2016全国三卷理科数学高考真题及答案7866

2016全国三卷理科数学高考真题及答案7866

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.‎ ‎（1）设集合 S= S x P(x 2)(x 3) 0 ,T x x 0 ，则 SI T=‎ ‎(A) [2 ，3] (B) （- ，2] U [3,+ ）‎ ‎(C) [3,+ ） (D) （0，2] U [3,+ ）‎ ‎（2）若 z=1+2i ，则 4‎ i zz ‎1‎ ‎(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i ‎（3）已知向量 uuv BA ‎1 2‎ ‎( , )‎ ‎2 2‎ ‎,‎ u uuv BC ‎3 1‎ ‎( , ),‎ ‎2 2‎ 则 ABC=‎ ‎(A)30‎ ‎0 (B) 450 (C) 600 (D)1200‎ ‎（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况， 绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 0C，B 点表示四月的平均最低气温约为 50C。下面叙述不正确的是 ‎(A) 各月的平均最低气温都在 0 0C 以上 ‎(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 ‎(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 ‎(D) 平均气温高于 20 0C 的月份有 5 个 ‎（5）若 tan ‎3‎ ‎4‎ ‎，则 ‎2‎ cos 2sin 2‎ ‎(A)‎ ‎64‎ ‎25‎ ‎(B)‎ ‎48‎ ‎25‎ ‎(C) 1 (D)‎ ‎16‎ ‎25‎ ‎4 3 1‎ ‎（6）已知 ‎3‎ a 2 ，‎ ‎4‎ b 4 ，‎ ‎3‎ c 25 ，则 ‎（A ）b a c （B） a b c（C） b c a（D） c a b ‎（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=‎ ‎（A ）3‎ ‎（B）4‎ ‎（C）5‎ ‎（D）6‎ ‎1‎ ‎（8）在 △ABC 中， π B = ，BC 边上的高等于 ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ BC ,则cos A =‎ ‎（A）‎ ‎3 10‎ ‎10‎ ‎（B）‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎（C）‎ ‎10‎ ‎- （D）‎ ‎10‎ ‎-‎ ‎3 10‎ ‎10‎ ‎(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ‎（A ）18 36 5‎ ‎（B）54 18 5‎ ‎（C）90‎ ‎（D）81‎ ‎(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A1B1C1 内有一个体积为 V 的球，若 AB BC，AB=6，BC=8，AA 1=3，则 V 的最大值是 ‎（A ）4π （B） 9‎ ‎2‎ ‎（ C ） 6π ‎（D）‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：‎ ‎2 2‎ x y ‎2 2 1(a b 0)‎ a b 的左焦点， A，B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 ‎（A ）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎（B）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（C）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（D）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（12）定义 “规范 01 数列 ”{an} 如下：{an} 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m，‎ a a a ‎1, 2, , k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 ‎（A ）18 个 （B）16 个 （C）14 个 （D）12 个 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 ‎（13）若 x，y 满足约束条件 错误！未找到引用源。 则 z=x+y 的最大值为 _____________.‎ ‎（14）函数 错误！未找到引用源。 的图像可由函数 错误！未找到引用源。 的图像至少向右平移 _____________‎ 个单位长度得到。‎ ‎（15）已知 f(x)为偶函数，当 错误！未找到引用源。 时， 错误！未找到引用源。 ，则曲线 y=f(x) ，在带你（ 1，-3）‎ 处的切线方程是 _______________。‎ ‎（16）已知直线 错误！未找到引用源。 与圆 错误！未找到引用源。 交于 A ，B 两点，过 A，B 分别做 l 的垂线 ‎2‎ 与 x 轴交于 C，D 两点，若 错误！未找到引用源。 ，则错误！未找到引用源。 __________________.‎ 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分 12 分）‎ 已知数列 错误！未找到引用源。 的前 n 项和错误！未找到引用源。 ， 错误！未找到引用源。 ，其中 错误！未找 到引用源。 0‎ ‎（I）证明 错误！未找到引用源。 是等比数列，并求其通项公式 ‎31‎ ‎（II ）若 S5 错误！未找到引用源。 ，求 ‎32‎ ‎（18）（本小题满分 12 分）‎ 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图 ‎（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 ‎（II ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量。‎ ‎（19）（本小题满分 12 分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA⊥地面 ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC =3，PA=BC =4，M 为线段AD 上一点，AM= 2MD ，‎ N 为 PC 的中点 .‎ ‎（I）证明 MN∥平面 PAB ;‎ ‎（II ）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.‎ ‎（20）（本小题满分 12 分）‎ 已知抛物线 C：‎ ‎2 2‎ y x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直 线 l1,l2 分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 .‎ ‎（I）若 F 在线段AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR∥FQ；‎ ‎（II ）若△ PQF 的面积是△ ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程 .‎ ‎（21）（本小题满分 12 分）设函数 f（ x）= acos2x+（a-1）（cosx+1），其中 a＞0，记错误！未找到引用源。 的最 大值为 A.‎ ‎（Ⅰ）求 f＇（ x）；‎ ‎（Ⅱ）求 A；‎ ‎（Ⅲ）证明 错误！未找到引用源。 ≤2A.‎ ‎3‎ 请考生在 [22]、[23]、[24]题中任选一题作答。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如 果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎（本小题满分 10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙O 中 AB 的中点为 P，弦 PC，PD 分别交 AB 于 E，F 两点 .‎ ‎（I）若∠ PFB =2∠PCD，求∠ PCD 的大小；‎ ‎（II ）若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G，证明OG⊥CD.‎ 23. ‎（本小题满分 10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 ‎1‎ x y ‎3 cos sin ‎( 为参数 )‎ ‎，以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极 轴，，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 sin( ) 2 2‎ ‎4‎ ‎.‎ ‎（I）写出 C 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；‎ ‎1‎ ‎（II ）设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，求 |PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标 .‎ 24. ‎（本小题满分 10 分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 f ( x) | 2x a | a ‎（I）当 a=2 时，求不等式 f (x) 6 的解集；‎ ‎（II ）设函数 g( x) | 2x 1|, 当 x R 时， f（x）+g（x）≥ 3，求 a 的取值范围.‎ ‎4‎ 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：新课标Ⅲ ‎2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学正式答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。‎ ‎（1）D （2）C （3）A （4）D （5）A （6）A （7）B ‎（8）C （9）B （10）B （11）A （12）C ‎【11】‎ ‎【12】解：由题意可知， “规范 01 数列”有偶数项 2m 项，且所含 0 与 1 的个数相等，首项为 0，末项为 1，若 m=4，说明数列有 8 项，满足条件的数列有：‎ ‎0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1；‎ ‎0，0，1，0，0，1，1，1；‎ ‎0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1；‎ ‎0，1，0，0，0，1，1，1；‎ ‎0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共 ‎14 个．‎ ‎5‎ 故选： C．‎ 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。‎ 第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 ‎（13）‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（14）‎ ‎3‎ ‎（15） y 2x 1‎ ‎（16）4‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分 12 分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 a1 S 1 a ，故 1，‎ ‎1 1‎ ‎1‎ a ， a1 0.‎ ‎1‎ ‎1‎ 由Sn 1 an ， Sn 1 1 an 1 得an 1 an 1 an ，即 an 1( 1) an . 由a1 0， 0 得 an 0 ，所 以 a n a n ‎1‎ ‎1‎ ‎.‎ ‎1‎ 因此{an} 是首项为 ‎，公比为 的等比数列，于是 ‎1 1‎ ‎1 n ‎1‎ a ( ) ．‎ n ‎1 1‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 n S 1 ( ) ，由 n ‎1‎ ‎31‎ S 得 ‎5‎ ‎32‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎，即 ‎(‎ ‎5‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎32‎ ‎，‎ 解得 1．‎ ‎（18）（本小题满分 12 分）‎ ‎6‎ 解：（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得 ‎7 7‎ ‎2 2‎ t 4 ， (ti t) 28 ， (yi y) 0.55，‎ i 1 i 1‎ ‎7 7 7‎ ‎(ti t)( y y) t y t y 40.17 4 9.32 2.89，‎ i i i i i 1 i 1 i 1‎ 2. ‎ 89‎ r 0.99.‎ 0.55 ‎ 2 2.646‎ 因为 y 与 t的相关系数近似为 0.99 ，说明 y 与t 的线性相关相当高， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系 .‎ ‎7‎ ‎(t t)( y y)‎ i i 9.32 ‎ 2.89 ?‎ ‎（Ⅱ）由 1.331‎ i 1‎ y 及（Ⅰ）得 b 0.103 ，‎ ‎7‎ ‎7 28‎ ‎2‎ ‎(t t)‎ i i 1‎ ‎?‎ a? y bt 1.331 0.103 4 0.92 .‎ 所以， y 关于 t的回归方程为： y? 0.92 0.10t .‎ 将 2016 年对应的 t 9代入回归方程得： y? 0.92 0.10 9 1 .82 .‎ 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨.‎ ‎（19）（本小题满分 12 分）‎ ‎2‎ 解：（Ⅰ）由已知得 AM 2 ，取 BP 的中点 T ，连接 AT ,TN ，由 N 为 PC 中点知 TN // BC ，‎ AD ‎3‎ ‎1‎ TN BC 2 .‎ ‎2‎ 又 AD // BC ，故 TN 平行且等于 AM ，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN // AT .‎ 因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN // 平面 PAB .‎ ‎（ Ⅱ ） 取 BC 的 中 点 E ， 连 结 AE ， 由 AB AC 得 AE‎ ‎BC ， 从 而 AE AD ， 且 ‎2 BC ‎2 2 2‎ AE AB BE AB ( ) 5. 2‎ 以 A为坐标原点， AE 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，由题意知，‎ ‎5‎ P (0,0,4) ，M (0,2,0) ，C( 5, 2, 0) ， N( ,1, 2) ，‎ ‎2‎ ‎5 5‎ PM ( 0,2, 4) ， PN ( ,1, 2) ， AN ( ,1, 2) .‎ ‎2 2‎ 设n ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量，则 n n PM PN ‎0‎ ‎，即 ‎0‎ ‎2x ‎5‎ ‎2‎ ‎4z x y ‎0‎ ‎2z ‎，可取 n ( 0,2,1) ，‎ ‎0‎ ‎7‎ 于是 ‎| cos ‎| n AN | 8 5‎ n, AN | .‎ ‎25‎ ‎| n|| AN |‎ ‎1‎ ‎（20）解：由题设 F ,0) . 设l1 : y a, l2 : y b，则 ab 0，且 ‎(‎ ‎2‎ ‎2 a b ‎2‎ a b 1 1 1‎ A( ,0), B( ,b), P( , a), Q( , b), R( , ) . 2 2 2 2 2 2‎ 记过 A, B 两点的直线为 l ，则 l 的方程为 2x (a b)y ab 0. .....3 分 ‎（Ⅰ）由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0 .‎ 记 AR 的斜率为 k ， FQ 的斜率为 k2 ，则 ‎1‎ a b a b 1 ab k b k .‎ ‎1 2 2 2‎ ‎1 a a ab a a 所以 AR∥ FQ . ......5 分 ‎（Ⅱ）设 l 与 x 轴的交点为 D(x ,0) ，‎ ‎1‎ 则 a b ‎1 1 1‎ S ABF b a FD b a x ,S PQF .‎ ‎1‎ ‎2 2 2 2‎ 由题设可得 ‎1‎ ‎2‎ ‎ a b ‎1‎ b a x ，所以 x1 0 （舍去）， x1 1.‎ ‎1‎ ‎2 2‎ 设满足条件的 AB 的中点为 E (x, y) .‎ 当 AB 与 x轴不垂直时，由 ‎2 y kAB k 可得 (x 1)‎ DE a b x 1‎ ‎.‎ a b 而 y ‎2 x x ‎，所以 y 1( 1) .‎ ‎2‎ ‎2 x 当 AB 与 x轴垂直时， E 与 D 重合. 所以，所求轨迹方程为 y 1. ....12 分 ‎（21）（本小题满分 12 分）‎ ‎8‎ 解：（Ⅰ）‎ f x a x a x． ' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin ‎' ( ) 2 sin 2 ( 1)sin ‎（Ⅱ）当 a 1时，‎ ‎'‎ ‎| f (x) | | a sin 2x (a 1)(cosx 1)| a 2(a 1) 3a 2 f (0)‎ 因此， A 3a 2 ． ,,, 4 分 当0 a 1时，将 f (x) 变形为 f ( x) 2a cos2 x (a 1)cos x 1．‎ 令 ‎2‎ g(t ) 2at (a 1)t 1，则 A是| g(t) |在[ 1,1]上的最大值， g( 1) a ，g(1) 3a 2 ，且当 t ‎1‎ a ‎4a 时，‎ g(t ) 取得极小值，极小值为 g ‎ 2 2‎ ‎ 1 a (a 1) a 6a 1‎ ‎( ) 1‎ ‎4a 8a 8a ‎．‎ 令 ‎1 a ‎1 1‎ ‎4a ‎，解得 ‎1‎ a （舍去），‎ ‎3‎ ‎1‎ a ．‎ ‎5‎ ‎（ⅰ）当 ‎0‎ ‎1‎ a 时， g(t) 在 ( 1,1) 内无极值点， | g( 1)| a ， | g (1)| 2 3a ，| g( 1) | | g(1) | ，所以 ‎5‎ A 2 3a．‎ ‎（ⅱ）当 ‎1‎ ‎5‎ a 1时，由 g( 1) g (1) 2(1 a) 0，知 ‎1 a g( 1) g (1) g( )‎ ‎4a ‎．‎ 又 ‎1 a (1 a)(1 7a)‎ ‎| g( ) | | g( 1)| 0‎ ‎4a 8a ‎，所以 ‎2‎ ‎1 a a 6a 1‎ A | g( ) |‎ ‎4a 8a ‎．‎ ‎2 3a ,0 a ‎1‎ ‎5‎ 综上，‎ ‎2‎ a 6a 1 1‎ A , a 1‎ ‎8a 5‎ ‎3a 2,a 1‎ ‎． ,,, 9 分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得 ‎'‎ ‎| f (x) | | 2asin 2x (a 1)sin x| 2a | a 1|.‎ 当 ‎0‎ ‎1‎ a 时，‎ ‎5‎ ‎'‎ ‎| f (x) | 1 a 2 4a 2(2 3a) 2A.‎ 当 ‎1‎ ‎5‎ a 1时， A a 1 3‎ ‎8 8a 4‎ ‎1‎ ‎，所以 ‎'‎ ‎| f ( x) | 1 a 2A.‎ 当a 1时，‎ ‎'‎ ‎| f (x) | 3a 1 6a 4 2A ，所以 ‎'‎ ‎| f (x) | 2A.‎ 请考生在 [22] 、[23] 、[24] 题中任选一题作答。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。‎ 如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎ （本小题满分 10 分）选修 4-1 ：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连结 PB, BC ，则 BFD PBA BPD, PCD PCB BCD .‎ ‎9‎ 因为 AP BP ，所以 PBA PCB ，又 BPD BCD ，所以 BFD PCD .‎ 又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD ，所以 3 PCD 180 ， 因此 PCD 60 .‎ ‎（Ⅱ）因为 PCD BFD ，所以 PCD EFD 180 ，由此知 C,D, F ,E 四点共圆，其圆心既在 CE 的 垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过 C, D,F , E 四点的圆的圆心，所以 G 在CD 的垂直平分 线上，因此 OG CD .‎ 22. ‎ （本小题满分 10 分）选修 4-4 ：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）‎ C 的普通方程为 ‎1‎ ‎2‎ x ‎3‎ ‎2 1‎ y ， C2 的直角坐标方程为 x y 4 0 . ,, 5 分 ‎（Ⅱ）由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos ,sin ) ，因为 C 是直线，所以 | PQ |的最小值，‎ ‎2‎ 即为 P 到 C 的距离 d( ) 的最小值，‎ ‎2‎ ‎| 3 cos sin 4|‎ d( ) 2 | sin( ) 2|. ,,,,,, 8 分 ‎2 3‎ 当 且 仅 当 2k (k Z)时 ， d( ) 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 2 ， 此 时 P 的 直 角 坐 标 为 ‎6‎ ‎3 1‎ ‎( , )‎ ‎2 2‎ ‎. ,,,,,, 10 分 23. ‎ （本小题满分 10 分）选修 4-5 ：不等式选讲 解：（Ⅰ）当 a 2时， f (x) | 2x 2 | 2 .‎ 解不等式 | 2x 2 | 2 6 ，得 1 x 3 .‎ 因此， f ( x) 6的解集为 { x | 1 x 3} . ,,,,,, 5 分 ‎（Ⅱ）当 x R时， f (x) g( x) | 2x a | a |1 2x|‎ ‎|2x a 1 2x | a ‎|1 a | a ，‎ 当 ‎1‎ x 时等号成立，‎ ‎2‎ 所以当 x R时， f (x) g( x) 3等价于 |1 a | a 3. ① ,, 7 分 当a 1时，①等价于 1 a a 3，无解 .‎ ‎10‎ 当a 1时，①等价于 a 1 a 3，解得 a 2 .‎ 所以 a的取值范围是 [2, ) . ,,,,,, 10 分 ‎11‎