2009年江苏高考数学试卷及答案

2009年江苏高考数学试卷及答案

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ ‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据的方差 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。‎ ‎1.若复数，其中是虚数单位，则复数的实部为______‎ ‎2.已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积__________ .‎ ‎3.函数的单调减区间为_____ ‎‎1‎ ‎1‎ O x y ‎4.函数为常数，在闭区间上的图象如图所示，则 _______ .‎ ‎5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为________ .‎ ‎6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 开始 输出 ‎ 结束 Y N 则以上两组数据的方差中较小的一个为________ .‎ ‎7.右图是一个算法的流程图，最后输出的________ .‎ ‎8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________ .‎ ‎9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________.‎ ‎10.已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 _______‎ ‎ .‎ ‎11.已知集合，，若则实数的取值范围是，其中________ .‎ ‎12.设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直.‎ 上面命题中，真命题的序号________（写出所有真命题的序号）.‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为________.‎x y A1‎ B2‎ A2‎ O T M ‎14．设是公比为的等比数列，，令若数列有连续四项在集合中，则 ________‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分。‎ ‎15．（本小题满分14分） 设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：∥.‎ ‎ ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，‎ 求证：(1)∥（2） ‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分14分） 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项.  ‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系中，已知圆和圆 x y O ‎1‎ ‎1‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.‎ ‎ ‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.‎ ‎ 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为 求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ 求和关于、的表达式；当时，求证：=；‎ 设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？‎ 记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 20． ‎(本小题满分16分)设为实数，函数.若，求的取值范围；求的最小值；设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ 参考公式：‎ ‎21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ A.选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.‎ 求证：AB∥CD.‎ ‎[解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。满分10分。‎ 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。‎ B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵的逆矩阵.‎ ‎[解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。‎ 解：设矩阵A的逆矩阵为则 即故 解得：，‎ 从而A的逆矩阵为.‎ C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程为（为参数，）.‎ 求曲线C的普通方程。‎ ‎[解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。‎ 解：因为所以 故曲线C的普通方程为：.‎ D. 选修4 - 5：不等式选讲 ‎ 设≥＞0,求证：≥.‎ ‎[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。满分10分。‎ 证明：‎ 因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，‎ 即≥.‎ ‎[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22.（本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；‎ ‎（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。‎ ‎[解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力。满分10分。‎ ‎ ‎ ‎23. （本题满分10分）‎ 对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）求证：对任意正整数≥2，有.‎ ‎[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。‎ ‎ 参考答案 ‎1.【答案】‎ ‎【解析】略 ‎2.【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎3.【答案】‎ ‎【解析】，由得单调减区间为。‎ ‎4.【答案】3‎ ‎【解析】，，所以，‎ ‎5.【答案】0.2‎ ‎【解析】略 ‎6.【答案】 ‎ ‎【解析】略 ‎7.【答案】22‎ ‎【解析】略 ‎8.【答案】1：8‎ ‎【解析】略 ‎9.【答案】 ‎ ‎【解析】略 ‎10.【答案】‎ ‎【解析】略 ‎11.【答案】4‎ ‎【解析】由得，；由知，所以4。‎ ‎12.【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】略 ‎13.【答案】‎x y A1‎ B2‎ A2‎ O T M ‎【解析】用表示交点T，得出M 坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.‎ ‎15.【解析】由与垂直，，‎ 即，；‎ ‎，最大值为32，所以的最大值为。‎ 由得，即，‎ 所以∥. ‎ ‎16.【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；‎ A B C A1‎ B1‎ C1‎ E F D ‎（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。‎ ‎17.（1）设公差为，则，由性质得，因为，所【解析】以，即，又由得，解得，‎ 所以的通项公式为，前项和。‎ ‎（2），令，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 因为是奇数，所以可取的值为，当，时，，，是数列中的项；，时，，数列中的最小项是，不符合。‎ 所以满足条件的正整数。‎ ‎18.【解析】(1) 或，‎ ‎(2)P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为或。 ‎ ‎19.【解析】(1)‎ ‎ 当时，‎ 显然 ‎ ‎(2)当时，‎ 由，故当即时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 ‎ ‎20.【解析】（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎(3) 时，得，‎ 当时，；‎ 当时，得 ‎1）时，‎ ‎2）时， ‎ ‎3）时，‎