上海高考数学理科试卷带详解

上海高考数学理科试卷带详解

‎2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）‎ 一、填空题 ‎1．计算：.‎ ‎【测量目标】数列极限的运算.‎ ‎【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据极限运算法则，．‎ ‎2．设，是纯虚数，其中是虚数单位，则.‎ ‎【测量目标】复数的基本概念.‎ ‎【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m的值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】．‎ ‎3．若，则.‎ ‎【测量目标】行列式的初步运算.‎ ‎【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出的大小.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】0‎ ‎【试题解析】．‎ ‎4．已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________.（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【测量目标】余弦定理，反三角函数.‎ ‎【考查方式】利用余弦定理解出角C，再用反三角函数值表示.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】，‎ 故．‎ ‎5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则.‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】，故．‎ ‎6．方程的实数解为________.‎ ‎【测量目标】指数方程.‎ ‎【考查方式】给出了指数方程，化简求值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】原方程整理后变为．‎ ‎7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为__________.‎ ‎【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.‎ ‎【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】联立方程组得（步骤1），‎ 又，故所求为．（步骤2）‎ ‎8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）.‎ ‎【测量目标】古典概型，随机事件的的概率 ‎【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案 ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为．‎ ‎9．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且，若AB=4，，则的两个焦点之间的距离为________.‎ ‎【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.‎ ‎【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】不妨设椭圆的标准方程为，于是可算得（步骤1），得．（步骤2）‎ ‎10．设非零常d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差.‎ ‎【测量目标】随机变量的期望和方差.‎ ‎【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】‎ ‎ （步骤1）‎ ‎．（步骤2）‎ ‎11．若，则.‎ ‎【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.‎ ‎【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】，，故 ‎．‎ ‎12．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为________.‎ ‎【测量目标】奇函数的性质.‎ ‎【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出a的范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】，故（步骤1）；当时 ‎（步骤2）‎ 即，又，故．（步骤3）‎ ‎13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作、所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.‎ ‎ 第13题图 ‎ ‎【测量目标】合情推理.‎ ‎【考查方式】给出了封闭图形，利用祖暅原理求出其体积.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．‎ ‎14．对区间I上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程 有解，则.‎ ‎【测量目标】反函数，函数零点的求解与判断.‎ ‎【考查方式】给出了反函数的解析式，在特定定义域内求出它的反函数解析式并求出新函数的解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据反函数定义，当时，（步骤1）；时，，而的定义域为（步骤2），故当时，的取值应在，故若，只有．（步骤3）‎ 二、选择题 ‎15．设常数，集合，若，则的取值范围为 （ ）‎ A B C D ‎ ‎【测量目标】集合的基本运算，解一元二次不等式.‎ ‎【考查方式】给出两个集合，根据它们的并集求出a的取值范围.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】当时，（步骤1）‎ 若，则1，，（步骤2）‎ 当时，易得,此时成立，（步骤3）‎ 当时，，，‎ 若，则a显然成立（步骤4）‎ ‎∴；综上a的取值范围是，故选B（步骤5）‎ ‎16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 （ ）‎ A 充分条件 B 必要条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 ‎【测量目标】充分必要条件.‎ ‎【考查方式】给出日常生活问题，判断命题的充分必要性.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．‎ ‎17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（‎ ‎）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为 （ ）‎ A 18 B 28 C 48 D 63‎ ‎【测量目标】指数函数模型.‎ ‎【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】，而，故不同数值个数为18个，选A．‎ ‎18．在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值，其中 ‎,,则满足 （ ）. ‎ A B C D ‎ ‎【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.‎ ‎【考查方式】根据平面几何中的向量性质，容易求出答案.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由题意记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为，利用向量的数量积公式，只有，其余均有，故选D．‎ 三、解答题 ‎19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB=2,AD=1,A‎1A=1，证明直线BC1平行于平面，并求直线BC1到平面D‎1AC的距离.‎ ‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积.‎ ‎【考查方式】给出长方体及若干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积公式求出答案.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】因为ABCDA1B‎1C1D1为长方体，，‎ 故ABC1D1为平行四边形，故（步骤1），显然B不在平面D‎1AC上，于是直线BC1平行于平面（步骤2）；直线BC1到平面D‎1AC的距离即为点B到平面D‎1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得（步骤3）‎ 而中，，故 所以，，即直线BC1到平面D‎1AC的距离为．（步骤4）‎ ‎20．（6分+8分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.‎ ‎(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；‎ ‎(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.‎ ‎【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值.‎ ‎【考查方式】给出实际问题建立函数模型，求出其最值.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(1)根据题意，‎ 又，可解得（步骤1）‎ ‎(2)设利润为元，则 故时，元．（步骤2）‎ ‎21．（6分+8分）已知函数，其中常数；‎ ‎（1）若在上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．‎ ‎【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.‎ ‎【考查方式】将三角函数进行变化求出的取值范围；将三角函数进行平移和变换求出零点进而求出答案.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(1)因为，根据题意有 ‎（步骤1）‎ ‎(2) ，‎ 或，‎ 即的零点相离间隔依次为和，（步骤2）‎ 故若在上至少含有30个零点，‎ 则的最小值．（步骤3）‎ ‎22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲，P是平面上一点，若存在过点P的直线与都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．‎ ‎(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎(2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“C1—C2型点”；‎ ‎(3)求证：圆内的点都不是“C1—C2型点”．‎ ‎ 第22题图 ‎ ‎【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.‎ ‎【考查方式】给出了“C1—C2型点”的概念，证明3个命题的正确性.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】：（1）C1的左焦点为，过F的直线与C1交于，与C2交于，故C1的左焦点为“C‎1C2型点”，‎ 且直线可以为；（步骤1）‎ ‎（2）直线与C2有交点，则 ‎，若方程组有解，则必须；（步骤2）‎ 直线与C2有交点，则 ‎，若方程组有解，则必须 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点，即原点不是“C1C2型点”.（步骤3）‎ ‎（3）显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点，则斜率必存在；‎ 根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点，则 直线与圆内部有交点，故 化简得，①（步骤4）‎ 若直线与曲线C1有交点，则 ‎（步骤5）‎ 化简得，②‎ 由①②得，（步骤6）‎ 但此时，因为，即①式不成立；‎ 当时，①式也不成立 综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，‎ 即圆内的点都不是“C‎1C2型点” ．（步骤7）‎ ‎23．（3 分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列 满足.‎ ‎（1）若，求及；（2）求证：对任意，；‎ ‎（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.‎ ‎【测量目标】间接证明，等差数列的综合应用.‎ ‎【考查方式】给出函数解析式及数列，间接证明出命题的正确，利用等差数列的综合应用证明是否存在. ‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】（1）因为，，故，‎ ‎（步骤1）‎ ‎（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，‎ 即只需证明（步骤2）‎ 若，显然有成立；（步骤3）‎ 若，则显然成立 综上，恒成立，即对任意的，（步骤4）‎ ‎（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有 此时，‎ 即（步骤5）‎ 故，‎ 即，（步骤6）‎ 当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；‎ 若，则，‎ 此时，也满足题意；‎ 综上，满足题意的的取值范围是．（步骤7） ‎