高考数学一轮复习章末测试 单元评估检测八

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高考数学一轮复习章末测试 单元评估检测八

单元评估检测(八)‎ ‎(第八章)‎ ‎(120分钟 150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是(  )‎ ‎(A)(0,) (B)(0,π)‎ ‎(C)[-,] (D)[0,]∪[,π)‎ ‎2.(2012·珠海模拟)已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则l1∥l2的充要条件是a等于(  )‎ ‎(A)3 (B)1 (C)-1 (D)3或-1‎ ‎3.(2012·顺德模拟)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为(  )‎ ‎(A)1 (B)1或3 (C)0 (D)1或0‎ ‎4.“λ>-1”是“方程-=1表示双曲线”的(  )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎5.(2012·佛山模拟)已知直线l1与圆O:x2+y2+2y=0相切,且与直线l2:3x+4y-6=0平行,则直线l1的方程是(  )‎ ‎(A)3x+4y-1=0‎ ‎(B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0‎ ‎(C)3x+4y+9=0‎ ‎(D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=0‎ ‎6.若曲线+=1与曲线+=1的离心率互为倒数,则a=(  )‎ ‎(A)16 (B)-16 (C) (D)- ‎7.已知双曲线16y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为,则m=(  )‎ ‎(A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎8.若PQ是圆x2+y2=16的弦,PQ的中点是M(1,3),则直线PQ的方程是(  )‎ ‎(A)x+3y-4=0 (B)x+3y-10=0‎ ‎(C)3x-y+4=0 (D)3x-y=0‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为    .‎ ‎10.(2012·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>1)的焦点F恰为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,且两曲线的交点连线过点F,则双曲线的离心率为   .‎ ‎11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于   .‎ ‎12.若k∈R,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2‎ ‎-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是    .‎ ‎13.(2012·深圳模拟)直线ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直线的倾斜角为    .‎ ‎14.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于    .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(12分)(易错题)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).‎ ‎(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;‎ ‎(2)若a>-1,直线l与x、y轴分别交于M、N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l对应的方程.‎ ‎16.(13分)已知动点C到点A(-1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的倍.‎ ‎(1)试求点C的轨迹方程;‎ ‎(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切,试求直线l的方程.‎ ‎17.(13分)(探究题)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-,0),右顶点为D(2,0),设点A(1,).‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;‎ ‎(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.‎ ‎18.(14分)(2012·广州模拟)如图,曲线C1是以原点O为中心、F1,F2为焦点的椭圆的一部分,曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点,且∠AF2F1为钝角,若|AF1|=,|AF2|=,‎ ‎(1)求曲线C1和C2的方程;‎ ‎(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线,分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.‎ ‎19.(14分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线x2=-4y的焦点是它的一个焦点,又点A(1,)在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C,当△ABC的面积最大时,求直线l的方程.‎ ‎20.(14分)已知直线l1:y=2x+m(m<0)与抛物线C1:y=ax2(a>0)和圆C2:x2+(y+1)2=5都相切,F是C1的焦点.‎ ‎(1)求m与a的值;‎ ‎(2)设A是C1上的一动点,以A为切点作抛物线C1的切线l,直线l交y轴于点B,以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB,证明:点M在一条定直线上;‎ ‎(3)在(2)的条件下,记点M所在定直线为l2,直线l2与y轴交点为N,连接MF交抛物线C1于P、Q两点,求△NPQ的面积S的取值范围.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选D.直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα.‎ 又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.‎ ‎∴当0≤k≤1时,倾斜角的范围是[0,];‎ 当-1≤k<0时,倾斜角的范围是[,π).‎ ‎2.【解析】选C.由题意知a=-1.‎ ‎3.【解析】选D.由ky2-8y+16=0,若k=0则y=2;若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0,解得k=1.故k的值为0或1.‎ ‎4. 【解析】选A.因为当λ>-1时,方程-=1表示双曲线;当-=1表示双曲线时,λ>-1或λ<-2.所以“λ>-1”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件.‎ ‎5.【解析】选D.由题意可得圆心O(0,-1),半径r=1,‎ 设l1:3x+4y+λ=0,则圆心O到l1的距离d==1.∴|λ-4|=5.解得λ=-1或λ=9.‎ ‎∴l1:3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.‎ ‎6.【解析】选D.因为曲线+=1的离心率为,所以,曲线+=1‎ 的离心率为,所以=,解得a=-.‎ ‎7.【解析】选C.双曲线的方程可化为-=1,所以a=,b=,取顶点(0,),一条渐近线为mx-4y=0.‎ ‎∵=,即m2+16=25,∴m=3.‎ ‎8.【解析】选B.圆心为O(0,0),故直线OM斜率k==3,因为弦PQ所在直线与直线OM垂直,所以kPQ=-,其方程为y-3=-(x-1),整理,得x+3y-10=0.‎ ‎9.【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.‎ ‎【解析】因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以2R=,所以R=.设圆心坐标为P(a,-a),则点P到两条切线的距离都等于半径,所以=,=,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.‎ 答案:(x-1)2+(y+1)2=2‎ ‎10.【解析】由题意知,=c,即p=2c.‎ 由得b2x2-4ca2x-a2b2=0 *‎ 由题意知x=c是方程*的一个根,则有 b2c2-4a2c2-a2b2=0,即c4-6a2c2+a4=0,‎ ‎∴e4-6e2+1=0.‎ 又e>1,∴e2=3+2,e=+1.‎ 答案:+1‎ ‎11.【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有4b=2a,即a=2b,所以c==b,所以离心率为e==.‎ 答案: ‎12.【解析】因为直线y=kx+1恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则02+12-2a·0+a2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a≤3.‎ 答案:-1≤a≤3‎ ‎13.【解析】由题意可得a+m-2a=0,即m=a.‎ 又直线的斜率k=-=-1,∴该直线的倾斜角为.‎ 答案: ‎14.【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为 ‎(x,-x2),根据点到直线的距离公式,得 d==(x-)2+,所以当x=时,d取得最小值.‎ 答案: ‎15.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2,此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;‎ 当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ 所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.‎ ‎(2)由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),‎ 又因为a>-1.‎ 故S△OMN=××(2+a)=× ‎=×[(a+1)++2]‎ ‎≥×[2+2]=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立.此时直线l的方程为x+y-2=0.‎ ‎16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程,化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论,根据切线的性质求斜率,进而求出方程.‎ ‎【解析】(1)设点C(x,y),则|CA|=,|CB|=.‎ 由题意,得=×.‎ 两边平方,得(x+1)2+y2=2×[(x-1)2+y2].‎ 整理,得(x-3)2+y2=8.‎ 故点C的轨迹是一个圆,其方程为(x-3)2+y2=8.‎ ‎(2)由(1),得圆心为M(3,0),半径r=2.‎ ‎①若直线l的斜率不存在,则方程为x=0,圆心到直线的距离d=3≠2,故该直线与圆不相切;‎ ‎②若直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx+1.由直线和圆相切,得d==2,整理,得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.‎ ‎17.【解题指南】(1)由“左焦点为F(-,0),右顶点为D(2,0)”得到椭圆的长半轴a,半焦距c,再求得短半轴b,最后由椭圆的焦点在x轴上求得标准方程.‎ ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),由中点坐标公式分别求得x0,y0,代入椭圆方程,可求得线段PA中点M的轨迹方程.‎ ‎(3)分直线BC垂直于x轴和直线BC不垂直于x轴两种情况分析,求得弦长|BC|,结合点到直线的距离建立三角形面积模型,再用基本不等式求其最值.‎ ‎【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a=2,半焦距c=,则短半轴b=1.又椭圆的焦点在x轴上,‎ ‎∴椭圆的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0),‎ 由得,‎ 因为点P在椭圆上,得+(2y-)2=1,‎ ‎∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-)2+4(y-)2=1.‎ ‎(3)当直线BC垂直于x轴时,|BC|=2,‎ 此时△ABC的面积S△ABC=1.‎ 当直线BC不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx,代入+y2=1,‎ 由B、C的对称性,不妨令B(,),‎ C(-,-),‎ 则|BC|=,又点A到直线BC的距离 d=,∴S△ABC=|BC|d=,‎ 于是S△ABC==,‎ 由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立.∴S△ABC的最大值是.‎ ‎18.【解析】(1)设椭圆方程为+=1,则2a=|AF1|+|AF2|=+ ‎=6,得a=3.‎ 设A(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),‎ 则(x+c)2+y2=()2,(x-c)2+y2=()2,‎ 两式相减得xc=,由抛物线定义可知|AF2|=x+c=,则c=1,x=或x=1,c=(舍去).‎ 所以曲线C1的方程为+=1(-3≤x≤),曲线C2的方程为y2=4x(0≤x≤).‎ ‎(2)设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直线BE的方程y=k(x-1),代入+=1得:8(+1)2+9y2-72=0,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0,‎ 则y1+y2=-,y1y2=-,‎ 同理,将y=k(x-1)代入y2=4x得:ky2-4y-4k=0,‎ 则y3+y4=,y3y4=-4,‎ 所以=· ‎= ‎= ‎==3,为定值.‎ ‎19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0,-),故设椭圆方程为+=1(a>).‎ 将点A(1,)代入方程得+=1,‎ 整理得a4-5a2+4=0,得a2=4或a2=1(舍),‎ 故所求椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)设直线BC的方程为y=x+m,‎ 设B(x1,y1),C(x2,y2),‎ 代入椭圆方程并化简得4x2+2mx+m2-4=0,‎ 由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,‎ 可得0≤m2<8. (*)‎ 由x1+x2=-m,x1x2=,‎ 故|BC|=|x1-x2|=.‎ 又点A到BC的距离为d=,‎ 故S△ABC=|BC|·d= ‎≤·=,‎ 当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号(满足*式),此时直线l的方程为y=x±2.‎ ‎【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法 解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:‎ ‎(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.‎ ‎(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.‎ ‎【变式备选】已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线l:y=kx+m交椭圆于不同的两点A,B,‎ ‎(1)求椭圆的方程,‎ ‎(2)若坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.‎ ‎【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,解得c=.由a2=b2+c2,得b=1.‎ ‎∴所求椭圆方程为+y2=1.‎ ‎(2)由已知得=,可得m2=(k2+1).‎ 将y=kx+m代入椭圆方程,‎ 整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.‎ Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0 (*)‎ ‎∴x1+x2=,x1·x2=.‎ ‎∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[-]‎ ‎== ‎=3+=3+≤3+=4(k≠0),‎ 当且仅当9k2=,即k=±时等号成立.‎ 经检验,k=±满足(*)式.‎ 当k=0时,|AB|=.综上可知|AB|max=2.‎ ‎∴当|AB|最大时,△AOB的面积取最大值Smax=×2×=.‎ ‎20.【解析】(1)由已知,圆C2:x2+(y+1)2=5的圆心为C2(0,-1),半径r=.由题设圆心到直线l1:y=2x+m的距离d=,即=,解得m=-6(m=4舍去).‎ 设l1与抛物线的切点为A0(x0,y0),又y′=2ax,得2ax0=2x0=,y0=.‎ 代入直线方程得:=-6,∴a=,‎ 所以m=-6,a=.‎ ‎(2)由(1)知抛物线C1方程为y=x2,焦点F(0,).设A(x1,x12),由(1)知以A为切点的切线l的方程为y=x1(x-x1)+x12.令x=0,得切线l交y轴的B点坐标为(0,-x12)‎ 所以=(x1,x12-),=(0,-x12-),‎ ‎∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边的平行四边形,∴=+=(x1,-3),因为F是定点,所以点M在定直线y=-上.‎ ‎(3)设直线MF: y=kx+,代入y=x2得x2-kx-=0,设P、Q两点横坐标分别为x′1,x′2,‎ 得x′1+x′2=6k,x′1·x′2=-9,‎ S△NPQ=|NF||x′1-x′2|=×3×=9,‎ ‎∵k≠0,∴S△PQN>9,即△NPQ的面积S范围是(9,+∞). ‎
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