高考数学一轮汇总训练积分与微积分基本定理理新人教A版

高考数学一轮汇总训练积分与微积分基本定理理新人教A版

‎[备考方向要明了]‎ 考 什 么 怎 么 考 ‎1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．‎ ‎2.了解微积分基本定理的含义.‎ ‎1.考查形式多为选择题或填空题．‎ ‎2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．‎ ‎3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．‎ ‎4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.‎ ‎[归纳·知识整合]‎ ‎1．定积分 ‎(1)定积分的相关概念 在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．‎ ‎(2)定积分的几何意义 ‎①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．‎ ‎②一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．‎ ‎(3)定积分的基本性质 ‎①kf(x)dx＝kf(x)dx.‎ ‎②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx.‎ ‎③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx.‎ ‎[探究]　1.若积分变量为t，则f(x)dx与f(t)dt是否相等？‎ 提示：相等．‎ ‎2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？‎ 提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．‎ ‎3．定积分[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么？‎ 提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．‎ ‎2．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．‎ 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即 f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．‎ ‎[自测·牛刀小试]‎ ‎1.dx等于(　　)‎ A．2ln 2　　　　　　　　　B．－2ln 2‎ C．－ln 2 D．ln 2‎ 解析：选D　dx＝ln x＝ln 4－ln 2＝ln 2.‎ ‎2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选A　S＝(t2－t＋2)dt＝＝.‎ ‎3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．‎ 解析：x2dx＝x3＝.‎ 答案： ‎4．(教材改编题)dx＝________.‎ 解析：由定积分的几何意义可知，dx表示单位圆x2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，所以 dx＝π.‎ 答案：π ‎5．由曲线y＝，直线y＝－x＋所围成的封闭图形的面积为________．‎ 解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A，B，所以阴影部分的面积，‎ dx＝‎ ＝－2ln 2.‎ 答案：－2ln 2‎ 利用微积分基本定理求定积分 ‎[例1]　利用微积分基本定理求下列定积分：‎ ‎(1)(x2＋2x＋1)dx；(2)(sin x－cos x)dx；‎ ‎(3)x(x＋1)dx；(4)dx；‎ ‎(5) sin2dx.‎ ‎[自主解答]　(1)(x2＋2x＋1)dx＝x2dx＋2xdx＋1dx＝＋x2＋x＝.‎ ‎(2)(sin x－cos x)dx ‎＝sin xdx－cos xdx ‎＝(－cos x)－sin x＝2.‎ ‎(3)x(x＋1)dx＝(x2＋x)dx ‎＝x2dx＋xdx＝x3＋x2 ‎＝＋＝.‎ ‎(4)dx＝e2xdx＋dx ‎＝e2x＋ln x＝e4－e2＋ln 2－ln 1‎ ‎＝e4－e2＋ln 2.‎ ‎(5) sin2dx＝dx ‎＝dx－cos xdx ‎＝x－sin x＝－＝.‎ ‎———————————————————‎ 求定积分的一般步骤 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：‎ ‎(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；‎ ‎(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；‎ ‎(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；‎ ‎(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；‎ ‎(5)计算原始定积分的值．‎ ‎1．求下列定积分：‎ ‎(1)|x－1|dx；‎ ‎(2) dx.‎ 解：(1)|x－1|＝ 故|x－1|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx ‎＝＋ ‎＝＋＝1.‎ ‎(2) dx ‎＝|sin x－cos x|dx＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx ‎＝(sin x＋cos x)＋(－cos x－sin x) ‎＝－1＋(－1＋)＝2－2.‎ 利用定积分的几何意义求定积分 ‎[例2]　dx＝________.‎ ‎[自主解答]　dx表示y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．‎ 由y＝得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，‎ 又∵0≤x≤1，‎ ‎∴y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为个圆，其面积为.‎ ‎∴dx＝.‎ 在本例中，改变积分上限，求dx的值．‎ 解：dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以 dx＝.　　　　 ‎ ‎———————————————————‎ 利用几何意义求定积分的方法 ‎(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．‎ ‎(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．‎ ‎2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝(cos t－sin t)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．‎ 解析：因为f(x)＝sindt ‎＝cos＝cos－cos ‎＝sin x＋cos x－1＝sin－1≤－1，‎ 当且仅当sin＝1时，等号成立．‎ 答案：－1‎ 利用定积分求平面图形的面积 ‎[例3]　(2012·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)‎ A.B．4‎ C.D．6‎ ‎[自主解答]　由y＝及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝及y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为 (－x＋2)dx＝＝.‎ ‎[答案]　C 若将“y＝x－‎2”‎改为“y＝－x＋‎2”‎，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？‎ 解：如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为f(x)dx＝dx＋(－x＋2)dx＝x＋ ‎＝.　　　　 ‎ ‎———————————————————‎ 利用定积分求曲边梯形面积的步骤 ‎(1)画出曲线的草图．‎ ‎(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．‎ ‎(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．‎ ‎(4)计算定积分，写出答案．‎ ‎3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选D　由⇒x＝或 x＝－(舍)，所以阴影部分面积 S＝dx＋dx ‎＝＋＝.‎ 定积分在物理中的应用 ‎[例4]　列车以‎72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－‎0.4 m/s2‎ ‎，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？‎ ‎[自主解答]　a＝－‎0.4 m/s2，v0＝‎72 km/h＝‎20 m/s.‎ 设t s后的速度为v，则v＝20－0.4t.‎ 令v＝0，即20－0.4 t＝0得t＝50 (s)．‎ 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s，‎ 则s＝vdt＝(20－0.4t)dt ‎＝(20t－0.2t2) ‎＝20×50－0.2×502＝500(m)，‎ 即列车应在进站前50 s和进站前‎500 m处开始制动．‎ ‎———————————————————‎ ‎1．变速直线运动问题 如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为v(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－v(t)dt.‎ ‎2．变力做功问题 物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为F(x)dx.‎ ‎4．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了‎4米，力F(x)做功为(　　)‎ A．44 J　　　　　　　　　B．46 J C．48 J D．50 J 解析：选B　力F(x)做功为10dx＋(3x＋4)dx ‎＝10x＋ ‎＝20＋26＝46.‎ 1个定理——微积分基本定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．‎ 3条性质——定积分的性质 ‎(1)常数可提到积分号外；‎ ‎(2)和差的积分等于积分的和差；‎ ‎(3)积分可分段进行．‎ 3个注意——定积分的计算应注意的问题 ‎(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；‎ ‎(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；‎ ‎(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负. ‎ 易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点 ‎[典例]　(2012·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．‎ ‎[解析]　由题意可得 f(x)＝ 所以y＝xf(x)＝ 与x轴围成图形的面积为10x2dx＋(10x－10x2)dx＝x3＋＝.‎ ‎[答案]　 ‎1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．‎ ‎2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．‎ ‎3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：‎ ‎(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；‎ ‎(2)准确确定被积函数和积分变量．‎ ‎1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选A　由得x＝0或x＝1，由图易知封闭图形的面积＝(x2－x3)dx＝－＝.‎ ‎2．(2012·山东高考)设a>0.若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.‎ 解析：由题意dx＝a2.‎ 又′＝，即x＝a2，‎ 即a＝a2.所以a＝.‎ 答案： 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1.dx＝(　　)‎ A．ln x＋ln2xB.－1‎ C.D. 解析：选C　dx＝＝.‎ ‎2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)‎ A.B. C.D. 解析：选B　由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝2＝.‎ ‎3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝‎3f(x0)，则x0等于(　　)‎ A．±1 B. C．±D．2‎ 解析：选C　f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝＝‎9a＋3b，‎ 则‎9a＋3b＝3(ax＋b)，‎ 即x＝3，x0＝±.‎ ‎4．设f(x)＝则f(x)dx＝(　　)‎ A.B. C.D．不存在 解析：选C　如图．‎ f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx ‎＝x3＋ ‎＝＋ ‎＝.‎ ‎5．以初速度‎40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)‎ A. m B. m C. m D. m 解析：选A　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt ‎＝＝40×2－×8＝ (m)．‎ ‎6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A.B．1‎ C.D. 解析：选D　结合函数图象可得所求的面积是定积分cos xdx＝‎ sin x＝－＝.‎ 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．设a＝sin xdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．‎ 解析：∵a＝sin xdx＝(－cos x)＝2，‎ ‎∴y＝x·2x＋2x－2.‎ ‎∴y′＝2x＋x·2xln 2＋2.‎ ‎∴曲线在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝4＋2ln 2.‎ 答案：4＋2ln 2‎ ‎8．在等比数列{an}中，首项a1＝，a4＝(1＋2x)dx，则该数列的前5项之和S5等于________．‎ 解析：a4＝(1＋2x)dx＝(x＋x2)＝18，因为数列{an}是等比数列，故18＝q3，解得q＝3，所以S5＝＝.‎ 答案： ‎9．(2013·孝感模拟)已知a∈，则当(cos x－sin x)dx取最大值时，a＝________.‎ 解析：(cos x－sin x)dx＝(sin x＋cos x) ‎＝sin a＋cos a－1‎ ‎＝sin－1，‎ ‎∵a∈，∴当a＝时，sin－1取最大值．‎ 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎10．计算下列定积分：‎ ‎(1) sin2xdx；‎ ‎(2)2dx；‎ ‎(3)e2xdx.‎ 解：(1) sin2xdx＝dx ‎＝ ‎＝－0＝.‎ ‎(2)2dx＝dx ‎＝ ‎＝－(2＋4＋ln 2)‎ ‎＝＋ln 3－ln 2＝＋ln .‎ ‎(3) e2xdx＝e2x＝e－.‎ ‎11．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．‎ 解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，‎ 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝(x－x2)dx＝＝.‎ 又 由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，‎ ＝(x－x2－kx)dx ‎＝＝(1－k)3.‎ 又知S＝，所以(1－k)3＝，‎ 于是k＝1－ ＝1－.‎ ‎12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP 与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．‎ 解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，‎ 则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，‎ 即＝，‎ 解得kx2－x3＝－2k－，‎ 解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为.‎ ‎1．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在 s～6 s间的运动路程为________．‎ 解析：由题图可知，‎ v(t)＝ 因此该物体在 s～6 s间运动的路程为 s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt ‎＝t2＋2t|＋＝(m)．‎ 答案： m ‎2．计算下列定积分：‎ ‎(1) (3x2－2x＋1)dx；‎ ‎(2)dx.‎ 解：(1) (3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x) ＝24.‎ ‎(2)dx＝xdx＋dx＋dx＝x2＋ln x－ ‎＝(e2－1)＋(ln e－ln 1)－ ‎＝e2－＋.‎ ‎3．求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．‎ 解：由得交点A(1,1)；由得交点B(3，－1)．‎ 故所求面积S＝dx＋dx ‎＝＋ ‎＝＋＋＝.‎ ‎4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满足函数关系式v(t)＝某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min行驶的路程超过7 ‎673 m，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？‎ 解：由变速直线运动的路程公式，‎ 可得s＝t2dt＋(4t＋60)dt＋140dt ‎＝t3＋(2t2＋60t)＋140t ‎＝7 133 (m)<7 676(m)．‎ ‎∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．‎ ‎　　　　　　　六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题 一、六招破解函数最值问题 函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：‎ ‎1．配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．‎ ‎[例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．‎ ‎[解]　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－‎2a(ex＋e－x)＋‎2a2－2.‎ 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋‎2a2－2.‎ 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋‎2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．‎ 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；‎ 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.‎ ‎[点评]　利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．‎ ‎2．换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．‎ ‎[例2]　设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．‎ ‎[解析]　因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝cos α，b＝sin α，α∈R.‎ 则a＋b＝cos α＋sin α＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.‎ ‎[答案]　－3‎ ‎[点评]　在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．‎ ‎3．不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：‎ a2＋b2≥2ab(a，b为实数)，≥(a≥0，b≥0)，ab≤2≤(a，b为实数)．‎ ‎[例3]　函数f(x)＝＋(0t＋≥4,0<－＋5≤1，≥9，所以f(x)的最小值为9.‎ ‎[答案]　9‎ ‎[点评]　利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“‎1”‎构造基本不等式．‎ ‎4．函数单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．‎ ‎[例4]　已知函数f(x)＝xln x，则函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值为________．‎ ‎[解析]　因为f′(x)＝ln x＋1，所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；‎ 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．‎ ‎①当00时，如图(1)知，由于h(x)在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b<0，且A⊆B，即m≤7；‎ ‎(ⅱ)若∀a<0时，如图(2)知，由于h(x)在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b(b≠a)，使得h(a)＝h(b)，则b>0，且B⊆A，即m≥7.‎ 综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m＝7.‎ 现在证明充要性：‎ ‎①必要性：由求解过程知必要性成立；‎ ‎②充分性：当m＝7时，A＝B，对于∀a≠0，则∃b(b≠a，且ab<0)，使得h(a)＝h(b)．‎ ‎[点评]　第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m＝－(10，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≤7；反过来，对于∀a<0，存在b≠a，使得h(a)＝h(b)的条件是m≥7.‎ ‎3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围 ‎[例3]　如果函数y＝1＋(|x|≤2)的图象与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个交点，那么实数k的取值范围是________．‎ ‎[解析]　函数y＝1＋的值域为[1,3]，将y－1＝两边平方，得x2＋(y－1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y＝1＋的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(－2,1)和点B(2,1)；函数y＝k(x－2)＋4是过定点P(2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是.‎ ‎[答案]　 ‎[点评]　函数y＝1＋的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y＝x＋作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式＝3＋k(x－2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k的取值范围．‎