高考真题理科数学解析分类汇编数列

高考真题理科数学解析分类汇编数列

‎2012年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列 一、选择题 ‎1.【2012高考重庆理1】在等差数列中，，则的前5项和=‎ ‎ A.7 B‎.15 C.20 D.25 ‎ ‎ 【答案】B ‎【解析】因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.‎ ‎2.【2012高考浙江理7】设是公差为d（d≠0）的无穷等差数列﹛an﹜的前n项和，则下列命题错误的是 A.若d＜0，则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项，则d＜0‎ C.若数列﹛Sn﹜是递增数列，则对任意，均有 D. 若对任意，均有，则数列﹛Sn﹜是递增数列 ‎【答案】C ‎【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．故选C。‎ ‎3.【2012高考新课标理5】已知为等比数列，，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为为等比数列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，综上选D.‎ ‎4.【2012高考上海理18】设，，在 中，正数的个数是（ ）‎ A．25 B．‎50 ‎‎ C．75 D．100‎ ‎【答案】D ‎【解析】当1≤≤24时，＞0，当26≤≤49时，＜0，但其绝对值要小于1≤≤24时相应的值，当51≤≤74时，＞0，当76≤≤99时，＜0，但其绝对值要小于51≤≤74时相应的值，∴当1≤≤100时，均有＞0。‎ ‎【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.‎ ‎5.【2012高考辽宁理6】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=‎ ‎(A)58 (B)88 (C)143 (D)176‎ ‎【答案】B ‎【解析】在等差数列中，，答案为B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、性质及其前n项和公式，同时考查运算求解能力，属于中档题。解答时利用等差数列的性质快速又准确。‎ ‎6.【2012高考四川理12】设函数，是公差为的等差数列，，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎【解析】]∵数列{an}是公差为的等差数列，且，即 ‎，而是公差为的等差数列，代入，即 ‎，不是的倍数，.‎ ‎，故选D.‎ ‎[点评]本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习. 另外，隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.‎ ‎7.【2012高考湖北理7】定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：‎ ‎①； ②； ③； ④.‎ 则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ‎ A． ‎① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ ‎ ‎【答案】C 考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.‎ ‎【解析】等比数列性质，，①； ②；③；④.选C ‎8.【2012高考福建理2】等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎【答案】B.‎ 考点：等差数列的定义。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为等差数列的通项公式。‎ ‎【解析】法1：由等差中项的性质知，又.故选B.‎ 法2：‎ ‎9.【2012高考安徽理4】公比为等比数列的各项都是正数，且，则 ‎=（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】．‎ ‎10.【2012高考全国卷理5】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本试题主要考查等差数列的通项公式和前项和的公式的运用，以及裂项求和的综合运用，通过已知中两项，得到公差与首项，得到数列的通项公式，并进一步裂项求和。‎ ‎【解析】由,得，所以，所以，又，选A.‎ 二、填空题 ‎11.【2012高考浙江理13】设公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=‎3a2+2，S4=‎3a4+2，则q=______________。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子．‎ 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去)．‎ ‎12.【2012高考四川理16】记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，‎ ‎，现有下列命题：‎ ‎①当时，数列的前3项依次为5,3,2；‎ ‎②对数列都存在正整数，当时总有；‎ ‎③当时，；‎ ‎④对某个正整数，若，则。‎ 其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【命题立意】本题属于新概念问题主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力，难度较大.‎ ‎【解析】当时， ，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.‎ ‎13.【2012高考新课标理16】数列满足，则的前项和为 ‎ ‎【答案】1830‎ ‎【解析】由得，‎ ‎，‎ 即，也有，两式相加得，设为整数，‎ 则，‎ 于是 ‎14.【2012高考辽宁理14】已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an =______________。‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题.‎ ‎【解析】‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎15.【2012高考江西理12】设数列{an},{bn}都是等差数列，若，，则__________。‎ ‎【答案】35‎ ‎【命题立意】本题考查等差数列的概念和运算。考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 ‎【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列.‎ 故由等差中项的性质，得，即，解得.‎ ‎（解法二）设数列的公差分别为,‎ 因为,‎ 所以.所以.‎ ‎【点评】对于等差数列的计算问题，要注意掌握基本量法这一通法，同时要注意合理使用等差数列的性质进行巧解. 体现考纲中要求理解等差数列的概念.来年需要等差数列的通项公式，前项和，等差中项的性质等.‎ ‎16.【2012高考北京理10】已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎17.【2012高考广东理11】已知递增的等差数列{an}满足a1=1，，则an=____．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得到，即，应为{an}是递增的等差数列，所以，故。‎ ‎18.【2012高考重庆理12】 .‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎19.【2012高考上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴++…+==，∴。‎ ‎【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.‎ ‎20.【2012高考福建理14】数列{an}的通项公式，前n项和为Sn，则S2012=___________.‎ ‎【答案】3018．‎ ‎【命题立意】本题考查了数列通项公式的概念和前项和的求法，以及余弦函数的周期性，同时考查了考生观察分析发现数列规律的能力，难度较大．‎ ‎【解析】因为函数的周期是4，所以数列的每相邻四项之和是一个常数6，所以.‎ 三、解答题 ‎21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ ‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ ‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎ 22.【2012高考湖北理18】（本小题满分12分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ ‎【答案】 （Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎23.【2012高考广东理19】（本小题满分14分）‎ 设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．‎ （1） 求a1的值；‎ （2） 求数列{an}的通项公式．‎ （3） 证明：对一切正整数n，有.‎ ‎【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.‎ ‎【解析】（1） 相减得：‎ ‎ ‎ ‎ 成等差数列 ‎ （2）得对均成立 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎ （3）当时，‎ 当时，‎ ‎ 由上式得：对一切正整数，有。‎ ‎24.【2012高考陕西理17】（本小题满分12分）‎ 设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）证明：对任意，成等差数列。‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为（）。‎ 由成等差数列，得，即。‎ 由得，解得，（舍去），所以。‎ ‎（2）证法一：对任意，（lby lfx）‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 所以，对任意，成等差数列。‎ 证法二：对任意，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 因此，对任意，成等差数列。‎ ‎25.【2012高考四川理20】(本小题满分12分) 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。‎ ‎【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想 ‎[解析]取n=1,得 ①‎ ‎ 取n=2,得 ②‎ 又②-①，得 ③‎ ‎（1）若a2=0, 由①知a1=0, ‎ ‎ (2)若a2, ④‎ 由①④得：…………………5分 ‎（2）当a1>0时,由（I）知，‎ 当 , (2+)an-1=S2+Sn-1‎ 所以，an=‎ 所以 令 所以，数列{bn}是以为公差，且单调递减的等差数列.‎ 则 b1>b2>b3>…>b7=‎ 当n≥8时，bn≤b8=‎ 所以，n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为 T7=…………………………12分 ‎[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.‎ ‎26.【2012高考四川理22】(本小题满分14分)‎ ‎ 已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。‎ ‎（Ⅰ）用和表示；‎ ‎（Ⅱ）求对所有都有成立的的最小值；‎ ‎（Ⅲ）当时，比较与的大小，并说明理由。‎ ‎[解析]（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为 （2） 由（1）知f(n)=,则 即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a≥‎ 当,‎ ‎>2n3+1‎ 当n=0,1,2时，显然 故当a=时，对所有自然数都成立 所以满足条件的a的最小值是。‎ ‎（3）由（1）知，则，‎ 下面证明：‎ 首先证明：当00,即 ‎，（）。‎ 上面不等式对从1到求和得，‎ 由此得 综上，当且时，有，当且仅当或时等号成立。‎ ‎29.【2012高考江西理16】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的前n项和，,且Sn的最大值为8.‎ ‎（1）确定常数k，求an；‎ ‎（2）求数列的前n项和Tn。‎ ‎【答案】解: （1）当时，取最大值，即，故，从而，又，所以 （1） 因为，‎ 所以 ‎【点评】本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用来实现与的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解.运用错位相减法求数列的前n项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.‎ ‎30.【2012高考安徽理21】（本小题满分13分）‎ ‎ 数列满足：‎ ‎（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是；‎ ‎（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。‎ ‎【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。‎ ‎【解析】（I）必要条件 当时，数列是单调递减数列。‎ 充分条件 数列是单调递减数列，‎ 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是。‎ ‎（II）由（I）得：，‎ ①当时，，不合题意；‎ ②当时，，‎ ‎，‎ ‎。‎ 当时，与同号，‎ 由，‎ ‎。‎ 当时，存在，使与异号，与数列是单调递减数列矛盾，‎ 得：当时，数列是单调递增数列。‎ ‎31.【2012高考天津理18】（本小题满分13分）‎ 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求数列与的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，，证明（）.‎ ‎【答案】‎ （1） 设数列的公差为，数列的公比为；‎ 则 ‎ ‎ 得：‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.‎ ‎32.【2012高考湖南理19】（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… ‎ （1） 若a1=1，a2=5，且对任意n∈N﹡，三个数A（n），B（n），C（n）组成等差数列，求数列{ an }的通项公式.‎ （2） 证明：数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数A（n），B（n），C（n）组成公比为q的等比数列.‎ ‎【答案】解（１）对任意,三个数是等差数列，所以 ‎　　　　　　　　　　　　‎ 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 ‎（Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 ‎　　　　‎ ‎　　　　‎ 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎（２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，‎ 则 ‎　　　，‎ 于是得即 ‎　　　‎ 由有即，从而.‎ 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎33.【2012高考山东理20】本小题满分12分）‎ 在等差数列中，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）因为是一个等差数列，‎ 所以，即．‎ 所以，数列的公差，‎ 所以，‎ ‎ （Ⅱ）对，若 ，‎ 则 ，因此 ，‎ 故得 （lb ylfx）‎ 于是 ‎ ‎34.【2012高考全国卷理22】（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）‎ 函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.‎ ‎（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；‎ ‎（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.‎ 解：（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。故有 直线的直线方程为，令，可求得 所以 下面用数学归纳法证明 当时，，满足 假设时，成立，则当时，，‎ 由即也成立 综上可知对任意正整数恒成立。‎ 下面证明 由 由，故有即 综上可知恒成立。‎ ‎（2）由得到该数列的一个特征方程即，解得或 ‎ ① ②‎ 两式相除可得,而 故数列是以为首项以为公比的等比数列 ‎,故。‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。‎ ‎【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。‎