高考数学导数小题练习集二

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学导数小题练习集二

‎2018年高考数学导数小题练习集(二)‎ ‎1.设函数,对任意∈(0,+∞),不等式恒成立,则正数的取值范围是(  )‎ A.[1,+∞) B.(1,+∞) ‎ C. D.‎ ‎2.函数的图象如图所示,在区间上可找到个不同的数,使得,那么 ( )‎ ‎ ‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎3.已知是函数,的导数,满足=﹣,且=2,设函数的一个零点为,则以下正确的是(  )‎ A.∈(﹣4,﹣3) B.∈(﹣3,﹣2) ‎ C.∈(﹣2,﹣1) D.∈(﹣1,0)‎ ‎4.与是定义在R上的两个可导函数,若,满足,则与满足( )‎ A. B.为常数函数 ‎ C. D.为常数函数 ‎5.设函数,在上均可导,且,则当时,有( )‎ A.> B.< ‎ C.+<+ D.+<+‎ ‎6.设,,,……,,‎ ‎ (n∈N),则f2011(x) =( ).‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎7.如图所示的曲线是函数的大致图象,则等于( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8.若两个函数的图象有一个公共点,并在该点处的切线相同,就说明这两个函数有why点,已知函数和有why点,则m所在的区间为(  )‎ A.(﹣3,﹣e) B.(﹣e,) ‎ C.(,) D.(,﹣2)‎ ‎9.如图所示,曲线,围成的阴影部分的面积为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.设函数,若,则点所形成的区域的面积为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 A.     B.      C.      D.‎ ‎13.已知函数在处有极值10,则等于(  )‎ A.11或18 B.11 C.18 D.17或18‎ ‎14.若函数为上的增函数,则实数的取值范围是()‎ A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)‎ ‎15.给出以下命题:‎ ‎⑴若,则f(x)>0; ⑵;‎ ‎⑶f(x)的原函数为F(x),且F(x)是以T为周期的函数,则;‎ 其中正确命题的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.0‎ ‎16.已知f(x)为定义域为R的函数,f'(x)是f(x)的导函数,且f(1)=e,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则不等式f(x)<ex的解集为(  )‎ A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎17.函数f(x)=x2﹣2ax﹣2alnx(a∈R),则下列说法不正确的命题个数是(  )‎ ‎①当a<0时,函数y=f(x)有零点;‎ ‎②若函数y=f(x)有零点,则a<0;‎ ‎③存在a>0,函数y=f(x)有唯一的零点;‎ ‎④若a≤1,则函数y=f(x)有唯一的零点.‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎18.已知函数的定义域为,且.为的导函数,的图像如右图所示.若正数满足,则的取值范围是( ) ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎19.函数是定义域为的函数,对任意实数都有成立.若当时,不等式成立,设,,,则,,的大小关系是 ( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎20.记,,…, .若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎21.若点P在曲线上移动,经过点P的切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是(  )‎ A.[0,) B.[0,)∪[,π) ‎ C.[,π) D.[0,)∪(,]‎ ‎22.设函数,其中θ∈,则导数f′(1)的取值范围是(  )‎ A.(﹣,1] B.(﹣,1) C.(﹣,) D.(﹣,]‎ ‎23.已知函数的图象如图所示, ‎ 则 ( )‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎24.过点且与曲线相切的直线方程是( )‎ A. B. ‎ C.   D.或 ‎ ‎25.已知函数(其中),,且函数的两个极值点为.设 ‎,则 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎26.设,当时,的最小值是( )‎ A. B. C. D.无最小值 ‎27.已知是定义在R上的函数的导函数,且若,则下列结论中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎28.已知函数f(x)的导函数图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则一定成立的是(  )‎ A. f(cosA)<f(cosB) B.f(sinA)<f(cosB) ‎ C.f(sinA)>f(sinB) D.f(sinA)>f(cosB)‎ ‎29.如果函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1恒成立,则a的取值范围是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎30.若,则的展开式中常数项为(  )‎ A.8 B.16 C.24 D.60‎ ‎31.已知f(x)=x3-3x+m在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形,则实数m的取值范围是( )‎ A. (6,+∞)  B. (5,+∞)  C.(4,+∞)  D. (3,+∞) ‎ ‎32.已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则++…+的值为(  )‎ A.-1 B. 1-log20132012 C.-log20132012   D.1‎ ‎33.已知函数,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎34.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直,并交于点,则点的坐标可能是 A. B. C. D.‎ ‎35.已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎36.已知函数y=f(x)的图象为如图所示的折线ABC,则=(  )‎ A. B. C.0 D.‎ ‎37.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.f(0)>e2f(4)‎ ‎38.函数的最小值为( )‎ ‎、 、 、 、‎ ‎39.设函数f(x)=ex(sinx﹣cosx)(0≤x≤2016π),则函数f(x)的各极大值之和为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎40.已知函数f(x)的定义域为R,且x3f(x)+x3f(﹣x)=0,若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,则不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4的解集为(  )‎ A.(﹣2,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)‎ C.(﹣4,4) D.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)‎ ‎41.已知(     )‎ A.至少有三个实数根                 B.至少有两个实根   ‎ C.有且只有一个实数根               D.无实根   ‎ ‎42.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对任意的实数x都有f(x)=2x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+1<2x.若f(m+2)≤f(﹣m)+4m+4,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[﹣,+∞) B.[﹣,+∞) C.[﹣1,+∞) D.[﹣2,+∞)‎ ‎43.已知f(x)=|xex|,又g(x)=f2(x)﹣tf(x)(t∈R),若满足g(x)=﹣1的x有四个,则t的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎44.定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,若关于x的不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)在x∈‎ ‎[1,3]上恒成立,则实数m的取值范围为(  )‎ A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]‎ ‎45.已知函数f(x)= ,且∃x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),若对任意的x∈R,f(x)>b恒成立,则实数b的取值范围为(  )‎ A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,a) D.(﹣∞,a]‎ ‎46.设函数,若曲线上存在(x0,y0),使得成立,则实数m的取值范围为(  )‎ A.[0,e2﹣e+1] B.[0,e2+e﹣1] C.[0,e2+e+1] D.[0,e2﹣e﹣1]‎ ‎47.设函数f(x)满足2x2f(x)+x3f′(x)=ex,f(2)=,则x∈[2,+∞)时,f(x)( )‎ A.有最大值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 ‎48.已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1,g(x)=lnx﹣ax+a,若存在x0∈(1,2),使得,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.(ln2,e﹣1) C.[1,e﹣1) D.‎ ‎49.已知函数f(x)=,关于x的方程f2(x)﹣2af(x)+a﹣1=0(a∈R)有四个相异的实数根,则a的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,) B.(1,+∞) C.(,2) D.(,+∞)‎ ‎50.设函数,若对任意的x∈R,都有成立,则实数的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 试卷答案 ‎1.A ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】当x>0时,f(x)=e2x+,利用基本不等式可求f(x)的最小值,对函数g(x)求导,利用导数研究函数的单调性,进而可求g(x)的最大值,由恒成立且k>0,则≤,可求k的范围.‎ ‎【解答】解:∵当x>0时,f(x)=e2x+≥2 =2e,‎ ‎∴x1∈(0,+∞)时,函数f(x1)有最小值2e,‎ ‎∵g(x)=,‎ ‎∴g′(x)=,‎ 当x<1时,g′(x)>0,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,‎ 当x>1时,g′(x)<0,则函数在(1,+∞)上单调递减,‎ ‎∴x=1时,函数g(x)有最大值g(1)=e,‎ 则有x1、x2∈(0,+∞),f(x1)min=2e>g(x2)max=e,‎ ‎∵恒成立且k>0,‎ ‎∴≤,‎ ‎∴k≥1,‎ 故选:A.‎ ‎2.C ‎∵,‎ ‎∴在点处的切线过原点,‎ 由图象观察可知共有个.‎ ‎3.D ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】求出f(x)的表达式,得到g(x)的表达式,设h(x)=f(x)﹣‎ g(x),求出h(0)和h(﹣1)的值,从而求出x0的范围.‎ ‎【解答】解:设f(x)=ke﹣x,‎ 则f(x)满足f′(x)=﹣f(x),‎ 而f(0)=2,∴k=2,‎ ‎∴f(x)=2e﹣x,‎ ‎∴g(x)=3lnf(x)=3(﹣x+ln2)=﹣3x+3ln2,‎ 设h(x)=f(x)﹣g(x),‎ 则h(x)=2e﹣x+3x﹣3ln2,‎ ‎∴h(0)=2﹣3ln2<0,h(﹣1)=2e﹣3﹣3ln2>0,‎ 即在(﹣1,0)上存在零点,‎ 故选:D.‎ ‎4.B 解析:,的常数项可以任意 ‎5.C ‎【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】比较大小常用方法就是作差,构造函数F(x)=f(x)﹣g(x),研究F(x)在给定的区间[a,b]上的单调性,F(x)在给定的区间[a,b]上是增函数从而F(x)>F(a),整理后得到答案.‎ ‎【解答】解:设F(x)=f(x)﹣g(x),‎ ‎∵在[a,b]上f'(x)<g'(x),‎ F′(x)=f′(x)﹣g′(x)<0,‎ ‎∴F(x)在给定的区间[a,b]上是减函数.‎ ‎∴当x>a时,F(x)<F(a),‎ 即f(x)﹣g(x)<f(a)﹣g(a)‎ 即f(x)+g(a)<g(x)+f(a)‎ 故选C.‎ ‎6.A 略 ‎7.C 略 ‎8.C ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【专题】新定义;函数的性质及应用;导数的概念及应用.‎ ‎【分析】设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),求导数,建立方程组,求得alna=1,确定a的范围,再由m=﹣lna﹣a=﹣(a+)确定单调递增,即可得到m的范围.‎ ‎【解答】解:设f(x)和g(x)的公共点为(a,b),(a>0),‎ 函数f(x)=lnx的导数为f′(x)=,‎ g(x)=ex+m有的导数为g′(x)=ex+m,‎ 即有=ea+m,lna=ea+m,‎ 即为alna=1,‎ 令h(a)=alna﹣1,可得h()=ln﹣1<0,h(2)=2ln2﹣1>0,‎ 即有<a<2,‎ 则m=﹣lna﹣a=﹣(a+)∈(﹣,﹣),而﹣>﹣,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,解题的关键是分离参数,确定函数的单调性,属于中档题.‎ ‎9.A ‎10.B ‎∵,时,,‎ ‎∴当时,为增函数,时,为减函数,‎ ‎∵有奇函数,‎ ‎∴为偶函数,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 画出大致图象可得到时.‎ ‎11.D ‎12.‎ ‎:由,得:,即,令,则当时,,即在是减函数,  ,,,‎ 在是减函数,所以由得,,即,故选 ‎13.C ‎【考点】函数在某点取得极值的条件.‎ ‎【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f′(x)=3x2+2ax+b,所以得到:f′(1)=3+2a+b=0,又因为f(1)=10,所以可求出a与b的值确定解析式,最终将x=2代入求出答案.‎ ‎【解答】解:f′(x)=3x2+2ax+b,‎ ‎∴或 ‎ ‎①当时,f′(x)=3(x﹣1)2≥0,∴在x=1处不存在极值;‎ ‎②当时,f′(x)=3x2+8x﹣11=(3x+11)(x﹣1)‎ ‎∴x∈(,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,符合题意.‎ ‎∴,∴f(2)=8+16﹣22+16=18.‎ 故选C.‎ ‎14.‎ A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】由函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,可得:f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x),利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.‎ ‎【解答】解:f′(x)=+2x﹣a,‎ ‎∵函数f(x)=lnx+x2﹣ax+a+1为(0,+∞)上的增函数,‎ ‎∴f′(x)=+2x﹣a≥0,化为:a≤+2x=g(x),‎ g′(x)=2﹣==,‎ 可知:x=时,函数g(x)取得极小值即最小值, =2.‎ 则实数a的取值范围是a≤2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎15.B 略 ‎16.‎ A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】根据题意,令g(x)=,结合题意对其求导分析可得g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,又由f(1)=e,可得g(e)==1,而不等式f(x)<ex可以转化为g(x)<g(1),结合函数g(x)的单调性分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,令g(x)=,其导数g′(x)==,‎ 又由,∀x∈R都有f'(x)>f(x),则有g′(x)>0,即函数g(x)在R上为增函数,‎ 若f(1)=e,则g(e)==1,‎ f(x)<ex⇒<1⇒g(x)<g(1),‎ 又由函数g(x)在R上为增函数,‎ 则有x<1,即不等式f(x)<ex的解集为(﹣∞,1);‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎17.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;命题的真假判断与应用;函数零点的判定定理;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】先将函数进行参变量分离,得到2a=,令g(x)=,转化成y=2a与y=g(x)的图象的交点个数,利用导数得到函数的单调性,结合函数的图象可得结论.‎ ‎【解答】解:令f(x)=x2﹣2ax﹣2alnx=0,则2a(x+lnx)=x2,‎ ‎∴2a=,令g(x)=,‎ 则g′(x)==‎ 令h(x)=x+lnx,通过作出两个函数y=lnx及y=﹣x的图象(如右图)‎ 发现h(x)有唯一零点在(0,1)上,‎ 设这个零点为x0,当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x0)上单调递减,x=x0是渐近线,‎ 当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,则g(x)在(x0,1)上单调递减,‎ 当x∈(1,+∞)时g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,‎ ‎∴g(1)=1,可以作出g(x)=的大致图象,‎ 结合图象可知,当a<0时,y=2a与y=g(x)的图象只有一个交点,‎ 则函数y=f(x)只有一个零点,故①正确;‎ 若函数y=f(x)有零点,则a<0或a≥,故②不正确;‎ 存在a=>0,函数y=f(x)有唯一零点,故③正确;‎ 若函数y=f(x)有唯一零点,则a<0,或a=,则a≤1,故④正确.‎ 故选:B.‎ ‎18.A 略 ‎19.A 因为对任意实数都有成立,所以函数的图象关于对称,又由于若当时,不等式成立,所以函数在上单调递减,所以 ‎20.D ‎21.B ‎【考点】导数的几何意义;直线的倾斜角.‎ ‎【分析】先求出函数的导数y′的解析式,通过导数的解析式确定导数的取值范围,再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率,来求出倾斜角的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3(x﹣1)2﹣≥﹣,‎ ‎∴tanα≥﹣,又 0≤α<π,‎ ‎∴0≤α< 或 ≤α<π,‎ 故选 B.‎ ‎22.A ‎【考点】63:导数的运算.‎ ‎【分析】求导,当x=1时,f′(1)=+=sin(θ+),由θ∈(﹣,),即可求得θ+∈(﹣,),根据正弦函数的性质,即可求得导数f′(1)的取值范围.‎ ‎【解答】解:f(x)=x3+x2+,f′(x)=x2+x,‎ f′(1)=+=sin(θ+),‎ 由θ∈(﹣,),则θ+∈(﹣,),‎ 则sin(θ+)∈(﹣,1],‎ ‎∴导数f′(1)的取值范围(﹣,1],‎ 故选A.‎ ‎23.A ‎24.D 设点是曲线上的任意一点,则有。导数则切线斜率,所以切线方程为,即,整理得,将点代入得,即,即,整理得.‎ ‎25.‎ D ‎ ‎26.B ‎27.D 略 ‎28.D ‎【考点】函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【分析】根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞)单调递减,‎ 由△ABC为锐角三角形,得A+B,0﹣B<A,再根据正弦函数,f(x)单调性判断.‎ ‎【解答】解:根据导数函数图象可判断;f(x)在(0,1)单调递增,(1,+∞‎ ‎)单调递减,‎ ‎∵△ABC为锐角三角形,∴A+B,0﹣B<A,‎ ‎∴0<sin(﹣B)<sinA<1,0<cosB<sinA<1‎ f(sinA)>f(sin(﹣B)),‎ 即f(sinA)>f(cosB)‎ 故选;D ‎【点评】本题考查了导数的运用,三角函数,的单调性,综合性较大,属于中档题.‎ ‎29.A ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】由题意函数满足:对于任意的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤1恒成立,必有函数满足其最大值与最小值的差小于等于1,由此不等式解出参数a的范围即可,故可先求出函数的导数,用导数判断出最值,求出最大值与最小值的差,得到关于a的不等式,解出a的值 ‎【解答】解:由题意f′(x)=x2﹣a2‎ 当a2≥1时,在x∈[0,1],恒有导数为负,即函数在[0,1]上是减函数,故最大值为f(0)=0,最小值为f(1)=﹣a2,故有,解得|a|≤,故可得﹣≤a≤‎ 当a2∈[0,1],由导数知函数在[0,a]上增,在[a,1]上减,故最大值为f(a)=又f(0)=0,矛盾,a∈[0,1]不成立,‎ 故选A.‎ ‎30.C ‎【考点】DB:二项式系数的性质.‎ ‎【专题】38 :对应思想;4O:定义法;5P :二项式定理.‎ ‎【分析】求定积分可得n的值,再利用二项展开式的通项公式,令x的幂指数等于零求得r的值,可得展开式中常数项.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=2(sinx+cosx)dx ‎=2(﹣cosx+sinx)‎ ‎=2(﹣cos+cos0+sin﹣sin0)‎ ‎=4,‎ ‎∴的通项公式为Tr+1=•2r•y4﹣2r,‎ 令4﹣2r=0,可得r=2,‎ ‎∴二项式展开式中常数项是•22=24.‎ 故选:C.‎ ‎31.A 略 ‎32.B ‎33.D ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】分别求出函数f(x)的导数,函数g(x)的导数.由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,‎ 设为P(x0,y0),则有f(x0)=g(x0),且f′(x0)=g′(x0),解出x0=a,得到b关于a的函数,构造函数,运用导数求出单调区间和极值、最值,即可得到b的最大值.‎ ‎【解答】解:函数f(x)的导数为f'(x)=x+2a,‎ 函数g(x)的导数为,‎ 由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,设为P(x0,y0),‎ 则,‎ 由于x0>0,a>0‎ 则x0=a,因此 构造函数,‎ 由h'(t)=2t(1﹣3lnt),‎ 当时,h'(t)>0即h(t)单调递增;当时,h'(t)<0即h(t)单调递减,‎ 则即为实数b的最大值.‎ 故选D.‎ ‎34.‎ 由题,,,则过两点的切线斜率 ‎,,又切线互相垂直,所以,即.两 条切线方程分别为,联立得 ‎,∵,∴,代入,解得 ‎,故选.‎ ‎35.‎ ‎【知识点】导数的应用;构造函数法.B12‎ ‎【答案解析】D 解析:设,则,‎ 因为对任意的满足,所以在 上恒成立,所以是上的增函数,所以,即 ‎.故选D.‎ ‎【思路点拨】根据已知条件,构造函数,利用导数确定函数在上的单调性,从而得到正确选项.‎ ‎36.C ‎【考点】定积分.‎ ‎【分析】由函数图象得,由此能求出的值.‎ ‎【解答】解:∵函数y=f(x)的图象为如图所示的折线ABC,‎ ‎∴,‎ ‎∴=‎ ‎=(﹣﹣x)+()‎ ‎=(﹣)+()‎ ‎=0.‎ 故选:C.‎ ‎37.A ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】根据题意可设f(x)=,然后代入计算判断即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)+2f′(x)>0,‎ 可设f(x)=,‎ ‎∴f(1)=,f(0)=e0=1,‎ ‎∴f(1)>,‎ 故选:A.‎ ‎38.B 略 ‎39.D ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】先求f′(x)=2exsinx,这样即可得到f(π),f(3π),f(5π),…,f为f(x)的极大值,并且构成以eπ为首项,e2π 为公比的等比数列,根据等比数列的求和公式求f(x)的各极大值之和即可.‎ ‎【解答】解::∵函数f(x)=ex(sinx﹣cosx),‎ ‎∴f′(x)=[ex(sinx﹣cosx)]′=ex(sinx﹣cosx)+ex(cosx+sinx)=2exsinx;‎ 令f′(x)=0,解得x=kπ(k∈Z);‎ ‎∴当2kπ<x<2kπ+π时,f′(x)>0,原函数单调递增,‎ 当2kπ+π<x<2kπ+2π时,f′(x)<0,原函数单调递减;‎ ‎∴当x=2kπ+π时,函数f(x)取得极大值,‎ 此时f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)﹣cos(2kπ+π)]=e2kπ+π;‎ 又∵0≤x≤2016π,∴0和2016π都不是极值点,‎ ‎∴函数f(x)的各极大值之和为:‎ eπ+e3π+e5π+…+e2015π=,‎ 故选:D.‎ ‎40.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】构造函数h(x)=x3f(x)﹣2x,根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可.‎ ‎【解答】解:令h(x)=x3f(x)﹣2x,‎ 则h′(x)=x[3xf(x)+x2f'(x)﹣2],‎ 若对任意x∈[0,+∞)都有3xf(x)+x2f'(x)<2,‎ 则h′(x)≤0在[0,+∞)恒成立,‎ 故h(x)在[0,+∞)递减,‎ 若x3f(x)+x3f(﹣x)=0,‎ 则h(x)=h(﹣x),‎ 则h(x)在R是偶函数,h(x)在(﹣∞,0)递增,‎ 不等式x3f(x)﹣8f(2)<x2﹣4,‎ 即不等式x3f(x)﹣x2<8f(2)﹣4,‎ 即h(x)<h(2),‎ 故|x|>2,解得:x>2或x<﹣2,‎ 故不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞),‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题,考查转化思想,构造函数g(x)是解题的关键,本题是一道中档题.‎ ‎41.答案:C ‎ ‎42.C ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】利用构造法设g(x)=f(x)﹣x2,推出g(x)为奇函数,判断g(x)的单调性,然后推出不等式得到结果.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=2x2﹣f(﹣x),‎ ‎∴f(x)﹣x2+f(﹣x)﹣x2=0,‎ 设g(x)=f(x)﹣x2,则g(x)+g(﹣x)=0,‎ ‎∴函数g(x)为奇函数.‎ ‎∵x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+1<2x,‎ g′(x)=f′(x)﹣2x<﹣1,‎ 故函数g(x)在(﹣∞,0)上是减函数,‎ 故函数g(x)在(0,+∞)上也是减函数,‎ 若f(m+2)≤f(﹣m)+4m+4,‎ 则f(m+2)﹣(m+2)2≤f(﹣m)﹣m2,‎ 即g(m+2)<g(﹣m),‎ ‎∴m+2≥﹣m,解得:m≥﹣1,‎ 故选:C.‎ ‎43.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】令y=xex,则y'=(1+x)ex,求出极值点,判断函数的单调性,作出y=xex图象,利用图象变换得f(x)=|xex|图象,令f(x)=m,则关于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0两根分别在,满足g(x)=﹣1的x有4个,列出不等式求解即可.‎ ‎【解答】解:令y=xex,则y'=(1+x)ex,由y'=0,得x=﹣1,‎ 当x∈(﹣∞,﹣1)时,y'<0,函数y单调递减,‎ 当x∈(﹣1,+∞)时,y'>0,函 数y单调递增.作出y=xex图象,‎ 利用图象变换得f(x)=|xex|图象(如图10),‎ 令f(x)=m,则关于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0‎ 两根分别在时(如图11),‎ 满足g(x)=﹣1的x有4个,由,‎ 解得. ‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,函数的图象的变换,函数零点个数,考查函数与方程的综合应用,数形结合思想以及转化思想的应用.‎ ‎44.D ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性,可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1,3]恒成立,2m≥且2m≤对x∈[1,3]恒成立.求得相应的最大值和最小值,从而求得m的范围.‎ ‎【解答】解:∴定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称,‎ ‎∴函数f(x)为偶函数,‎ ‎∵函数数f(x)在[0,+∞)上递减,‎ ‎∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,‎ 若不等式f(2mx﹣lnx﹣3)≥2f(3)﹣f(﹣2mx+lnx+3)对x∈[1,3]恒成立,‎ 即f(2mx﹣lnx﹣3)≥f(3)对x∈[1,3]恒成立.‎ ‎∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1,3]恒成立,‎ 即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1,3]恒成立,‎ 即2m≥且2m≤对x∈[1,3]恒成立.‎ 令g(x)=,则 g′(x)=,在[1,e)上递增,(e,3]上递减,∴g(x)max=.‎ 令h(x)=,h′(x)=<0,在[1,3]上递减,∴h(x)min=.‎ 综上所述,m∈[,].‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用,函数的恒成立问题,体现了转化的数学思想,属于中档题.‎ ‎45.B ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】分别求出x≤0时,x>0时,函数f(x)的值域,再由∃x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),即为+a=(x0﹣1)3+1有解,运用参数分离和构造函数,求出导数,判断符号,可得单调性,即可得到f(x)的值域,再由不等式恒成立思想,可得b的范围.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=,‎ 当x≤0时,f(x)=+a≥a;‎ 当x>0时,f(x)=(x﹣1)3+1递增,可得f(x)>0.‎ 由∃x0∈[2,+∞)使得f(﹣x0)=f(x0),‎ 即为+a=(x0﹣1)3+1有解,‎ 即为a=(x0﹣1)3+1﹣,‎ 由y=(x0﹣1)3+1﹣,x0∈[2,+∞),‎ 导数为3(x0﹣1)2﹣>0在x0∈[2,+∞)恒成立,‎ 即为函数y在x0∈[2,+∞)递增,‎ 即有a≥2﹣>0,‎ 则函数f(x)的值域为(0,+∞).‎ 由任意的x∈R,f(x)>b恒成立,‎ 可得b≤0.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎46.D ‎【考点】KE:曲线与方程.‎ ‎【分析】求出y0的范围,证明f(y0)=y0,得出f(x)=x在[1,e]上有解,再分离参数,利用函数单调性求出m的范围.‎ ‎【解答】解:∵﹣1≤cosx≤1,∴的最大值为e,最小值为1,∴1≤y0≤e,‎ 显然f(x)=是增函数,‎ ‎(1)若f(y0)>y0,则f(f(y0))>f(y0)>y0,与f(f(y0))=y0矛盾;‎ ‎(2)若f(y0)<y0,则f(f(y0))<f(y0)<y0,与f(f(y0))=y0矛盾;‎ ‎∴f(y0)=y0,‎ ‎∴y0为方程f(x)=x的解,即方程f(x)=x在[1,e]上有解,‎ 由f(x)=x得m=x2﹣x﹣lnx,‎ 令g(x)=x2﹣x﹣lnx,x∈[1,e],‎ 则g′(x)=2x﹣1﹣==,‎ ‎∴当x∈[1,e]时,g′(x)≥0,‎ ‎∴g(x)在[1,e]上单调递增,‎ ‎∴gmin(x)=g(1)=0,gmax(x)=g(e)=e2﹣e﹣1,‎ ‎∴0≤m≤e2﹣e﹣1.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系,函数单调性的判断与最值计算,属于中档题.‎ ‎47.B ‎【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】推出f'(x)的表达式,当x=2时,f(2)=,构造辅助函数,求导,由g′(x)≥0在x∈[2,+∞)恒成立,则g(x)在x=2处取最小值,即可求得f(x)在[2,+∞)单调递增,即可求得f(x)的最小值.‎ ‎【解答】解:由2x2f(x)+x3f'(x)=ex,‎ 当x>0时,‎ 故此等式可化为:f'(x)=,且当x=2时,f(2)=,‎ f'(2)==0,‎ 令g(x)=e2﹣2x2f(x),g(2)=0,‎ 求导g′(x)=e2﹣2[x2f′(x)+2xf(x)]=e2﹣=(x﹣2),‎ 当x∈[2,+∞)时,g′(x)>0,‎ 则g(x)在x∈[2,+∞)上单调递增,‎ g(z)的最小值为g(2)=0,‎ 则f'(x)≥0恒成立,‎ ‎∴f(x)的最小值f(2)=,‎ 故选:B.‎ ‎48.A ‎【考点】3T:函数的值.‎ ‎【分析】令F(x)=,令G(x)=,根据函数的单调性分别求出F(x)的最小值和G(x)的最大值,求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:由⇒⇒<a<,‎ 令F(x)=,则F′(x)=<0对x∈(1,2)成立,‎ ‎∴F(x)在(1,2)递减,‎ ‎∴F(x)min=F(2)=ln2,‎ 令G(x)=,则G′(x)=>0对x∈(1,2)成立,‎ ‎∴G(x)在(1,2)上递增,‎ ‎∴G(x)max=G(2)=,‎ 若存在x0∈(1,2),使得f(x0)g(x0)<0,‎ 则ln2<a<时,满足题意,‎ 故选:A.‎ ‎49.D ‎【考点】54:根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】将函数f(x)表示为分段函数形式,判断函数的单调性和极值,利用换元法将方程转化为一元二次方程,利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可.‎ ‎【解答】解:当x>0时,f(x)=,函数的导数f′(x)==,‎ 当x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0,则当x=1时 函数取得极小值f(1)=e,‎ 当x<0时,f(x)=﹣,函数的导数f′(x)=﹣=﹣,此时f′(x)>0恒成立,‎ 此时函数为增函数,‎ 作出函数f(x)的图象如图:‎ 设t=f(x),则t>e时,t=f(x)有3个根,‎ 当t=e时,t=f(x)有2个根 当0<t<e时,t=f(x)有1个根,‎ 当t≤0时,t=f(x)有0个根,‎ 则f2(x)﹣2af(x)+a﹣1=0(m∈R)有四个相异的实数根,‎ 等价为t2﹣2at+a﹣1=0(m∈R)有2个相异的实数根,‎ 其中0<t<e,t>e,‎ 设h(t)=t2﹣2at+a﹣1,‎ 则,即,即,‎ 即a>,‎ 即实数a的取值范围是(,+∞),‎ 故选:D ‎50.C ‎【考点】2H:全称命题.‎ ‎【分析】由题设h(x)﹣f(x)≤k[g(x)+2]恒成立等价于f(x)+kg(x)≥h(x)﹣2k;‎ 构造函数H(x)=f(x)+kg(x),利用导数H'(x)判断H(x)的单调性,‎ 求出H(x)的最值,判断不等式是否恒成立,从而求出k的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题设h(x)﹣f(x)≤k[g(x)+2]恒成立,‎ 等价于f(x)+kg(x)≥h(x)﹣2k①;‎ 设函数H(x)=f(x)+kg(x),‎ 则H'(x)=(x+1)(ex+2k);‎ ‎(1)设k=0,此时H'(x)=ex(x+1),‎ 当x<﹣1时H'(x)<0,‎ 当x>﹣1时H'(x)>0,‎ 故x<﹣1时H(x)单调递减,x>﹣1时H(x)单调递增,‎ 故H(x)≥H(﹣1)=﹣e﹣1;‎ 而当x=﹣1时h(x)取得最大值2,并且﹣e﹣1<2,‎ 故①式不恒成立;‎ ‎(2)设k<0,注意到,‎ ‎,故①式不恒成立;‎ ‎(3)设k>0,H'(x)=(x+1)(ex+2k),‎ 此时当x<﹣1时H'(x)<0,‎ 当x>﹣1时H'(x)>0,‎ 故x<﹣1时H(x)单调递减,x>﹣1时H(x)单调递增,‎ 故;‎ 而当x=﹣1时h(x)max=2,故若使①式恒成立,‎ 则,‎ 解得.‎ ‎【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题,也考查了构造函数思想与等价转化问题,是综合题.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档