2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章选修4-4坐标系与参数方程

2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章选修4-4坐标系与参数方程

第1讲　坐标系 最新考纲　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．‎ 知 识 梳 理 ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 ‎(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化 公式 ρ2＝x2＋y2‎ tan θ＝(x≠0)‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ ‎(0≤θ＜π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcos θ＝a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.‎ 答案　A ‎3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．‎ 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0. ‎ 答案　x2＋y2－2y＝0‎ ‎4.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，求点A到直线l的距离．‎ 解　由2ρsin＝，得2ρ＝，‎ ‎∴y－x＝1.‎ 由A，得点A的直角坐标为(2，－2)．‎ ‎∴点A到直线l的距离d＝＝.‎ ‎5．(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程化为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ ‎∴(x－1)2＋(y＋1)2＝6，因此圆C的半径为.‎ 考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上点(x，y)，‎ 依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ 规律方法　(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．‎ ‎(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化.‎ ‎【训练1】 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．‎ 解　(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： 得∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.‎ ‎∴点A′的坐标为(1，－1)．‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．‎ 由伸缩变换φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，‎ ‎∴y′＝x′为所求直线l′的方程．‎ 考点二　极坐标与直角坐标的互化 ‎【例2】 (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ 解　(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0，表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ 所以C2是圆心为(1,0)，半径r＝1的圆．‎ ‎(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ 所以直线C1过圆C2的圆心．‎ 因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径．‎ 所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ 规律方法　(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ 的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧. ‎ ‎【训练2】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，则易得△C2MN为直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为S＝×12＝.‎ 考点三　直线与圆的极坐标方程的应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解　(1)消去t，得C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，‎ ‎∴曲线C1表示以点(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ 规律方法　(1)第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力．第(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.‎ ‎(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．‎ ‎【训练3】 在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长．‎ 解　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，‎ ‎|OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos.‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，‎ 又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，‎ ‎∴直线l过圆C的圆心，‎ 故直线被圆所截得的弦长为直径2.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．‎ ‎2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：‎ ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)；‎ ‎(2)在[0,2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置)．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0,0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．‎ ‎3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：‎ ‎(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响．‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎ ‎(建议用时：60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，‎ 即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2．(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．‎ 解　(1)∵ρ＝，ρsin θ＝y，‎ ‎∴ρ＝化为ρ－ρsin θ＝2，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意＝3·，‎ 解得θ0＝或θ0＝，‎ 直线l的极坐标方程θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．‎ ‎3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．‎ 解　以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心为(1,0)．直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎4．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．‎ 解　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．‎ 在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得 ‎|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，‎ 化简得ρ＝6cos.‎ ‎(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，‎ 由＝2，得＝，‎ ‎∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，‎ 代入圆C的方程，得 ρ＝6cos，即ρ＝9cos.‎ ‎5．(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎6．(2017·唐山质检)已知曲线C1：x＋y＝和C2：(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．‎ ‎(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．‎ 解　(1)曲线C1化为ρcos θ＋ρsin θ＝.‎ ‎∴ρsin＝.‎ 曲线C2化为＋＝1(*)‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P，‎ ‎∴OP的极坐标方程为θ＝，‎ 把θ＝代入ρsin＝，得ρ1＝1，P.‎ 把θ＝代入ρ2＝，得ρ2＝2，Q.‎ ‎∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.‎ 第2讲　参数方程 最新考纲　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ 知 识 梳 理 ‎1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数．‎ ‎2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x，y的取值范围保持一致．‎ ‎3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a＞b＞0)‎ (φ为参数)‎ 温馨提醒　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)‎ ‎(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)‎ ‎(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎　(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析　由得 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．‎ 答案　B ‎3．在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ 解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.‎ 答案　x－y－1＝0‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 解析　由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①‎ 又消去t，得y2＝8x②‎ 联立①，②得即交点坐标为(2，－4)．‎ 答案　(2，－4)‎ ‎5．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 解　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，‎ 得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝.所以线段AB的长为.‎ 考点一　参数方程与普通方程的互化　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ ‎(2)因为直线l与圆C有公共点，‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，‎ 解得－2≤a≤2.‎ 规律方法　(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．‎ ‎(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形．‎ ‎【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 解　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ ‎∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.‎ 考点二　参数方程及应用 ‎【例2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为 d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 规律方法　(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.‎ ‎【训练2】 (2017·石家庄质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为.‎ ‎(1)求圆C和直线l的参数方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．‎ 解　(1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.‎ 得参数方程为(θ为参数)．‎ 直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，‎ 得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，‎ 由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.‎ 考点三　参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解　(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1.‎ 又曲线C2：ρsin＝2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值．‎ d(α)＝＝，‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 规律方法　(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ ‎【训练3】 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解　(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，‎ y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，‎ 则有解得 设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，‎ 则有解得 由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2.‎ 所以线段PQ的长度为2.‎ ‎[思想方法]‎ ‎1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.‎ ‎2．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．‎ ‎3．将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，化生为熟，体现了化归与转化思想．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化．‎ ‎2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.‎ ‎(建议用时：60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2017·合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数)，在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsin θ＋ρcos θ＝m.‎ ‎(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，是一个圆；‎ 直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，‎ 圆心C到直线l的距离为d＝＝＝r，‎ 所以直线l与圆C相切．‎ ‎(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5.‎ 所以实数m的取值范围为[－1,5]．‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ 解　(1)由消去θ，‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.‎ 又直线l过点P(1,2)，且倾斜角α＝.‎ 所以l的参数方程为 即(t为参数)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ 所以t1t2＝－11.‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.‎ ‎3．(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．‎ 解　(1)由ρsin2θ＝4cos θ得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x得到t2sin2α－4tcos α－4＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别是t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－.‎ ‎∴|AB|＝|t1－t2|＝＝≥4，当α＝时取到等号．‎ ‎∴|AB|min＝4，即|AB|的最小值为4.‎ ‎5．(2014·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为 (t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1，0)为圆心，‎ ‎1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.故D的直角坐标为，即.‎ ‎6．(2017·长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求C的普通方程和l的倾斜角；‎ ‎(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ 解　(1)由消去参数α，得＋y2＝1，‎ 即C的普通方程为＋y2＝1.‎ 由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)‎ 将代入(*)，化简得y＝x＋2，‎ 所以直线l的倾斜角为.‎ ‎(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，‎ Δ＝(18)2－4×5×27＝108＞0，‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－＜0，t1t2＝＞0，所以t1＜0，t2＜0，‎ 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.‎