导数的应用一练习题高考总复习
第十二节 导数的应用(一)
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝x＋elnx的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R
解析 函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，故单调增区间是(0，＋∞)．
答案 A
2．设函数f(x)＝＋lnx，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
当x＝2时，f′(x)＝0；当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；
当0
)，g′(x)＝－－2<0，故g(x)在(，＋∞)上为减函数，所以a≥g()＝3.故选D.
答案 D
5．(2013·浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
解析 当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，f′(1)＝xex－1，x＝1不是f′(x)＝0的根，所以不是极值点，排除A、B；当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，当x＝1时f′(x)＝0且x>1时f′(x)>0，结合选项，故选C.
答案 C
6．(2013·湖北卷)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.
C．(0,1) D．(0，＋∞)
解析 f′(x)＝lnx－ax＋x＝lnx－2ax＋1，假设函数f(x)只有1个极值点，则方程lnx－2ax＋1＝0(x>0)只有一根，数形结合，即直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相切．设切点为(x0，lnx0)，则切线方程为
y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1.又切线方程为y＝2ax－1，对比得解得a＝，x0＝1.故若要使直线y＝2ax－1与曲线y＝lnx相交，即函数f(x)＝x(lnx－ax)有2个极值点，需满足00.所以m>6或m<－3.
答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)
9．已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m＝________.
解析 若f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，
则m2－4＝0，m＝±2.
若g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，
则Δ＝16＋4×3m≤0，解得m≤－，故m＝－2.
答案 －2
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)
10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝2ax＋.又f(x)在x＝1处有极值.
得即
解之得a＝，b＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)<0，得00，得x>1.
所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．
11．(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．
(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求函数f(x)的极值．
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(Ⅰ)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x
－1)，即x＋y－2＝0.
(Ⅱ)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.
12．(2014·石家庄质检)已知函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax(a∈R)．
(1)当a＝2时，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若a＞0时，函数y＝f(x)在闭区间[0，a＋1]上的最大值为f(a＋1)，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝2x3－9x2＋12x，
f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x2－3x＋2)
＝6(x－1)(x－2)．
由f′(x)＞0，得x＜1或x＞2.
由f′(x)＜0，得1＜x＜2.
所以，f(x)的递增区间为(－∞，1)，(2，＋∞)，递减区间为(1,2)．
(2)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6[x2－(a＋1)x＋a]＝6(x－1)(x－a)．
当a＝1时，f′(x)≥0，f(x)在[0，a＋1]上单调递增，最大值为f(a＋1)．
当0＜a＜1时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，a)
a
(a,1)
1
(1,1＋a)
1＋a
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知，f(x)在[0，a＋1]上的最大值只有可能是f(a)或f(a＋1)．
故只需f(a＋1)－f(a)＝(－a3＋3a2＋3a－1)－(－a3＋3a2)＝3a－1≥0.
解得a≥，此时≤a＜1.
当a＞1时，x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,1)
1
(1，a)
a
(a，a＋1)
a＋1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知，f(x)在[0，a＋1]上的最大值只有可能是f(1)或f(a＋1)．
故只需f(a＋1)－f(1)＝(－a3＋3a2＋3a－1)－(3a－1)＝－a3＋3a2≥0.
解得a≤3，此时1＜a≤3.
综上，a的取值范围是.
