科学备考高考数学文通用版大一轮复习配套试题基本不等式含模拟试题答案解析

科学备考高考数学文通用版大一轮复习配套试题基本不等式含模拟试题答案解析

精品题库试题 文数 ‎1.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 已知圆与圆相外切，则的最大值为（   ）‎ A.     ‎ B.     ‎ C.    ‎ D. ‎ ‎[解析] 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由两圆外切知，即，所以，.‎ ‎2.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）“” 是“” 的       （　　）‎ A．充分但不必要条件   B．必要但不充分条件 ‎ C．充要条件           D．既不充分也不必要条件 ‎[解析] 2.若，则，反之，若，则，得，所以是充要条件.‎ ‎3.（天津市蓟县第二中学2014届高三第一次模拟考试）若直线平分圆, 则的最小值是(      ) ‎ A.1        B.5        C.        D.‎ ‎[解析] 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，‎ 当且仅当取得等号.‎ ‎4.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 下列四个命题中，真命题的序号有　　（写出所有真命题的序号）            ‎ ‎①若则“” 是“a> b” 成立的充分不必要条件；‎ ‎②当时，函数的最小值为2；‎ ‎③命题“若，则” 的否命题是“若” ；‎ ‎④函数在区间（1，2）上有且仅有一个零点 ‎[解析] 4.  ①中由“可得，反之可能为0，不成立，所以是充分不必要条件，②中基本不等式的等号取不到，故②错误，否命题是将条件和揭露同时否定，或的否定为，故③正确，因为为增函数，且，，所以在区间上有且仅有一个零点.‎ ‎5.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为       ．‎ ‎[解析] 5.，由余弦定理得，即，‎ ‎6.（吉林市普通高中2013—2014学年度高中毕业班上学期期末复习检测）已知正数满足，使得取最小值的实数对是 A．(5，10）　　   B．（6，6）　　      C．（10，5）　　　　 D．（7，2）‎ ‎[解析] 6.因为，所以，当且仅当时取得等号，代入中得 ‎7.(江西省七校2014届高三上学期第一次联考) 下列说法：‎ ‎①命题“存在” 的否定是“对任意的” ；‎ ‎②关于的不等式恒成立，则的取值范围是；‎ ‎③函数为奇函数的充要条件是；‎ 其中正确的个数是（    ）‎ ‎     A．3         B．2        C．1      D．0‎ ‎[解析] 7.①正确，量词和结论同时否定；②错误，因为，所以a的范围为；‎ ‎③中为偶函数，要使为奇函数，则，为奇函数等价于，所以③正确 ‎8.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 设, ，若，，则的最大值为(      )‎ ‎   A．1　　　　　　　　     B．2　　　　　　      C．3　　　　　　　　  D．4‎ ‎[解析] 8.因为，所以，因为，所以，‎ ‎9.（成都市2014届高中毕业班第一次诊断性检测）某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．若用函数 f（x）＝－x2＋4x＋7 ‎ 进行价格模拟（注x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数，取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，则可以预测明年拓展外销市场的时间为 ‎（A）5月1日　（B）6月1日　（C）7月1日　（D）8月1日 ‎[解析] 9.依题意，设，‎ ‎，当且仅当，即时取得最大值 ‎10.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）若(其中), 则的最小值等于          ‎ ‎[解析] 10.  因为，则，当且仅当，即时取等号，此时，.‎ ‎11.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 若直线被圆截得的弦长为4, 则的最小值是       .‎ ‎[解析] 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，，所以，当且仅当时取得等号．‎ ‎12.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试) 已知，则的最小值_________;‎ ‎[解析] 12.因为，所以，当且仅当 时取等号.‎ ‎13.(江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学教学情况调查) 已知正数满足，则的最小值为   ▲   ．‎ ‎[解析] 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号.‎ ‎14.(山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试) 已知a> b> 0, ab=1，则的最小值为     ．‎ ‎[解析] 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号.‎ ‎15.（上海市嘉定区2013-2014学年高三年级第一次质量检测）在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之积等于，则到原点距离的最小值为_________．‎ ‎[解析] 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，则，到原点的距离为，所以 ‎16.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）函数的图象恒过定点, 且点在直线上，其中，则的最小值为______________‎ ‎[解析] 16.由题意知点M的坐标为，所以，‎ ‎17.（重庆南开中学高2014级高三1月月考)实数满足，则的最大值是　　 。‎ ‎[解析] 17.由题意，设，则，所以，即，解得，‎ ‎18.(安徽省合肥市2014届高三第二次教学质量检测) 已知椭圆C：的右焦点为F （1，0) ，设左顶点为A，上顶点为B，且，如图所示．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎(II）已知M，N为椭圆C上两动点，且MN的中点H在圆x2＋y2=1上，求原点O到直线MN距离的最小值 ‎[解析] 18.（1）由已知，由，得因为，所以，得，所以，所以椭圆，‎ ‎（2）设，则，，‎ 作差得，，‎ 当时，，所以，因为在圆上，‎ 所以，则原点到直线的距离为；‎ 当时，有，设直线的斜率为，‎ 则，即，且，‎ 所以，，‎ 又直线的方程为，即，‎ 设原点到直线的距离为，则 ‎，当时，；‎ 当时，，因为，所以的最小值为，‎ 则的最小值为，此时，由 可知，原点到直线距离的最小值为 ‎.‎ ‎19.(江西省红色六校2014届高三第二次联考) 已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ) 如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．‎ ‎[解析] 19.（1）依题意，设椭圆的方程为．‎ 构成等差数列，‎ ‎， ．‎ 又，．‎ 椭圆的方程为．‎ ‎(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．　　            ‎ 设，，  ‎ ‎（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，‎ ‎，       ‎ ‎，‎ ‎，当时，，，．‎ 当时，四边形是矩形，．  ‎ 所以四边形面积的最大值为．   ‎ ‎（法二），‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形的面积，           ‎ ‎　　　　　　        ．  ‎ 当且仅当时，，故．‎ 所以四边形的面积的最大值为．‎ ‎20.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）某产品原来的成本为1000元/件，售价为1200元/件，年销售量为1万件。由于市场饱和顾客要求提高，公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查，若投入万元，每件产品的成本将降低元，在售价不变的情况下，年销售量将减少万件，按上述方式进行产品升级和销售，扣除产品升级资金后的纯利润记为（单位：万元）．（纯利润=每件的利润×年销售量-投入的成本）‎ ‎⑴求的函数解析式； ‎ ‎⑵求的最大值，以及取得最大值时的值．‎ ‎[解析] 20.⑴依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元   年销售量为万件，[来网]纯利润为，（万元）‎ ‎⑵，，等号当且仅当，即（万元）‎ ‎21.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) （选做题）（在A、B、C、D四小题中只能选做2题）‎ A．如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点，若，，求的长.‎ B．已知曲线：，若矩阵对应的变换将曲线变为曲线，求曲线的方程.‎ C．在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），若直线与圆相切，求实数的值.‎ D．已知，，为正实数，若，求证：.‎ ‎[解析] 21.A.为中点，，，又，由，得.‎ B. 设曲线一点对应于曲线上一点，，，，，，，曲线的方程为.‎ C.易求直线：，圆：，     依题意，有，解得 ‎.‎ D.， .‎ ‎22.(江西省七校2014届高三上学期第一次联考) 已知=（cosα，sinα）, =（cosβ, sinβ），与之间有关系|k+|=|－k|，其中k> 0，‎ ‎（1）用k表示·;    ‎ ‎（2）求·的最小值，并求此时·的夹角的大小。‎ ‎[解析] 22.（1）已知|ka+b|=|a－kb|，两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|) 2，k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2) a2+(3k2－1) b2，a·b =∵a=(cosα，sinα), b=(cosβ, sinβ) ，‎ ‎∴a2=1, b2=1, ∴a·b ==‎ ‎（2）∵k2+1≥2k，即≥=∴a·b的最小值为，又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos。∴=60°, 此时a与b的夹角为60°。‎ ‎23.(江西省七校2014届高三上学期第一次联考) 在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为，，，.‎ ‎（1）求的最大值及的取值范围；‎ ‎（2）求函数的最大值和最小值.‎ ‎[解析] 23.（Ⅰ）   即 又   所以  ，即的最大值为16 ，即  所以 ， 又0＜＜  所以0＜‎ ‎（Ⅱ），因0＜，所以＜， ，当   即时，，当    即时，‎ ‎   ‎ ‎24.（山东省济宁市2014届高三上学期期末考试）如图，两个工厂A, B（视为两个点）相距2km，现要在以A, B为焦点，长轴长为4km的椭圆上某一点P处建一幢办公楼据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度” 与距离AP成反比，办公楼受工厂B的“噪音影响度” 与距离BP也成反比，且比例系数都为1. 办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度” y是受A, B两厂“噪音影响度” 的和，设AP=‎ ‎（I）求“总噪音影响度” y关于x的函数关系式；‎ ‎（II）当AP为多少时，“总噪音影响度” 最小？‎ ‎[解析] 24.（1）由题意可知，，所以，，‎ ‎（2）解法一：，当且仅当，即时取等号，答：当为时，“总噪音影响度” 最小. ‎ 解法二：由（1）得，答：当为时，“总噪音影响度” 最小. ‎ ‎25.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且 ‎（1）试求椭圆的方程；‎ ‎（2）过、分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于、、、四点（如图所示）  试求四边形面积的最大值和最小值．‎ ‎[解析] 25.（1）由题意，  为的中点   即：椭圆方程为      ‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积．同理当与轴垂直时，也有四边形的面积． 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得： 设 所以，，所以，，‎ 同理          ‎ 所以四边形的面积 令 因为当，‎ 且S是以u为自变量的增函数，所以．‎ 综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为．‎ ‎26.(2014年兰州市高三第一次诊断考试) 已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量 ＝(cosB，cosC) ，＝(2a+c，b) ，且⊥.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的范围 ‎[解析] 26.（1）∵ m＝(cosB，cosC) ，n＝(2a+c，b) ，且m⊥n.‎ ‎∴cosB(2a+c) + b cosC=0‎ ‎∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0‎ ‎∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0‎ 即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA ‎∴cosB=－1／2‎ ‎∵0≤B≤180‎ ‎∴B=120.‎ ‎（2）由余弦定理，得 当且仅当时，取等号 ‎       ‎ 又          ‎ 答案和解析 文数 ‎[答案] 1.C ‎[解析] 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由两圆外切知，即，所以，.‎ ‎[答案] 2.1‎ ‎[解析] 2.若，则，反之，若，则，得，所以是充要条件.‎ ‎[答案] 3.D ‎[解析] 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，当且仅当取得等号.‎ ‎[答案] 4.  ①③④‎ ‎[解析] 4.  ①中由“可得，反之可能为0，不成立，所以是充分不必要条件，②中基本不等式的等号取不到，故②错误，否命题是将条件和揭露同时否定，或的否定为，故③正确，因为为增函数，且，，所以在区间上有且仅有一个零点.‎ ‎[答案] 5.‎ ‎[解析] 5.，由余弦定理得，即，‎ ‎[答案] 6.A ‎[解析] 6.因为，所以，当且仅当时取得等号，代入中得 ‎[答案] 7.B ‎[解析] 7.①正确，量词和结论同时否定；②错误，因为，所以a的范围为；‎ ‎③中为偶函数，要使为奇函数，则，为奇函数等价于，所以③正确 ‎[答案] 8.B ‎[解析] 8.因为，所以，因为，所以，‎ ‎[答案] 9.B ‎[解析] 9.依题意，设，‎ ‎，当且仅当，即时取得最大值 ‎[答案] 10.‎ ‎[解析] 10.  因为，则，当且仅当，即时取等号，此时，.‎ ‎[答案] 11.4‎ ‎[解析] 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，，所以，当且仅当时取得等号．‎ ‎[答案] 12.6‎ ‎[解析] 12.因为，所以，当且仅当时取等号.‎ ‎[答案] 13.9‎ ‎[解析] 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号.‎ ‎[答案] 14.‎ ‎[解析] 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号.‎ ‎[答案] 15.‎ ‎[解析] 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，则，到原点的距离为，所以 ‎[答案] 16. ‎ ‎[解析] 16.由题意知点M的坐标为，所以，‎ ‎[答案] 17.2‎ ‎[解析] 17.由题意，设，则，所以，即，解得，‎ ‎[答案] 18.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 18.（1）由已知，由，得因为，所以，得，所以，所以椭圆，‎ ‎（2）设，则，，‎ 作差得，，‎ 当时，，所以，因为在圆上，‎ 所以，则原点到直线的距离为；‎ 当时，有，设直线的斜率为，‎ 则，即，且，‎ 所以，，‎ 又直线的方程为，即，‎ 设原点到直线的距离为，则 ‎，当时，；‎ 当时，，因为，所以的最小值为，‎ 则的最小值为，此时，由 可知，原点到直线距离的最小值为.‎ ‎[答案] 19.（答案详见解析）‎ ‎[解析] 19.（1）依题意，设椭圆的方程为．‎ 构成等差数列，‎ ‎， ．‎ 又，．‎ 椭圆的方程为．‎ ‎(2) 将直线的方程代入椭圆的方程中，得由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．　　            ‎ 设，，  ‎ ‎（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，‎ ‎，       ‎ ‎，‎ ‎，当时，，，．‎ 当时，四边形是矩形，．  ‎ 所以四边形面积的最大值为．   ‎ ‎（法二），‎ ‎．‎ ‎．‎ 四边形的面积，           ‎ ‎　　　　　　        ．  ‎ 当且仅当时，，故．‎ 所以四边形的面积的最大值为．‎ ‎[答案] 20.详见解析 ‎ ‎[解析] 20.⑴依题意，产品升级后，每件的成本为元，利润为元   年销售量为万件，[来网]纯利润为，（万元）‎ ‎⑵，，等号当且仅当，即（万元）‎ ‎[答案] 21.详见解析 ‎[解析] 21.A.为中点，，，又 ‎，由，得.‎ B. 设曲线一点对应于曲线上一点，，，，，，，曲线的方程为.‎ C.易求直线：，圆：，     依题意，有，解得.‎ D.， .‎ ‎[答案] 22.详见解析 ‎[解析] 22.（1）已知|ka+b|=|a－kb|，两边平方，得|ka+b|2=(|a－kb|) 2，k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b) ∴8k·a·b=(3－k2) a2+(3k2－1) b2，a·b =∵a=(cosα，sinα), b=(cosβ, sinβ) ，‎ ‎∴a2=1, b2=1, ∴a·b ==‎ ‎（2）∵k2+1≥2k，即≥=∴a·b的最小值为，又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos。∴=60°, 此时a与b的夹角为60°。‎ ‎[答案] 23.详见解析 ‎ ‎[解析] 23.（Ⅰ）   即 又   所以  ，即的最大值为16 ，即  所以 ， 又0＜＜  所以0＜‎ ‎（Ⅱ），因0＜，所以＜， ，当   即时，，当    即时，   ‎ ‎[答案] 24.详见解析 ‎[解析] 24.（1）由题意可知，，所以，，‎ ‎（2）解法一：，当且仅当，即时取等号，答：当为时，“总噪音影响度” 最小. ‎ 解法二：由（1）得，答：当为时，“总噪音影响度” 最小. ‎ ‎[答案] 25.详见解析 ‎ ‎[解析] 25.（1）由题意，  为的中点   即：椭圆方程为      ‎ ‎（2）当直线与轴垂直时，，此时，四边形的面积．同理当与轴垂直时，也有四边形的面积． 当直线，均与轴不垂直时，设: ，代入消去得： 设 所以，，所以，，‎ 同理          ‎ 所以四边形的面积 令 因为当，‎ 且S是以u为自变量的增函数，所以．‎ 综上可知，．故四边形面积的最大值为4，最小值为．‎ ‎[答案] 26.详见解析 ‎[解析] 26.（1）∵ m＝(cosB，cosC) ，n＝(2a+c，b) ，且m⊥n.‎ ‎∴cosB(2a+c) + b cosC=0‎ ‎∴cosB(2sinA+sinC) + sinB cosC=0‎ ‎∴2cosBsinA+cosBsinC+ sinB cosC=0‎ 即2cosBsinA=－sin（B+C）=－sinA ‎∴cosB=－1／2‎ ‎∵0≤B≤180‎ ‎∴B=120.‎ ‎（2）由余弦定理，得 当且仅当时，取等号 ‎       ‎ 又          ‎