高考数学专题讲义数列综合

高考数学专题讲义数列综合

第八讲 数列综合 ‎ ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1.（宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　B　）‎ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．‎ ‎2.(江西)已知等差数列的前项和为，若，则 ．7‎ ‎3.（辽宁卷） 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于 A． B. C. D.‎ ‎【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，‎ 则 即，所以，故选择答案C。‎ ‎4.（湖南）设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（　B　）‎ A．10 B．‎11 C．12 D．13‎ ‎5.(陕西卷) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .‎ 解析：解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6，解之得a1=2或a1=3． ‎ 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② ‎ ‎ 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ‎ ‎∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)． ‎ 当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a32=a‎1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．‎ ‎6.（广东卷）已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.‎ ‎(I)求数列的首项和公比；‎ ‎(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；‎ 解: (Ⅰ)依题意可知,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,‎ ‎,即数列的前10项之和为155.‎ ‎★★★高考要考什么 本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．‎ 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查 间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．‎ 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：‎ ‎（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．‎ ‎（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．‎ ‎（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．‎ 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．‎ ★ ‎★★ 突 破 重 难 点 ‎【范例1】已知数列，满足，，且（）‎ ‎（I）令，求数列的通项公式；‎ ‎（II）求数列的通项公式及前项和公式．‎ 解：（Ｉ）由题设得，即（）‎ 易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．‎ ‎（II）解：由题设得，令，则．‎ 易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为． 由解得 ‎， 求和得．‎ ‎【变式】（文）在等差数列中，，前项和满足条件， ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，求数列的前项和。‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。‎ ‎（Ⅱ）由，得。所以，‎ 当时，；‎ 当时，‎ ‎，‎ 即。‎ ‎（理）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。‎ ‎（Ⅰ）、求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；‎ 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.‎ 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，‎ 故Tn＝＝＝（1－）.‎ 因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.‎ ‎【范例2】已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；‎ ‎（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。‎ 解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，∴‎ ‎；‎ ‎ （2），‎ ‎=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），‎ ‎ （3），而，即，‎ ‎，同理，，又 ‎【文】已知函数，、是方程的两个根()，是的导数 设，，.‎ ‎(1)求、的值；‎ ‎(2)已知对任意的正整数有,记,.求数列{}的前项和．‎ 解、(1) 由 得 ‎ ‎ (2) ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列;‎ ‎ ‎ ‎【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下：‎ ‎①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）；‎ ‎②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去．‎ 现定义f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）若输入x0＝，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项；‎ ‎（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；‎ ‎（Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞－1）∪（－1，＋∞）‎ ‎∴数列｛xn｝只有三项x1＝，x2＝，x3＝－1‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）＝＝x即x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2‎ 即x0＝1或2时，xn＋1＝＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N）‎ ‎（Ⅲ）解不等式x＜，得x＜－1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜－1或1＜x1＜2‎ 对于函数f（x）＝。若x1＜－1，则x2＝f（x1）＞4，x3＝f（x2）＜x2‎ 当1＜x1＜2时，x2＝f（x）＞x1且1＜x2＜2依次类推可得数列｛xn｝的所有项均满足xn＋1＞xn（n∈N）‎ 综上所述，x1∈（1，2），由x1＝f（x0），得x0∈（1，2）‎ ‎【范例3】已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．‎ ‎（I）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；‎ ‎（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增 解：（I）当时，由已知得．‎ 因为，所以． …… ①‎ 于是． ……②‎ 由②－①得． …… ③‎ 于是． …… ④‎ 由④－③得， …… ⑤‎ 所以，即数列是常数数列．‎ ‎（II）由①有，所以．由③有，，所以，．而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，‎ 所以，，，‎ 数列是单调递增数列且对任意的成立．‎ 且 ‎．‎ 即所求的取值集合是．‎ ‎（III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 所以时，，从而，所以在和上都是增函数．‎ 由（II）知，时，数列单调递增，‎ 取，因为，所以．‎ 取，因为，所以．‎ 所以，即弦的斜率随单调递增．‎ 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，‎ 所以，．‎ 故，即弦的斜率随单调递增．‎ ‎【文】设是数列（）的前项和，，且，，．（I）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（‎ ‎）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．‎ 解：（I）当时，由已知得．‎ 因为，所以． …………………………①‎ 于是． …………………………………………………②‎ 由②－①得：．……………………………………………③‎ 于是．……………………………………………………④‎ 由④－③得：．…………………………………………………⑤‎ 即数列（）是常数数列．‎ ‎（II）由①有，所以．‎ 由③有，所以，‎ 而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．‎ 所以，，．‎ 由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．‎ 若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．‎ ‎（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）‎ ‎【变式】（文）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…‎ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；‎ （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；‎ （1） 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.‎ 解：（Ⅰ）由已知， ‎ ‎ ，两边取对数得 ‎，即 是公比为2的等比数列.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*）‎ ‎ =‎ ‎ 由（*）式得 ‎（Ⅲ） ‎ 又 ‎ ‎ 又 ‎（理）在数列中，，其中．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）证明存在，使得对任意均成立．‎ ‎（Ⅰ）解法一：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 由此可猜想出数列的通项公式为．‎ 以下用数学归纳法证明．‎ ‎（1）当时，，等式成立．‎ ‎（2）假设当时等式成立，即，‎ 那么 ‎．‎ 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．‎ 解法二：由，，‎ 可得，‎ 所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．‎ ‎（Ⅱ）解：设，　　　①‎ ‎　　　　　　　　②‎ 当时，①式减去②式，‎ 得，‎ ‎．‎ 这时数列的前项和．‎ 当时，．这时数列的前项和．‎ ‎（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：‎ ‎．　　　　③‎ 由知，要使③式成立，只要，‎ 因为 ‎．‎ 所以③式成立．‎ 因此，存在，使得对任意均成立．‎