全国二卷高考数学理试题及答案

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全国二卷高考数学理试题及答案

绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,则中元素的个数为 ‎ A.9 B.8 C.5 D.4‎ ‎3.函数的图像大致为 ‎ ‎4.已知向量,满足,,则 A.4 B.3 C.2 D.0‎ ‎5.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎6.在中,,,,则 A. B. C. D.‎ ‎7.为计算,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D.‎ ‎10.若在是减函数,则的最大值是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 A. B.0 C.2 D.50‎ ‎12.已知,是椭圆的左、右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为 A. ‎ B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎14.若满足约束条件 则的最大值为__________.‎ ‎15.已知,,则__________.‎ ‎16.已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.学科*网 ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ 记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)求,并求的最小值.‎ ‎18.(12分)‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎19.(12分)‎ 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.‎ ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.‎ ‎20.(12分)‎ 如图,在三棱锥中,,,为的中点.‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)若,证明:当时,;‎ ‎(2)若在只有一个零点,求.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为 ‎(为参数).‎ ‎(1)求和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 设函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A ‎7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 ‎13. 14.9 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)设的公差为d,由题意得.‎ 由得d=2.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得.‎ 所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.‎ ‎18.解:‎ ‎(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎(亿元).‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下:‎ ‎(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①‎ 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学科*网 ‎(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎19.解:‎ ‎(1)由题意得,l的方程为.‎ 设,‎ 由得.‎ ‎,故.‎ 所以.‎ 由题设知,解得(舍去),.‎ 因此l的方程为.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为,所以AB的垂直平分线方程为,即.‎ 设所求圆的圆心坐标为,则 解得或 因此所求圆的方程为或.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)因为,为的中点,所以,且.‎ 连结.因为,所以为等腰直角三角形,‎ 且,.‎ 由知.‎ 由知平面.‎ ‎(2)如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.‎ 由已知得取平面的法向量.‎ 设,则.‎ 设平面的法向量为.‎ 由得,可取,‎ 所以.‎ 由已知可得.‎ 所以.解得(舍去),.‎ 所以.‎ 又,所以.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21.解:‎ ‎(1)当时,等价于.‎ 设函数,则.‎ 当时,,所以在单调递减.‎ 而,故当时,,即.‎ ‎(2)设函数.‎ 在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.‎ ‎(i)当时,,没有零点;‎ ‎(ii)当时,.‎ 当时,;当时,.‎ 所以在单调递减,在单调递增.‎ 故是在的最小值.‎ ‎①若,即,在没有零点;‎ ‎②若,即,在只有一个零点;‎ ‎③若,即,由于,所以在有一个零点,‎ 由(1)知,当时,,所以.‎ 故在有一个零点,因此在有两个零点.‎ 综上,在只有一个零点时,.‎ ‎22.解:‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程为.‎ 当时,的直角坐标方程为,‎ 当时,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程 ‎.①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.‎ 又由①得,故,于是直线的斜率.‎ ‎23.解:‎ ‎(1)当时,‎ 可得的解集为.‎ ‎(2)等价于.‎ 而,且当时等号成立.故等价于.‎ 由可得或,所以的取值范围是.‎
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