2015高考数学人教A版本(9-6空间向量及其运算)一轮复习学案

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2015高考数学人教A版本(9-6空间向量及其运算)一轮复习学案

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-6空间向量及其运算课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与‎2a-b互相垂直,则k值是(  )‎ A.1     B.    ‎ C.     D. ‎[答案] D ‎[解析] ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),‎ ‎2a‎-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),‎ ‎∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0,∴k=.‎ ‎2.对空间任意一点O,若=++,则A、B、C、P四点(  )‎ A.一定不共面 B.一定共面 C.不一定共面 D.与O点的位置有关 ‎[答案] B ‎[解析] ∵++=1,‎ ‎∴P、A、B、C共面.‎ ‎3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角余弦值为,则λ等于(  )‎ A.2 B.-2‎ C.-2或 D.2或- ‎[答案] C ‎[解析] ∵cos〈a,b〉===.‎ 解得λ=-2或.‎ ‎4.(2013·山东济宁)正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(  )‎ A.a B.a ‎ C.a D.a ‎[答案] A ‎[解析] 设=a,=b,=c,‎ ‎∵=,∴==(++)‎ ‎=(a+b+c),‎ ‎∵N为BB1的中点,∴=+ ‎=+=a+c,‎ ‎∴=-=(a+c)-(a+b+c)‎ ‎=a-b+c,‎ ‎∴||2=(a-b+c)2=a2+a2+a2=a2,∴||=a.‎ ‎5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] ∵a、b、c三向量共面,a,b不共线,‎ ‎∴存在实数m、n使c=ma+nb,‎ 即(7,5,λ)=(‎2m-n,-m+4n,‎3m-2n),‎ ‎∴∴λ=.‎ ‎6.如图,在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,M为A‎1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  )‎ A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c ‎[答案] A ‎[解析] =+=+(+)‎ ‎=+(-+)=c-a+b,故选A.‎ 二、填空题 ‎7.‎ ‎(2013·琼海一模)如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E,F,G,H,M分别是棱AD,DD1,D‎1A1,A1B,AB的中点,点N在正方形EFGH的四边及其内部运动,则当N只需满足条件________时,就有MN⊥A‎1C1;当N只需满足条件________时,就有MN∥平面B1D‎1C.‎ ‎[答案] 点N在EG上 点N在EH上 ‎[解析] (1)∵EM∥BD∥B1D1,A‎1C1⊥B1D1,‎ ‎∴EM⊥A‎1C1,‎ ‎∵EG∥AA1,A‎1C1⊥AA1,∴GE⊥A‎1C1.‎ ‎∴A‎1C1⊥平面GEM.故当N在EG上时,MN⊥A‎1C1;‎ ‎(2)∵EH∥A1D∥B‎1C,EM∥B1D1,EH∩EM=E,‎ ‎∴平面HEM∥平面B1D‎1C,‎ ‎∴当N在EH上时,MN∥平面B1D‎1C.‎ 自己用向量法验证结论成立.‎ ‎8.△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于________.‎ ‎[答案] 5‎ ‎[解析] 设=λ,D(x,y,z),则(x-1,y+1,z-2)=λ(0,4,-3),∴x=1,y=4λ-1,z=2-3λ.‎ ‎∴=(-4,4λ+5,-3λ),‎ 又=(0,4,-3),⊥,‎ ‎∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,‎ ‎∴λ=-,∴=,‎ ‎∴||==5.‎ ‎9.‎ 已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M、N分别为PC、PD上的点,且PMMC=21,N为PD的中点.若=x+y+z,则x=________,y=________,z=________.‎ ‎[答案] - -  ‎[解析] =+=+ ‎=(+)+(-)‎ ‎=(--+)+(-)‎ ‎=--+,‎ ‎∴x=-,y=-,z=.‎ 三、解答题 ‎10.四棱锥P-ABCD中,AB、AD、AP两两垂直,AB=1,AD=2,AP=3,F为PC的中点,E为PD上,且PD=3PE,用 ‎(1)、、表示;‎ ‎(2)求的模.‎ ‎[解析] (1)=-=(++)‎ ‎-[+(-)]=-++.‎ ‎(2)由条件知,||=1,||=2,||=3,‎ ‎∴||2=(-++)2‎ ‎=||2+||2+||2=,‎ ‎∴||=.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11.‎ ‎(2013·晋中调研)如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos〈,〉的值为(  )‎ A.0 B. C. D. ‎[答案] A ‎[解析] 设OA=a,OB=OC=b,则·=·(-)=·-·=||·||·cos-||·||·cos=ab-ab=0,‎ ‎∴cos〈,〉==0.‎ ‎12.(2013·舟山月考)平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,向量、、两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(  )‎ A.5 B.6 ‎ C.4 D.8‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设=a,=b,=c,则=a+b+c,‎ 2=a2+b2+c2+‎2a·c+2b·c+‎2c·a=12+22+32+2×1×3cos60°+2×2×3cos60°+2×1×2cos60°=25,‎ 因此||=5.‎ ‎13.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.如图,在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,M为AC与BD的交点,N为BB1的靠近B的三等分点,若=a,=b,=c,则向量等于(  )‎ A.-a+b+c B.a+b-c C.a-b-c D.-a-b+c ‎[答案] C ‎[解析] =+=+ ‎=(-)- ‎=a-b-c.‎ 二、填空题 ‎14.(2013·河北五校联盟调研)在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] ‎ 连接B‎1C交BC1于O,则B‎1C⊥BC1.又A1B1⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD.设矩形BDD1B1两对角线BD1与B1D交点为M,则M为BD1的中点,即直线BD1与平面A1B1CD的交点,∴∠BMO就是直线BD1与平面A1B1CD所成的角.不妨设正方体的棱长为1,则BD1=,BM=,BO=,OM=,‎ 在Rt△BMO中,tan∠BMO==.‎ ‎15.直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A‎1M所成角为________.‎ ‎[答案]  ‎ [解析] ‎ 由条件知AC、BC、CC1两两垂直,以C为原点,CB,CA,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,,0),B1(1,0,),M(0,0,),A1(0,,),‎ ‎∴=(1,-,),=(0,-,-),‎ cos〈,〉==0,‎ ‎∴〈,〉=,‎ 即直线AB1与A‎1M所成角为.‎ 三、解答题 ‎16.如图,在棱长为a的正方体OABC-O‎1A1B‎1C1中,E、F分别是棱AB、BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.‎ ‎(1)写出点E、F的坐标;‎ ‎(2)求证:A‎1F⊥C1E;‎ ‎(3)若A1、E、F、C1四点共面,求证:=+.‎ ‎[解析] (1)解:E(a,x,0),F(a-x,a,0).‎ ‎(2)证明:∵A1(a,0,a)、C1(0,a,a),‎ ‎∴=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),‎ ‎∴·=-ax+a(x-a)+a2=0,‎ ‎∴⊥,‎ ‎∴A‎1F⊥C1E.‎ ‎(3)证明:∵A1、E、F、C1四点共面,‎ ‎∴、、共面.‎ 选与为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),‎ 使=λ1+λ2,‎ 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)‎ ‎=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),‎ ‎∴解得λ1=,λ2=1.‎ 于是=+.‎ 考纲要求 ‎1.了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.‎ ‎3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ 补充说明 ‎1.与平面向量对比学习 空间向量是平面向量的拓展,空间向量的概念、性质、运算及运算律与平面向量大多相同或相似,故在学习空间向量时,应注意与平面向量的类比以提高效率.‎ ‎2.平行、共线、共面问题 利用向量共线可以解决两直线平行的问题,也可以解决三点共线的问题,解题时表述一定要完整准确;利用空间向量基本定理判断四点共面的问题,用=x+y+z时,关键证明x+y+z=1.‎ ‎3.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ‎(1)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.‎ ‎(2)平面的法向量:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量可通过解方程组求出.‎ 备选习题 ‎1.已知空间中三点A(1,0,0),B(2,1,-1),C(0,-1,2),则点C到直线AB的距离为________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] =(1,1,-1),=(-1,-1,2),‎ cos〈,〉===-,‎ ‎∴sin〈,〉=,‎ ‎∴点C到直线AB的距离d=||·sin〈,〉=.‎ ‎2.‎ 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.‎ ‎(1)求证:BD⊥PC;‎ ‎(2)设点E在棱PC上,=λ,若DE∥平面PAB,求λ的值.‎ ‎[解析] (1)证明:如图,在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB,交BC于点F,以D为坐标原点,DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,,0),D(0,0,0),C(-3,,0).‎ ‎(1)设PD=a,则P(0,0,a),=(-1,-,0),=(-3,,-a),‎ ‎∵·=3-3=0,∴BD⊥PC.‎ ‎(2)由题意知,=(0,,0),=(0,0,a),=(1,0,-a),=(-3,,-a),‎ ‎∵=λ,∴=(-3λ,λ,-aλ),‎ =+=(0,0,a)+(-3λ,λ,-aλ)‎ ‎=(-3λ,λ,a-aλ).‎ 设n=(x,y,z)为平面PAB的法向量,则 即 令z=1,得x=a,∴n=(a,0,1),‎ ‎∵DE∥平面PAB,∴·n=0,‎ ‎∴-‎3aλ+a-aλ=0,即a(1-4λ)=0,‎ ‎∵a≠0,∴λ=.‎
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