全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全不等式

全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全不等式

‎2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 ‎（05不等式）‎ 一、 选择题：‎ ‎1.（2015安徽文）已知x，y满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ ‎（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1‎ ‎2. （2015北京理）若，满足则的最大值为（ ）‎ A．0 B．‎1 ‎ C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于，则，令 ‎，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值2.‎ 考点：线性规划；‎ ‎3．（2015福建文）若直线过点，则的最小值等于（ ）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C 考点：基本不等式．‎ ‎4．（2015福建理）若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为 ‎，故选A．‎ 考点：线性规划．‎ ‎5．（2015福建文）变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．‎ 考点：线性规划．‎ ‎6.（2015广东文）若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：线性规划．‎ ‎7．（2015广东理）若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B. ‎6 C. D. 4‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，‎ x y O A l 由得，依题当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选 ‎【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．‎ ‎8. （2015广东文）不等式的解集为 ．（用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．‎ 考点：一元二次不等式．‎ ‎9、(2015湖南文)若变量x、y满足约束条件 ，则z=2x-y的最小值为( )‎ A、-1 B、‎0 C、1 D、2‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 考点：简单的线性规划 ‎10. (2015湖南理)若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A.-7 B.‎-1 C.1 D.2‎ ‎【答案】A.‎ 而可知当，时，的最小值是，故选A.‎ ‎【考点定位】线性规划.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.‎ ‎11、(2015湖南文)若实数a，b满足，则ab的最小值为( )‎ A、 B、‎2 C、2 D、4‎ ‎【答案】C 考点：基本不等式 ‎12.(2015山东理)已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，‎ 若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.‎ ‎【考点定位】简单的线性规划问题.‎ ‎【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. ‎ ‎13. (2015陕西理)设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．‎ ‎14. (2015陕西文)设，若，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：；；‎ 因为，由是个递增函数，‎ 所以，故答案选 考点：函数单调性的应用.‎ ‎15. (2015陕西文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【答案】‎ ‎ ‎ 当直线过点时，取得最大值 故答案选 考点：线性规划.‎ ‎16. (2015陕西理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润 由题意可列，其表示如图阴影部分区域：‎ 当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．‎ 考点：线性规划．‎ ‎17. (2015上海文)下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎18、(2015上海理)记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）‎ A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 ‎【答案】B ‎【解析】当方程①有实根，且②无实根时，，从而即方程③：无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根 ‎【考点定位】不等式性质 ‎19. (2015重庆文)若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）‎ ‎(A)-3 (B) 1 (C) (D)3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如图，‎ ‎；‎ 由于不等式组,表示的平面区域为三角形ABC，且其面积等于，‎ 再注意到直线AB：x+y-2=0与直线BC:x-y+‎2m=0互相垂直，所以三角形ABC是直角三角形；‎ 易知，A（2，0），B（1-m,m+1）,C();‎ 从而=，‎ 化简得：，解得m=-3,或m=1；‎ 检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1;‎ 故选B.‎ 考点：线性规划.‎ ‎20、(2015四川文)设实数x，y满足，则xy的最大值为( )‎ ‎(A) (B) (C)12 (D)14‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.‎ ‎【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.‎ ‎21.(2015天津文)设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为（ ）‎ ‎(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14‎ ‎【答案】C 考点：线性规划 ‎22.( 2015天津理)设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为（ ）‎ ‎（A）3 （B）4 （C）18 （D）40‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 考点：线性规划.‎ ‎23、(2015浙江文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.‎ 一、 填空题:‎ ‎1、（2015北京文）如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】7‎ 考点：线性规划.‎ ‎2. （2015湖北文）若变量满足约束条件 则的最大值是_________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.‎ ‎【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.‎ ‎3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为 ．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线：，平移直线，当直线:z=3x+y过点A时，z取最大值，由解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.‎ ‎【考点定位】简单线性规划解法 ‎【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.‎ ‎4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ 考点：线性规划解法 ‎5. (2015全国新课标Ⅱ卷文) 若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 ．‎ ‎【答案】8‎ 考点：线性规划 ‎6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为．‎ 考点：线性规划．‎ ‎7. (2015山东文) 若x,y满足约束条件则的最大值为       .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：画出可行域及直线，平移直线，当其经过点时，直线的纵截距最大，所以最大为.‎ 考点：简单线性规划.‎ ‎8. (2015山东文) 定义运算“”： （）.当时，的最小值是       . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由新定义运算知， ，因为，，‎ 所以，，当且仅当时，的最小值是.‎ 考点：1.新定义运算；2.基本不等式.‎ ‎9. (2015上海文)若满足，则目标函数的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.‎ ‎ ‎ ‎10. (2015天津文)已知 则当a的值为 时取得最大值.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：当时取等号,结合可得 ‎ 考点：基本不等式.‎ ‎11. (2015重庆文)设,则的最大值为 ________.‎ ‎【答案】‎ 考点：基本不等式.‎ ‎12、(2015浙江文)已知实数，满足，则的最大值是 ．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ‎ 由图可知当时，满足的是如图的劣弧，则在点处取得最大值5；当 时，满足的是如图的优弧，则与该优弧相切时取得最大值，故 ‎，所以，故该目标函数的最大值为.‎ 考点：1.简单的线性规划；‎ ‎13. (2015浙江理)若实数满足，则的最小值是 ．‎ 三、解答题