- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
高考数学复习专题三空间几何体的表面积和体积文学案
第1讲空间几何体的表面积和体积 考向预测 1.三视图的识别和简单应用; 2.简单几何体的表面积与体积计算. 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体:一般先从俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定几何体. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式: ①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高); ②S锥侧=ch′(c为底面周长,h′为斜高/母线); ③S台侧=(c+c′)h′(c′,c分别为上下底面的周长,h′为斜高/母线); ④S球表=4πR2(R为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高); ②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高); ③V球=πR3. 热点一 空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1) (2018·张家口期中)如图所示,在正方体中,为的中点,则图中阴影部分在平面上的正投影是( ) A. B. C. D. (2)(2017·泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示,其侧视图为直角三角形,则该三棱锥最长的棱长等于( ) A.4 B. C. D.5 解析 (1)由题意,点在平面上的投影是的中点, 、在平面上的投影是它本身,所以在平面上的正投影是C中阴影部分, 故选C. (2)根据几何体的三视图,知该几何体是底面为直角三角形,两侧面垂直于底面,高为5的三棱锥P-ABC(如图所示). 棱锥最长的棱长PA==. 答案 (1)C (2)C 探究提高 1.由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状. 【训练1】 (1)(2017·兰州模拟)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之和为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 解析 (1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′,在平面C1CDD1的射影为P″,如图所示. ∴三棱锥P-BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD, 因此所求面积S=S△P′AD+S△P″CD=×1×2+×1×2=2. (2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①,故其侧视图为图②. 答案 (1)B (2)B 热点二 几何体的表面积与体积 【例2】 (1)(2018·上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. (2)(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为________. 解析 (1)根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个圆柱所得,作出几何体的直观图(如图), 则该几何体的表面积为.故选C. (2)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个半径为1,高为1的圆柱体构成,所以V=2×1×1+2××π×12×1=2+. 答案 (1)C (2)2+. 探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积:(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图,套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 3.求不规则几何体的体积:常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 【训练2】 (1) (2017·枣庄模拟)如图,某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线,若该三棱锥的体积是,则它的表面积是________. (2)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( ) A.+π B.+π C.+π D.1+π 解析 (1)由题设及几何体的三视图知,该几何体是一个正方体截去4个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B-A1C1D(如图所示). 设正方体的棱长为a,则几何体的体积是V=a3-4××a2·a=a3=, ∴a=1,∴三棱锥的棱长为, 因此该三棱锥的表面积为S=4××()2=2. (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥,结合三视图可得半球半径为,从而该几何体的体积为×12×1+×π×=+π. 答案 (1)2;(2) C. 热点三 多面体与球的切、接问题 【例3】 (2019·广东一模)《九章算术》中将底面为长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马,其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上,则该球的体积为() A. B. C. D. 解析 如图所示,该几何体为四棱锥,底面为长方形. 其中底面,,,. 易知该几何体与变成为的长方体有相同的外接球, 则该阳马的外接球的直径为.球体积为:. 答案A. 探究提高 1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P,A,B,C,PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题. 【训练3】(2017·济南一中月考)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析 因为△AOB的面积为定值,所以当OC垂直于平面AOB时,三棱锥O-ABC的体积取得最大值.由×R2×R=36,得R=6.从而球O的表面积S=4πR2=144π. 答案 C 1.(2018·全国I卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为() A. B. C. D. 2.(2018·全国I卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为,,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 3.(2018·全国III卷)设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为() A. B. C. D. 4.(2018·全国II卷)已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________. 1.(2018·全国III卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是() A. B. C. D. 2.(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( ) A.+1 B.+3 C.+1 D.+3 3.(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________. 4.(2017·江苏卷)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________. 5.(2015·全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 1.(2018·郑州质检)如图,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 2.(2017·衡阳联考)如图所示,某空间几何体的正视图与侧视图相同,则此几何体的表面积为( ) A.6π B.π+ C.4π D.2π+ 3.(2017·衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( ) A.π B.π C.4π D. 4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为________. 5.(2017·沈阳质检)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且点O为AC中点. (1)证明:A1O⊥平面ABC; (2)求三棱锥C1-ABC的体积. 参考答案 1.【解题思路】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱,所以与12条棱所成角相等,只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可,从而判断出面的位置,截正方体所得的截面为一个正六边形,且边长是面的对角线的一半,应用面积公式求得结果. 【答案】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的, 所以在正方体中,平面与线所成的角是相等的, 所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的, 同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等, 要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的, 且过棱的中点的正六边形,且边长为,所以其面积为,故选A. 点睛:该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题,首要任务是需要先确定截面的位置,之后需要从题的条件中找寻相关的字眼,从而得到其为过六条棱的中点的正六边形,利用六边形的面积的求法,应用相关的公式求得结果. 2.【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长,从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高,从而利用相关公式求得圆柱的表面积. 【答案】根据题意,可得截面是边长为的正方形, 结合圆柱的特征,可知该圆柱的底面为半径是的圆,且高为, 所以其表面积为,故选B. 点睛:该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题,在解题的过程中,需要利用题的条件确定圆柱的相关量,即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高,在求圆柱的表面积的时候,一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 3.【解题思路】作图,为与球的交点,点为三角形的重心,判断出当平面时,三棱锥体积最大,然后进行计算可得; 【答案】如图所示, 点为三角形的重心,为中点, 当平面时,三棱锥体积最大,此时,, ∵,∴, ∵点为三角形的重心,∴, ∴中,有,∴, ∴.故选B. 4.【解题思路】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径,最后根据圆锥侧面积公式求结果. 【答案】因为母线,所成角的余弦值为,所以母线,所成角的正弦值为,因为的面积为,设母线长为,所以,∴, 因为与圆锥底面所成角为,所以底面半径为, 因此圆锥的侧面积为. 点睛:本题考查线面角,圆锥的侧面积,三角形面积等知识点,考查学生空间想象与运算能力 1.【解题思路】观察图形可得. 【答案】:观擦图形图可知,俯视图为,故答案为A. 2.【解题思路】该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体,分别求其体积即可. 【答案】 由三视图可知该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体,半圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥的底面积为×2×1=1,高为3.故该几何体体积为:V=×π×12×3×+1×3×=+1.故选A. 3.【解题思路】由正视图的底边长和腰长为2的等腰三角形确定俯视图形状. 【答案】 由题可知,∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形, 由正视图可得如右俯视图,且三棱锥高为h=1, 则体积V=Sh=××1=.故填. 4.【解题思路】由图确定球的半径与圆柱高和底面半径之间的关系,进而求其体积之比. 【答案】 设球半径为R,则圆柱底面圆半径为R,母线长为2R. 又V1=πR2·2R=2πR3,V2=πR3,所以==.故填. 5.【解题思路】(1)过EF往下作截面;(2)由正方形的边长关系确定底面的交点在棱上的位置,进而求棱柱的体积. 【答案】解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示. (2)如图,作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH==6,AH=10,HB=6. 故,. 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱, 所以其体积的比值为. 1.【解题思路】由三视图知原图是一个底面为边长为3的正方形,高为的斜四棱柱, 【答案】.. 2.【解题思路】该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成. 【答案】 此几何体为一个组合体,上为一个圆锥,下为一个半球组合而成.表面积为S=+×2×2π=4π.故选C. 3.【解题思路】该几何体是一个四棱锥,球心在底面中心的正上方,确定球心的位置. 【答案】 由三视图知该几何体为四棱锥,侧面PBC为侧视图,PE⊥平面ABC,E,F分别是对应边的中点,底面ABCD是边长是2的正方形,如图所示. 设外接球的球心到平面ABCD的距离为h, 则h2+2=12+(2-h)2,∴h=,R2=. ∴几何体的外接球的表面积S=4πR2=π.故选B. 4.【解题思路】正方体的体对角线即为其外接球的直径. 【答案】 设正方体的棱长为a,则a3=8,解得a=2.设球的半径为R,则2R=a,即R=.所以球的表面积S=4πR2=12π.故填12π. 5.【解题思路】(1)面面垂直的性质定理;(2)顶点转换法,以A1为顶点. 【答案】(1)证明 因为AA1=A1C,且O为AC的中点, 所以A1O⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC, 且A1O⊂平面AA1C1C,∴A1O⊥平面ABC. (2)解 ∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴A1C1∥平面ABC,即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离. 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O=, ∴.查看更多