高考数学一轮复习章末测试 单元评估检测八

高考数学一轮复习章末测试 单元评估检测八

单元评估检测（八）‎ ‎（第八章）‎ ‎（120分钟 150分）‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是(　　)‎ ‎(A)(0，) (B)(0，π)‎ ‎(C)[－，] (D)[0，]∪[，π)‎ ‎2.(2012·珠海模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于(　　)‎ ‎(A)3 (B)1 (C)－1 (D)3或－1‎ ‎3.(2012·顺德模拟)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)‎ ‎(A)1 (B)1或3 (C)0 (D)1或0‎ ‎4.“λ>－1”是“方程－＝1表示双曲线”的(　　)‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎5.(2012·佛山模拟)已知直线l1与圆O：x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是(　　)‎ ‎(A)3x＋4y－1＝0‎ ‎(B)3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0‎ ‎(C)3x＋4y＋9＝0‎ ‎(D)3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0‎ ‎6.若曲线＋＝1与曲线＋＝1的离心率互为倒数，则a＝(　　)‎ ‎(A)16 (B)－16 (C) (D)－ ‎7.已知双曲线16y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　)‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎8.若PQ是圆x2＋y2＝16的弦，PQ的中点是M(1,3)，则直线PQ的方程是(　　)‎ ‎(A)x＋3y－4＝0 (B)x＋3y－10＝0‎ ‎(C)3x－y＋4＝0 (D)3x－y＝0‎ 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为　　　　.‎ ‎10.(2012·郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p>1)的焦点F恰为双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为　　　.‎ ‎11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于　　　.‎ ‎12.若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2‎ ‎－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是　　　　.‎ ‎13.(2012·深圳模拟)直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为　　　　.‎ ‎14.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值等于　　　　.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(12分)(易错题)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R).‎ ‎(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；‎ ‎(2)若a>－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.‎ ‎16.(13分)已知动点C到点A(－1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍.‎ ‎(1)试求点C的轨迹方程；‎ ‎(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.‎ ‎17.(13分)(探究题)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(－，0)，右顶点为D(2,0)，设点A(1，).‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；‎ ‎(3)过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值.‎ ‎18.(14分)(2012·广州模拟)如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝，‎ ‎(1)求曲线C1和C2的方程；‎ ‎(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.‎ ‎19.(14分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.‎ ‎20.(14分)已知直线l1：y＝2x＋m(m<0)与抛物线C1：y＝ax2(a>0)和圆C2：x2＋(y＋1)2＝5都相切，F是C1的焦点.‎ ‎(1)求m与a的值；‎ ‎(2)设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；‎ ‎(3)在(2)的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选D.直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα.‎ 又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.‎ ‎∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，]；‎ 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是[，π).‎ ‎2.【解析】选C.由题意知a＝－1.‎ ‎3.【解析】选D.由ky2－8y＋16＝0，若k＝0则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.‎ ‎4. 【解析】选A.因为当λ>－1时，方程－＝1表示双曲线；当－＝1表示双曲线时，λ>－1或λ<－2.所以“λ>－1”是“方程－＝1表示双曲线”的充分不必要条件.‎ ‎5.【解析】选D.由题意可得圆心O(0，－1)，半径r＝1，‎ 设l1：3x＋4y＋λ＝0，则圆心O到l1的距离d＝＝1.∴|λ－4|＝5.解得λ＝－1或λ＝9.‎ ‎∴l1：3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.‎ ‎6.【解析】选D.因为曲线＋＝1的离心率为，所以，曲线＋＝1‎ 的离心率为，所以＝，解得a＝－.‎ ‎7.【解析】选C.双曲线的方程可化为－＝1，所以a＝，b＝，取顶点(0，)，一条渐近线为mx－4y＝0.‎ ‎∵＝，即m2＋16＝25，∴m＝3.‎ ‎8.【解析】选B.圆心为O(0,0)，故直线OM斜率k＝＝3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以kPQ＝－，其方程为y－3＝－(x－1)，整理，得x＋3y－10＝0.‎ ‎9.【解题指南】由于圆与两平行线都相切，故两平行线间距离即为直径，只要再求得圆心坐标即可得解.‎ ‎【解析】因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R＝，所以R＝.设圆心坐标为P(a，－a)，则点P到两条切线的距离都等于半径，所以＝，＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2‎ ‎10.【解析】由题意知，＝c，即p＝2c.‎ 由得b2x2－4ca2x－a2b2＝0　*‎ 由题意知x＝c是方程*的一个根，则有 b2c2－4a2c2－a2b2＝0，即c4－6a2c2＋a4＝0，‎ ‎∴e4－6e2＋1＝0.‎ 又e>1，∴e2＝3＋2，e＝＋1.‎ 答案：＋1‎ ‎11.【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b＝2a，即a＝2b，所以c＝＝b，所以离心率为e＝＝.‎ 答案： ‎12.【解析】因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3.‎ 答案：－1≤a≤3‎ ‎13.【解析】由题意可得a＋m－2a＝0，即m＝a.‎ 又直线的斜率k＝－＝－1，∴该直线的倾斜角为.‎ 答案： ‎14.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为 ‎(x，－x2)，根据点到直线的距离公式，得 d＝＝(x－)2＋，所以当x＝时，d取得最小值.‎ 答案： ‎15.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；‎ 当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ 所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由直线方程可得M(，0)，N(0,2＋a)，‎ 又因为a>－1.‎ 故S△OMN＝××(2＋a)＝× ‎＝×[(a＋1)＋＋2]‎ ‎≥×[2＋2]＝2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程，化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.‎ ‎【解析】(1)设点C(x，y)，则|CA|＝，|CB|＝.‎ 由题意，得＝×.‎ 两边平方，得(x＋1)2＋y2＝2×[(x－1)2＋y2].‎ 整理，得(x－3)2＋y2＝8.‎ 故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x－3)2＋y2＝8.‎ ‎(2)由(1)，得圆心为M(3,0)，半径r＝2.‎ ‎①若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠2，故该直线与圆不相切；‎ ‎②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋1.由直线和圆相切，得d＝＝2，整理，得k2＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直线的方程为y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.‎ ‎17.【解题指南】(1)由“左焦点为F(－，0)，右顶点为D(2,0)”得到椭圆的长半轴a，半焦距c，再求得短半轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得标准方程.‎ ‎(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由中点坐标公式分别求得x0，y0，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程.‎ ‎(3)分直线BC垂直于x轴和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，结合点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.‎ ‎【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a＝2，半焦距c＝，则短半轴b＝1.又椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，‎ 由得，‎ 因为点P在椭圆上，得＋(2y－)2＝1，‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是(x－)2＋4(y－)2＝1.‎ ‎(3)当直线BC垂直于x轴时，|BC|＝2，‎ 此时△ABC的面积S△ABC＝1.‎ 当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y＝kx，代入＋y2＝1，‎ 由B、C的对称性，不妨令B(，)，‎ C(－，－)，‎ 则|BC|＝，又点A到直线BC的距离 d＝，∴S△ABC＝|BC|d＝，‎ 于是S△ABC＝＝，‎ 由≥－1，得S△ABC≤，其中，当k＝－时，等号成立.∴S△ABC的最大值是.‎ ‎18.【解析】(1)设椭圆方程为＋＝1，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋ ‎＝6，得a＝3.‎ 设A(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 则(x＋c)2＋y2＝()2，(x－c)2＋y2＝()2，‎ 两式相减得xc＝，由抛物线定义可知|AF2|＝x＋c＝，则c＝1，x＝或x＝1，c＝(舍去).‎ 所以曲线C1的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C2的方程为y2＝4x(0≤x≤).‎ ‎(2)设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线BE的方程y＝k(x－1)，代入＋＝1得：8(＋1)2＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝－，‎ 同理，将y＝k(x－1)代入y2＝4x得：ky2－4y－4k＝0，‎ 则y3＋y4＝，y3y4＝－4，‎ 所以＝· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝3，为定值.‎ ‎19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0，－)，故设椭圆方程为＋＝1(a>).‎ 将点A(1，)代入方程得＋＝1，‎ 整理得a4－5a2＋4＝0，得a2＝4或a2＝1(舍)，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线BC的方程为y＝x＋m，‎ 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 代入椭圆方程并化简得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，‎ 可得0≤m2<8. (*)‎ 由x1＋x2＝－m，x1x2＝，‎ 故|BC|＝|x1－x2|＝.‎ 又点A到BC的距离为d＝，‎ 故S△ABC＝|BC|·d＝ ‎≤·＝，‎ 当且仅当2m2＝16－2m2，即m＝±2时取等号(满足*式)，此时直线l的方程为y＝x±2.‎ ‎【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向，既可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在解答题中，根据待求量的特点，常用以下两种思想方法：‎ ‎(1)数形结合思想：当待求量有几何意义时，一般利用其几何性质，数形结合求解.‎ ‎(2)函数思想：当待求量与其他变量有关时，一般引入该变量构造函数，然后求最值，但要注意待求量的取值范围.‎ ‎【变式备选】已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y＝kx＋m交椭圆于不同的两点A，B，‎ ‎(1)求椭圆的方程，‎ ‎(2)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，解得c＝.由a2＝b2＋c2，得b＝1.‎ ‎∴所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由已知得＝，可得m2＝(k2＋1).‎ 将y＝kx＋m代入椭圆方程，‎ 整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0.‎ Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)(3m2－3)>0 (*)‎ ‎∴x1＋x2＝，x1·x2＝.‎ ‎∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)[－]‎ ‎＝＝ ‎＝3＋＝3＋≤3＋＝4(k≠0)，‎ 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立.‎ 经检验，k＝±满足(*)式.‎ 当k＝0时，|AB|＝.综上可知|AB|max＝2.‎ ‎∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值Smax＝×2×＝.‎ ‎20.【解析】(1)由已知，圆C2：x2＋(y＋1)2＝5的圆心为C2(0，－1)，半径r＝.由题设圆心到直线l1：y＝2x＋m的距离d＝，即＝，解得m＝－6(m＝4舍去).‎ 设l1与抛物线的切点为A0(x0，y0)，又y′＝2ax，得2ax0＝2x0＝，y0＝.‎ 代入直线方程得：＝－6，∴a＝，‎ 所以m＝－6，a＝.‎ ‎(2)由(1)知抛物线C1方程为y＝x2，焦点F(0，).设A(x1，x12)，由(1)知以A为切点的切线l的方程为y＝x1(x－x1)＋x12.令x＝0，得切线l交y轴的B点坐标为(0，－x12)‎ 所以＝(x1，x12－)，＝(0，－x12－)，‎ ‎∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形，∴＝＋＝(x1，－3)，因为F是定点，所以点M在定直线y＝－上.‎ ‎(3)设直线MF： y＝kx＋，代入y＝x2得x2－kx－＝0，设P、Q两点横坐标分别为x′1，x′2，‎ 得x′1＋x′2＝6k，x′1·x′2＝－9，‎ S△NPQ＝|NF||x′1－x′2|＝×3×＝9，‎ ‎∵k≠0，∴S△PQN>9，即△NPQ的面积S范围是(9，＋∞). ‎