高考江苏卷数学理试卷及答案

高考江苏卷数学理试卷及答案

‎2013年普通高等学校统一考试数学试题 卷Ⅰ 必做题部分 一．填空题 ‎1．函数的最小正周期为 。‎ ‎2．设（为虚数单位），则复数的模为 。‎ ‎3．双曲线的两条渐近线的方程为 。‎ ‎4．集合共有 个子集。‎ ‎5．下图是一个算法的流程图，则输出的的值是 。‎ ‎6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 。‎ ‎7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为 。‎ ‎8．如图，在三棱柱中，分别是 的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，‎ 则 。‎ ‎9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三 角形内部与边界）。若点是区域内的任意一点，则的取值范 围是 。‎ ‎10．设分别是的边上的点，，，若 （为实数），则的值为 。‎ ‎11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为 。‎ ‎12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为 。‎ ‎13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为 。‎ ‎14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数 的值为 。‎ 二．解答题：‎ ‎15．本小题满分14分。已知，‎ ‎。‎ ‎（1）若，求证：；（2）设，‎ 若，求的值。‎ ‎16．本小题满分14分。‎ 如图，在三棱锥中，平面平面，，‎ x y A l O ‎，过作，垂足为，点分别是棱的中点.‎ 求证：（1）平面平面； （2）.‎ ‎17．本小题满分14分。如图，在平面直角坐标系中，点，直线 ‎,设圆的半径为，圆心在上。‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。‎ C B A ‎18．本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲．乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，。‎ ‎（1）求索道的长；‎ ‎（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？‎ ‎（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行 的速度应控制在什么范围内？‎ ‎19．本小题满分16分。设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。‎ ‎（1）若，且成等比数列，证明：（）；‎ ‎（2）若是等差数列，证明：。‎ ‎20．本小题满分16分。‎ 设函数，，其中为实数。‎ ‎（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；‎ ‎（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。‎ 卷Ⅱ 附加题部分 ‎［选做题］第21题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎21．A.［选修4-1：几何证明选讲］本小题满分10分。‎ 如图，和分别与圆相切于点，经过圆心，且 求证：‎ ‎21．B.［选修4-2：矩阵与变换］本小题满分10分。‎ 已知矩阵，求矩阵。‎ ‎21.C.［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题满分10分。‎ 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数），曲线C的参数方程为 （为参数），试求直线与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。‎ ‎21．D.［选修4-5：不定式选讲］本小题满分10分。‎ 已知＞0，求证：‎ ‎［必做题］第22、23题，每题10分，共20分。请在相应的答题区域内作答，若多做，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎22．本小题满分10分。‎ 如图，在直三棱柱中，,,,点是的中点 ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值 ‎（2）求平面与所成二面角的正弦值。‎ ‎23．本小题满分10分。‎ 设数列 ‎，即当时，‎ ‎，记，对于，‎ 定义集合 ‎（1）求集合中元素的个数； （2）求集合中元素的个数。‎ 参考答案 一、填空题 ‎1． 2．5 3． 4．8 5．3 6．2 7．． 8． 9．‎ ‎10． 11． 12． 13．或 14．12‎ 二、解答题 ‎15．解：（1）∵ ∴ 即，‎ 又∵，∴∴∴‎ ‎（2）∵ ∴即 ‎ 两边分别平方再相加得： ∴ ∴ ∵‎ ‎∴‎ ‎16．证明：（1）∵，∴F分别是SB的中点 ‎∵E．F分别是SA．SB的中点 ∴EF∥AB 又∵EF平面ABC, AB平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理：FG∥平面ABC 又∵EFFG=F, EF．FG平面ABC∴平面平面 ‎（2）∵平面平面 平面平面=BC AF平面SAB AF⊥SB ‎∴AF⊥平面SBC 又∵BC平面SBC ∴AF⊥BC ‎ 又∵, ABAF=A, AB．AF平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA平面SAB∴BC⊥SA ‎17．解：（1）由得圆心C为（3,2），∵圆的半径为 ‎∴圆的方程为：‎ 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为，即 ‎∴∴∴∴或者 ‎∴所求圆C的切线方程为：或者即或者 ‎（2）解：∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,‎2a-4）‎ 则圆的方程为：‎ 又∵∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D ‎∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点 ‎∴‎ 由得 由得 终上所述，的取值范围为：‎ ‎18．解：（1）∵，‎ ‎∴∴，‎ ‎ ∴‎ ‎ 根据得 ‎（2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则 ‎∴‎ ‎∵即 ‎∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。‎ ‎（3）由正弦定理得（m）‎ 乙从B出发时，甲已经走了50（2+8+1）=550（m），还需走‎710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则 ‎∴∴‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在范围内 法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，‎ 设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，‎ AB＝52k，由AC＝63k＝‎1260m，‎ 知：AB＝52k＝‎1040m．‎ ‎（2）设乙出发x分钟后到达点M，‎ 此时甲到达N点，如图所示．‎ 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，‎ 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，‎ 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．‎ ‎（3）由（1）知：BC＝‎500m，甲到C用时：＝(min)．‎ 若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min．‎ 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝ (min)，在BC上用时： (min) ．‎ 此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min．‎ 故乙步行的速度应控制在[，]范围内．‎ C B A D M N ‎19．证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和 ‎∴‎ ‎（1）∵ ∴‎ ‎∵成等比数列 ∴ ∴‎ ‎∴ ∴ ∵ ∴ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴左边= 右边=‎ ‎∴左边=右边∴原式成立 ‎（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：‎ ‎ ∴对恒成立 ‎∴‎ 由①式得： ∵ ∴ ‎ 由③式得：‎ 法二：证：（1）若，则，，．‎ 当成等比数列，，‎ 即：，得：，又，故．‎ 由此：，，．‎ 故：（）．‎ ‎（2）， ‎ ‎． (※)‎ 若是等差数列，则型．‎ 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，‎ 故有：，即，而≠0，‎ 故．‎ 经检验，当时是等差数列．‎ ‎20.解：（1）由即对恒成立，∴‎ 而由知＜1 ∴‎ 由令则 当＜时＜0，当＞时＞0，‎ ‎∵在上有最小值 ‎∴＞1 ∴＞‎ 综上所述：的取值范围为 ‎（2）证明：∵在上是单调增函数 ‎∴即对恒成立，‎ ‎∴‎ 而当时，＞ ∴‎ 分三种情况：‎ ‎（Ⅰ）当时， ＞0 ∴f（x）在上为单调增函数 ‎∵ ∴f（x）存在唯一零点 ‎（Ⅱ）当＜0时，＞0 ∴f（x）在上为单调增函数 ‎∵＜0且＞0‎ ‎∴f（x）存在唯一零点 ‎（Ⅲ）当0＜时，，令得 ‎∵当0＜＜时，＞0；＞时，＜0‎ ‎∴为最大值点，最大值为 ‎①当时，，，有唯一零点 ‎②当＞0时，0＜，有两个零点 实际上，对于0＜，由于＜0，＞0‎ 且函数在上的图像不间断 ∴函数在上有存在零点 另外，当，＞0，故在上单调增，∴在只有一个零点 下面考虑在的情况，先证＜0‎ 为此我们要证明：当＞时，＞，设 ，则，再设 ‎∴‎ 当＞1时，＞-2＞0，在上是单调增函数 故当＞2时，＞＞0‎ 从而在上是单调增函数，进而当＞时，＞＞0‎ 即当＞时，＞，‎ 当0＜＜时，即＞e时，＜0‎ 又＞0 且函数在上的图像不间断，‎ ‎∴函数在上有存在零点，又当＞时，＜0故在上是单调减函数∴函数在只有一个零点 综合（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）知：当时，的零点个数为1；当0＜＜时，的零点个数为2‎ ‎21．A证明：连接OD，∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C ‎∴,又∵‎ ‎∴～‎ ‎∴ 又∵BC=2OC=2OD ∴AC=2AD ‎21．B 解：设矩阵A的逆矩阵为,则=，即=，‎ 故a=-1，b=0，c=0，d=∴矩阵A的逆矩阵为,‎ ‎∴==‎ ‎21．C解：∵直线的参数方程为 ∴消去参数后得直线的普通方程为 ①‎ 同理得曲线C的普通方程为 ②‎ ‎①②联立方程组解得它们公共点的坐标为，‎ ‎21．D证明：∵‎ 又∵＞0，∴＞0，,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎22．本题主要考察异面直线．二面角．空间向量等基础知识以及基本运算，考察运用空间向量解决问题的能力。‎ 解：（1）以为为单位正交基底建立空间直角坐标系，‎ 则，,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为 ‎（2） 是平面的的一个法向量 设平面的法向量为，∵,‎ 由 ‎∴ 取，得，∴平面的法向量为 设平面与所成二面角为 ‎∴， 得 ‎∴平面与所成二面角的正弦值为 ‎23．本题主要考察集合．数列的概念与运算．计数原理等基础知识，考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。‎ ‎（1）解：由数列的定义得：，，，，，，，，，，‎ ‎∴，，，，，，，，，，‎ ‎∴，，，，‎ ‎∴集合中元素的个数为5‎ ‎（2）证明：用数学归纳法先证 事实上，[来源:Z_xx_k.Com]‎ ① 当时， 故原式成立 ① 假设当时，等式成立，即 故原式成立 则：，时，‎ 综合①②得： 于是 由上可知：是的倍数 而，所以是 的倍数 又不是的倍数，‎ 而 所以不是的倍数 故当时，集合中元素的个数为 于是当时，集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为