北京四中高考数学总复习巩固练习直线平面垂直的判定和性质基础

北京四中高考数学总复习巩固练习直线平面垂直的判定和性质基础

‎【巩固练习】‎ ‎1. 直线与平面α内无数条直线垂直是“直线与平面α垂直”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”)．‎ ‎2.关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：‎ ‎①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；‎ ‎②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；‎ ‎④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.‎ 其中假命题的序号是________．‎ ‎3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的有________．‎ ‎①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α；②若l⊥α，l∥m，则m⊥α；‎ ‎③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若l∥α，m∥α，则l∥m.‎ ‎4.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：‎ ‎①若b⊂α，c∥α，则b∥c; ②若b⊂α，b∥c，则c∥α；‎ ‎③若c∥α，α⊥β，则c⊥β； ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.‎ 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)‎ ‎5. 已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的条件是________．(填序号)‎ ‎①α⊥γ，β⊥γ；②α∩β＝a，b⊥a，b⊂β；‎ ‎③a∥α，a∥β；④a⊥β，a∥α.‎ ‎6.设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；‎ ‎②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；‎ ‎③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；‎ ‎④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.‎ 上面命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．‎ ‎7. 在各个面都是正三角形的四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．‎ ‎①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；‎ ‎③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.‎ ‎8. 如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是________．‎ ‎9. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，则在BC上存在________个点使PQ⊥QD.‎ ‎10.称四个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”，若在四直角三棱锥SABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠SBC＝90°，则第四个面中的直角为________．‎ ‎11. 在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，点P在侧面BB‎1C1C上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________．‎ ‎12. 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA＝1，PB＝PD＝，则它的5个面中，互相垂直的面有________对．‎ ‎13. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎14.如图，棱柱ABCA1B‎1C1的侧面BCC1B1是菱形，B‎1C⊥A1B.求证：平面AB‎1C⊥平面A1BC1.‎ ‎15.如图，AB为圆O的直径，点E在圆O上，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直．求证：AE⊥平面CBE.‎ ‎16.如图，在四棱锥PABCD中， PD⊥平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．‎ ‎(1)证明：PA∥平面BDE；‎ ‎(2)证明：平面PAC⊥平面PDB.‎ ‎17.如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中．‎ ‎(1)求证：平面BC1D⊥平面A1ACC1；‎ ‎(2)求二面角C1BDC的正切值．‎ ‎【参考答案与解析】‎ ‎1．【答案】必要不充分　‎ ‎【解析】由直线与平面垂直的定义知为必要不充分条件．‎ ‎2. 【答案】①③④　‎ ‎【解析】据面面垂直的判定定理可知②正确，所以填①③④.‎ ‎3.【答案】②　‎ ‎【解析】根据线面垂直的判定定理知①错；根据线面垂直的性质知②正确；③中l可能与m异面；④中l可能与m异面，也可能相交．‎ ‎4.【答案】④　‎ ‎【解析】由面面垂直的判定定理可知④正确．‎ ‎5.【答案】④‎ ‎【解析】由面面垂直的定义、判定定理可得．‎ ‎6.【答案】②　‎ ‎【解析】①中m与a不一定垂直；③中可以得到b和γ相交或b∥γ；④中可以得到a∥b或a，b相交；只有②正确．‎ ‎7.【答案】①②④　‎ ‎【解析】作出图形易知①正确；由BC⊥AE，BC⊥PE，可得BC⊥平面PAE，从而得DF⊥平面PAE，②正确；因为BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，则平面PAE⊥平面ABC，④正确．‎ ‎8.【答案】9　‎ ‎【解析】分三类：‎ ‎(1)在底面ABCD中，共有4个直角，因而有4个直角三角形；(2)四个侧面都是直角三角形；(3)过两条侧棱的截面中，△PAC为直角三角形．故共有9个直角三角形. ‎ ‎9.【答案】1‎ ‎【解析】因为PA⊥平面ABCD，又QD⊂平面ABCD，则PA⊥QD，又PQ⊥QD，PA∩PQ=P，则QD⊥平面PAQ，又AQ⊂平面PAQ，则QD⊥AQ，取AD中点O，则Q应在以O为圆心，以AD为半径的圆周上，又根据题意Q在BC上，则Q是圆O与BC的交点，因为圆心O到直线BC的距离为1，圆O的半径也是1，所以圆O与BC相切，所以满足题意的Q点有且仅有一个．‎ ‎10.【答案】 ∠ABC　‎ ‎【解析】如图，由∠SAB=∠SAC=90°得SA⊥底面ABC，故SA⊥BC，又由∠SBC=90°，即SB⊥BC，又SA∩SB=S，所以BC⊥平面SAB，故BC⊥AB，即∠ABC为直角．‎ ‎11.【答案】线段B‎1C　‎ ‎【解析】连结AB1，B‎1C，AC，则BD1⊥平面B‎1AC，当P在B‎1C上运动时，AP⊥BD1恒成立，故轨迹为线段B‎1C.‎ ‎12.【答案】5　‎ ‎【解析】平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PAD⊥平面PCD.共有5对．‎ ‎13. ‎ ‎【答案】MD⊥PC或MB⊥PC　‎ ‎【解析】连接AC.∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD.∴当点M满足MD⊥PC(或MB⊥PC)时，PC⊥平面MBD，从而有平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎14.【证明】因为侧面BCC1B1是菱形，所以B‎1C⊥BC1，又已知B‎1C⊥A1B，且A1B∩BC1=B，‎ 所以B‎1C⊥平面A1BC1，又B‎1C⊂平面AB‎1C，‎ 所以平面AB‎1C⊥平面A1BC1.‎ ‎15.【证明】∵平面ABCD⊥平面ABE，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴CB⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥CB，‎ ‎∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，‎ 又BE∩CB=B，∴AE⊥平面CBE.‎ ‎16.‎ ‎【证明】(1)如图，连结AC，交BD于O，连结OE.‎ ‎∵DB平分∠ADC，AD=CD，‎ ‎∴AC⊥BD且OC=OA.‎ 又∵E为PC的中点，‎ ‎∴OE∥PA，‎ 又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)知AC⊥DB，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，‎ ‎∵PD，BD⊂平面PDB，PD∩DB=D，‎ ‎∴AC⊥平面PDB，又AC⊂平面PAC，‎ ‎∴平面PAC⊥平面PDB.‎ ‎17. 【证明】‎ ‎(1)因为ABCDA1B‎1C1D1是正方体，所以AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD.‎ 而BD⊂平面ABCD，于是BD⊥AA1，因为AC，AA1⊂平面A1ACC1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1ACC1，因为BD⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面A1ACC1.‎ ‎(2)设AC与BD交于点O，连C1O，‎ 因为C1O，CO⊂平面A1ACC1，而BD⊥平面A1ACC1，CO⊥BD，故C1O⊥BD，则∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，设正方体的棱长为a，则CO=a，在Rt△C1OC中，tan∠C1OC===，故二面角C1BDC的正切值为.‎