对高考应试能力的思考第一辑教师用书
对高考数学应试能力的思考（第一辑）
一、江苏高考数学填空题考什么？
1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数）
填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等．
二、高考数学填空题保分技巧与保分演练
1（复数）
1-1．已知是虚数单位，复数z = ，则 | z | = ．
1-2．已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z += 3 + 4，则z = ．
1-3．已知复数z满足 z2 + 4 = 0，则z = ．或
1-4. 已知是纯虚数，则. 10
【说明】待定系数法. ，可得，所以.
2（集合或简易逻辑）
2-1. 已知集合，，则_________.
2-2. 函数为奇函数充要条件是a = ．
【说明】除了常规方法外（定义法、取特殊值）外，还可以利用一组结论：，记，，则，已知是奇函数，是奇函数，则必须为偶函数. 试问当取何值时，是偶函数？显然当时是偶函数，否则为非奇非偶函数.
2-3．“| x | + | y |≤1”是“x2 + y2≤1”的________条件．充分不必要
（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）
【说明】利用图形分析充要关系.
2-4．不等式成立的充要条件是 ．
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2-5．函数是偶函数的充要条件是a = ________．
【说明】可取特殊值计算：得. 一般方法推导也容易.
由得，得.
2-6．若函数是偶函数，则实数的值为_______．2
【说明】定义域关于原点对称，易得.
3（双曲线与抛物线）
3-1．在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为_________ ． 2
3-2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2 = - 4x的焦点到准线的距离为________．2
3-3. 双曲线的渐近线方程为____________. 和
4（统计）
4-1．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________．64
4 -2. 甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示. 如图所示，则甲、乙两名同学成绩较稳定（方差较小）的是_________．乙
【说明】甲 = (98＋99＋105＋115＋118) = 107，乙 = (95＋106＋108＋112＋114) = 107.
s = [(98－107)2＋(99－107)2＋(105－107)2＋(115－107)2＋(118－107)2] = 66.8，
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s = [(95－107)2＋(106－107)2＋(108－107)2＋(112－107)2＋(114－107)2] = 44．即乙较稳定．
4-3．某班有学生48人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中还有一位同学的座位号应该是_________．18
4-4. 已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1，x2，x3，x4的平均数为__________．2
5（概率）
5-1．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为__________．
【说明】可利用等可能性解决此概率问题. 在甲的对门随机地选一个人，共有5种方法，恰好是乙有1种方法，概率为．
5-2. 4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为_________.
5-3. 在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取
3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为_________．
5-4. 在长为12的线段上任取一点．现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面
积小于322的概率为 ．
【说明】设线段AC的长为，则线段CB的长为()，那么矩形的面积为2，由，解得．又，所以该矩形面积小于322的概率为．
5-5．在[0，1]中随机地取两个数a，b，则恰有a - b > 0.5的概率为 _________．
5-6. 甲乙两人约定今晚6:00-7:00前往电影院观看《小时代3》，两人约定一同进场，但如果一方等待时间超过15分钟则自行进场，则两人能一同进场的概率为_________.
【说明】涉及两个变量的几何概型转化为线性规划所成区域的面积之比.
6（流程图）
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6-1．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为________．2
6-2. 按如图所示的程序框图运算，若输出的b = 3，则输入的a的取值范围是________．
【说明】列表研究算法题 ----- 养成好的习惯！
（1）输入a，b = 1；（2）a变为3a + 1，b = 2，且3a + 1≤58；
（3）a变为3 (3a + 1) + 1 = 9a + 4，b = 3，且9a + 4 ˃ 58．由（2），（3）解得6 ˂ a≤19．
6-3. 下边一段伪代码中，表示不超过的最大整数，若输入，则最终输出的结果为 _________．2
6-4. 阅读下列程序：输出的结果是 . 10
6-5. 运行下图所示程序框图，若输入值xÎ[-2，2]，则输出值y的取值范围是 ．
【说明】先写出对应的分段函数，而后求函数值域.
6-6. 如图是一个算法流程图．若输入A=3，B=5，则输出A，B的值分别为 ．5,3
【说明】流程图的功能是交换两个数.
结束
开始
b←1
a←3a+1
b←b+1
N
Y
输入a
a > 58
输出b
Read ，
While
End While
Print
结束
开始
x≥0
输出y
y ← x(x-2)
输入x
y ← -2x
Y
N
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Read
For I From 1 to 5 Step 2
Print S
End for
End
7（立体几何）
7-1．底面边长为2，侧棱与底面成60°的正四棱锥的侧面积为____________．
【说明】锥高为，侧面斜高为，侧面积为．
7-2．已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为____________．
7-3. 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则三棱锥P－ABC的体积为____________．
【说明】模型思想，可将正三棱锥放置在正方体中.
7-4. 设是球表面上的四个点，满足两两垂直，且，则球的表面积是____________．
【说明】可将其放置在长方体中，球的直径为长方体的体对角线长. 模型意识要加强
7-5. 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD且PA = 4，则PC
与底面ABCD所成角的正切值为____________．
7-6. 已知α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的有__________． (填写所有正确命题的序号) ②③④
7-7．已知正四棱锥S - ABCD中，SA = 1，则该棱锥体积的最大值为 .
【说明】可考虑引入边或角作为变量来建模，一般来说，引入角比引入边更合适.
8 （函数与导数）函数的重点主要是性质，如定义域，值域，奇偶性乃至对称性，单调性，零点等.
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8-1．已知函数，若对于满足Î（- a，4 - a）的一切x恒成立，
则（a，b）为___________.
【说明】 直接利用题中条件，得到. 化简得：，当时，上式左边与无关，则有，.
上述解法虽可行，但是难以体现本质.
事实上，条件等价于函数的对称中心为. 因为：
，其中. 从而本题就转化为求对称中心坐标，同上，此处不再赘述.
8-2. 方程 有两个不同的解，则实数a的取值范围是________.
【说明】（1）关于切线问题：设切点、列方程、解方程（这是通法）；
（2）关于动态曲线（直线），如能发现定的特征，试题可在一定程度上得以简化.
8-3. 已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为__________．
【说明】应等价转化为在上有解. ，由题意，得有解，即˂ 0有解，即有解 ( x ˃ 0)，令= t，则 有解 ( t ˃ 0) ∴a ˂ 1
8-4．函数 的值域为___________．[，+∞）
【说明】用好换元法. 可转化为求函数（）的值域，求分段函数的值域.
8-5. 已知函数，若对区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式
恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【说明】构造函数证明不等式，转化为函数的单调性.
不妨设，则不等式可转化为
构造 ----- 想一想这是为什么？
由题可转化为在上单调递增，即在上恒成立.
【反思】构造函数证明不等式是高考压轴题的常见手段，要注意体会和自觉应用.
8-6. 函数的单调减区间为____________．
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8-7. 已知函数（a，b，c ，a > 0）是奇函数，若f(x)的最小值为，且f(1) > ，则b的取值范围是____________．
【说明】要求参数b的取值范围，关键是得到参数b的不等关系. ----- 想法、念头、角度很重要!
8-8. 已知函数f(x)=x2+ax+b的值域为[4,+¥), 若关于x的不等式f(x)
0矛盾．∴p≠0．
当p = 2时，．①
将n = 2代入，得．∴a2 =，．
由①，得．②
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② - ①，得．
则，即．
∵an > 0，∴an+1 > 0．则．③
则．④
④ - ③，得．∴（）．
∵，∴数列{an}是等比数列．则，符合题意．
（2）① 假设存在正整数n，m，k（n < m < k），使得an，am，ak成等差数列．
则，即．
当且仅当k - n = 0，且k - m + 1 = 1时成立．
即k = m = n时取等号．与n < m < k矛盾．
∴假设不成立．则不存在正整数n，m，k（n < m < k），使得an，am，ak成等差数列．
② 若an，2xan+1，2yan+2成等差数列，
即an，an+1-x，an+2-y成等差数列．
由①知，1 - x = 0，2 - y = 0，∴x = 1，y = 2．
19-6. 已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，
．数列满足，为数列的前n项和．
（1）求、和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（法1）在中，令，，
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得 即
解得，，．
，
．
（法2）是等差数列， ．
由，得 ，又，，则．
(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立． ，等号在时取得． 此时 需满足．
②当为奇数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立．
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足．
综合①、②可得的取值范围是．
（3），若成等比数列，
则，即．
（法1）由，
可得，即．．
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．
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（法2）因为，故，即，
· ，（以下同上）．
20. 函数
20-1. （1）已知，函数.
（i）判断函数的奇偶性，请说明理由；
（ii）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（iii）求函数在区间上的最小值的表达式；
（iv）求函数在上的最小值的表达式；
（v）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程）.
（vi）试讨论的零点个数.
（2）已知，函数，求函数在区间[1,2]上的最小值.
20-2. 已知函数.
(1) 若, 求+在[2，3]上的最小值；
(2) 若时, , 求的取值范围；
(3) 求函数在[1，6]上的最小值.
解：（1）因为,且[2，3],所以
,
当且仅当x=2时取等号,所以在[2，3]上的最小值为．
（2）由题意知,当时,,即恒成立．
所以,即对恒成立,
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则由,得所求a的取值范围是．
记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶 点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.设的最小值为，的最小值为，
分六种情况分别求，。得：
，，的图像如下（粗体线部分）：
综上所述, 函数在[1，6]上的最小值为： 。
20-3. 已知，.
（1）若在区间上无极值点，求实数的值. 1
（2）若存在，使得是在上的最值，求实数的取值范围. 或
20-4. 已知函数，．
（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；
（2）设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值．
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解：（1），只需要，
即，所以．
（2）因为．所以切线的方程为．
令，则．
．
若，则，
当时，；当时，，
所以，在直线同侧，不合题意；
若，，
若，，是单调增函数，
当时，；当时，，符合题意；…10分
若，当时，，，
当时，，，不合题意；
若，当时，，，
当时，，，不合题意；
若，当时，，，
当时，，，不合题意．
故只有符合题意．
21. 附加题B
21-B1. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2＋y2＝1在矩阵A＝对应的变换作用下得到曲线F，求
F的方程．
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21-B2. 已知直角坐标平面xOy上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．
21-B3. 已知矩阵.
（1）求矩阵的特征值和特征向量；（2）设，求.
解：（1） 或
当时，由，取 即
当时，由，取 即
（2）解法1：因为为反射变换矩阵，所以，所以
解法2：因为，所以．
21-B4. 若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩
阵的逆矩阵.
解：设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，
则，所以
因为点在椭圆：上，所以，
又圆方程为，故，即，又，，所以，．
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所以，所以．
21. 附加题C
21-C1. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
解：曲线C的普通方程是，直线l的普通方程是．
设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是
．
因为，所以
当，即Z)，即Z)时，d取得最大值．
此时．
综上，点M的极坐标为时，该点到直线l的距离最大．
注：凡给出点M的直角坐标为，不扣分．
21-C2. 在平面直角坐标中，已知圆，圆
（1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；
（2）求圆的公共弦的参数方程．
解：（1）圆的极坐标方程为， 圆的极坐标方程为，
由得，故圆交点坐标为圆．
（2）由（1）得，圆交点直角坐标为，
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故圆的公共弦的参数方程为
21-C3. 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,，以为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距
离为，求的值.
解：因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，
，所以圆心，半径为，因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，圆心到直线的距离为，又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．
22. 空间向量、随机变量及其概率分布、抛物线
22-1. 正三棱柱的所有棱长都为4，D为的中点.
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值.
解：取BC中点O，连AO，∵为正三角形，∴，
∵在正三棱柱中，平面ABC平面,
平面，
取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
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.∴,
∵,.
∴，,∴面
（2）设平面的法向量为,。
，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，
∴为平面的法向量，，
∴二面角的余弦值为
22-2. BB
A
如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点．
（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；
（2）若平面ADE⊥平面PBC，求PA的长．
CB
EB
DB
PB
y
x
z
F
解（1）如图，取AC的中点F，连接BF，则BF⊥AC．以A为坐标原点，过A且与FB平行的直线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系．
则A(0，0，0)，B(，1，0)，
C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，
从而＝(，1，－2)， ＝(0，1，1)．
设直线AE与PB所成角为θ，
则cosθ＝||＝．
即直线AE与PB所成角的余弦值为 ． …………………… 4分
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（2）设PA的长为a，则P(0，0，a)，从而＝(，1，－a)，＝(0，2，－a)．
设平面PBC的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝0，n1·＝0，
所以x＋y－az＝0，2y－az＝0．
令z＝2，则y＝a，x＝a．
所以n1＝(a，a，2)是平面PBC的一个法向量．
因为D，E分别为PB，PC中点，所以D(，，)，E(0，1，)，
则＝(，，)，＝(0，1，)．
设平面ADE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·＝0，n2·＝0．
所以x＋y＋z＝0，y＋z＝0．
令z＝2，则y＝－a，x＝－a．
所以n2＝(－a，－a，2)是平面ADE的一个法向量． …………………… 8分
因为面ADE⊥面PBC，
所以n1⊥n2，即n1·n2＝(a，a，2)·(－ a，－a，2)＝－a2－a2＋4＝0，
解得a＝，即PA的长为． …………………… 10分
22-3. 设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的
斜率分别为kPA，kPB．
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．
解：（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），
因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
同理，．∵kPA+kPB=0，
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∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8
∴．即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0．
直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x．
将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得
(y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．
22-4. 如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交两点,为抛物线的准线与轴的交点.
(1) 若求直线的斜率；
(2) 求的最大值.
解：（1）因为抛物线焦点为，．当轴时，，，此时，与矛盾，所以设直线的方程为，代入，得，则，， ①所以，所以，②因为，所以，将①②代入并整理得，，所以.
此问可优化：，，则
（2）因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.
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22-5. 如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口
落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球
落到，则分别设为等奖．
（1）已知获得等奖的折扣率分别为．记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；
（2） 若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．
（1）（2）
22-6. 盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．
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22-7. 设不等式确定的平面区域为，确定的平面区域为
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域内任取三个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域内的概率；
（2）在区域内任取3个点，记这3个点在区域的个数为，求的分布列和数学期望
解：（1）古典概型，解答为
（2）几何概型服从于伯努利分布，求得分布列和数学期望
23. 计数原理、数学归纳法、排列组合
23-1. 设为给定的正整数，数集的两个子集构成一个有序对.
（1）记为满足的有序对的个数，求；
（2）记为所有满足集合是集合的真子集的有序对的个数，求.
23-2. 设a,b为实数，我们称（a,b）为有序实数对. 类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组. 如果集合A，B，C满足,且,则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（表示集合S中的元素的个数）
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（1）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；
（2）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令为最小相交的有序三元组的个数，求的值. =7680
23-3. 已知，或1，，对于，表示和中相对应的元素不同的个数．
（1）令，存在个，使得，写出的值；
（2）令，若，求所有之和．
解：（1）；
（2）由（1）可得使的共有个
∴=
=
两式相加得
23-4. 设（），其展开后的系数记作（其中
（1）求（用含的表达式表示）；
（2）用数学归纳法证明：
45
23-5.已知数列满足且（1）计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；（2）求证：当时，
⑴，，，猜想：．
①当时，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分
⑵原不等式等价于．
证明：显然，当时，等号成立；
当时，
，综上所述，当时，．、
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