备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题40 新信息背景下的数列问题

专题40 新信息背景下的数列问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 含“新信息”背景的数列问题，往往使人感到是难题.难点通常为：一是对于新的概念与规则，学生在处理时会有一个熟悉的过程，不易抓住信息的关键部分并用于解题之中，二是学生不易发现每一问所指向的知识点.传统题目通常在问法上就直接表明该用哪些知识进行处理，例如“求通项，求和”.但新信息问题所问的因为与新信息相关，所以要运用的知识隐藏的较深，不易让学生找到解题的方向.三是此类问题的解答题，往往设计成为“连环题”，即前面问题的处理是为了后一问做好铺垫.但学生不易发现其中联系，从而导致在处理最后一问时还要重整旗鼓，再加上可能要进行的分类讨论，解题难度陡然增加.本专题通过例题说明应对这种“新信息”背景下数列问题的方法与技巧.‎ ‎1、此类问题常涉及的知识点 ‎（1）等差数列与等比数列的性质与求和公式 ‎（2）数列的单调性 ‎（3）放缩法证明不等式 ‎（4）简单的有关整数的结论 ‎（5）数学归纳法与反证法 ‎2、解决此类问题的一些技巧：‎ ‎（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路 ‎（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基依然是我们所学的一些基知识与方法.所以在考虑问题时也要注意应用转化与化归思想，向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考查的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.‎ ‎（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届百校联盟高三TOP20四月联考】已知数列中，，定义，则（ ）‎ 29‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.‎ 所以故选C.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ 例2.对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先求得的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.‎ 29‎ 详解：由题意, ，‎ 则，很明显 n⩾2时,，‎ 即，解得：.‎ 实数的取值范围为.‎ 本题选择B选项.‎ 例3.【2019届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，若折线所在的直线的斜率为，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先由题意得到数列的递推关系，然后根据累加法求得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．‎ 29‎ 详解：由题意得直线的斜率为，即，解得．‎ 当时，直线的斜率为，‎ 即，‎ 又满足上式，‎ ‎∴．‎ ‎∴数列的前项和为．‎ ‎ 点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前n项和的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数列的相关知识求解．‎ 例4.【2019届河南省名校压轴第二次考试】在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列进行“扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列；….设第次“扩展”后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出，再找到关系构造数列求出，最后求数列的前n项和得解.‎ 29‎ 详解：，‎ 所以 ‎=‎ 所以，‎ 故答案为：‎ 点睛：(1)本题属于定义题，考查学生理解新定义及利用定义解决数学问题的能力,同时考查了等比数列的通项和前n项和,考查了数列分组求和. (2)解答本题的关键是想到找的关系，并能找到关系 例5.【2019届四川省南充市三诊】在数列中，若 (，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：‎ ‎①若是等方差数列，则是等差数列；‎ ‎②是等方差数列；‎ ‎③若是等方差数列，则 (，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为 ‎__________(写出所有正确命题的序号).‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】分析：根据等方差数列的定义①{an}是等方差数列，则an2-an-12=p（p为常数），根据等差数列的定义，可证；②验证[（-1）n]2-[（-1）n-1]2是一个常数；③验证akn+12-akn2是一个常数.‎ 详解：①∵是等方差数列,∴(p为常数)得到为首项是，公差为p的等差数列；‎ 29‎ ‎∴{}是等差数列；‎ ‎②数列中,，‎ ‎∴是等方差数列；故②正确；‎ ‎③数列{}中的项列举出来是,,,…,,…,，…‎ 故答案为：①②③.‎ 点睛：（1）做新定义的试题时要严格按照定义列代数式；‎ ‎（2）验证数列是否为等差数列时，一般可以利用定义法、等差中项法和通项公式法.‎ 例6.设数列的前项和为，点均在函数的图象上.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前n项和，求使得成立的最小正整数.‎ ‎【答案】（1）；（2）9‎ ‎【解析】试题分析：（1）将点代入函数不等式，得，再根据和项与通项关系求数列的通项公式；（2）先裂项：，再利用裂项相消法求，解分式不等式得n范围，即得其最小正整数.‎ 试题解析：（1）∵点在函数y = 3x－2的图象上，‎ ‎，∴a1= s1 =1‎ 29‎ 当 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ 因此，使得成立的最小整数n为9‎ 例7．【2019届浙江省金华十校4月高考模拟】已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数.设，数列的前项和为.求证：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）当时，.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎ 可证得.结合 ，可证得.则题中的命题成立.‎ 试题解析：‎ 29‎ ‎（iii）由（i）（ii）可得，对任意，成立.‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）易求得，，，于是，，，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∵，所以.‎ ‎∴ .‎ ‎∵，有，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ 又 ，‎ 而 ，‎ ‎∴.‎ 综上，当时，.‎ 例8. 已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足.‎ 29‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】分析：（1）‎ 整理，得，即，从而；‎ ‎（2）设 当，，显然不存在正整数，使得，舍去；‎ 当，对称轴为，此时；‎ 当，开口向下，对称轴为，此时只需或，即 综上，或.‎ 点睛：本题主要考查数列的递推关系求通项、二次函数的性质、分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ 例9.【2019届江苏省南京市三模】若数列满足：对于任意均为数列 29‎ 中的项，则称数列为“ 数列”．‎ ‎（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；‎ ‎（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；‎ ‎（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）先利用项和公式计算出an＝4n－2，再利用“ 数列”证明.(2)利用“ 数列”的性质求的取值范围.(3)先证明数列{an}为等差数列，再转化an＜a－a＜an＋1，再转化为n(2t2－t)＞t2－3t＋1，n(t－2t2)＞2t－t2－1，分析得到公差t＝，求出数列的通项公式.‎ 详解：（1）当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，‎ ‎ 又a1＝S1＝2＝4×1－2，所以an＝4n－2． ‎ ‎ 所以an＋|an＋1－an＋2|＝4n－2＋4＝4(n＋1)－2为数列{an}的第n＋1项，‎ ‎ 因此数列{an}为“T 数列”． ‎ ‎（2）因为数列{an}是公差为d的等差数列，‎ ‎ 所以an＋|an＋1－an＋2|＝a1＋(n－1) d＋|d|．‎ ‎ 因为数列{an}为“T 数列”，‎ ‎ 所以任意n∈N*，存在m∈N*，使得a1＋(n－1) d＋|d|＝am，即有(m－n) d＝|d|． ‎ ‎ ①若d≥0，则存在m＝n＋1∈N*，使得(m－n) d＝|d|，‎ ‎②若d＜0，则m＝n－1．‎ 由an＜a－a＜an＋1，得1＋(n－1)t＜t[2＋(2n－1)t]＜1＋nt， ‎ 29‎ 整理得n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ① ‎ n(t－2t2)＞2t－t2－1． ② ‎ 若2t2－t＜0，取正整数N0＞，‎ 则当n＞N0时，n(2t2－t)＜(2t2－t) N0＜t2－3t＋1，与①式对于任意n∈N*恒成立相矛盾，‎ 因此2t2－t≥0．‎ 同样根据②式可得t－2t2≥0，‎ 所以2t2－t＝0．又t＞0，所以t＝．‎ 经检验当t＝时，①②两式对于任意n∈N*恒成立，‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝1＋ (n－1)＝．‎ 点睛：（1）本题主要考查等差数列，考查新定义“T数列”，考查学生理解新定义及利用新定义解题的能力，考查学生分析推理能力. (2)本题的难点在第（3）问，得到n(2t2－t)＞t2－3t＋1， ① ，n(t－2t2)＞2t－t2－1， ② 后如何得到公差t的值，这里作为恒成立问题来探究t的值.‎ 例10.【2019届北京市海淀区二模】如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得 ”，则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为 ‎（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质”，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）若数列具有“性质”，求证：且；‎ ‎（Ⅲ）若数列具有“性质”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）不具有性质；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用举反例的方法证明数列不具有“性质”. （Ⅱ）利用反证法证明 且. （Ⅲ）先通过分析得到,．再分类讨论得 29‎ ‎①假设，，则对任意的，. ‎ 设，则，矛盾！‎ ‎②假设，，则存在正整数，使得 设，，，…，， ，则，但数列中仅有项小于等于0，矛盾.‎ ‎③假设，，则存在正整数，使得 设，，，…，， ，则，但数列中仅有项大于等于0，矛盾,‎ 综上，，． ‎ ‎（Ⅲ）设公差为的等差数列具有“性质P”，且存在正整数，使得．‎ 若，则为常数数列，此时恒成立，故对任意的正整数，‎ ‎，‎ 这与数列具有“性质P”矛盾，故．‎ 29‎ 由题意知，是数列中的项，故是数列中的项，设，则 ‎，‎ 即．‎ 因为，，故是的约数．‎ 所以，,．‎ 当时，，得，故 ‎，共2019种可能；‎ 当时，，得，故 ‎，共1010种可能；‎ 29‎ 当时，，得，故 ‎，共1种可能；‎ 当时，，得，故 ‎，共1种可能；‎ 当时，，得，故 ‎，共1种可能．‎ 综上，满足题意的数列共有（种）．‎ 经检验，这些数列均符合题意． ‎ 点睛：本题的难点是第（Ⅲ）问，难在先要通过分析转化得到数列的特征，,．这一点突破后，后面就迎刃而解了.本题主要考查学生的知识迁移转化能力，属于难题.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．‎ 详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，‎ 29‎ 点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎2.【2019届山东省日照市高三4月校际联考】定义为个正数，，…，的“均倒数”.若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.‎ 详解：设数列的前n项和为，由题意可得：，则：，‎ 据此有：‎ 29‎ 本题选择A选项.‎ ‎3．如图所示，将平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则标上标签：‎ 原点处标数字0，记, ；点处标数字1，记为；点处标数字0，记为；点处标数字，记为；点处标数字；记为；点处标数字，记为；点处标数字0,，记为；点处标数字1，记为； 以此类推，格点坐标为的点处所标的数字为（均为整数)，记，则（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据题意，找出对应的点的关系，将点阵看做若干个正方形点阵来处理，并且根据点的坐标以及对项的规定，从而求得各层的正方形点阵的各项和为零，下一步需要确定的就是各层点阵的个数，以便于分析第2019个点的位置，建立关于n的合适的不等关系式，再者需要确定的是将比较多的值的 29‎ ‎，所以，‎ 再者可以确定这六个点的坐标分别是，‎ 故可以得到，‎ 从而可以求得这六项和为，所以答案是，故选D.‎ 点睛：该题所考查的是数列的综合应用，一是将点阵看做正方形阵，找出每层的点的个数，再判断每层的点对应的项的和的值为零食解决该题的突破口，最后需要关注的就是将正方形阵补齐，将对应项的和转化为比较少项数的和的问题，并且最后一项对应的点的位置还比较好找，从而将难度降低.‎ ‎4．定义:若（ 为常数),则称为“比等差数列”.已知在“比等差数列”中, ,则的末位数字是（ ）‎ A. 0 B. 2 C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：本题考查的是数列的新定义问题．在解答时，首先应根据新定义获得数列{}为等差数列，进而求的通项公式，结合通项公式的特点即可获得问题的解答．‎ 详解：由题意可知： ， ， ．‎ ‎∴数列{}为以1为首项以1为公差的等差数列．‎ ‎∴．n∈N*‎ 29‎ ‎∴．‎ 所以的末位数字是2．‎ 故选：B．‎ ‎5．对于大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”： ，依此，若的“分裂数”中有一个是2015，则__________．‎ ‎【答案】45‎ 点睛：该题考查的是有关数列的综合问题，需要从条件中提炼有关等差数列的求和问题，还需要明白，2015是第1008个奇数，在求解的过程中，要学会估值，不要一味的去解不等式，那样就会加大难度.‎ ‎6．在一个数列中，如果对任意的，都有（为常数）,那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则__.‎ ‎【答案】28. ‎ ‎【解析】分析：先根据数列是等积为8的等积数列可求得数列的项，由此可得数列为周期数列，然后根据周期性求得．‎ 详解：由题意得，数列是等积为8的等积数列，且，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴．‎ 同理可得，……‎ 29‎ ‎∴数列是周期为3的数列，‎ ‎∴．‎ 点睛：由于数列是一种特殊的函数，故数列具有函数的性质．数列的周期性往往要在求得数列的一些特殊项后通过观察才能得到，利用周期性可简化数列求和中的计算，使得求解变得简单．‎ ‎7．【2019届四川省攀枝花市第三次（4月）统考】记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的“等比均值”.已知数列的“等差均值”为2,数列的“等比均值”为3.记数列的前项和为若对任意的正整数都有,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎ 所以 两式相减得 又由题得 所以 所以 两式相减得 所以 29‎ 因为对任意的正整数都有,‎ 所以 解之得.‎ 故填.‎ 点睛：解答定义题，首先要理解原题的定义，每一个关键词都要理解清楚，再解答. 如果定义含糊，解题当然会有问题.本题实际上是一个数列的通项问题和恒成立问题.‎ ‎8.【2019届上海市徐汇区二模】已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．‎ ‎(1)求数列和的通项公式；‎ ‎(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；‎ ‎(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），（2）（3）当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．‎ ‎【解析】试题分析：(1)由题意，易知数列为等差数列，求出，再由通项公式与前和关系，从而求出数列的通项公式；由条件，易知数列为等差数列，再由等差数列的通项公式，从而求出数列的通项公式；‎ ‎(2)由(1)可得与，根据题意，可对进行分类，求得该数列前项和与参数的表达式，从而问题可得解.‎ 29‎ ‎(3)由(1)易得数列的通项公式，由等差数列的中项公式及数列通项公式的性质，从而得到其下标的关系式，针对所得式子进行化简整理，并对其进行分类讨论，从而问题可得解，详见解析.‎ 所以． ‎ ‎(2)数列的前n项和，数列的前项和． ‎ 当时，； ‎ 当时，‎ ‎；- ‎ 当时，‎ ‎；- ‎ 所以，其中．--‎ ‎ (3)由(1)可知，.‎ 若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等差数列，则，即，-- ‎ 于是，‎ 29‎ 所以 ‎，即，-- ‎ 则对任意的，能整除，且.‎ ‎ ‎ 综上，当时，存在正整数，满足，且使得成等差数列．‎ ‎9．【2019届浙江省杭州市第二次检测】已知数列满足 ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若对于任意，当时，；x..kw ‎(Ⅲ)‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】试题分析：用数学归纳法证明当时，，当时，成立，再证时，成立 当时，，，累加得结果 29‎ 若，当时，得到，推得当时，成立，当时，矛盾，求得结果 解析：（Ⅰ）因为，所以 ，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，，‎ 所以 ，‎ 所以 ，累加得 ，‎ 所以 ． ‎ ‎（ⅱ）若，当时，‎ ‎，所以．‎ 29‎ 所以当时，．‎ 所以当时，，矛盾．‎ 所以 ．‎ 因为 ，‎ 所以 ‎10.已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足． ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；‎ ‎（3）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 的最小值为16.‎ ‎(3) .‎ ‎【解析】试题分析：第一问将式子变形，得到两项的比值，之后用累乘法求得通项公式，一定需要注意对进行验证；第二问转化成最值来处理，第三问需要对为奇数和为偶数两种情况进行讨论求得结果.‎ ‎（1）由，即，． ‎ 29‎ ‎(2) 由（1）知，则 ‎.……………………7分 假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ……………………9分 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16. ……………………………………10分 ‎（3）当为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎ ；………………13分 当为偶数时，‎ ‎ ‎ 29‎ ‎ . ………………15分 因此 ‎ ‎………………16分 ‎11．【2019届浙江省嘉兴市4月模拟】已知数列满足， .‎ ‎（Ⅰ）判断数列的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明： ；‎ ‎（Ⅲ）证明证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）单调递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.‎ 简即可得结果.‎ 试题解析：（1）因为．当时，．‎ 假设时，，所以时，．‎ 从而对于一切，．‎ 所以，即数列单调递增 ．‎ 29‎ ‎（2）证明：因为，所以．‎ 又因为由（1）可知，所以时．‎ ‎，‎ 即 ．‎ ‎（3）证明：由（2）得 ．‎ ‎ 所以 ．‎ 经验证也成立，即得证．‎ ‎12．【2019届上海市虹口区二模】平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.‎ ‎（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；‎ ‎（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 29‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，.‎ 由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列. ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ ‎（2）设 ，.‎ 由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.‎ 由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分 令………①‎ ‎…………②.‎ ‎①-②得，，得 令 从而 29‎ 点睛：本题考查数列的综合应用.本题设计了向量的背景，定义出“等差向量列”和“等比向量列”，学生在接触新题型的时候，要充分联系等差数列和等比数列，再结合向量的坐标法进行思考，即可得到解题思路.‎ 29‎