广东高考文科数学近5年试题分类汇编20072011
广东高考文科数学近5年试题分类汇编
1.集合与简易逻辑
2007
2008
2009
2010
2011
5
5
5分
10分
5
(2007年高考广东卷第1小题)已知集合，则（C ）
A． B． C． D．
(2008年高考广东卷第1小题)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（D ）
A. B. C. B∪C = A D. A∩B = C
(2009年高考广东卷第1小题).已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是
【答案】B【解析】由N= { x |x+x=0}得,选B.
(2010年高考广东卷第1小题)若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合AB=( A.)
A．｛0，1，2，3，4｝ B．｛1，2，3，4｝ C．｛1，2｝ D．｛0｝
(2010年高考广东卷第8小题) “>0”是“>0”成立的( A.)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件w_w C．非充分非必要条件 D．充要条件
(2011年高考广东卷第2小题)
已知集，则的元素个数为(C) A．4 B.3 C.2 D. 1
2.复数
2007
2008
2009
2010
2011
5
5
5
5
(2007年高考广东卷第2小题)若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则（ D ）
A． B． C． D．2
(2008年高考广东卷第2小题)已知0
－1 C. a < －1/e D. a > －1/e
(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
, 令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
(2009年高考广东卷第8小题)函数的单调递增区间是
A. B.(0,3) C.(1,4) D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】D 【解析】,令,解得,故选D
(2009年高考广东卷第21小题)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值
(2) 如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【解析】（1）设，则； 又的图像与直线平行
又在取极小值， ， ， ；
， 设
则 ；w.w.w.k.s. （2）由， 得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，
函数有两个零点；若，
，函数有两个零点；
当时，方程有一解, , 函数有一零点 (2010年高考广东卷第21小题)已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,…）.
（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；
（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，
证明：www.ks5u.com
w.w.wwww.ks5u.com
w.
w. 21．解：（1），设切线的斜率为，则
∴曲线在点处的切线的方程为：
又∵点在曲线上, ∴∴曲线在点处的切线的方程为：
即 令得，∴曲线在轴上的交点的坐标为
（2）原点到直线的距离与线段的长度之比为：
当且仅当即时，取等号。此时，故点的坐标为
（3）证法一：要证
只要证
只要证
，又
所以：
^w.k.s.5*w_w w. k#s(2011年高考广东卷第19小题) 设讨论函数
解：函数的定义域为
当的判别式
①当有两个零点，
且当内为增函数；
当内为减函数；
②当内为增函数；
③当内为增函数；
④当
在定义域内有唯一零点，
且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：
（其中）
7.三角函数与解三角形
2007
2008
2009
2010
2011
17分
17分
22分
19分
12分
(2007年高考广东卷第9小题)已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ A ）
Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．，
(2007年高考广东卷第16小题)已知三个顶点的直角坐标分别为，，．
（1） 若，求的值；（2）若，求的值．
16.解: (1) ， 得
(2)
(2008年高考广东卷第5小题)已知函数，，则是（ D ）
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π/2的奇函数
C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π/2的偶函数
(2008年高考广东卷第16小题)已知函数，
的最大值是1，其图像经过点M（π/3，1/2）。（1）求的解析式；（2）已知、，且，，求的值。
16.（本小题满分13分）
已知函数的最大值是1，其图像经过点。
（1）求的解析式；（2）已知，且求的值。
【解析】（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，，
。
(2009年高考广东卷第7小题)已知中，的对边分别为a,b,c若a=c=且，则b=
A.2 B．4＋ C．4— D．
【答案】A 【解析】由a=c=可知,,所以,由正弦定理得,故选A
(2009年高考广东卷第8小题)函数是
A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
【答案】A 【解析】因为为奇函数,,所以选A.
(2009年高考广东卷第16小题)已知向量与互相垂直，其中
（1）求和的值
（2）若，,求的值
【解析】（１）,,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2) ∵
, ,即
又 , ∴ w
(2010年高考广东卷第13小题).已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA= .
设函数，，，且以为最小正周期．
（1） 求；w（2）求的解析式；（3）已知，求的值．w_w*w
16.解：（1）由已知可得：
（2）∵的周期为，即 ∴ 故
（3）∵
∴由已知得：即
∴故的值为或
(2011年高考广东卷第16小题) 已知函数
（1） 求的值；设
16．解：（1）；
（2）
故
8.不等式
2007
2008
2009
2010
2011
22分
12分
10分
(2008年高考广东卷第10小题)设a、b∈R，若a － |b| > 0，则下列不等式中正确的是（D ）
A. b － a > 0 B. a3 + b3 < 0 C. a2 － b2 < 0 D. b + a > 0
(2008年高考广东卷第12小题)若变量x、y满足，则的最大值是__70_____。
(2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则
, 令 得
当 时， ；当 时，
因此 当时，f（x）取最小值；
答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。
(2010年高考广东卷第19小题)
某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
x
y
O
19．解：设应当为该儿童分别预订个单位的午餐，个单位的晚餐，所花的费用为，则依题意得：
满足条件即，
目标函数为，
画出可行域如右图所示,设直线
其中为直线在轴上的截距
当直线经过直线与的交点时，取得最小值，此时取得最小值，且
由图可知，当直线经过可行域上的点M时截距最小，即
最小. 解方程组：, 得点M的坐标为 所以，22
答：要满足营养要求，并花费最少，应当为该儿童分别预订4个单位的午餐，3个单位的晚餐，此花的费用最少为22元.
(2011年高考广东卷第5小题)不等式的解积是D
A． B. C. D.
(2011年高考广东卷第6小题)已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定,若为上的动点,点的坐标为的最大值为B
A．3 B.4 C. D.
9.概率统计
2007
2008
2009
2010
2011
17分
18分
18分
22分
18分
(2007年高考广东卷第9小题)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ A ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
(2007年高考广东卷第18小题)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：）
18解: (1) 散点图略
(2)
；
所求的回归方程为
(3) 当时
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨)
(2008年高考广东卷第11小题)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是__13_____。
(2008年高考广东卷第19小题)
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19。（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。
19.解：（1）因为，所以
（2）初三年级人数为
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为 名
（3）设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生男生数记为 ，由（2）知，且
基本事件共有共11个，
事件包含的基本事件有
共5个，所以
(2009年高考广东卷第12小题)某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.
图 2【答案】37, 20
【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.
40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.
(2009年高考广东卷第18小题)随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.
【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）
（181，176）（181，178） （181，179） （179，173） （179，176）
（179，178） （178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，
而事件A含有4个基本事件； ；
(2010年高考广东卷第12小题)某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：w_w w. k#s5_u.c o*m
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 13 ，家庭年平均收入与年平均支出有 正 线性相关关系.
(2010年高考广东卷第17小题)
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
（1）由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？w. k#s5_u.c o*m
（2）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
（3）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w
17．解：（1）画出二维条形图，通过分析数据的图形，或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析，得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关；
（2）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取人.
（3）法一：由（2）可知，抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为，若从5人中任取2名观众记作，则包含的总的基本事件有：共10个。其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：共6个.
故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=；
(2011年高考广东卷第13小题)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：小时）与当天投篮命中率之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为 0.5 ；用线形回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 0.53 ．
(2011年高考广东卷第17小题) 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩
70
76
72
70
72
（1） 求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差；
（2） 从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率.
17. 解：（1）
，
（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：
{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，
选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：
{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，
故所求概率为
10.立体几何
2007
2008
2009
2010
2011
17分
17分
18分
19分
24分
(2007年高考广东卷第6小题)
若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ D ）
Ａ．若，则 Ｂ．若，则
8
图5
6
Ｃ．若，则 Ｄ．若，则
(2007年高考广东卷第17小题)
已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的侧面积．
17解: 由已知可得该几何体是一个底面边长为8和6的矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ；(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为 因此
(2008年高考广东卷第7小题)
将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、
C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如
图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图
（或称左视图）为（A. ）
(2008年高考广东卷第18小题)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP∽△BAD。
（1）求线段PD的长；
（2）若PC = R，求三棱锥P-ABC的体积。
【解析】（1） BD是圆的直径 又 ,
, ;
(2 ) 在中，
又
底面ABCD
三棱锥的体积为 .
(2009年高考广东卷第6小题)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中，为真命题的是 ( )
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
【答案】D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
(2009年高考广东卷第17小题)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEG
【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）该安全标识墩的体积为：
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,
又 平面PEG 又 平面PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2010年高考广东卷第9小题)如图1， 为正三角形，，，则多面体的正视图(也称主视图)是wDDddD
(2010年高考广东卷第18小题)如图4，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧AC的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
18．法一：（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心
又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴即
∵平面，平面， ∴又平面，平面且 ∴平面又∵平面， ∴
（2）解：设点B到平面的距离（即三棱锥的高）为.
∵平面, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形
由已知可得，又 ∴
在中，，故,
∴,
又∵平面，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,
∴，在中，,∴,
∵即，故,
即点B到平面的距离为.
(2011年高考广东卷第7小题)正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱的对角线条数共有D
A．20 B.15 C.12 D. 10
(2011年高考广东卷第9小题)
如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形，则该几何体体积为C
A． B.4 C. D. 2
(2011年高考广东卷第18小题) 下图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一般沿切面向右水平平移得到的。分别为
的中点。
(1)证明：四点共面；
(2)设为的中点，延长
证明：（1）中点，
连接BO2
直线BO2是由直线AO1平移得到
共面。
（2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接
//
由平移性质得=HB
11.平面几何与圆锥曲线
2007
2008
2009
2010
2011
19分
19分
19分
19分
19分
(2007年高考广东卷第11小题)在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是 ．
(2007年高考广东卷第19小题)在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；
（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19解:(1) 设圆C的圆心为 (m, n)（m<0,n>0）依题意可得 解得
所求的圆的方程为
(2) 由已知可得 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0)；
设，依题意
解得或（舍去） 存在点
(2008年高考广东卷第6小题)经过圆的圆心C，且与直线
垂直的直线方程是（ C ）
A. x + y + 1 = 0 B. x + y － 1 = 0
C. x － y + 1 = 0 D. x － y － 1 = 0
(2008年高考广东卷第20小题)设b>0，椭圆方程为，
抛物线方程为。如图所示，过点F（0，b + 2）
作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。已知抛
物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物
线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。
【解析】（1）由得，
当得，G点的坐标为，，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，
即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
(2009年高考广东卷第13小题)以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .
【答案】
【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2009年高考广东卷第19小题)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.
(1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.
【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;
则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2 )点的坐标为
（3）若，由可知点（6，0）在圆外，
若，由可知点（-6，0）在圆外；
不论K为何值圆都不能包围椭圆G.
(2010年高考广东卷第6小题)若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线相切，则圆的方程是w_w D w. k#s5_u.c o*m
A． B． w_w*w.k_ C． D．
(2010年高考广东卷第7小题)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是w_w B w. k#s5_u.c o*m
A． B． C． D．
(2011年高考广东卷第8小题)设圆 A
A．抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D. 圆
(2011年高考广东卷第21小题) 在平面直角坐标系中，直线轴于点，设是上一点，是线段的垂直平分线上的一点，且满足
（1） 当点在上与动时，求点的轨迹的方程；
（2） 已知设是上动点，求的最小值，并给出此时点的坐标；
（3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围。
21．（本小题满分14分）
解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，
因此即 ①
另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。
MQ为线段OP的垂直平分线，
又 因此M在轴上，此时，记M的坐标为
为分析的变化范围，设为上任意点 由 （即）得， 故的轨迹方程为 ②
综合①和②得，点M轨迹E的方程为
（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：
；
当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。
再过H作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。
（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。
当时，则
综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为
（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。 设
故的方程得：
因判别式
所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若与E2有交点，
则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。
因此，直线的取值范围是
12.数列
2007
2008
2009
2010
2011
19分
19分
19分
5分
(2007年高考广东卷第13小题) 已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 ．2n-10 ； 8
(2007年高考广东卷第20小题) 已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．
（1）求的值；
（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．
20解:(1) 由 得
(2)
又
数列是一个首项为 ,公比为2的等比数列；
(2008年高考广东卷第4小题) 记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，S4=20，则该数列的公差d =（ B ）
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
(2008年高考广东卷第21小题)设数列满足，，（n = 3，4，…）。数列
满足， （n = 2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤…≤1。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记（n = 1，2，…），求数列的前n项和。
【解析】（1）由得
又 ， 数列是首项为1公比为的等比数列，
，
当n为奇数时
当n为偶数时
由 得 ，由 得 ，…
同理可得当n为偶数时，；当n为奇数时，；因此
当n为奇数时
当n为偶数时
（2）
当n为奇数时，
当n为偶数时
令 ……①
①×得: ……②
①-②得:
当n为奇数时
当n为偶数时
因此
(2009年高考广东卷第5小题)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=
A. B. C. D.2
【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B
(2009年高考广东卷第20小题)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列{前n项和为，问>的最小正整数n是多少?
【解析】（1）, ,, .又数列成等比数列， ，所以 ；
又公比，所以 ；
又,, ；
数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，
当， ；()；
（2）
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由得，满足的最小正整数为112.
(2010年高考广东卷第4小题)已知数列{}为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则S5=w_w w. k C #s5_u.c o*m
w_w*w.k_s_5 u.c*o*m A．35 B．33 C．31 D．29
(2011年高考广东卷第11小题)已知是递增等比数列， 2 .
(2011年高考广东卷第20小题) 设数列
（1） 求数列的通项公式；证明：对于一切正整数
20．（本小题满分14分） 解：（1）由
令
当
①当 ②当时，
（2）当
只需
综上所述
13.新题型
2007
2008
2009
2010
2011
5分
5分
5分
图3
(2007年高考广东卷第10小题)
图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将四个维修点的这批配件分别调整为，，，件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为）为（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
(2009年高考广东卷第10小题)
广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是
A. B.21 C.22 D.23
w.w.w.k.s.5 【答案】B【解析】由题意知,所有可能路线有6种:
①,②,③,④,⑤,⑥,
其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,
故选B.
(2010年高考广东卷第10小题)
在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：w_w w. k#s5_u.c o*m
那么d A
A．a B．b C．c D．d
14.极坐标系与参数方程
2007
2008
2009
2010
2011
5分
5分
5分
5分
5分
(2007年高考广东卷第14小题）在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 2 ．
(2008年高考广东卷第14小题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，（，），则曲线C1与C2交点的极坐标为________
(2009年高考广东卷第14小题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
【答案】
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.综上可知,.
(2010年高考广东卷第14小题）在极坐标系（ρ，）（）中，曲线与的交点的极坐标为 . w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
(2011年高考广东卷第14小题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 ．
图4
15.几何证明选讲
2007
2008
2009
2010
2011
5分
5分
5分
5分
5分
(2007年高考广东卷第15小题）如图4所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则 ．
(2008年高考广东卷第15小题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2。AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R = ________
(2009年高考广东卷第15小题），点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
图3 【答案】
【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积.
(2010年高考广东卷第15小题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .
_s_5 u.c*o*m
(2011年高考广东卷第15小题）如图，在梯形中，
则梯形与梯形的面积比为 ．
