用迭代法速解高考压轴题
高 三 数 学
专题讲座 巧用迭代法速解高考压轴题
高考是以知识为载体，方法为依托，能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意，以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这两年全国高考的新课程试卷中的压轴题—数列问题，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活，又由于新课程的改革中淡化了数学归纳法，无疑地迭代法成为解决这类问题的通法。
1．an+1=pa n+q(p、q为非零常数)型
此类型的通项公式求法通常有两种迭代思路：一是构造新数列使其成等比数列，设原递推关系化为an+1+=p(an+)，其中为待定系数，于是有p－=q，即=，这样数列即为等比数列。二是an=pan－1+q=p(pan－2+q)+q=p2an－2+pq+q=p2(pan－3+q)+pq+q=p3an－3+p2q+pq+q=……=pn－1a1+pn－2q+……+pq+q，它的实质下标递降，直至退到不同再退为止。
例1．设a>0如图，已知直线:y=ax及曲线C:y=x2，C上的点Q1的横坐标为a1(0
0),A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…，求的通项公式。
分析：充分利用“An是线段An－2 An－1的中点”这一重要信息来揭示xn与xn－1、xn－2的递推关系，然后利用迭代法先将相邻三项递推关系转化为相邻两项的关系，即xn与xn－1的关系，再用类型一或类型二的迭代法求解xn.
解：由An是线段An－2An－1的中点得：xn=,即2xn=xn－1+xn－2(n≥3).
迭代法一：∵2xn=xn－1+xn－2, ∴2xn+x n－1=2xn－1+xn－2.
反复迭代有：2xn+xn－1=2xn－1+xn－2=2xn－2+xn－3=…=2x2+x1=2a.
∴2xn+xn－1=2a，即xn=－.∴再次反复迭代得：
迭代法二：∵2xn=xn－1+xn－2, ∴2xn－2xn－1=－(xn－1－xn－2), 即xn－xn－1=－.
∴xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1=a[1+(－)+(－)2+…+(－)n－2]=
.
∴数列的通项公式为xn=。
[解题回顾]从本题的上述两种方法可以看出：变形的形式不同，则迭代的方法也不相同。方法一是抓住2xn+1+xn的结构形式不变进行反复迭代，然后再对xn+1=－xn+a进行反复迭代；也可以用待定系数法构造新数列然后再迭代；方法二则是构造为等比数列。如果将两种迭代结果2xn+1+xn=2a和xn+1－xn=(－)n－1·a结合在一起，从方程组角度考虑，则显得更简捷明了。
4．an+2、an+1、an与an－1的递推型。
此类型问题是相邻四项间的递推关系，首先转化为相邻三项或两项的递推关系，然后再用上述三种类型的迭代法求解。
例4．已知数列各项都是自然数，a1=0,a2=3,且an+1an=(an－1+2)·(an－2+2),n=3,4,5，…。（I）求a3;（II）证明：an=an－2+2,n∈N+，n≥3，（III）求的通项公式及前n项和Sn。
分析：第（I）题利用特殊值n=3及a4,a3都是自然数的特征求出a3；第（II）题的证明实际上是将四项递推关系转化两项递推关系，然后利用等差数列的有关知识求解an及Sn，对（II）的证明要会观察结论与已知的结构形式，转化为只需证明
即可，于是对已知的关系进行分离变形即可。
解：（I）（略）答案为a3=2,a4=5.
(II)∵an+1an=(an－1+2)(an－2+2),∴an+2an+1=(an+2)(an－1+2).
两式相比得：
∴当n为偶数时，n与此同时n+2为偶数，反复迭代有：
当n为奇数时，n与n+2为奇数，反复迭代
有： .
∴当n，即an=an－2+2.（n≥3）
（III）（略）
[解题回顾]第（II）题的原来证明（标准答案）是用数学归纳法解的，没有给出这种简捷而具有一般性的迭代法。解题过程中体现了分类与整合的数学思想方法。
5．an+1=p(n)·a+f(n)·an－1+r (p(n)≠0)型.
此类an+1与an的关系是变系数制约的，解题策略：一是寻求更优化的递推关系；二是根据题目的结论进行适当的等式变换或不等变换（包括迭代）。
例5．设数列满足an+1=a－nan+1, n∈N+. (I)当a1=2时，求a2,a3,a4，并由此猜出an的一个通项公式；（II）当a1≥3时,证明:对于所有的n≥1,有(1)an≥n+2; (2).
分析：第（I）题利用“试验－归纳—猜想”的方法求出an；第（II）题（1）利用数学归纳法证明；而（2）可用数学归纳法证明，也可用迭代放缩法证明。
解：（I）由a1=2，得a2=3，a3=4，a4=5，猜出an=n+1.
(II)(1)用数学归纳法证明（略）。
（2）由an+1=an(an－n)+1及（1）an≥n+2，得：an+1≥2an+1,
∴an≥2an－1+1≥2（2an－2+1）+1=22an－2+2+1≥22（2an－3+1）+2+1=23an－3+22+2+1≥…≥2n－1a1+2n－2+…+2+1≥3·2n－1+2n－2+…+2+1=(2+1)·2n－1+2n－2+…+2+1=2n+2n－1+2n－2+…+2+1=2n+1－1. ∴an+1≥2n+1，即.
.
解题回顾：该小题仍然考查数列与不等式的推理问题，但与前小题相比，有更高的层次的要求。高要求的表现不仅仅是推理的过程，更重要的是反复迭代变形（放缩迭代）的决策，由此可看出迭代法解高考题的威力。
