊥平面 ABC 如图，以点 C 为坐标原点，分别以直线 CB,CA,CM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 因为 AB=2,AC=1,所以 BC= ，因为 PA=1,所以 A ,B ,P ,故 , 设平面 BCP 的法向量为 ,则 所以 不妨令 y=1,则 因为 , 设平面 ABP 的法向量为 ，则 所以 不妨令 x=1,则 于是 = 所以由题意可知二面角 C−PB−A 的余弦值为 34. 重 庆 19 、 如 题 （ 19 ） 图 ， 四 棱 锥 中 ， , , 为 的中点， 。 （1）求 的长； （2）求二面角 的正弦值。 P ABCD− PA ABCD⊥ 底面 2, 4, 3BC CD AC ACB ACD π= = = ∠ = ∠ = F PC AF PB⊥ PA B AF D− − 35.江西 19（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 中，P ABCD− PA ,ABCD E BD⊥ 平面 为 的中点，G PD为 的中点， ，连接 并延长交 于 . (1) 求证： ； (2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值. 36 北京 17. (本小题共 14 分) 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形.平面 ABC⊥平面 AA1C1C，AB=3， BC=5. （Ⅰ）求证：AA1⊥平面 ABC； （Ⅱ）求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值； 3, 1 2DAB DCB EA EB AB PA∆ ≅ ∆ = = = =， CE AD F AD CFG⊥ 平面 BCP DCP （Ⅲ）证明：在线段 BC1 存在点 D，使得 AD⊥A1B，并求 的值. 1 BD BC 37.福建 19.（本小题满分 13 分） 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 , （1）求证： 平面 （2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值 （3）现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的 四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视 为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼 接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 ，写出 的 解析式。（直接写出答案，不必说明理由） 1111 DCBAABCD − ⊥1AA ABCD )0(,6,5,4,3,1,// 1 >===== kkDCkBCkADkABAADCAB ⊥CD 11AADD 1AA CAB1 7 6 k 1111 DCBAABCD − )(kf )(kf 38.新课标 II （18）如图，直三棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点。 AB （Ⅰ）证明： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值。 39.全国 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 都是等边三角形. 1 1 1ABC A B C− D E AB 1BB 1 2AA AC CB= = = 2 2 1 / /BC 1 1ACD ECAD −− 1 90 2 ,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD− ∠ = ∠ = = ∆ ∆中， ， 与 E D B1 C1 A C B A1 （I）证明： （II）求二面角 解析： ;PB CD⊥ .A PD C− − 的大小 40.四川 19．(本小题满分 12 分) 如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， 分别是线段 的中点， 是线 段 的中点． （Ⅰ）在平面 内，试作出过点 与平面 平行的直线 ，说明理由，并证明直线 平面 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 交 于点 ，交 于点 ，求二面角 的余弦 值． 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 12AB AC AA= = 120BAC∠ =  1,D D 1 1,BC B C P AD ABC P 1A BC l l ⊥ 1 1ADD A l AB M AC N 1A A M N− − D1 DC B A1 B1 C1 A P 41.湖北 42.浙江 43.天津(17) (本小题满分 13 分) 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱 AA1 的中点. (Ⅰ) 证明 B1C1⊥CE; (Ⅱ) 求二面角 B1－CE－C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 , 求线段 AM 的 长 2 6