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文档介绍
启东中学高考数学解析几何题库
一、选择题 1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为 A. B. C. D. 【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可. 【答案】B 2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。 【答案】B 3.（重庆文，1）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。 解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。 【答案】A 4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得： 【答案】A 5. （上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：＝k－3，解得：k＝5，故选C。 【答案】C 6. (上海文，18)过圆的圆心，作直线分 别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图）， 若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ） （A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面 积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线 AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线 AB只有一条，故选B。 【答案】B 7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 A. B.2 C. D.2 【答案】D 二、填空题 8. （广东文，13）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 . 【解析】将直线化为,圆的半径, 所以圆的方程为 【答案】 9.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ 【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。 【答案】 10. （天津文，14）若圆与圆的公共弦长为，则a=________. 【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ， 利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1. 【答案】1 11.（全国Ⅰ文16）若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。 【答案】①⑤ 12.（全国Ⅱ理16）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。 【解析】设圆心到的距离分别为,则. 四边形的面积 【答案】5 13.（全国Ⅱ文15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。 【答案】 14.（湖北文14）过原点O作圆x2+y2 －6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 则线段PQ的长为 。 【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得. 【答案】4 15.（江西理16）．设直线系,对于下列四个命题： ．中所有直线均经过一个定点 ．存在定点不在中的任一条直线上 ．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上 ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 【解析】因为所以点到中每条直线的距离 即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线, 所以A错误； 又因为点不存在任何直线上,所以B正确； 对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确； 中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C. 【答案】 三、解答题 16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 解 (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线的方程为：或，即或 (2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： ，即： 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：， 化简得： 关于的方程有无穷多解，有： 解之得：点P坐标为或。 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008年全国Ⅱ理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与x-7y-4=0, 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）. A．3 B．2 C． D． 答案 A 解析 ，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有 再将A、B、C、D代入验证得正确答案 是A。 2.（2008年全国Ⅱ文3）原点到直线的距离为 （ ） A．1 B． C．2 D． 答案 D 解析 。 3.（2008四川４）将直线绕原点逆时针旋转，再向右平移１个单位长度，所得到的直线为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 4.（2008上海15）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域（含边界），A、B、C、D 是该圆的四等分点．若点、点满足且，则称P优于．如果中的点满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧 （ ） Ａ． B． C． D． 答案 D 5.（2007重庆文）若直线 与圆相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 （ ） A.-或 B. C.-或 D. 答案 A 6.（2007天津文）“”是“直线平行于直线”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 7．（2006年江苏）圆的切线方程中有一个是 （ ） A.x－y＝0 B.x＋y＝0 C.x＝0 D.y＝0 答案 C 8. （2005湖南文）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A．20 B．19 C．18 D．16 答案 C 9. (2005全国Ⅰ文)设直线过点，且与圆相切，则的斜率是 工 （ ） A. B. C. D. 答案 C 10.（2005辽宁）若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为 （ ） A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8 答案 A 11.（2005北京文）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题 12. （2008天津文15，）已知圆C的圆心与点关于直线y=x+1对称，直线3x+4y-11=0 与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_______. 答案 13.（2008四川文14）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______. 答案 14.（2008广东理11）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线 程是 ． 答案 15.（2007上海文）如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与线段围成图形面积的取值范围是 ． 答案 16.（2007湖南理）圆心为且与直线相切的圆的方程是 ． 答案 (x-1)2+(y-1)2=2 17. ( 2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为___. 答案 a＞1 18.（2005江西）设实数x,y满足 . 答案 第二部分 三年联考汇编 2009年联考题 一、选择题 1.(西南师大附中高2009级第三次月考)“a= 3”是“直线与直线 平行”的（ ）条件 A．充要 B．充分而不必要 C．必要而不充分 D．既不充分也不必要 答案 C 2.(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)直线x+y+1=0与圆的位置关系是 （ ） A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定 答案 C 3.(西南师大附中高2009级第三次月考)两圆的位置关系 是 （ ） A．内切 B．外切 C．相离 D．内含 答案 B 4. (西南师大附中高2009级第三次月考)已知点P（x，y）是直线kx+y+4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为 （ ） A．3 B． C． D．2 答案 D 5. (福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知实系数方程x2+ax+2b=0, 的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是 （ ） A．（，1） B．（，１） Ｃ．（－，） Ｄ．（０，） 答案 A 6.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)点到直线的距离不大于3，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D．或 答案 C 7. (四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知圆的方程为，设圆中过点的最长弦与最短弦分别为、，则直线与的斜率之和为( ) A. B. C. D. 答案 B 8.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)直线和圆 的关系是 （ ） A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C 9. (福建省宁德市2009届高三上学期第四次月考)过点的直线将圆(x-2)2+y2=9分成 两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程是 （ ） A． B． C． D． 答案 D 二、填空题 10.(广东省华南师范附属中学2009届高三上学期第三次综合测试)从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一 点向这个圆引切线，则切线长为 ． 答案 2 11.(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)直线与直线 关于点对称，则b＝___________。 答案 2 12.(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)过点C(６,-８)作圆的切线，切点为A、B，那么点C到直线AB的距离为___________________。 答案 13. (四川省成都市2008—2009学年度上学期高三年级期末综合测试)光线由点P(2,3)射到直线上,反射后过点Q(1,1),则反射光线方程为 . 答案 4x－5y＋1＝0 14.(安徽省巢湖市2009届高三第一次教学质量检测)过的直线l与圆C：(x-1)22+y2=4 交于A、B两点，当∠ACB最小时，直线的方程为 . 答案 2007—2008年联考题 一、选择题 1. (四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知点A（3,2），B（-2,7），若直线y=ax-3与线段AB的交点P分有向线段AB的比为4:1，则a的值为 （ ） A．3 B．-3 C．9 D．-9 答案 D 2.(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)由直线上的点向圆(x-3)2+(y+2)2=1 引切线，则切线长的最小值为 ( ) A. B. C. D. 答案 A 3.(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为 （ ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 答案 B 4.(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)直线平分圆x2+y2-8x+2y-2=0 的周长，则 （ ） A．3 B．5 C．－3 D．－5 答案 D 5.(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)把直线按向量平移后恰与相切，则实数的值为 （ ） A．或 B．或 C．或 D．或 答案 C 6.（2007岳阳市一中高三数学能力题训练） 若圆上有且仅有两个点到直线4x－3y－2=0的距离为1，则半径r的取值范围是 （ ） A.（４，6） Ｂ.［４，６） Ｃ.（４，６］ Ｄ.［４，６］ 答案 A 7. (2007海淀模拟)已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆x2+y2=50有公共点，且公共点横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（ ）条 A.66 B.72 C.74 D.78 答案 C 二、填空题 7.(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)光线从点P（－3，5）射到直线l:3x-4y+4=0 上，经过反射，其反射光线过点Q（3，5），则光线从P到Q所走过的路程为 . 答案 8 8.(河北省正定中学2008年高三第四次月考)圆为参数）的标准方程 是 ，过这个圆外一点P的该圆的切线方程是 。 答案 (x－1)2＋(y－1)2＝1；x＝2或3x－4y＋6＝0 9. (湖北省鄂州市2008年高考模拟)与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条. 答案 4 10.(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)设直线与圆(x-1)2+(y-2)2=4 相交于A、B两点，且弦长为，则a= 。 答案 0 11. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)设直线的方程为， 将直线绕原点按逆时针方向旋转得到直线，则的方程是 答案 2x－y＋2＝0 12.(2007石家庄一模)若≠kx+2对一切x≥5都成立，则k的取值范围是________. 答案 k>1/10或k<2/5 13.（唐山二模）⊙M:x2+y2=4,点P(x0,y0)在圆外，则直线x0x+y0y=4与⊙M的位置关系是_____ 答案 相交 三、解答题 14.(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点． （1）求证：△OAB的面积为定值； （2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若OM = ON，求圆C的方程． 解 （1），． 设圆的方程是 令，得；令，得 ，即：的面积为定值． （2）垂直平分线段． ，直线的方程是． ，解得： 当时，圆心的坐标为，， 此时到直线的距离， 圆与直线相交于两点． 当时，圆心的坐标为，， 此时到直线的距离 圆与直线不相交， 不符合题意舍去． 圆的方程为． 15.（广东地区2008年01月期末试题） 已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为． （1）求点M轨迹的方程； （2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）． 解（1）设点的坐标为， ∵，∴． 整理，得（），这就是动点M的轨迹方程． （2）方法一 由题意知直线的斜率存在， 设的方程为（） ① 将①代入， 得， 由，解得． 设，，则 ② 令，则，即，即，且 由②得， 即 ． 且且． 解得且 ，且． ∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是． 方法二 由题意知直线的斜率存在， 设的方程为 ① 将①代入， 整理，得， 由，解得． 设，，则 ② 令，且 . 将代入②，得 ∴．即． ∵且，∴且． 即且． 解得且． ，且． 故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是． 16. (江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点. （1）求实数的取值范围； （2）求证：； （3）若O为坐标原点，且. 解 （1） 由 . . 17.（2007北京四中模拟一）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动． （1）求△ABC外心的轨迹方程； （2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求 的最大值．并求出此时b的值． 解 （1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，＋2）（-3≤≤1）， 则BC边的垂直平分线为y＝＋1 ① ②由①②消去，得．∵，∴．故所求的△ABC外心的轨迹方程为：． （2）将代入得．由及，得．所以方程①在区间，2有两个实根．设，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件是： 得 ∵∴ 又原点到直线l的距离为， ∴∵，∴． ∴当，即时，． 第二节 圆锥曲线 第一部分 五年高考荟萃 2009年高考题 2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A. B.2 C. D. 【解析】设切点，则切线的斜率为. 由题意有又 解得: . 【答案】C 2.（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( ) A. B. 2 C. D. 3 【解析】过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A 【答案】A 3.（2009浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) A． B． C． D． 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有 ，因． 【答案】C 4.（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【解析】对于椭圆，因为，则 【答案】D 5.（2009北京理）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于 两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A．直线上的所有点都是“点” B．直线上仅有有限个点是“点” C．直线上的所有点都不是“点” D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点” 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设， 则， ∵， ∴ 消去n,整理得关于x的方程 （1） ∵恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A. 【答案】A 6.(2009山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. B. 5 C. D. 【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=, 所以,,故选D. 【答案】D 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能. 7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A. B. C. D. 【解析】 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B. 【答案】B 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. 8.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线的渐近线与圆相切，则r= ( ) A. B.2 C.3 D.6 【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=. 【答案】A 9.（2009全国卷Ⅱ文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k= ( ) Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由 及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=. 【答案】D 1０.（2009安徽卷理）下列曲线中离心率为的是 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 【解析】由得，选B. 【答案】Ｂ 11.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于( ) A. 2 B. C. D. 1 【解析】 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D. 【答案】D 12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( ) A. B. C. D. 【解析】依据双曲线的离心率可判断得..选B。 【答案】B 13.（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A． B． C． D．3 【解析】由有,则,故选B. 【答案】B 14.（2009江西卷理）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点 ，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【解析】因为，再由有从而可得，故选B 【答案】B 15.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B . C . D. 【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 【答案】C 【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。 16.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是 联立可得由可解得A. 【答案】A 17.（2009四川卷文、理）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝( ) A. －12 B. －2 C. 0 D. 4 【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，. ∴·＝ 【答案】C 18.（2009全国卷Ⅱ理）已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( ) A. B. C. D. 【解析】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过 分 别作于,于, 由, 则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为 , 故选D. 【答案】D 19.（2009全国卷Ⅱ理）已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 ( ) m A． B. C. D. 【解析】设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角, 由双曲线的第二定义有 . 又 . 【答案】A 20.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ） A．（2，0） B．（- 2，0） C．（4，0） D．（- 4，0） 【解析】由,易知焦点坐标是，故选B. 【答案】B 21.（2009宁夏海南卷理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( ) A. B.2 C. D.1 【解析】双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为, 【答案】A 22.（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以. 【答案】C 23.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B.2 C. D. 【解析】由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C. 【答案】C 24.（2009湖北卷文）已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=( ) A.3 B. C. D. 【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C. 【答案】C 27.（2009天津卷理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( ) A. B. C. D. 【解析】由题知， 又 由A、B、M三点共线有即，故， ∴，故选择A。 【答案】A 28.（2009四川卷理）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C. D. 【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。 【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。 【解析2】如图，由题意可知 【答案】A 二、填空题 29.（2009宁夏海南卷理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为， 【答案】y=x 30.（2009重庆卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ． 【解析1】因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即 设点由焦点半径公式，得则 记得由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1. 【答案】 31.（2009北京文、理）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 . .w【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵， ∴， ∴， 又，∴， 又由余弦定理，得， ∴，故应填. 32.（2009广东卷理）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ． 【解析】，，，，则所求椭圆方程为. 【答案】 33.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 . 【解析】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 【答案】2 34.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 . 【解析】, 【答案】2 35.（2009福建卷理）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。 【答案】 2 36.（2009辽宁卷理）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。 【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|－|PF’|＝2a＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|＋|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 37.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。 【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y， 得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故. 【答案】 38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为 . 【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率. 【答案】 39.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=____________. 【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9， 故有b＝3。 【答案】3 三、解答题 40.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由. 解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G. 41.（2009浙江理）（本题满分15分） 已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为． （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点 ．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值． 解（I）由题意得所求的椭圆方程为， （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有， 设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或； 当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1． 42.（2009浙江文）（本题满分15分） 已知抛物线：上一点到其焦点的距离为． （I）求与的值； （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值． 解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得 抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 （Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。 则，当 则。 联立方程，整理得： 即：，解得或 ，而，直线斜率为 ，联立方程 整理得：，即： ，解得：，或 ， 而抛物线在点N处切线斜率： · MN是抛物线的切线，， · 整理得 ，解得（舍去），或， 43.（2009北京文）（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。 （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． 解（Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）, ∴, ∵点在圆上， ∴，∴. 44.（2009北京理）（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，且， 设A、B两点的坐标分别为， 则， ∵，且 ， . ∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且， ∴，设A、B两点的坐标分别为， 则， ∴，∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. 45.（2009江苏卷）（本题满分10分） 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。 （1）求抛物线C的标准方程； （2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； （3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 46.(2009山东卷理)（本小题满分14分） 设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N (,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N (,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取”=”. ② 当时,. ③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或, 所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009山东卷文)（本小题满分14分） 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:(1查看更多